Forkurseksamen etter tema

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta koordinatene til sluttpunktet minus koordinatene til startpunktet.

1. Trekk fra startpunktet Vektoren fra \( P \) til \( Q \) er: \[ \overrightarrow{PQ} = [\textcolor{blue}{x_Q} - \textcolor{red}{x_P},\ \textcolor{blue}{y_Q} - \textcolor{red}{y_P},\ \textcolor{blue}{z_Q} - \textcolor{red}{z_P}] \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Der er det to koordinater, og her kommer \( z \) i tillegg.

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{0} - \textcolor{red}{2},\ \textcolor{blue}{3} - (\textcolor{red}{-1}),\ \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1}] \\ &= [-2, 4, 1] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{0} - (\textcolor{red}{-2}),\ \textcolor{blue}{3} - (\textcolor{red}{-1}),\ \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{4}] \\ &= [2, 4, -2] \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene, regner ut kryssproduktet og tar lengden av det.

1. Finn vektorene \( \overrightarrow{BA} \) er \( \overrightarrow{AB} \) med motsatt fortegn, og \( \overrightarrow{BC} \) er \( \overrightarrow{CB} \) med motsatt fortegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[2, -4, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Det er det samme som determinanten i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) = -12 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} = -2 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -16 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} = [-12, -2, -16] \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}| \\ &= \sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{144 + 4 + 256} \\ &= \sqrt{404} = \sqrt{4 \cdot 101} \\ &= 2\sqrt{101} \end{aligned} \]

Vinkelen ved \( B \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[2, -4, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Vi ganger koordinat for koordinat, og tar lengdene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= -4 + 16 - 2 = 10 \\ |\textcolor{blue}{\vec{a}}| &= \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \\ |\textcolor{red}{\vec{b}}| &= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos \textcolor{green}{v}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{24}} = \dfrac{10}{\sqrt{504}} \\ \textcolor{green}{v} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{504}}\right) \approx 63{,}5^\circ \end{aligned} \]

Et punkt ligger i planet hvis det finnes verdier av \( t \) og \( s \) som gir punktets koordinater. Vi bruker \( x \) og \( z \) til å finne \( t \) og \( s\text{,} \) og så gir \( y \) oss \( y_0\text{.} \)

1. Sett inn punktet A Punktet \( {A(2, -1, 1)} \) gir disse likningene for \( x \) og \( z\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + 2t + s &= 2 \\ 5 - t - s &= 1 \end{aligned} \]

Rydder vi, får vi et likningssett: \[ \begin{aligned} 2t + s &= 4 \\ t + s &= 4 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, får vi: \[ \textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{0}, \qquad \textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{4} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Likningssett.

Plugger vi dette inn i likningen for \( y \) med \( {y = -1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y_0 - 4 \cdot \textcolor{blue}{0} + 2 \cdot \textcolor{red}{4} &= -1 \\ y_0 &= -9 \end{aligned} \]

2. Sjekk de to andre punktene Planet må gå gjennom alle tre, så vi sjekker \( B \) og \( C \) med \( {y_0 = -9}\text{.} \) \( B(0, 3, 2) \) svarer til \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {\textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= -2 + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{4} = 0 \\ y &= -9 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + 2 \cdot \textcolor{red}{4} = 3 \\ z &= 5 - (\textcolor{blue}{-1}) - \textcolor{red}{4} = 2 \end{aligned} \]

\( {C(-2, -1, 4)} \) svarer til \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {\textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= -2 + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{2} = -2 \\ y &= -9 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + 2 \cdot \textcolor{red}{2} = -1 \\ z &= 5 - (\textcolor{blue}{-1}) - \textcolor{red}{2} = 4 \end{aligned} \]

Alle tre punktene ligger altså i planet.

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \) fra b).

Volumet av et tetraeder er en sjettedel av tallverdien til trippelproduktet. Vi setter opp volumet som et uttrykk i \( z \) og setter det lik \( 8\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer fra samme hjørne er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{c}}\right| \]

Fra hjørnet \( B \) er \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = \overrightarrow{BA}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = \overrightarrow{BC}} \) og \( {\textcolor{green}{\vec{c}} = \overrightarrow{BT}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} &= [-12, -2, -16] \\ \textcolor{green}{\vec{c}} &= [4 - 0,\ 3 - 3,\ z - 2] \\ &= \textcolor{green}{[4, 0, z - 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut trippelproduktet Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &[-12, -2, -16] \cdot \textcolor{green}{[4, 0, z - 2]} \\ &= -48 + 0 - 16(z - 2) \\ &= -16z - 16 \end{aligned} \]

3. Sett volumet lik åtte Plugger vi dette inn i volumformelen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6}|-16z - 16| &= 8 \\ |16z + 16| &= 48 \\ |z + 1| &= 3 \end{aligned} \]

Tallverdien gir to muligheter: \[ z + 1 = 3 \quad \text{eller} \quad z + 1 = -3 \]

Det gir oss: \[ z = 2 \quad \text{eller} \quad z = -4 \]

Begge gir et tetraeder med volum \( 8\text{,} \) med \( T \) på hver sin side av planet gjennom \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{.} \)

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet, og trekanten er halvparten av det. Arealet er også halvparten av grunnlinje ganger høyde, så vi kan løse for høyden.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1, 2 - 2, 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 0, 4]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 1, 4 - 2, -3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-2}), \\ &\qquad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0}] \\ &= [-8, 2, 2] \end{aligned} \]

3. Finn lengdene Lengden til en vektor er gitt ved: \[ \left|[a, b, c]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]Du finner den i videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| &= \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \\ \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{17} \end{aligned} \]

4. Løs for høyden Arealet av trekanten kan skrives på to måter: \[ \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot h \]

Løser vi for \( h\text{,} \) får vi: \[ h = \dfrac{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \dfrac{6\sqrt{34}}{17} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a), og \( A \) fra oppgaveteksten.

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-8, 2, 2] \\ &= -2 \cdot [4, -1, -1] \end{aligned} \]

Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi velger den enkleste: \[ \textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]} \]

2. Sett inn i planformelen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}(x - \textcolor{blue}{x_0}) + \textcolor{red}{b}(y - \textcolor{blue}{y_0}) \\ &+ \textcolor{red}{c}(z - \textcolor{blue}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] &= [\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{-1}, \textcolor{red}{-1}] \\ (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) &= (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{-1}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4}(x - \textcolor{blue}{1}) \textcolor{red}{{}- 1}(y - \textcolor{blue}{2}) \textcolor{red}{{}- 1}(z + \textcolor{blue}{1}) &= 0 \\ 4x - 4 - y + 2 - z - 1 &= 0 \\ 4x - y - z - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

En linje er parallell med et plan når retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren. Skalarproduktet må altså bli \( 0\text{.} \) Vi sjekker også at linja ikke ligger i selve planet.

1. Regn ut skalarproduktet Linja har retningsvektor \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} = \textcolor{blue}{[1, 1, 3]}}\text{,} \) og av likningen \( {4x - y - z - 3 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]}}\text{.} \)

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} \cdot \textcolor{red}{\vec{n}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) \\ &= 4 - 1 - 3 = 0 \end{aligned} \]

Linja står altså vinkelrett på normalvektoren, så den er parallell med planet eller ligger i det.

2. Sjekk at linja ligger utenfor planet Linja går gjennom origo. Setter vi inn \( (0, 0, 0) \) i likningen for planet, får vi: \[ 4 \cdot 0 - 0 - 0 - 3 = -3 \neq 0 \]

Origo ligger ikke i planet, så linja ligger ikke i planet, og den er parallell med det.

Vi bruker vektorproduktet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tre vektorer fra samme hjørne utspenner pyramiden, og volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|\left(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\right) \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}}\right| \]At en pyramide trenger en annen formel enn en boks, ser du i videoen Volum og Overflate.

I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [-8, 2, 2] \]

Den tredje vektoren går fra \( A \) til \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}} &= [-3 - 1, 0 - 2, 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{green}{[-4, -2, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|(-8)(\textcolor{green}{-4}) + 2(\textcolor{green}{-2}) + 2 \cdot \textcolor{green}{1}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|32 - 4 + 2\right| \\ &= \dfrac{30}{6} = 5 \end{aligned} \]

Vi finner vektorene mellom punktene, og så regner vi ut lengdene deres.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 3,\ 4 - 0,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 3,\ 0 - 0,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden til en vektor forteller oss at: \[ \left| [x,\ y,\ z] \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Videoen Lengden til en Vektor viser dette med to koordinater, og den tredje kommer bare med under roten.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-3})^2 + \textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{0}^2} \\ &= \sqrt{25} = 5 \\ \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 + \textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2} \\ &= \sqrt{13} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Arealet får vi fra vektorproduktet av de to vektorene ut fra \( A\text{,} \) og vinkelen fra skalarproduktet deres.

1. Regn ut vektorproduktet I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\quad \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3},\ \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= [\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0},\ \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\quad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-3})] \\ &= \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \right| \]

Plugger vi inn vektorproduktet, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \right| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{64 + 36 + 144} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos \angle A = \dfrac{\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}{\left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| \cdot \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right|} \]Se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 hvis du er usikker.

Skalarproduktet får vi ved å gange koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= (\textcolor{blue}{-3})(\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= 9 \end{aligned} \]

Plugger vi inn lengdene fra a), \( 5 \) og \( \sqrt{13}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle A &= \dfrac{9}{5\sqrt{13}} \\ \angle A &= \cos^{-1}\left(\dfrac{9}{5\sqrt{13}}\right) \\ &\approx 60{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker arealet av trekanten fra b).

I et parallellogram er motstående sider like vektorer. Diagonalen \( AC \) deler det i to like trekanter.

1. Finn punktet D Motstående sider i \( ABCD \) er parallelle og like lange, så: \[ \overrightarrow{AD} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \]

Vektoren \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \) er sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 4,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ -4,\ 2]} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går langs denne vektoren, som når vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= (3 + \textcolor{blue}{0},\ 0 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 0 + \textcolor{blue}{2}) \\ &= (3,\ -4,\ 2) \end{aligned} \]

2. Finn arealet Diagonalen \( AC \) deler parallellogrammet i to like store trekanter. I b) fant vi at \( \Delta ABC \) har arealet \( {T = \sqrt{61}}\text{.} \) Arealet \( G \) av parallellogrammet er to ganger det: \[ G = 2 \cdot T = 2 \cdot \sqrt{61} = 2\sqrt{61} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b), som står vinkelrett på grunnflata, og arealet fra c).

Vi setter opp volumet med vektorproduktet og vektoren fra \( A \) til toppunktet, og setter det lik \( 10\text{.} \) Volumet er positivt, så vi får to mulige fortegn.

1. Skriv opp volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]Videoen Volum og Overflate viser at volumet til et prisme er grunnflate ganger høyde. Pyramiden har en tredjedel av det.

I b) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{n}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]}}\text{,} \) som står vinkelrett på grunnflata. Lengden er \( {\sqrt{244} = 2\sqrt{61}}\text{,} \) det samme som arealet i c): \[ G = \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right| \]

Høyden er avstanden fra \( T \) til grunnflata. Det er lengden av projeksjonen av \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \) på \( \textcolor{green}{\vec{n}}\text{:} \) \[ h = \dfrac{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right|}{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \]

Ganger vi dem sammen, stryker \( {\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \) seg: \[ V = \dfrac{1}{3} \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right| \]

2. Plugg inn punktet T Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{red}{[t - 3,\ t,\ t]} \\ \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{green}{8}(\textcolor{red}{t - 3}) + \textcolor{green}{6}\textcolor{red}{t} + \textcolor{green}{12}\textcolor{red}{t} \\ &= 26t - 24 \end{aligned} \]

3. Løs for t Volumet skal være \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \left| 26t - 24 \right| &= 10 \\ \left| 26t - 24 \right| &= 30 \end{aligned} \]

Uttrykket inni kan være \( 30\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= 30 \\ 26t &= 54 \\ t &= \dfrac{27}{13} \end{aligned} \]

Det kan også være \( {-30}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= -30 \\ 26t &= -6 \\ t &= -\dfrac{3}{13} \end{aligned} \]

De to verdiene gir hvert sitt toppunkt, ett på hver side av grunnflata.

Overflaten avhenger av høyden, som vi ikke kjenner. Vi bruker volumet til å uttrykke høyden med \( x\text{,} \) og setter det inn i overflaten.

1. Finn høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = G \cdot \textcolor{green}{h} \]

Her er: \[ V = 300, \quad G = 3x \cdot x = 3x^2 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3x^2 \cdot \textcolor{green}{h} &= 300 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse er de seks sideflatene lagt sammen, som i videoen Volum og Overflate: \[ O = 2(\textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{green}{h} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h}) \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{l} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} O(x) &= 2\Big(\textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \\ &\qquad + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}}\Big) \\ &= 2\left(3x^2 + \dfrac{300}{x} + \dfrac{100}{x}\right) \\ &= \dfrac{800}{x} + 6x^2 \end{aligned} \]

3. Deriver ledd for ledd Vi skriver brøken som en potens, \( {\dfrac{800}{x} = 800x^{-1}}\text{,} \) og bruker potensregelen. Den forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {800x^{-1}} \) derivert blir: \[ \underline{800 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\dfrac{800}{x^2}} \]

\( 6x^2 \) derivert blir: \[ \underline{6 \cdot 2 \cdot x = 12x} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = 12x - \dfrac{800}{x^2} \]

Vi bruker uttrykkene for \( O(x) \) og \( O'(x) \) fra a).

Den minste overflaten finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) og vi sjekker fortegnet for å se at det er et bunnpunkt.

1. Sett den deriverte lik null I a) fant vi: \[ O'(x) = 12x - \dfrac{800}{x^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( x^2 \) på begge sider og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 12x - \dfrac{800}{x^2} &= 0 \\ 12x^3 &= 800 \\ x^3 &= \dfrac{200}{3} \\ x &= \sqrt[3]{\dfrac{200}{3}} \end{aligned} \]

Vi kaller denne verdien \( \textcolor{blue}{x_0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x_0} = \textcolor{blue}{\sqrt[3]{\dfrac{200}{3}}} \approx \textcolor{blue}{4{,}0548} \]

2. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(x) = \dfrac{12x^3 - 800}{x^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} x < \textcolor{blue}{x_0} &: \quad 12x^3 < 800 \Rightarrow O'(x) < 0 \\ x > \textcolor{blue}{x_0} &: \quad 12x^3 > 800 \Rightarrow O'(x) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og har dermed sin minste verdi i dette punktet.

3. Regn ut målene Vi regner med den uavrundede verdien av \( \textcolor{blue}{x_0}\text{,} \) og med høyden \( {h = \dfrac{100}{x^2}} \) fra a): \[ \begin{aligned} \text{Lengden} &= 3\textcolor{blue}{x_0} \approx 12{,}16 \\ \text{Bredden} &= \textcolor{blue}{x_0} \approx 4{,}05 \\ \text{Høyden} &= \dfrac{100}{\textcolor{blue}{x_0}^2} \approx 6{,}08 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{x_0} \) inn i \( O(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{x_0}) &= \dfrac{800}{\textcolor{blue}{x_0}} + 6\textcolor{blue}{x_0}^2 \\ &\approx 197{,}30 + 98{,}65 \\ &\approx 295{,}95 \end{aligned} \]

Volumet avhenger av høyden, som vi ikke kjenner. Vi bruker omkretsen til å uttrykke høyden med \( x\text{,} \) og setter det inn i volumet.

1. Finn høyden Omkretsen er alle fire sidene lagt sammen, som i videoen Volum og Overflate: \[ 2x + 2\textcolor{red}{h} = 24 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{12 - x} \]

2. Sett opp volumet Volumet av en sylinder forteller oss at: \[ V = \pi \textcolor{blue}{r}^2 \textcolor{red}{h} \]Formelen skriver vi opp i videoen Omdreninglegeme y-akse.

Rektangelet roterer om siden \( h\text{,} \) så \( h \) blir høyden i sylinderen, og bredden \( x \) blir radien. Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{12 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V(x) = \pi \textcolor{blue}{x}^2 (\textcolor{red}{12 - x}) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( V(x) \) står i oppgaveteksten.

Det største volumet finner vi der den deriverte er \( 0\text{.} \) Vi deriverer, løser likningen og sjekker med et fortegnsskjema at det er et toppunkt.

1. Deriver volumet Vi har: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi x^2 (12 - x) \\ &= \pi (12x^2 - x^3) \end{aligned} \]

Begge sidene i rektangelet må være positive, så: \[ 0 < x < 12 \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} V'(x) &= \pi (24x - 3x^2) \\ &= 3\pi \textcolor{darkorange}{x} (\textcolor{magenta}{8 - x}) \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {x > 0}\text{,} \) må den siste faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{8 - x} &= 0 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. \( 3\pi \) er positiv, så den endrer ikke fortegnet: :::fortegnsskjema {"points": [8], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{8 - x}", "expr": "8 - x"}, {"label": "V'(x)", "expr": "3*x*(8 - x)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 8} \) går \( V'(x) \) fra pluss til minus, så volumet vokser og så avtar. Der er altså det største volumet.

3. Regn ut volumet Vi setter inn \( {x = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(8) &= \pi \cdot 8^2 \cdot (12 - 8) \\ &= \pi \cdot 64 \cdot 4 = 256\pi \end{aligned} \]

Vi finner vektorene ved å trekke fra koordinatene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet.

1. Finn vektorene Vektoren fra \( C \) til et punkt er koordinatene til punktet minus koordinatene til \( C\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -4, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} = |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| \cdot |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Her er \( \textcolor{green}{v} \) vinkelen mellom vektorene. Regelen står i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi ganger koordinat for koordinat og legger sammen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} \\ &= -2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\ &= -2 + 12 = 10 \end{aligned} \]

3. Regn ut lengdene Lengden finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{20} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| &= \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{10} \end{aligned} \]

4. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker lengdene og vinkelen fra a).

Volumet er en tredel av grunnflaten ganger høyden. Grunnflaten finner vi med arealsetningen, og høyden kan vi lese av \( {z\text{-koordinatene.}} \)

1. Regn ut grunnflaten Arealsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{G} = \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C \]Her er \( CA \) og \( CB \) to sider, og \( C \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{20} \\ CB &= \sqrt{10} \\ \angle C &= 45^\circ \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{G} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

2. Finn høyden \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) har alle \( {z = 0}\text{,} \) så grunnflaten ligger i \( {xy\text{-planet.}} \) Høyden er derfor \( {z\text{-koordinaten}} \) til \( T\text{:} \) \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{5} \]

3. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser hvorfor \( {V = G \cdot h} \) ikke gjelder for en pyramide.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{25}{3} \]

Vi setter opp kryssproduktet som en determinant. Lengden av kryssproduktet er arealet av et parallellogram, og trekanten er halvparten.

1. Finn vektorene Siden \( A \) er origo, er vektorene de samme tallene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{blue}{[1, 2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten med enhetsvektorene i første rad. Det vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, et eksempel om curl, der kryssproduktet regnes slik: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \end{vmatrix} \]

Vi regner ut hver komponent: \[ \begin{aligned} \vec{i}: \quad & 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \\ \vec{j}: \quad & -(1 \cdot 0 - 5 \cdot 3) = 15 \\ \vec{k}: \quad & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{green}{[-5, 15, -5]} \]

3. Regn ut arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot |\textcolor{green}{[-5, 15, -5]}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{25 + 225 + 25} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{275} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker kryssproduktet fra c) som normalvektor.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet. Det er derfor en normalvektor, og \( A \) er et punkt i planet.

1. Finn normalvektoren I c) fant vi \( {\overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} = [-5, 15, -5]}\text{.} \) Vi kan dele på \( {-5} \) og få en enklere vektor med samme retning: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \]

2. Sett opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \\ (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{1}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x - 3y + z &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B(3, 1, 0) \) gir \( {3 - 3 + 0 = 0}\text{,} \) og \( T(1, 2, 5) \) gir \( {1 - 6 + 5 = 0}\text{.} \)

Vi skriver begge leddene som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen.

1. Skriv leddene som potenser En brøk med \( x \) i nevneren har negativ eksponent, og en rot kan skrives som en potens, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{3}{x}} &= \textcolor{red}{3x^{-1}} \\ \textcolor{blue}{4x^2\sqrt{x}} &= 4x^2 \cdot x^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {\textcolor{red}{3x^{-1}}} \) derivert blir: \[ 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}}} \]

\( \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \) derivert blir: \[ 4 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x^{\tfrac{3}{2}} = 10x^{\tfrac{3}{2}} = \underline{\textcolor{blue}{10x\sqrt{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}} - \textcolor{blue}{10x\sqrt{x}} \]

Nevneren er bare tallet \( 5\text{,} \) så vi trenger ikke kvotientregelen. Vi deriverer telleren og deler på \( 5\text{,} \) og leddet \( 2x^3 \cos x \) er et produkt.

1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{1}{5} \) utenfor en parentes: \[ g(x) = \dfrac{1}{5}\left(2x^3 \cos x + 1\right) \]

Konstanten \( 1 \) derivert blir \( 0\text{,} \) så vi står igjen med å derivere produktet.

2. Deriver produktet Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi bruker at \( \cos x \) derivert blir \( {-\sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x^2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(2x^3 \cos x)' \\ &= \textcolor{red}{6x^2} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{2x^3} \cdot (\textcolor{blue}{-\sin x}) \\ &= 6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x \end{aligned} \]

3. Sett sammen Vi deler på \( 5 \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x}{5} \]

Vi ser en brøk og potenser inni \( \ln\text{.} \) Med logaritmereglene blir uttrykket mye enklere å derivere, så vi skriver det om først.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) &= \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln(a^b) &= b \cdot \ln a \end{aligned} \]Du finner dem i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x^3}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \]

Plugger vi dette inn og bruker at \( {\ln e = 1}\text{,} \) får vi for \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k(x) &= \ln \textcolor{red}{x^3} - \ln \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \\ &= 3\ln x - (2x - 1) \cdot \ln e \\ &= 3\ln x - 2x + 1 \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( \ln x \) derivert blir \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Da får vi: \[ (3\ln x)' = \underline{\dfrac{3}{x}} \]

\( {-2x + 1} \) derivert blir: \[ (-2x + 1)' = \underline{-2} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ k'(x) = \dfrac{3}{x} - 2 \]

Volumet binder høyden til radien, så overflaten kan skrives med bare én variabel. Så finner vi bunnpunktet med den deriverte.

1. Uttrykk høyden med radien Vi regner i desimeter, siden \( 1 \) liter er \( 1\,\text{dm}^3\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = \pi r^2 \textcolor{green}{h} \]

Her er \( {V = 1}\text{.} \) Løser vi for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \pi r^2 \textcolor{green}{h} &= 1 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Sylinderen har bunn, men ikke lokk. Sideflaten rullet ut er et rektangel med bredde \( 2\pi r \) og høyde \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Overflaten er derfor: \[ O = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{green}{h} \]

Plugger vi inn høyden, får vi: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2}{r} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, med \( {\dfrac{2}{r} = 2r^{-1}}\text{:} \) \[ O'(r) = 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} &= 0 \\ 2\pi r^3 &= 2 \\ \textcolor{blue}{r^3} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(r) = \dfrac{2\pi r^3 - 2}{r^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} r^3 < \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) < 0 \\ r^3 > \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og den er derfor minst i dette punktet.

5. Finn forholdet Vi deler høyden på radien og setter inn \( \textcolor{blue}{r^3}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{h}}{r} = \dfrac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{\pi r^2} \cdot r} = \dfrac{1}{\pi \textcolor{blue}{r^3}} = \dfrac{1}{\pi \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}}} = 1 \]

Høyden må altså være like stor som radien.

Vi skriver volumet uttrykt med \( x \) og \( h\text{,} \) og setter det lik \( 200\text{.} \) Så løser vi for \( h\text{.} \)

1. Sett opp volumet Volumet av et prisme, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ V = G \cdot h = \textcolor{red}{l} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot h \]

Her er: \[ \textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}, \quad V = 200 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( h\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot h &= 200 \\ 4x^2 h &= 200 \\ h &= \dfrac{200}{4x^2} = \dfrac{50}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( h \) står i oppgaveteksten til a).

Vi legger sammen de seks sideflatene, og setter inn uttrykket for \( h\text{.} \)

1. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ O = 2(\textcolor{red}{l}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{red}{l}h + \textcolor{blue}{b}h) \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} O &= 2(\textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{4x}h + \textcolor{blue}{x}h) \\ &= 8x^2 + 10xh \end{aligned} \]

2. Sett inn høyden I a) viste vi at \( {h = \dfrac{50}{x^2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O(x) &= 8x^2 + 10x \cdot \dfrac{50}{x^2} \\ &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( O(x) \) står i oppgaveteksten til b).

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null. En fortegnslinje viser at punktet gir den minste overflaten.

1. Deriver overflaten I b) viste vi at \( {O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2}\text{.} \) Vi skriver \( {\dfrac{500}{x} = 500x^{-1}} \) og bruker regelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^n\right)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -500x^{-2} + 16x \\ &= -\dfrac{500}{x^2} + \dfrac{16x^3}{x^2} \\ &= \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2} \end{aligned} \]

2. Finn hvor den deriverte er null Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16x^3 &= 500 \\ x^3 &= \dfrac{125}{4} \\ x &= \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \end{aligned} \]

Fortegnslinjen setter vi opp som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Nevneren \( x^2 \) er positiv for \( {x > 0}\text{,} \) så fortegnet følger telleren: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [3.149802624737183], "labels": ["\\dfrac{5}{\\sqrt[3]{4}}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-500 + 16x^3}", "expr": "-500 + 16*x^3"}, {"label": "O'(x)", "expr": "(-500 + 16*x^3)/x^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( O'(x) \) går fra minus til pluss: overflaten synker og så stiger, så her er den minst.

3. Regn ut målene Bredden er \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}}\text{.} \) Det gir oss lengden og høyden: \[ \begin{aligned} l &= 4x = \dfrac{20}{\sqrt[3]{4}} \approx 12{,}60 \\ b &= x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \approx 3{,}15 \\ h &= \dfrac{50}{x^2} = 2\sqrt[3]{16} \approx 5{,}04 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter inn \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}} \) og \( {x^2 = \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \\ &= 500 \cdot \dfrac{\sqrt[3]{4}}{5} + 8 \cdot \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}} \\ &= 100\sqrt[3]{4} + \dfrac{200}{\sqrt[3]{16}} \end{aligned} \]

Siden \( {\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} = 4}\text{,} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O &= 100\sqrt[3]{4} + 50\sqrt[3]{4} \\ &= 150\sqrt[3]{4} \approx 238{,}1 \end{aligned} \]