Forkurs matematikk konteeksamen 2018 – løsningsforslag

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]

Vi setter \( {x = 0} \) for \( {y\text{-aksen}} \) og \( {f(x) = 0} \) for \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn skjæringspunktene Med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{0}) = \dfrac{\textcolor{blue}{0}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{0} - 1} = 0 \]

Med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Nevneren er \( {-1} \) for \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{,} \) så brøken finnes der. Begge gir samme punkt, origo.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon for å finne en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Telleren er \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 0} \) der, så \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 + 0x} \) på \( {(2x - 1)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \cdot (2x - 1) &= x^2 - \dfrac{1}{2}x \\ -(x^2 - \dfrac{1}{2}x) &= \textcolor{red}{-x^2 + \dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \dfrac{1}{2}x & \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) og \( {0x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}x}\text{.} \) Linja \( \dfrac{1}{2}x \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \cdot (2x - 1) &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \\ -(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}) &= \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{\dfrac{1}{2}x}} & \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-\dfrac{1}{2}x}} & \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \\ \hline & & \dfrac{1}{4} \end{array} \end{array} \]\( \dfrac{1}{2}x \) strykes mot \( {-\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) og \( {0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}}\text{.} \) Tallet \( \dfrac{1}{4} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( \dfrac{1}{4} \) er restleddet.

3. Les av den skrå asymptoten Restleddet delt på nevneren legges til svaret: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} + \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \]

Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, blir nevneren i den siste brøken stor i tallverdi, og brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \to 0 \]

Da nærmer grafen seg linja \( {y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}}\text{,} \) og det er den skrå asymptoten. Siden \( |f(x)| \) vokser uten grense, har grafen ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{2x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2x}(\textcolor{blue}{2x - 1}) - \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{2}}{(\textcolor{blue}{2x - 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x(x - 1)}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn ekstremalpunktene For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 1)} &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 0.5, 1], "labels": ["0", "\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "(2x - 1)^2", "expr": "(2x - 1)^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "2x(x - 1)/(2x - 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor \( f'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-verdiene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{0^2}{2 \cdot 0 - 1} = 0 \\ f(1) &= \dfrac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = 1 \end{aligned} \]

Vi bruker polynomdivisjonen fra b), som gir oss \( f(x) \) skrevet som ledd vi kan integrere.

Arealet under grafen er et bestemt integral. Vi integrerer ledd for ledd.

1. Sett opp integralet For \( x \) mellom \( 1 \) og \( 2 \) er både telleren og nevneren positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor integralet, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 f(x) \, dx \]

I b) fant vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2x - 1}} \]

2. Integrer ledd for ledd Reglene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Den gjelder også konstanten, siden \( {\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}x^0}\text{.} \)

Brøken følger regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, med en faktor \( \dfrac{1}{2} \) fordi kjernen \( {2x - 1} \) har derivert \( 2\text{:} \) \[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Her er \( {2x - 1 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdien. Leddene gir: \[ A = \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}x^2} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)}\right]_1^2 \]

3. Sett inn grensene Vi setter inn øvre og nedre grense, med \( {\ln 1 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\textcolor{red}{1} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln 3}\right) \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{0}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3 \end{aligned} \]

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi ganger opp nevneren og får en andregradslikning.

1. Sett funksjonene like Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og ganger med nevneren, som ikke er \( 0 \) for \( {x \neq \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{2x - 1} &= x \\ x^2 &= x(2x - 1) \\ x^2 &= 2x^2 - x \\ 0 &= x^2 - x \end{aligned} \]

2. Faktoriser og finn punktene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor som felles faktor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x}(x - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

\( {y\text{-verdien}} \) finner vi i \( {g(x) = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(0) &= 0 \\ g(1) &= 1 \end{aligned} \]

Vi finner vektorene og lengdene først. Vinkelen får vi så fra skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [6 - 3, 1 - 2, -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 3, 4 - 2, 0 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn lengdene Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-3})^2} \\ &= \sqrt{19} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}| &= \sqrt{\textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\ &= 0 - 2 + 6 = 4 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{4}{\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{38}} \\ v &= \arccos \dfrac{2}{\sqrt{38}} \approx 71{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) fra a).

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vi setter derfor \( {\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}} \) og løser for \( C\text{.} \)

1. Sett opp vektorene I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \]

Vi kaller \( {C = (x, y, z)}\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?, gir: \[ \overrightarrow{DC} = [x - 3, y - 4, z - 0] \]

2. Løs for koordinatene \( ABCD \) er et parallellogram når \( {\overrightarrow{DC} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vi setter koordinatene like hver for seg: \[ \begin{aligned} x - 3 &= \textcolor{blue}{3} & &\Rightarrow & x &= 6 \\ y - 4 &= \textcolor{blue}{-1} & &\Rightarrow & y &= 3 \\ z &= \textcolor{blue}{-3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AD} \) fra a).

Arealet av et parallellogram utspent av to vektorer er lengden av kryssproduktet. Vi regner ut kryssproduktet og tar lengden.

1. Regn ut kryssproduktet Arealet av parallellogrammet utspent av \( \textcolor{blue}{\vec{a}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{b}} \) er: \[ G = |\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}| \]

Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Hvis du vil se kryssproduktet regnet som determinant, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2} = 8 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) = 6 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} = 6 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] \]

2. Finn lengden Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} G &= \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} \\ &= 2\sqrt{34} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går \( t \) ganger retningsvektoren \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Finn retningsvektoren Med \( A(3, 2, 2) \) og \( {C(6, 3, -3)} \) fra b) gir sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [6 - 3, 3 - 2, -3 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, 1, -5]} \end{aligned} \]

2. Sett opp parameterframstillingen Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi starter i \( \textcolor{red}{A} \) og går \( t \) ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{3}t \\ y &= \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1}t \\ z &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{{}- 5}t \end{aligned} \]

Vi regner ut midtpunktet til hvert av de to punktparene og ser at de er like.

1. Finn begge midtpunktene Midtpunktet mellom to punkter er gjennomsnittet av koordinatene: \[ M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}, \dfrac{z_1 + z_2}{2}\right) \]Vi legger sammen koordinatene hver for seg og deler på \( 2\text{,} \) slik vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

Med \( \textcolor{blue}{A(3, 2, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{C(6, 3, -3)}} \) får vi: \[ \begin{aligned} M &= \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3 + 6}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 - 3}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{B(6, 1, -1)}} \) og \( \textcolor{red}{D(3, 4, 0)} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{\textcolor{red}{6 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{1 + 4}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{-1 + 0}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Punktene er like, så \( M \) er også midtpunktet mellom \( B \) og \( D\text{.} \)

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \) fra c).

Høyden er avstanden fra \( T \) til planet grunnflaten ligger i. Vi finner likningen til planet, og bruker avstandsformelen.

1. Finn likningen til planet Kryssproduktet står vinkelrett på begge vektorene i grunnflaten, så det er en normalvektor. I c) fant vi: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] = 2 \cdot \textcolor{blue}{[4, 3, 3]} \]

Planet gjennom et punkt med en normalvektor har likningen, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her er normalvektoren den enkleste, og punktet er \( A\text{:} \) \[ [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] = \textcolor{blue}{[4, 3, 3]}, \quad A = (\textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}) \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4}(x - \textcolor{red}{3}) + \textcolor{blue}{3}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{blue}{3}y + \textcolor{blue}{3}z - 24 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk avstandsformelen Avstanden fra et punkt \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{blue}{b}y + \textcolor{blue}{c}z + d = 0} \) er: \[ h = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{c}\textcolor{red}{z_0} + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{blue}{c}^2}} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{4}, \ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{3}, \ \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{3}, \ d = -24 \\ T &= (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{5}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} - 24|}{\sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{3}^2}} \\ &= \dfrac{|16 + 6 + 15 - 24|}{\sqrt{34}} \\ &= \dfrac{13}{\sqrt{34}} \end{aligned} \]

Vi kjenner sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden, og det er en betinget sannsynlighet. Vi ganger den med sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden.

1. Skriv opp det vi vet Vi kaller hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) (motorsykkelen er i orden) og \( \textcolor{red}{G} \) (god dagsform). Oppgaveteksten gir: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) &= 0{,}30 \\ P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}25 \\ P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) &= 0{,}40 \end{aligned} \]

\( P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \) betyr sannsynligheten for \( \textcolor{red}{G} \) når vi vet at \( \textcolor{blue}{M} \) har skjedd, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

2. Bruk produktsetningen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}30 \cdot 0{,}40 = 0{,}12 \]

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene hver for seg. Vi sjekker om det stemmer her.

1. Sjekk kravet Hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) og \( \textcolor{red}{G} \) er uavhengige hvis og bare hvis: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) \]

Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}30 \cdot 0{,}25 = 0{,}075 \\ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) &= 0{,}12 \end{aligned} \]

De to er ulike: \[ 0{,}12 \neq 0{,}075 \]

Det å vite at motorsykkelen er i orden endrer altså sannsynligheten for god dagsform, fra \( 0{,}25 \) til \( 0{,}40\text{.} \) At en betingelse kan endre sannsynligheten, ser du i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

Nå vet vi at \( G \) har skjedd, så vi bruker formelen for betinget sannsynlighet andre veien.

1. Bruk formelen Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G})}{P(\textcolor{red}{G})} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Eks 2.

Her er: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}12, \quad P(\textcolor{red}{G}) = 0{,}25 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{0{,}12}{0{,}25} = 0{,}48 \]

Vi følger én tablett om gangen og ser hvor mye som er igjen av den etter hvert døgn. Mengden i kroppen er summen av det som er igjen av alle tablettene.

1. Følg én tablett Bryter kroppen ned \( 20\,\% \text{,} \) er \( 80\,\% \) igjen. Etter hvert døgn ganger vi derfor med \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{ny} &: \ 1{,}5 \\ \text{etter 1 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \text{etter 2 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^2 \end{aligned} \]

2. Legg sammen alle tablettene Like etter at Emma har tatt en tablett, har hun den nye, den fra i går, den fra i forgårs og så videre i kroppen. Hvert ledd i rekka er det som er igjen av én tablett. Etter \( n \) tabletter er mengden derfor summen av de \( n \) første leddene: \[ 1{,}5 + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} + \ldots + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^{n - 1} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{,} \) så rekka er geometrisk, som i videoen Geometriske rekker intro. Fortsetter kuren, får vi flere og flere ledd i rekka.

Vi leser av første ledd og kvotienten. Så bruker vi formelen for ledd nummer \( n \) og formelen for summen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}80}{1{,}5} = \textcolor{blue}{0{,}80} \]

Første ledd er \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1{,}5}}\text{.} \)

2. Finn ledd nummer seks Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{k}^{\,n - 1} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometriske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ a_6 = \textcolor{red}{1{,}5} \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^5 = 0{,}49152 \]

3. Finn summen Formelen for summen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^n\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_6 &= \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}\left(1 - \textcolor{blue}{0{,}80}^6\right)}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} \\ &= \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}737856}{0{,}20} \\ &= 5{,}53392 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {a_1 = 1{,}5} \) og \( {k = 0{,}80} \) fra e).

Fortsetter kuren for lenge, blir rekka uendelig. Vi sjekker om den konvergerer, og sammenligner summen med grensen.

1. Sjekk at rekka konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| = \textcolor{blue}{0{,}80} < 1 \]

2. Regn ut den uendelige summen Summen av en uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} = 7{,}5 \]

Alle leddene er positive, så mengden vokser mot \( 7{,}5 \) mg uten å nå dit: \[ S_n < 7{,}5 < 10 \]

Emma overskrider derfor ikke grensen på \( 10 \) mg, uansett hvor lenge kuren varer.