Forkurseksamen etter tema

Kvotienten er et ledd delt på leddet foran. Så bruker vi formelen for summen av en konvergent geometrisk rekke.

1. Finn kvotienten Kvotienten i en geometrisk rekke er: \[ k = \dfrac{\textcolor{red}{a_{n + 1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \]Hvis du er usikker på kvotienten, kan du se videoen Geometriske rekker intro.

Vi deler andre ledd på første, og tredje på andre: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 + x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}} \\ &= (1 + x) \cdot \dfrac{1 - x}{1 + x} = 1 - x \\ k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 - x^2}}{\textcolor{blue}{1 + x}} \\ &= \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{1 + x} = 1 - x \end{aligned} \]Vi får den samme kvotienten, så rekka er geometrisk.

2. Finn summen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ s = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Den kommer fram i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}, \qquad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}}{1 - (\textcolor{green}{1 - x})} = \dfrac{\dfrac{1 + x}{1 - x}}{x} \\ &= \dfrac{1 + x}{x(1 - x)} = \dfrac{1 + x}{x - x^2} \end{aligned} \]

I a) fant vi kvotienten \( {k = 1 - x}\text{.} \)

En geometrisk rekke konvergerer når \( {|k| < 1}\text{.} \) I tillegg må alle leddene være definert.

1. Bruk konvergenskravet Kravet forteller oss at: \[ |\textcolor{green}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på kravet, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x}} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{green}{1 - x} &< 1 \\ -2 < -x &< 0 \\ 0 < x &< 2 \end{aligned} \]

2. Sjekk at leddene er definert Første ledd har nevneren \( {1 - x}\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x \neq 1 \]

Merk – Spesialtilfelle: For \( {x = -1} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så den spesielle rekka konvergerer også, selv om den ikke har noen kvotient.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( s(x) \) står i oppgaveteksten i a). Vi bruker også konvergensområdet fra b).

Vi setter uttrykket for summen lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{,} \) løser likningen og sjekker hvilke løsninger som ligger der rekka konvergerer.

1. Sett opp likningen Vi setter summen fra a) lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{1 + x}{x - x^2} = -\dfrac{10}{3} \]

Vi kryssmultipliserer og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} 3(1 + x) &= -10(x - x^2) \\ 3 + 3x &= -10x + 10x^2 \\ 0 &= \textcolor{blue}{10}x^2 \textcolor{red}{{}- 13}x \textcolor{green}{{}- 3} \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{10}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-13}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{13 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-13})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{10} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{10}} \\ &= \dfrac{13 \pm \sqrt{289}}{20} = \dfrac{13 \pm 17}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = \dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = -\dfrac{1}{5} \]

3. Sjekk konvergensområdet Fra b) konvergerer rekka for \( {0 < x < 1} \) og \( {1 < x < 2}\text{.} \) Vi sjekker begge løsningene: \[ \begin{aligned} x_1 = \dfrac{3}{2}\text{:} \ \ &1 < \dfrac{3}{2} < 2, \text{ gyldig} \\ x_2 = -\dfrac{1}{5}\text{:} \ \ &k = \dfrac{6}{5} > 1, \text{ ikke gyldig} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{(x + 1)^2}{4} \cdot \dfrac{2}{x + 1} = \textcolor{red}{\dfrac{x + 1}{2}} \]

2. Bruk konvergenskriteriet En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{x + 1}{2}} &< 1 \\ -2 < x + 1 &< 2 \\ -3 < x &< 1 \end{aligned} \]

Kvotienten kan ikke regnes ut for \( {x = -1}\text{,} \) der alle leddene er \( 0\text{.} \) Rekka har da summen \( 0\text{,} \) så den konvergerer også der, og \( {-1} \) ligger i intervallet.

Vi bruker fra a) at \( {k = \dfrac{x + 1}{2}} \) og at rekka konvergerer for \( {-3 < x < 1}\text{.} \)

\( {x = -2} \) ligger i intervallet fra a), så rekka har en sum. Vi finner første ledd og kvotienten, og setter dem inn i sumformelen.

1. Finn første ledd og kvotient Vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{-2 + 1}{2} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{-2 + 1}{2} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {|k| < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du vil se hvordan den brukes, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}}{1 - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right)} = \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi går gjennom linje 4 og 5, som er selve løkka. Linje 4 sier hvor mange ganger den kjører, og linje 5 hva som skjer hver gang.

1. Se hvor mange ganger den kjører Et program gjør én ting om gangen, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 lar \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) gå gjennom tallene i \( \texttt{range(1,31)}\text{.} \) Der er 1 med, mens 31 ikke er med, så: \[ \textcolor{blue}{n} = 1, 2, 3, \dots, 30 \]Det er \( 30 \) verdier, så løkka kjører \( 30 \) ganger.

2. Se hva linje 5 gjør I en geometrisk rekke er ledd nummer \( \textcolor{blue}{n} \) gitt ved: \[ \textcolor{red}{a_n} = a_1 \cdot k^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Det er nettopp det som står etter plusstegnet i linje 5, der to stjerner betyr «opphøyd i». Linja regner ut ledd nummer \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) og legger det til summen \( \texttt{s}\text{,} \) som starter på \( 0\text{.} \) Med \( {a_1 = 1} \) og \( {k = 1{,}2} \) blir summen til slutt: \[ s = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1{,}2} + \textcolor{red}{1{,}2^2} + \dots + \textcolor{red}{1{,}2^{29}} \]

I a) så vi at programmet legger sammen de \( 30 \) første leddene i den geometriske rekka.

Å legge sammen \( 30 \) ledd for hånd tar for lang tid, så vi bruker formelen for summen av en geometrisk rekke.

1. Skriv opp sumformelen Summen av de \( \textcolor{green}{n} \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}2}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30} \]

2. Regn ut summen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{\textcolor{green}{30}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}2}^{\textcolor{green}{30}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}2} - 1} \\ &\approx \dfrac{237{,}3763 - 1}{0{,}2} \\ &\approx 1181{,}9 \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{e^{-x}}{1} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

2. Bruk konvergenskravet Kravet for konvergens forteller oss at: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \]Se videoen Geometrisk rekke test hvis du er usikker.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ |\textcolor{blue}{e^{-x}}| < 1 \]

Siden \( {e^{-x}} \) alltid er positiv, trenger vi bare at den er mindre enn \( {1 = e^0}\text{.} \) Funksjonen \( e^u \) er voksende, så vi kan sammenligne eksponentene: \[ \begin{aligned} e^{-x} &< e^0 \\ -x &< 0 \\ x &> 0 \end{aligned} \]

Vi bruker kvotienten og konvergenskravet fra a).

Vi setter summen av den uendelige rekken lik \( 3 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Sett opp summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er, med kvotienten fra a): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

Plugger vi dette inn og setter summen lik \( 3\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1}}{1 - \textcolor{blue}{e^{-x}}} = 3 \]

2. Løs for x Ganger vi begge sider med nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} 1 &= 3 - 3e^{-x} \\ 3e^{-x} &= 2 \\ e^{-x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} -x &= \ln \dfrac{2}{3} \\ x &= -\ln \dfrac{2}{3} = \ln \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\dfrac{3}{2} > 1} \) er \( {x > 0}\text{,} \) så rekken konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \)

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( n \)-te leddet. Trekker vi dem fra hverandre, forsvinner \( a_1\text{.} \)

1. Finn differansen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den øverste fra den nederste, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Vi setter \( \textcolor{red}{d} \) inn i den øverste likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{7}{3} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ s_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad n = 40 \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \dfrac{1}{3} + 39 \cdot \dfrac{1}{3} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s_{40} &= \dfrac{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right) \cdot 40}{2} \\ &= \dfrac{41}{3} \cdot 20 = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten er mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

Det neste leddet stemmer, og \( {x \neq 0} \) siden vi deler på \( x^2\text{:} \) \[ (x^2 - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \]

2. Sett opp konvergenskravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \quad \iff \quad -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten som to ledd og setter den inn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} &= \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \\ -1 &< \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} < 1 \end{aligned} \]

3. Løs de to ulikhetene Høyre side holder alltid, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \quad \iff \quad \dfrac{1}{x^2} > 0 \]

Venstre side gir oss kravet. Vi ganger med \( x^2\text{,} \) som er positiv, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{1}{x^2} \\ \dfrac{1}{x^2} &< 2 \\ 1 &< 2x^2 \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Roten av \( \dfrac{1}{2} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så det gir oss: \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter opp summen av den uendelige rekka, setter den lik \( 4 \) og sjekker at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er, med kvotienten fra b): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

2. Finn summen Vi regner først ut nevneren: \[ 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \]

3. Sett summen lik fire Det gir oss likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

Her kan \( x^2 \) ikke være \( {-2}\text{,} \) siden et kvadrat aldri er negativt. Begge svarene ligger i konvergensintervallet fra b), siden \( {\sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \)

Fra ledd nummer \( 8 \) til ledd nummer \( 27 \) legger vi til \( d \) nitten ganger. Det gir \( d\text{,} \) og deretter \( a_1 \) og summen.

1. Finn differansen Formelen for ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1)\textcolor{blue}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Vi skriver opp de to leddene vi kjenner: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7\textcolor{blue}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} + 26\textcolor{blue}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{blue}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{blue}{d} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Setter vi dette inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{red}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {n = 40}\text{,} \) og det siste leddet er: \[ \textcolor{green}{a_{40}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den doble ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}}, \quad x \neq 0 \]

2. Sett opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten om: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2} \]

3. Løs de to ulikhetene \( {\textcolor{blue}{k} < 1} \) er alltid oppfylt, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \]

\( {\textcolor{blue}{k} > -1} \) gir oss, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - \dfrac{1}{x^2} &> -1 \\ 2 &> \dfrac{1}{x^2} \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss, med \( {\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter inn i sumformelen for en konvergent geometrisk rekke, forenkler og setter summen lik \( 4\text{.} \) Så sjekker vi at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent geometrisk rekke forteller oss at: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{1 - \left(\textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}}\right)} \\ &= \dfrac{x^2}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \end{aligned} \]

2. Sett summen lik 4 Vi løser likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

\( {x^2 = -2} \) har ingen løsning, så den er ikke med.

3. Sjekk konvergensintervallet I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {|x| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og det holder her: \[ \sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Begge løsningene er altså med.

Koeffisienten \( k \) er et ledd delt på leddet foran. Vi regner ut begge kvotientene og viser at begge blir \( 2\cos\dfrac{x}{2}\text{.} \)

1. Skriv opp leddene Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{red}{a_2} &= \textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{green}{a_3} &= \textcolor{green}{\sin x} \end{aligned} \]Vi regner for de \( x \) der leddene finnes og ikke er \( 0\text{.} \)

2. Del andre ledd på første Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_2}}{\textcolor{blue}{a_1}} &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}}} \\ &= \sin\dfrac{x}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]

3. Del tredje ledd på andre Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2u) = 2\sin u \cos u \]

Her er \( {u = \dfrac{x}{2}}\text{,} \) så \( {2u = x}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\sin x} = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{green}{a_3}}{\textcolor{red}{a_2}} &= \dfrac{\textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}} \\ &= \dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]

Begge kvotientene blir det samme, så \( k \) er den samme mellom \( a_1 \) og \( a_2\text{,} \) og mellom \( a_2 \) og \( a_3\text{.} \)

Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a).

En geometrisk rekke konvergerer når \( k \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi setter inn \( k \) og finner hvilke \( x \) det gir.

1. Skriv opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \Leftrightarrow -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{k = 2\cos\dfrac{x}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 &< \textcolor{blue}{2\cos\dfrac{x}{2}} < 1 \\ -\dfrac{1}{2} &< \cos\dfrac{x}{2} < \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Vi setter \( {\textcolor{red}{u} = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Siden \( {0 \le x < 4\pi}\text{,} \) er \( {0 \le \textcolor{red}{u} < 2\pi}\text{.} \) Der er: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{red}{u} = \dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \\ \cos \textcolor{red}{u} = -\dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3} \end{aligned} \]Tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser hvordan cosinus går fra \( 1 \) ned til \( {-1} \) og opp igjen.

Cosinus synker fra \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{3} \) til \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{2\pi}{3}\text{,} \) og stiger igjen fra \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{4\pi}{3} \) til \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{5\pi}{3}\text{.} \) Enhetssirkelen brukes til dette i videoen Oppgave 2B - Løs ulikheten. Cosinus ligger altså mellom \( {-\dfrac{1}{2}} \) og \( \dfrac{1}{2} \) for: \[ \dfrac{\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{2\pi}{3} \quad \text{eller} \quad \dfrac{4\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{5\pi}{3} \]

3. Gå tilbake til x Vi ganger med \( 2\text{,} \) siden \( {x = 2\textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3} \quad \text{eller} \\ &\dfrac{8\pi}{3} < x < \dfrac{10\pi}{3} \end{aligned} \]

I første ledd står \( \tan\dfrac{x}{2}\text{,} \) som ikke finnes når \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2}} \) eller \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{3\pi}{2}}\text{.} \) Disse to verdiene må vi derfor ta ut: \[ x \ne \pi, \quad x \ne 3\pi \]

Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a) og konvergensområdet fra b).

Vi sjekker først at rekka konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \) Så setter vi første ledd og \( k \) inn i sumformelen.

1. Sjekk at rekka konvergerer I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3}} \) med \( x \ne \pi\text{.} \) Her er: \[ \dfrac{4\pi}{6} < \dfrac{5\pi}{6} < \dfrac{6\pi}{6} = \pi \]

2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer, er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{5\pi}{12}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og ganger med \( 2 \) oppe og nede, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}}}{1 - \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}}} \\ &= \dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{12}}{2 - 4\cos\dfrac{5\pi}{12}} \\ &\approx 3{,}87 \end{aligned} \]Tallet er avrundet til to desimaler, med kalkulatoren stilt på radianer.

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet. Da får vi to likninger med \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp to likninger Formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn d og a1 Vi trekker den første likningen fra den andre, så \( \textcolor{blue}{a_1} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

Vi setter dette inn i den første likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Finn summen Sumformelen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} n &= 40 \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2} = 1 - \dfrac{2}{x^2} \]

Rekken er bare definert for \( {x \neq 0}\text{,} \) siden \( x^2 \) står i nevneren.

2. Sett opp kravet Konvergenskravet forteller oss at: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]Du ser det i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) får vi: \[ -1 < \textcolor{blue}{1 - \dfrac{2}{x^2}} < 1 \]

3. Løs de to ulikhetene Den høyre ulikheten holder alltid, siden \( {\dfrac{2}{x^2} > 0} \) for \( {x \neq 0}\text{:} \) \[ 1 - \dfrac{2}{x^2} < 1 \]

Den venstre gir, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{2}{x^2} \\ \dfrac{2}{x^2} &< 2 \\ 2 &< 2x^2 \\ 1 &< x^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 1 \]

Forskjellen mellom leddene er alltid \( 2\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekka har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{2}, \quad a_n = 129 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 129 &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{2} \\ 124 &= 2(n - 1) \\ 62 &= n - 1 \\ n &= 63 \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en aritmetisk rekke, som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel, er gitt ved: \[ S_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + a_n) \cdot n}{2} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{63} &= \dfrac{(\textcolor{blue}{5} + 129) \cdot 63}{2} \\ &= 67 \cdot 63 = 4221 \end{aligned} \]

Etter det første fallet går ballen hver høyde to ganger, opp og ned. Høydene er en uendelig geometrisk rekke, så vi bruker summen av den.

1. Sett opp distansen Høyden blir ganget med \( \textcolor{red}{0{,}8} \) for hvert sprett. Høydene etter sprettene er: \[ \textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + 1{,}024 + \cdots \]

Ballen faller \( 2 \) meter først, og går så hver av disse høydene to ganger: \[ s = 2 + 2\left(\textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + \cdots\right) \]

2. Summer den uendelige rekka En geometrisk rekke konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test. Da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}6}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}6}}{1 - \textcolor{red}{0{,}8}} = \dfrac{1{,}6}{0{,}2} = 8 \]

3. Regn ut totalen \[ s = 2 + 2 \cdot 8 = 18 \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten har absoluttverdi mindre enn \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{1}{x + 1} \]Her må \( {x \neq -1}\text{,} \) ellers finnes ikke brøken.

2. Bruk konvergenskravet Rekka konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ \left|\textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 1}}\right| < 1 \]

Ganger vi med \( {|x + 1|}\text{,} \) som er positiv, får vi: \[ 1 < |x + 1| \]

3. Løs ulikheten Absoluttverdien er større enn \( 1 \) når \( {x + 1} \) er større enn \( 1 \) eller mindre enn \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 1 > 1 \ &\Rightarrow \ x > 0 \\ x + 1 < -1 \ &\Rightarrow \ x < -2 \end{aligned} \]