Forkurs matematikk konteeksamen 2026 – løsningsforslag

Brøkene har ulike nevnere. Vi setter dem derfor på felles brøkstrek, med fellesnevneren \( {x(2x - 3)}\text{.} \)

1. Finn fellesnevneren Vi utvider hver brøk med den nevneren den mangler, som i videoen Oppgave 3C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \dfrac{6 \cdot \textcolor{blue}{x}}{(2x - 3) \cdot \textcolor{blue}{x}} - \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}}{x \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}} \]

2. Trekk sammen Nå har brøkene samme nevner, så vi kan trekke sammen tellerne: \[ \begin{aligned} &\dfrac{6x - 3(2x - 3)}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{6x - 6x + 9}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{9}{x(2x - 3)} \end{aligned} \]

Alle leddene har \( x \) som faktor, så vi setter den utenfor. Siden \( {x = 4} \) er et nullpunkt, går divisjonen med \( {(x - 4)} \) opp, og det som står igjen, faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Sett x utenfor Vi setter \( x \) utenfor parentesen: \[ P(x) = x(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) \]

Nullpunktssetningen forteller oss at hvis \( r \) er et nullpunkt, er polynomet delelig med \( {(x - r)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &P(4) = 0 \\ &\Rightarrow \ (x - 4) \text{ er en faktor} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på nullpunktssetningen, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24} \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{-2x^3} + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-2x^3}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{-2x^2} \\ \textcolor{red}{-2x^2} \cdot (x - 4) &= -2x^3 + 8x^2 \\ -(-2x^3 + 8x^2) &= \textcolor{red}{2x^3 - 8x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( {-2x^3} \) strykes mot \( 2x^3\text{,} \) \( {9x^2 - 8x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2x \) og \( {-24}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 4) &= x^2 - 4x \\ -(x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 6x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {2x + 4x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-24}\text{.} \) Linja \( {6x - 24} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{6} \cdot (x - 4) &= 6x - 24 \\ -(6x - 24) &= \textcolor{blue}{-6x + 24} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}+ 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}- 24 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 24} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {-24 + 24 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24 \\ &= (x - 4)(-2x^2 + x + 6) \end{aligned} \]

3. Finn de to siste nullpunktene Vi setter \( {-2x^2 + x + 6 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-2})} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{-4} = \dfrac{-1 \pm 7}{-4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -\dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = 2 \]

4. Sett sammen faktorene Et andregradsuttrykk kan skrives slik: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}} \) og nullpunktene, får vi: \[ \begin{aligned} &-2x^2 + x + 6 \\ &= \textcolor{blue}{-2}\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 2) \\ &= -(2x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med \( x \) og \( {(x - 4)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(x) = -&x(x - 4) \\ &\cdot (x - 2)(2x + 3) \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Den deriverte av \( \sin t \) er \( \cos t\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{t} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin t} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos t} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= \textcolor{red}{t} \cdot \textcolor{blue}{\cos t} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin t} \\ &= t\cos t + \sin t \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det en brøk, så vi bruker kjerneregelen med brøken som kjerne. Den deriverte av kjernen finner vi med kvotientregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen For \( \ln \) av en kjerne \( \textcolor{green}{w} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{w})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{w}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 3 \) blir stående som en faktor, slik videoen Kvotientregelen oppgave viser.

Kjernen er: \[ \textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} \]

2. Deriver kjernen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Den samme oppgaven med \( \ln \) av en brøk er i videoen Kvotientregelen oppgave.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w'} &= \dfrac{\textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen Plugger vi \( \textcolor{green}{w} \) og \( \textcolor{green}{w'} \) inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 3 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{x}{x^2 + 1} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Vi forkorter \( x \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{3(x^2 - 1)}{x(x^2 + 1)} \]

For å skrive opp tangenten trenger vi \( f(1) \) og \( f'(1)\text{.} \) Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x + 1}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 1})^2} \\ &= \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(1) &= \dfrac{e^1}{1 + 1} = \dfrac{e}{2} \\ f'(1) &= \dfrac{1 \cdot e^1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

3. Skriv opp tangenten Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = a} \) er: \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{e}{4}(x - 1) + \dfrac{e}{2} \\ &= \dfrac{e}{4}x - \dfrac{e}{4} + \dfrac{2e}{4} \\ &= \dfrac{e}{4}x + \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

Fra figuren leser vi at parabelen har nullpunktene \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Stigningen i \( {x = 0} \) gir oss konstanten, og så finner vi toppunktet med den deriverte.

1. Sett opp parabelen En parabel med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives slik: \[ h(x) = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 3}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} h(x) &= \textcolor{blue}{a} \cdot x(x - 3) \\ &= \textcolor{blue}{a}x^2 - 3\textcolor{blue}{a}x \end{aligned} \]

2. Bruk stigningen i null Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ h'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x - 3\textcolor{blue}{a} \]

Vi vet at \( {h'(0) = \dfrac{1}{10}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} h'(0) = -3\textcolor{blue}{a} &= \dfrac{1}{10} \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{30}} \end{aligned} \]

Parabelen og den deriverte er derfor: \[ \begin{aligned} h(x) &= -\dfrac{1}{30}x^2 + \dfrac{1}{10}x \\ h'(x) &= -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} \end{aligned} \]

3. Finn det høyeste punktet Vi setter \( {h'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} &= 0 \\ x &= \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) vender parabelen ned, så dette er toppunktet. Vi setter inn: \[ \begin{aligned} h\left(\dfrac{3}{2}\right) &= -\dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= -\dfrac{3}{40} + \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} \end{aligned} \]

4. Regn ut høydeforskjellen Det laveste punktet finner vi i endepunktene, der: \[ h(0) = h(3) = 0 \]

Høydeforskjellen er derfor: \[ \begin{aligned} \dfrac{3}{40} - 0 &= \dfrac{3}{40}\,\text{km} \\ &= 0{,}075\,\text{km} = 75\,\text{m} \end{aligned} \]

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd.

1. Integrer ledd for ledd Reglene vi trenger, kommer etter hverandre i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \\ \int \dfrac{1}{x}\,dx &= \ln|x| + C \\ \int e^x\,dx &= e^x + C \end{aligned} \]

\( \textcolor{blue}{4x} \) integrert blir: \[ \int 4x\,dx = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^2 = \textcolor{blue}{\underline{2x^2}} \]

\( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{x}}} \) integrert blir: \[ \int -\dfrac{2}{x}\,dx = \textcolor{red}{\underline{-2\ln|x|}} \]

\( \textcolor{green}{2e^x} \) integrert blir: \[ \int 2e^x\,dx = \textcolor{green}{\underline{2e^x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{blue}{2x^2} \textcolor{red}{{}- 2\ln|x|} \textcolor{green}{{}+ 2e^x} + C \]

Integranden er et produkt, og vi kan ikke integrere den direkte. Vi bruker derfor delvis integrasjon, og velger \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon. Det samme integralet er regnet i videoen Oppgave 3A - Delvis Integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x\ln x\,dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

For å bruke arealformelen for et trapes trenger vi høyden. Den finner vi i den rettvinklede trekanten ved \( B\text{.} \)

1. Finn høyden Vi feller ned høyden \( \textcolor{blue}{h} \) fra \( C \) til \( AB \) og kaller fotpunktet \( E\text{.} \)

I den rettvinklede trekanten \( BCE \) er \( BC \) hypotenusen og \( \textcolor{blue}{h} \) motstående katet til \( \angle B\text{.} \) Definisjonen av sinus forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{h} = BC \cdot \sin B \]Det samme eksempelet, med \( 60^\circ \) og hypotenus \( 5\text{,} \) er i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \textcolor{blue}{h} = 5 \cdot \sin 60^\circ = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}} \]

2. Regn ut arealet Arealet av et trapes med parallelle sider \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) er: \[ A = \dfrac{\textcolor{red}{a} + \textcolor{green}{b}}{2} \cdot \textcolor{blue}{h} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{8}, \qquad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{CD} = \textcolor{green}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{\textcolor{red}{8} + \textcolor{green}{4}}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}} \\ &= 6 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \end{aligned} \]

I trekanten \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} AC^2 = {} &\textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos \textcolor{green}{B} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på setningen, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{8}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{60^\circ} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{8}^2 + \textcolor{blue}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= 64 + 25 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= 49 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så: \[ AC = \sqrt{49} = 7 \]

Programmet regner ut en Riemann-sum: arealet av fire firkanter under grafen. Linje 3 er selve funksjonen, og linje 8 legger til én firkant om gangen.

1. Skriv funksjonen på linje 3 Funksjonen skal returnere uttrykket som integreres: \[ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \]

På Python skrives det slik, med \( \texttt{sqrt} \) fra linje 1 og \( x^2 \) som \( \texttt{x*x}\text{:} \) \[ \texttt{return x/sqrt(x*x + 4)} \]

2. Skriv summen på linje 8 Arealet av en firkant er bredde ganget med høyde, som i videoen Riemann sum. Her er bredden \( \textcolor{blue}{\texttt{dx}} \) og høyden funksjonsverdien i venstre kant, \( \textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\text{:} \) \[ \text{areal} = \textcolor{red}{f(x_0)} \cdot \textcolor{blue}{\Delta x} \]

Vi legger arealet til summen \( s\text{:} \) \[ \texttt{s = s + }\textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\texttt{*}\textcolor{blue}{\texttt{dx}} \]

Vi ser at \( x \) i telleren nesten er den deriverte av det som står under roten. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = x^2 + 4}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter det som står under roten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + 4} \\ \dfrac{du}{dx} &= 2x \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \int \dfrac{1}{\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \dfrac{1}{2}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\int \textcolor{green}{u}^{-\tfrac{1}{2}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\textcolor{green}{u}^{\tfrac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{\textcolor{green}{x^2 + 4}} + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Vi bruker den antideriverte fra \( 0 \) til \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \left[\sqrt{x^2 + 4}\right]_0^2 \\ &= \sqrt{8} - \sqrt{4} \\ &= 2\sqrt{2} - 2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: den eksakte verdien står i oppgaveteksten i b).

Koden bruker bare fire brede firkanter. Med smalere og flere firkanter kommer vi nærmere arealet under grafen.

1. Forklar hvorfor estimatet er dårlig Koden regner ut venstre Riemann-sum med fire firkanter som er \( \textcolor{blue}{0{,}5} \) brede, med høyden \( \textcolor{red}{f(x_0)} \) i venstre kant. Avrundet til tre desimaler får vi: \[ \begin{aligned} s = \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{red}{f(0{,}5)} \\ &+ \textcolor{red}{f(1)} + \textcolor{red}{f(1{,}5)}) \\ \approx \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{0} + \textcolor{red}{0{,}243} \\ &+ \textcolor{red}{0{,}447} + \textcolor{red}{0{,}6}) \\ \approx \ &0{,}645 \end{aligned} \]

Den eksakte verdien fra b) er, avrundet til tre desimaler: \[ 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}828 \]

Grafen stiger hele veien fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Høyden tas i venstre kant, så firkantene ligger under grafen og gir for lite areal, som i videoen Riemann sum. Med så brede firkanter blir feilen stor.

2. Velg smalere firkanter Bredden ganget med antallet må fortsatt bli lengden av intervallet, \( 2\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\Delta x} \cdot n = 2 \]

Velger vi \( {\textcolor{blue}{\Delta x} = \textcolor{blue}{0{,}01}}\text{,} \) får vi: \[ n = \dfrac{2}{\textcolor{blue}{0{,}01}} = 200 \]Andre valg er også riktige, så lenge produktet er \( 2\text{.} \)

Linje 6 og 7 blir da: \[ \begin{aligned} &\texttt{dx = 1/100} \\ &\texttt{for i in range(200):} \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta koordinatene til sluttpunktet minus koordinatene til startpunktet.

1. Trekk fra startpunktet Vektoren fra \( P \) til \( Q \) er: \[ \overrightarrow{PQ} = [\textcolor{blue}{x_Q} - \textcolor{red}{x_P},\ \textcolor{blue}{y_Q} - \textcolor{red}{y_P},\ \textcolor{blue}{z_Q} - \textcolor{red}{z_P}] \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Der er det to koordinater, og her kommer \( z \) i tillegg.

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{0} - \textcolor{red}{2},\ \textcolor{blue}{3} - (\textcolor{red}{-1}),\ \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1}] \\ &= [-2, 4, 1] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{0} - (\textcolor{red}{-2}),\ \textcolor{blue}{3} - (\textcolor{red}{-1}),\ \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{4}] \\ &= [2, 4, -2] \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene, regner ut kryssproduktet og tar lengden av det.

1. Finn vektorene \( \overrightarrow{BA} \) er \( \overrightarrow{AB} \) med motsatt fortegn, og \( \overrightarrow{BC} \) er \( \overrightarrow{CB} \) med motsatt fortegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[2, -4, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Det er det samme som determinanten i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) = -12 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} = -2 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -16 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} = [-12, -2, -16] \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}| \\ &= \sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{144 + 4 + 256} \\ &= \sqrt{404} = \sqrt{4 \cdot 101} \\ &= 2\sqrt{101} \end{aligned} \]

Vinkelen ved \( B \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[2, -4, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Vi ganger koordinat for koordinat, og tar lengdene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= -4 + 16 - 2 = 10 \\ |\textcolor{blue}{\vec{a}}| &= \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \\ |\textcolor{red}{\vec{b}}| &= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos \textcolor{green}{v}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{24}} = \dfrac{10}{\sqrt{504}} \\ \textcolor{green}{v} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{504}}\right) \approx 63{,}5^\circ \end{aligned} \]

Et punkt ligger i planet hvis det finnes verdier av \( t \) og \( s \) som gir punktets koordinater. Vi bruker \( x \) og \( z \) til å finne \( t \) og \( s\text{,} \) og så gir \( y \) oss \( y_0\text{.} \)

1. Sett inn punktet A Punktet \( {A(2, -1, 1)} \) gir disse likningene for \( x \) og \( z\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + 2t + s &= 2 \\ 5 - t - s &= 1 \end{aligned} \]

Rydder vi, får vi et likningssett: \[ \begin{aligned} 2t + s &= 4 \\ t + s &= 4 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, får vi: \[ \textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{0}, \qquad \textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{4} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Likningssett.

Plugger vi dette inn i likningen for \( y \) med \( {y = -1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y_0 - 4 \cdot \textcolor{blue}{0} + 2 \cdot \textcolor{red}{4} &= -1 \\ y_0 &= -9 \end{aligned} \]

2. Sjekk de to andre punktene Planet må gå gjennom alle tre, så vi sjekker \( B \) og \( C \) med \( {y_0 = -9}\text{.} \) \( B(0, 3, 2) \) svarer til \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {\textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= -2 + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{4} = 0 \\ y &= -9 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + 2 \cdot \textcolor{red}{4} = 3 \\ z &= 5 - (\textcolor{blue}{-1}) - \textcolor{red}{4} = 2 \end{aligned} \]

\( {C(-2, -1, 4)} \) svarer til \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {\textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= -2 + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{2} = -2 \\ y &= -9 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + 2 \cdot \textcolor{red}{2} = -1 \\ z &= 5 - (\textcolor{blue}{-1}) - \textcolor{red}{2} = 4 \end{aligned} \]

Alle tre punktene ligger altså i planet.

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \) fra b).

Volumet av et tetraeder er en sjettedel av tallverdien til trippelproduktet. Vi setter opp volumet som et uttrykk i \( z \) og setter det lik \( 8\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer fra samme hjørne er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{c}}\right| \]

Fra hjørnet \( B \) er \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = \overrightarrow{BA}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = \overrightarrow{BC}} \) og \( {\textcolor{green}{\vec{c}} = \overrightarrow{BT}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} &= [-12, -2, -16] \\ \textcolor{green}{\vec{c}} &= [4 - 0,\ 3 - 3,\ z - 2] \\ &= \textcolor{green}{[4, 0, z - 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut trippelproduktet Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &[-12, -2, -16] \cdot \textcolor{green}{[4, 0, z - 2]} \\ &= -48 + 0 - 16(z - 2) \\ &= -16z - 16 \end{aligned} \]

3. Sett volumet lik åtte Plugger vi dette inn i volumformelen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6}|-16z - 16| &= 8 \\ |16z + 16| &= 48 \\ |z + 1| &= 3 \end{aligned} \]

Tallverdien gir to muligheter: \[ z + 1 = 3 \quad \text{eller} \quad z + 1 = -3 \]

Det gir oss: \[ z = 2 \quad \text{eller} \quad z = -4 \]

Begge gir et tetraeder med volum \( 8\text{,} \) med \( T \) på hver sin side av planet gjennom \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{.} \)

Kvotienten er et ledd delt på leddet foran. Så bruker vi formelen for summen av en konvergent geometrisk rekke.

1. Finn kvotienten Kvotienten i en geometrisk rekke er: \[ k = \dfrac{\textcolor{red}{a_{n + 1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \]Hvis du er usikker på kvotienten, kan du se videoen Geometriske rekker intro.

Vi deler andre ledd på første, og tredje på andre: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 + x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}} \\ &= (1 + x) \cdot \dfrac{1 - x}{1 + x} = 1 - x \\ k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 - x^2}}{\textcolor{blue}{1 + x}} \\ &= \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{1 + x} = 1 - x \end{aligned} \]Vi får den samme kvotienten, så rekka er geometrisk.

2. Finn summen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ s = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Den kommer fram i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}, \qquad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}}{1 - (\textcolor{green}{1 - x})} = \dfrac{\dfrac{1 + x}{1 - x}}{x} \\ &= \dfrac{1 + x}{x(1 - x)} = \dfrac{1 + x}{x - x^2} \end{aligned} \]

I a) fant vi kvotienten \( {k = 1 - x}\text{.} \)

En geometrisk rekke konvergerer når \( {|k| < 1}\text{.} \) I tillegg må alle leddene være definert.

1. Bruk konvergenskravet Kravet forteller oss at: \[ |\textcolor{green}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på kravet, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x}} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{green}{1 - x} &< 1 \\ -2 < -x &< 0 \\ 0 < x &< 2 \end{aligned} \]

2. Sjekk at leddene er definert Første ledd har nevneren \( {1 - x}\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x \neq 1 \]

Merk – Spesialtilfelle: For \( {x = -1} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så den spesielle rekka konvergerer også, selv om den ikke har noen kvotient.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( s(x) \) står i oppgaveteksten i a). Vi bruker også konvergensområdet fra b).

Vi setter uttrykket for summen lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{,} \) løser likningen og sjekker hvilke løsninger som ligger der rekka konvergerer.

1. Sett opp likningen Vi setter summen fra a) lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{1 + x}{x - x^2} = -\dfrac{10}{3} \]

Vi kryssmultipliserer og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} 3(1 + x) &= -10(x - x^2) \\ 3 + 3x &= -10x + 10x^2 \\ 0 &= \textcolor{blue}{10}x^2 \textcolor{red}{{}- 13}x \textcolor{green}{{}- 3} \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{10}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-13}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{13 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-13})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{10} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{10}} \\ &= \dfrac{13 \pm \sqrt{289}}{20} = \dfrac{13 \pm 17}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = \dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = -\dfrac{1}{5} \]

3. Sjekk konvergensområdet Fra b) konvergerer rekka for \( {0 < x < 1} \) og \( {1 < x < 2}\text{.} \) Vi sjekker begge løsningene: \[ \begin{aligned} x_1 = \dfrac{3}{2}\text{:} \ \ &1 < \dfrac{3}{2} < 2, \text{ gyldig} \\ x_2 = -\dfrac{1}{5}\text{:} \ \ &k = \dfrac{6}{5} > 1, \text{ ikke gyldig} \end{aligned} \]