Forkurseksamen etter tema

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

Uttrykket står i linje 3. Temperaturen er størst og minst der \( \cos \) er henholdsvis \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) fordi den trekkes fra.

1. Les av uttrykket Linje 2 og 3 definerer funksjonen. I koden står \( \texttt{pi} \) for \( \pi\text{,} \) og \( \texttt{*} \) betyr gange: \[ T(t) = 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \]

2. Finn største og minste verdi Verdiene til cosinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser: \[ -1 \leq \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \leq 1 \]

Gjennom døgnet går \( t \) fra \( 0 \) til \( 24\text{,} \) så \( \dfrac{\pi t}{12} \) går fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{.} \) Da får cosinus både verdien \( 1 \) og verdien \( {-1}\text{.} \)

Med \( {\cos = \textcolor{blue}{-1}} \) får vi den høyeste temperaturen, ved \( {t = 12}\text{:} \) \[ T_{\text{maks}} = 16 - 8 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 24 \]

Med \( {\cos = \textcolor{red}{1}} \) får vi den laveste temperaturen, ved \( {t = 0} \) og \( {t = 24}\text{:} \) \[ T_{\text{min}} = 16 - 8 \cdot \textcolor{red}{1} = 8 \]

Vi tenker som datamaskinen, slik videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025 gjør. Løkken stopper første gang \( \texttt{verdi} \) er minst \( 20\text{.} \)

1. Se hva løkken gjør Linje 6 sjekker om \( {\texttt{verdi} < 20} \) før hver runde. Først er \( {\texttt{verdi} = 0} \) og \( {\texttt{t1} = 0}\text{.} \)

I hver runde regner linje 7 ut \( T(\texttt{t1})\text{,} \) og linje 9 øker \( \texttt{t1} \) med \( 1\text{.} \) Runde nummer én bruker altså \( {t = 0}\text{,} \) runde to \( {t = 1}\text{,} \) og så videre.

2. Finn når temperaturen når 20 Vi løser \( {T(t) = 20}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= 20 \\ \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \]

Fra midnatt til \( {t = 12} \) synker cosinus hele tiden fra \( 1 \) til \( {-1}\text{,} \) så temperaturen stiger. Dette er derfor første gang den når \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\pi t}{12} &= \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{8} \end{aligned} \]

3. Tell rundene For \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er temperaturen akkurat \( 20\text{:} \) \[ T(\textcolor{blue}{8}) = 16 - 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 20 \]

Etter runden med \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er \( {\texttt{verdi} = 20}\text{.} \) Betingelsen \( {20 < 20} \) er usann, så løkken stopper. Rundene bruker \( {t = 0, 1, \ldots, \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) og det er: \[ \textcolor{blue}{8} + 1 = 9 \text{ runder} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner funksjonen med den generelle sinusfunksjonen og leser av delene.

1. Les av delene Den generelle sinusfunksjonen forteller oss at: \[ f(x) = \textcolor{blue}{A} \sin(\textcolor{red}{c}x + \varphi) + \textcolor{green}{d} \]Amplituden er \( |\textcolor{blue}{A}|\text{,} \) likevektslinja er \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{2}} = \pi \\ y &= \textcolor{green}{1} \\ |\textcolor{blue}{A}| &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) får sinus alene og finner begge vinklene på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi setter \( {f(x) = 0} \) og kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{2} \sin \textcolor{green}{u} + 1 &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn begge vinklene Vi vet at \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så: \[ \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Sinus er også lik for \( {\pi - \textcolor{green}{u}}\text{:} \) \[ \sin(\pi - \textcolor{green}{u}) = \sin \textcolor{green}{u} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir altså denne sinusverdien, og vi kommer tilbake til dem etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \lor \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \]der \( k \) er et helt tall.

3. Løs for x Vi setter inn \( \textcolor{green}{u} \) igjen. Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= \pi + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{2} + \pi k \end{aligned} \]

Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Grafen har derfor toppunkt der sinus er \( 1 \) og bunnpunkt der sinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Finn toppunktene Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{:} \) \[ -1 \le \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) \le 1 \]

Siden \( \sqrt{2} \) er positiv, er \( f \) størst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Vi legger til \( 2\pi k \) fordi vinkelen kommer tilbake etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot \textcolor{blue}{1} + 1 = 1 + \sqrt{2} \]

2. Finn bunnpunktene På samme måte er \( f \) minst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{5\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + 1 = 1 - \sqrt{2} \]

De to merkede punktene er et toppunkt og bunnpunktet rett etter. Av dem kan vi lese alle tre størrelsene.

1. Les av fra toppunktet og bunnpunktet Fra et toppunkt til neste bunnpunkt går det en halv periode, så perioden er det dobbelte av avstanden i \( x\text{:} \) \[ P = 2 \cdot \left(\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Amplituden er halve høydeforskjellen mellom \( {\textcolor{blue}{y_{\text{topp}}} = \textcolor{blue}{1}} \) og \( {\textcolor{red}{y_{\text{bunn}}} = \textcolor{red}{-5}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{blue}{y_{\text{topp}}} - \textcolor{red}{y_{\text{bunn}}}}{2} = \dfrac{\textcolor{blue}{1} - (\textcolor{red}{-5})}{2} = 3 \]

Likevektslinja ligger midt mellom toppen og bunnen: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{\textcolor{blue}{y_{\text{topp}}} + \textcolor{red}{y_{\text{bunn}}}}{2} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{1} + (\textcolor{red}{-5})}{2} = -2 \end{aligned} \]

Vi bruker perioden, amplituden og likevektslinja fra a).

Tre av konstantene følger av a). Den siste, \( c\text{,} \) finner vi fra toppunktet.

1. Finn a, k og d I \( {f(x) = \textcolor{blue}{a} \sin(\textcolor{red}{k}x + \textcolor{green}{c}) + \textcolor{darkorange}{d}} \) er \( \textcolor{blue}{a} \) amplituden og \( \textcolor{darkorange}{d} \) likevektslinja: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{-2} \]

Perioden er gitt ved \( {P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{k}}}\text{,} \) så med \( {P = 4} \) får vi: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{2\pi}{4} = \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}} \]

2. Finn c fra toppunktet I toppunktet er sinus størst, altså \( 1\text{.} \) Det skjer når vinkelen er \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri, og \( 90^\circ \) tilsvarer \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) får vi derfor: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}} \cdot \dfrac{1}{2} + \textcolor{green}{c} &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen og sjekk Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \sin\left(\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}}x + \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}}\right) \textcolor{darkorange}{{}- 2} \]

Kontroll: Bunnpunktet stemmer: i \( {x = \dfrac{5}{2}} \) får vi \( {3\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) - 2 = -5}\text{.} \)

Andre uttrykk beskriver samme graf, for eksempel med \( {c = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi}\text{.} \)

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må: \[ \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

2. Løs for x Sinus er \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi\text{,} \) \( 2\pi \) og så videre, som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \pi x &= k\pi \\ x &= k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{:} \) \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3 \]

Begge er et produkt av \( e^x \) og et trigonometrisk uttrykk, så vi bruker produktregelen to ganger. Konstanten \( \dfrac{1}{10} \) blir stående foran.

1. Finn den deriverte Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \sin(\pi x) \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{10}\big(\textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin \pi x} \\ &\qquad + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x}\big) \\ &= \dfrac{1}{10}e^x(\sin \pi x + \pi \cos \pi x) \end{aligned} \]

2. Finn den andrederiverte Vi bruker produktregelen en gang til, nå på det vi nettopp fant. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &f''(x) = \dfrac{1}{10}\Big( \\ &\textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) \\ &+ \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x})\Big) \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x \) og samler leddene med \( \sin \pi x \) og \( \cos \pi x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) = \dfrac{1}{10}e^x\big(&(1 - \pi^2)\sin(\pi x) \\ &+ 2\pi\cos(\pi x)\big) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null Når den deriverte er \( 0\text{,} \) kan vi ha et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}(\textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} &= 0 \\ \dfrac{\sin \pi x}{\cos \pi x} &= -\pi \\ \tan \pi x &= -\pi \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}(-\pi) + \pi k \\ x &= k - \dfrac{\tan^{-1}(\pi)}{\pi} \\ x &\approx k - 0{,}402 \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = 2} \) og \( {k = 3}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}598,\ \ x \approx 1{,}598,\ \ x \approx 2{,}598 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot \pi > 0 \\ f'(1) &= -\dfrac{e\pi}{10} < 0 \\ f'(2) &= \dfrac{e^2\pi}{10} > 0 \\ f'(3) &= -\dfrac{e^3\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{,} \) tegnet som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0.598, 1.598, 2.598], "labels": ["0{,}598", "1{,}598", "2{,}598"], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x - 0.598)(x - 1.598)(x - 2.598)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den deriverte går fra pluss til minus i \( {x \approx 0{,}598} \) og \( {x \approx 2{,}598}\text{,} \) så der har vi toppunkter. Den går fra minus til pluss i \( {x \approx 1{,}598}\text{,} \) så der har vi et bunnpunkt. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx -0{,}471 \\ f(2{,}598) &\approx 1{,}281 \end{aligned} \]

Grafen stiger fra \( {x = 0} \) og synker inn mot \( {x = 3}\text{,} \) så endepunktene er også lokale bunnpunkter. Nullpunktene fra a) gir: \[ f(0) = 0, \quad f(3) = 0 \]

Det gir oss monotoniegenskapene: \[ \begin{aligned} \text{Stigende: } & 0 \le x \le 0{,}598 \\ & 1{,}598 \le x \le 2{,}598 \\ \text{Synkende: } & 0{,}598 \le x \le 1{,}598 \\ & 2{,}598 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f''(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f''(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen krummer oppover og nedover.

1. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}\big(&\textcolor{green}{(1 - \pi^2)\sin \pi x} \\ &\textcolor{green}{{}+ 2\pi\cos \pi x}\big) = 0 \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Vi flytter leddet med \( \sin \pi x \) over på høyre side, der fortegnet snur. Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x \) og på \( {\pi^2 - 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi\cos \pi x &= (\pi^2 - 1)\sin \pi x \\ \tan \pi x &= \dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1} \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}\left(\dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1}\right) + \pi k \\ x &\approx 0{,}196 + k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 0}\text{,} \) \( {k = 1} \) og \( {k = 2}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}196,\ \ x \approx 1{,}196,\ \ x \approx 2{,}196 \]

3. Finn fortegnet til den andrederiverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot 2\pi > 0 \\ f''(1) &= -\dfrac{e \cdot 2\pi}{10} < 0 \\ f''(2) &= \dfrac{e^2 \cdot 2\pi}{10} > 0 \\ f''(3) &= -\dfrac{e^3 \cdot 2\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.196, 1.196, 2.196], "labels": ["0{,}196", "1{,}196", "2{,}196"], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-(x - 0.196)(x - 1.196)(x - 2.196)"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den andrederiverte skifter fortegn i alle tre, så alle er vendepunkter. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}196) &\approx 0{,}070 \\ f(1{,}196) &\approx -0{,}191 \\ f(2{,}196) &\approx 0{,}520 \end{aligned} \]

Der \( {f''(x) > 0} \) krummer grafen oppover, og der \( {f''(x) < 0} \) krummer den nedover: \[ \begin{aligned} \text{Oppover: } & 0 \le x \le 0{,}196 \\ & 1{,}196 \le x \le 2{,}196 \\ \text{Nedover: } & 0{,}196 \le x \le 1{,}196 \\ & 2{,}196 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), c) og d).

Vi merker av nullpunktene, ekstremalpunktene og vendepunktene, og trekker en kurve gjennom dem med riktig krumning.

1. Merk av punktene I a) fant vi nullpunktene, i c) topp- og bunnpunktene og i d) vendepunktene: \[ \begin{aligned} \text{Null: } & x = 0,\ 1,\ 2,\ 3 \\ \text{Topp: } & (0{,}598;\ 0{,}173) \\ & (2{,}598;\ 1{,}281) \\ \text{Bunn: } & (1{,}598;\ -0{,}471) \\ \text{Vende: } & (0{,}196;\ 0{,}070) \\ & (1{,}196;\ -0{,}191) \\ & (2{,}196;\ 0{,}520) \end{aligned} \]

2. Tegn kurven Topp- og bunnpunktene ligger der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Grafen svinger mellom positive og negative verdier, og utslagene blir større med \( x\text{,} \) siden faktoren \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) vokser. Den krummer som vi fant i d):

Vi bruker verdiene fra c).

Grafen er sammenhengende på \( [0, 3]\text{,} \) så verdimengden går fra den minste til den største verdien funksjonen har.

1. Sammenlign verdiene Den største og den minste verdien må ligge i et ekstremalpunkt. I c) fant vi: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}471} \\ f(2{,}598) &\approx \textcolor{red}{1{,}281} \\ f(3) &= 0 \end{aligned} \]

Den minste verdien er \( {\textcolor{blue}{-0{,}471}} \) og den største er \( \textcolor{red}{1{,}281}\text{,} \) og grafen er sammenhengende, så den tar alle verdiene imellom: \[ V_f \approx [\textcolor{blue}{-0{,}471},\ \textcolor{red}{1{,}281}] \]

Vil du repetere hva sammenhengende betyr, kan du se videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

Vi starter med formelen for \( \cos 2x\text{,} \) og bruker enhetsformelen til å få bort \( \cos^2 x\text{.} \)

1. Skriv opp de to formlene Formelen for dobbel vinkel og enhetsformelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{\cos^2 x} - \sin^2 x \\ \textcolor{red}{\cos^2 x} &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} \end{aligned} \]Enhetsformelen er Pytagoras på katetene i enhetssirkelen, som du ser i videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Sett inn og løs for sinus Plugger vi den andre inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} - \sin^2 x \\ \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \end{aligned} \]

Vi løser for \( \sin^2 x \) og får: \[ \begin{aligned} 2\sin^2 x &= 1 - \cos 2x \\ \sin^2 x &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( f \) om til en vanlig cosinusfunksjon. Da kan vi lese av alle de tre størrelsene.

1. Skriv om funksjonen Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\cos(\textcolor{blue}{2}x) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Les av størrelsene En cosinusfunksjon på formen \( {\textcolor{red}{A}\cos(\textcolor{blue}{k}x) + \textcolor{green}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= |\textcolor{red}{A}| \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{d} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{k}} \end{aligned} \]At sinus og cosinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= \left|\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right| = \dfrac{1}{2} \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{2}} = \pi \end{aligned} \]

Vi bruker amplituden \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) likevektslinjen \( {y = \dfrac{1}{2}} \) og perioden \( \pi \) fra b).

Vi regner ut funksjonsverdien der grafen snur, og tegner en bølge gjennom punktene.

1. Regn ut punktene Grafen svinger \( \dfrac{1}{2} \) opp og ned fra \( {y = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) altså mellom \( 0 \) og \( 1\text{.} \) Perioden er \( \pi\text{,} \) så den snur for hver \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Sinusverdiene står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \sin^2 0 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(\pi)} &= \sin^2 \pi = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{3\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(2\pi)} &= \sin^2 2\pi = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Tegn grafen Vi tegner en jevn bølge gjennom punktene, med to hele perioder på intervallet:

Verdimengden er alle verdiene funksjonen kan få. Vi starter med hva vi vet om sinus.

1. Finn største og minste verdi Sinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da er \( \sin^2 x \) høyst \( 1\text{,} \) og et kvadrat er aldri negativt: \[ \begin{aligned} |\sin x| \leq 1 \ &\Rightarrow \ \sin^2 x \leq 1 \\ \sin^2 x &\geq 0 \end{aligned} \]

Begge endene blir nådd, og \( f \) er kontinuerlig, så den får også alle verdiene imellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( \sin^2 x \) om til to ledd som er enkle å integrere. Vi tar dem ledd for ledd.

1. Skriv om integralet Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \sin^2 x \, dx \\ &= \int \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{2}\cos 2x}\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x}}\text{.} \)

For det andre leddet forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \cos(nx)\,dx = \dfrac{1}{n}\sin(nx) + C \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\cos 2x}\,dx \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2x + C \\ &= \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}\sin 2x}} + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{4}\sin 2x} + C \]

I e) fant vi at \[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C \]

Vi skriver \( \sin^2 x \) som et produkt. Da dukker det opprinnelige integralet opp igjen, og vi kan løse for det som i en likning.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I &= \int \sin^2 x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\sin x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\cos x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x})\,dx \\ &= -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx \end{aligned} \]

2. Løs for integralet Enhetsformelen gir \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x}\text{.} \) Da kommer \( \textcolor{darkorange}{I} \) tilbake på høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2 x)dx \\ &= -\sin x \cos x + \int 1\,dx - \textcolor{darkorange}{I} \\ \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + x - \textcolor{darkorange}{I} \end{aligned} \]

Vi legger \( \textcolor{darkorange}{I} \) til på begge sider, deler på \( 2 \) og tar med konstanten: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{I} &= x - \sin x \cos x + C_1 \\ \textcolor{darkorange}{I} &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\sin x \cos x + C \end{aligned} \]

3. Sammenlign med e) Resultatet ser annerledes ut enn i e). Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi denne inn i svaret fra e), får vi: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{4}\sin 2x &= -\dfrac{1}{4} \cdot 2\sin x \cos x \\ &= -\dfrac{1}{2}\sin x \cos x \end{aligned} \]

De to svarene er altså det samme uttrykket, skrevet på to måter.