Forkurseksamen etter tema

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det.

1. Sett telleren lik null Slik finner vi nullpunktet til en brøk i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2x^2 - 4} &= 0 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Sjekk nevneren Vi setter inn \( {x = \pm\sqrt{2}} \) i nevneren: \[ \textcolor{blue}{(\pm\sqrt{2})^2 - 4} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \]Begge verdiene er derfor nullpunkter.

En vertikal asymptote er der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det. Den horisontale finner vi ved å la \( x \) gå mot pluss og minus uendelig.

1. Finn de vertikale asymptotene Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

Vi setter inn i telleren: \[ 2 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4 \neq 0 \]Da har vi vertikale asymptoter i \( {x = -2} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

2. Finn den horisontale asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Både teller og nevner vokser da uten grense. Det er typen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi deler begge på \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x^2 - 4}{x^2 - 4} &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}}{1 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}} \\ &= \dfrac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \end{aligned} \]Da har vi en horisontal asymptote i \( {y = 2}\text{.} \)

\( g \) er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {g'(x) = 0} \) og bruker et fortegnsskjema for å se om punktet er et topp- eller bunnpunkt.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 - 4} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4x}(\textcolor{blue}{x^2 - 4}) - (\textcolor{red}{2x^2 - 4})\textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 - 4})^2} \\ &= \dfrac{4x^3 - 16x - 4x^3 + 8x}{(x^2 - 4)^2} \\ &= \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {g'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Brøken er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{-8x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]Nevneren er \( {(0 - 4)^2 = 16 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = 0} \) gjelder.

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til \( {\textcolor{magenta}{-8x}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}}\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 0, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-8x}", "expr": "-8x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}", "expr": "(x^2 - 4)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "-8x/(x^2 - 4)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes.

I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \pm 2} \) finnes ikke \( g\text{,} \) så der er det ingen topp- eller bunnpunkter.

Vi setter inn \( {x = 0} \) i \( g(x) \) for å finne \( {y\text{-verdien:}} \) \[ g(0) = \dfrac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 - 4} = \dfrac{-4}{-4} = 1 \]

I c) fant vi \( {g'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2}}\text{.} \)

Vi deriverer \( g'(x) \) med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. Et vendepunkt krever at \( g''(x) \) skifter fortegn der \( g \) finnes.

1. Deriver nevneren Nevneren har kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{x^2 - 4}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{w}^2)' = 2\textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x^2 - 4})^2\right)' &= 2(\textcolor{green}{x^2 - 4}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= 4x(x^2 - 4) \end{aligned} \]

2. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-8x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i telleren \( {\textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}}\text{,} \) og setter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}} \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-8}\textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} - (\textcolor{red}{-8x})\textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \\ &= -8(x^2 - 4)^2 + 32x^2(x^2 - 4) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}\left(-8(x^2 - 4) + 32x^2\right) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32) \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{blue}{v}^2 = (x^2 - 4)^4}\text{.} \) Vi forkorter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g''(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32)}{(x^2 - 4)^4} \\ &= \dfrac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3} \end{aligned} \]

3. Se etter vendepunkt Et vendepunkt krever at \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 24x^2 + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\dfrac{4}{3} \]Et kvadrat kan ikke være negativt, så likningen har ingen løsning. Telleren \( {24x^2 + 32} \) er alltid positiv, så fortegnet kommer fra nevneren \( {(x^2 - 4)^3}\text{,} \) som skifter fortegn bare i \( {x = \pm 2}\text{.} \) Der finnes ikke \( g\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a), asymptotene fra b), toppunktet og fortegnsskjemaet fra c), og at det ikke er noen vendepunkter fra d).

Vi tegner asymptotene først og merker punktene. Så finner vi om grafen ligger over eller under \( {y = 2}\text{,} \) og tegner en del av grafen for hvert intervall.

1. Samle det vi har funnet Dette skal inn i koordinatsystemet: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \ & x = \pm 2, \ y = 2 \\ \text{Nullpunkter:} \ & (-\sqrt{2}, 0), \ (\sqrt{2}, 0) \\ \text{Toppunkt:} \ & (0, 1) \end{aligned} \]

2. Finn hvor grafen ligger Vi trekker fra den horisontale asymptoten: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} - 2 &= \dfrac{2x^2 - 4 - 2(x^2 - 4)}{x^2 - 4} \\ &= \dfrac{4}{x^2 - 4} \end{aligned} \]

Brøken er positiv når \( {|x| > 2} \) og negativ når \( {|x| < 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |x| > 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} > 2 \\ |x| < 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} < 2 \end{aligned} \]

Fortegnet til \( g'(x) \) fra c), som vi leser av som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering, sier hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} x < -2: \quad & \text{stiger mot } +\infty \\ -2 < x < 0: \quad & \text{stiger til } (0, 1) \\ 0 < x < 2: \quad & \text{synker mot } -\infty \\ x > 2: \quad & \text{synker mot } y = 2 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi trekker asymptotene stiplet, merker punktene og tegner de tre delene gjennom dem:

Vi ser hvilke \( x \) vi kan sette inn i de to faktorene. For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Både \( {x - 2} \) og \( e^x \) kan regnes ut for alle tall, så: \[ D_f = \mathbb{R} \]

2. Finn nullpunktene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025. Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 2} &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Finn delene i regelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

\( e^x \) derivert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= e^x(1 + x - 2) \\ &= e^x(x - 1) \end{aligned} \]

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte. Fortegnet viser både hvor grafen stiger og synker, og hva slags punkt vi har.

1. Sett den deriverte lik null I b) viste vi uttrykket for den deriverte. For å finne topp- og bunnpunkter setter vi det lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^x}(\textcolor{magenta}{x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinje for den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "exp(x)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "exp(x)*(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {x = 1} \) gir et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så det er ingen toppunkter.

3. Finn y-koordinaten og monotoni Vi setter \( {x = 1} \) inn i funksjonen: \[ f(1) = (1 - 2)e^1 = -e \]

Grafen synker og stiger altså slik: \[ \begin{aligned} f \text{ synker for } &x \in \langle \leftarrow,\ 1] \\ f \text{ stiger for } &x \in [1,\ \rightarrow\rangle \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktet fra a) og bunnpunktet og fortegnet til den deriverte fra c).

Vi setter inn de punktene vi kjenner, regner ut noen få verdier til, og lar den deriverte fortelle hvor grafen stiger og synker.

1. Finn punktene vi trenger I a) fant vi nullpunktet \( {x = 2} \) og i c) bunnpunktet \( {(1, -e)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= 0 \\ \textcolor{blue}{f(1)} &= -e \approx -2{,}72 \end{aligned} \]

Disse to punktene markerer vi på grafen.

Vi regner ut noen flere verdier, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-3) &= -5e^{-3} \approx -0{,}25 \\ f(-1) &= -3e^{-1} \approx -1{,}10 \\ f(0) &= -2 \\ f\left(2{,}5\right) &= 0{,}5e^{2{,}5} \approx 6{,}09 \end{aligned} \]

Faktoren \( e^x \) er svært liten når \( x \) er et stort negativt tall, og \( {x - 2} \) er negativ der. Da ligger grafen rett under \( {x\text{-aksen}} \) langt til venstre.

2. Tegn grafen Vi tegner en kurve gjennom punktene, som synker fram til \( {x = 1} \) og stiger etter det:

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi finner punktet på grafen og stigningstallet der, og setter dem inn i formelen for tangenten.

1. Finn delene i formelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

I b) viste vi at: \[ f'(x) = e^x(x - 1) \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{green}{f(-1)} &= (-1 - 2)e^{-1} = \textcolor{green}{-\dfrac{3}{e}} \\ \textcolor{red}{f'(-1)} &= e^{-1}(-1 - 1) = \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}}(x - (\textcolor{blue}{-1})) \textcolor{green}{- \dfrac{3}{e}} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{2}{e} - \dfrac{3}{e} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{5}{e} \end{aligned} \]

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]

Vi setter inn \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) for å vise at det er et nullpunkt. Da er \( {x + \dfrac{1}{2}} \) en faktor, så vi deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Sett inn nullpunktet Plugger vi inn \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &\quad - 4\left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{1}{2} + 1 + 2 - \dfrac{5}{2} \\ &= 0 \end{aligned} \]Altså er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) et nullpunkt.

2. Del med polynomdivisjon Nullpunktsetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &f(\textcolor{magenta}{r}) = 0 \\ &\iff f(x) \text{ er delelig med } x - \textcolor{magenta}{r} \end{aligned} \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{magenta}{r} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) så \( f(x) \) er delelig med \( {x + \dfrac{1}{2}}\text{.} \)

Vi deler \( f(x) \) på \( {x + \dfrac{1}{2}} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^3} + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4x^2} \\ \textcolor{red}{4x^2} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 4x^3 + 2x^2 \\ -(4x^3 + 2x^2) &= \textcolor{red}{-4x^3 - 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & 2x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 4x^3 \) strykes mot \( {-4x^3}\text{,} \) \( {4x^2 - 2x^2 = 2x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4x} \) og \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{2x} \\ \textcolor{magenta}{2x} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 2x^2 + x \\ -(2x^2 + x) &= \textcolor{magenta}{-2x^2 - x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & -5x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-4x - x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \) Linja \( {-5x - \dfrac{5}{2}} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{blue}{-5} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= -5x - \dfrac{5}{2} \\ -(-5x - \dfrac{5}{2}) &= \textcolor{blue}{5x + \dfrac{5}{2}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \textcolor{blue}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- \dfrac{5}{2} \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{5x}} & \textcolor{blue}{{}+ \dfrac{5}{2}} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2} \\ &= (x + \dfrac{1}{2})(4x^2 + 2x - 5) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen De andre nullpunktene er der \( {4x^2 + 2x - 5 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{84}}{8} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{21}}{8} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{21}}{4} \end{aligned} \]

Vi deriverer og finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Et fortegnsskjema for \( f'(x) \) viser hvor grafen stiger og synker, og dermed hva slags punkter vi har.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = 12x^2 + 8x - 4 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Slik finner vi ekstremalpunkter også i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og deler på \( 4\text{:} \) \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{3}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{1}{3}} \) og \( {x = -1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Vi faktoriserer \( f'(x) \) med nullpunktene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ f'(x) = 12(\textcolor{magenta}{x + 1})\left(\textcolor{darkorange}{x - \dfrac{1}{3}}\right) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktoren \( 12 \) er positiv og endrer ingenting: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 0.3333333333333333], "labels": ["-1", "\\dfrac{1}{3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - \\dfrac{1}{3}}", "expr": "x - 1/3"}, {"label": "f'(x)", "expr": "12(x + 1)(x - 1/3)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{3}} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så vi har et bunnpunkt. Grafen stiger altså for \( {x \leq -1} \) og \( {x \geq \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og synker mellom.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= 4(-1)^3 + 4(-1)^2 \\ &\quad - 4(-1) - \dfrac{5}{2} \\ &= -4 + 4 + 4 - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{3}\right) &= 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &\quad - 4 \cdot \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{4}{27} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{8 + 24 - 72 - 135}{54} \\ &= -\dfrac{175}{54} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b): \( {f'(x) = 12x^2 + 8x - 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen skjærer y-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Normalen står vinkelrett på tangenten der, så vi finner stigningstallet fra tangentens stigningstall.

1. Finn punktet og tangentens stigningstall Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 4 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{5}{2} \\ f'(0) &= 12 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 4 \\ &= \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

2. Finn normalens stigningstall To linjer som står vinkelrett på hverandre, har stigningstall med produkt \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_t} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

3. Sett opp likningen Formelen for en rett linje forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{green}{b} \]Den står i videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}} \]Konstantleddet \( \textcolor{green}{b} \) er y-verdien der linja skjærer y-aksen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}x \textcolor{green}{{}- \dfrac{5}{2}} \]

Vi sammenligner funksjonen med den generelle sinusfunksjonen og leser av delene.

1. Les av delene Den generelle sinusfunksjonen forteller oss at: \[ f(x) = \textcolor{blue}{A} \sin(\textcolor{red}{c}x + \varphi) + \textcolor{green}{d} \]Amplituden er \( |\textcolor{blue}{A}|\text{,} \) likevektslinja er \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{2}} = \pi \\ y &= \textcolor{green}{1} \\ |\textcolor{blue}{A}| &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) får sinus alene og finner begge vinklene på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi setter \( {f(x) = 0} \) og kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{2} \sin \textcolor{green}{u} + 1 &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn begge vinklene Vi vet at \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så: \[ \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Sinus er også lik for \( {\pi - \textcolor{green}{u}}\text{:} \) \[ \sin(\pi - \textcolor{green}{u}) = \sin \textcolor{green}{u} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir altså denne sinusverdien, og vi kommer tilbake til dem etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \lor \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \]der \( k \) er et helt tall.

3. Løs for x Vi setter inn \( \textcolor{green}{u} \) igjen. Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= \pi + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{2} + \pi k \end{aligned} \]

Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Grafen har derfor toppunkt der sinus er \( 1 \) og bunnpunkt der sinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Finn toppunktene Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{:} \) \[ -1 \le \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) \le 1 \]

Siden \( \sqrt{2} \) er positiv, er \( f \) størst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Vi legger til \( 2\pi k \) fordi vinkelen kommer tilbake etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot \textcolor{blue}{1} + 1 = 1 + \sqrt{2} \]

2. Finn bunnpunktene På samme måte er \( f \) minst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{5\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + 1 = 1 - \sqrt{2} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Siden \( {e^{2x} = e^x \cdot e^x} \) kan vi faktorisere ut \( e^x\text{.} \)

1. Faktoriser funksjonsuttrykket Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ e^{2x} - 2e^x = \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 2}) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Vi står igjen med: \[ \textcolor{blue}{e^x - 2} = 0 \]

2. Løs likningen med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{x}} &= 2 \\ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) &= \ln 2 \\ \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 2 \\ x &= \ln 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer, setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte på hver side av punktet.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet trenger kjerneregelen, som forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{g}}\right)' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{2x}, \quad \textcolor{green}{g'} = \textcolor{green}{2} \]

\( e^{2x} \) derivert blir da \( \underline{2e^{2x}}\text{,} \) og \( {-2e^x} \) derivert blir \( {\underline{-2e^x}}\text{.} \) Slår vi dette sammen og faktoriserer, får vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{e^x - 1}) \]

2. Sett den deriverte lik null \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) i punktet: \[ f(0) = e^0 - 2e^0 = 1 - 2 = -1 \]

3. Avgjør hva slags punkt det er Vi tegner fortegnslinja til \( f'(x)\text{,} \) som vi gjør i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{e^x - 1}", "expr": "e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {(0, -1)} \) er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet den deriverte er \( 0\text{,} \) så funksjonen har ingen toppunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Et vendepunkt er der den andrederiverte bytter fortegn. Vi deriverer derfor en gang til og setter \( {f''(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x \]

Vi deriverer ledd for ledd, med kjerneregelen på det første leddet, og faktoriserer ut \( 2e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(x) &= 4e^{2x} - 2e^x \\ &= \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{2e^x - 1}) \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Vendepunktene ligger der \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{2e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) med \( {e^x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {e^{2x} = \left(e^x\right)^2 = \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ f(-\ln 2) = \dfrac{1}{4} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Vi tegner fortegnslinja til \( f''(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f''(x)", "expr": "2e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) går fra minus til pluss i \( {x = -\ln 2}\text{,} \) så grafen vender der.

Vi bruker punktene fra a), b) og c).

Vi samler punktene vi har funnet, og regner ut funksjonsverdiene i endene av intervallet. Så tegner vi grafen gjennom dem.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{Nullpunkt: } &\textcolor{blue}{(\ln 2,\ 0)} \\ \text{Bunnpunkt: } &\textcolor{red}{(0,\ -1)} \\ \text{Vendepunkt: } &\textcolor{green}{\left(-\ln 2,\ -\dfrac{3}{4}\right)} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene i endene Med kalkulator får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-2) &= e^{-4} - 2e^{-2} \approx -0{,}25 \\ f(1) &= e^2 - 2e \approx 1{,}95 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Fra b) vet vi at grafen synker fram til \( {x = 0} \) og så stiger. Fra c) vet vi at den vender i \( {x = -\ln 2}\text{.} \) Da kan vi tegne den. Sammenhengen mellom en graf og fortegnslinjene ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025:

Vi vet hvor den deriverte er \( 0\text{,} \) så vi setter opp den deriverte først og integrerer den.

1. Sett opp den deriverte I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En andregradsfunksjon med nullpunktene \( {-2} \) og \( 1 \) er: \[ f'(x) = \textcolor{green}{k}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) slik at alle koeffisientene i \( f(x) \) blir hele tall: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{green}{6}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \\ &= 6(x^2 + x - 2) \\ &= 6x^2 + 6x - 12 \end{aligned} \]

2. Integrer den deriverte Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Regelen forteller oss at: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad n \neq -1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int (6x^2 + 6x - 12)\, dx \\ &= 6 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 6 \cdot \dfrac{x^2}{2} - 12x + C \\ &= 2x^3 + 3x^2 - 12x + C \end{aligned} \]

Vi velger \( {C = 0}\text{.} \)

3. Sjekk at punktene er ekstremalpunkter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "6(x + 2)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -2} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

Andre svar er også riktige: alle valg av \( {k \neq 0} \) og \( C \) gir en slik funksjon, for eksempel \( {f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5}\text{.} \)

Vi tar linja \( {y = x - 2} \) og legger til en brøk som går mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, og som har nevneren \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Sett opp funksjonen Brøken \( {\dfrac{1}{x + 2}} \) er den enkleste som har de to egenskapene, så vi velger: \[ h(x) = \textcolor{blue}{x - 2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \]

2. Sjekk skråasymptoten Avstanden mellom grafen og linja er brøken, og den går mot \( 0 \) når \( x \) går mot pluss eller minus uendelig: \[ h(x) - (\textcolor{blue}{x - 2}) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \to 0 \]

Altså er \( {y = x - 2} \) en skråasymptote.

3. Sjekk den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Telleren i brøken er \( 1\text{,} \) så \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {h(x) = x - 2 + \dfrac{5}{x + 2}}\text{.} \)

Vi deriverer, finner nullpunktet til den deriverte og bruker fortegnet til å se hvor funksjonen stiger og synker.

1. Deriver ledd for ledd \( (\ln x)^2 \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(g(\textcolor{green}{u})\right)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er, med \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= \textcolor{green}{u}^2 & g'(\textcolor{green}{u}) &= 2\textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\ln x} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left((\ln x)^2\right)' = 2\textcolor{green}{\ln x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} = \underline{\dfrac{2\ln x}{x}} \]

\( 6\ln x \) derivert blir \( \underline{\dfrac{6}{x}}\text{,} \) og \( 1 \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2\ln x + 6}}{\textcolor{magenta}{x}} \]

2. Finn nullpunktet til den deriverte Nevneren er aldri \( 0 \) for \( {x > 0}\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2\ln x + 6} &= 0 \\ \ln x &= -3 \\ x &= e^{-3} \end{aligned} \]Det siste steget er definisjonen av \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

3. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.049787068367863944], "labels": ["e^{-3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2\\ln x + 6}", "expr": "2ln(x) + 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2ln(x) + 6)/x"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = e^{-3}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

4. Regn ut bunnpunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-3}) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-3}) &= (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 1 \\ &= 9 - 18 + 1 = -8 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra a).

Krumningen er gitt av fortegnet til \( f''(x)\text{,} \) så vi deriverer én gang til og lager et fortegnsskjema.

1. Finn den andrederiverte I a) fant vi: \[ f'(x) = \dfrac{2\ln x + 6}{x} \]

Det er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2\ln x + 6} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{2\ln x + 6}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{2 - 2\ln x - 6}{x^2} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4}}{\textcolor{magenta}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktet til den andrederiverte Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4} &= 0 \\ \ln x &= -2 \\ x &= e^{-2} \end{aligned} \]

3. Lag et fortegnsskjema Nevneren \( \textcolor{magenta}{x^2} \) er alltid positiv for \( {x > 0}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.1353352832366127], "labels": ["e^{-2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-2\\ln x - 4}", "expr": "-2ln(x) - 4"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x^2}", "expr": "x^2"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(-2ln(x) - 4)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

For \( {x < e^{-2}} \) er \( {f''(x) > 0}\text{,} \) så grafen krummer oppover. For \( {x > e^{-2}} \) er \( {f''(x) < 0}\text{,} \) så grafen krummer nedover. Krumningen skifter i \( {x = e^{-2}}\text{,} \) så der er et vendepunkt.

4. Regn ut vendepunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-2}) = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-2}) &= (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 1 \\ &= 4 - 12 + 1 = -7 \end{aligned} \]