Forkurseksamen etter tema

Uttrykket står i linje 3. Temperaturen er størst og minst der \( \cos \) er henholdsvis \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) fordi den trekkes fra.

1. Les av uttrykket Linje 2 og 3 definerer funksjonen. I koden står \( \texttt{pi} \) for \( \pi\text{,} \) og \( \texttt{*} \) betyr gange: \[ T(t) = 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \]

2. Finn største og minste verdi Verdiene til cosinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser: \[ -1 \leq \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \leq 1 \]

Gjennom døgnet går \( t \) fra \( 0 \) til \( 24\text{,} \) så \( \dfrac{\pi t}{12} \) går fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{.} \) Da får cosinus både verdien \( 1 \) og verdien \( {-1}\text{.} \)

Med \( {\cos = \textcolor{blue}{-1}} \) får vi den høyeste temperaturen, ved \( {t = 12}\text{:} \) \[ T_{\text{maks}} = 16 - 8 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 24 \]

Med \( {\cos = \textcolor{red}{1}} \) får vi den laveste temperaturen, ved \( {t = 0} \) og \( {t = 24}\text{:} \) \[ T_{\text{min}} = 16 - 8 \cdot \textcolor{red}{1} = 8 \]

Vi tenker som datamaskinen, slik videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025 gjør. Løkken stopper første gang \( \texttt{verdi} \) er minst \( 20\text{.} \)

1. Se hva løkken gjør Linje 6 sjekker om \( {\texttt{verdi} < 20} \) før hver runde. Først er \( {\texttt{verdi} = 0} \) og \( {\texttt{t1} = 0}\text{.} \)

I hver runde regner linje 7 ut \( T(\texttt{t1})\text{,} \) og linje 9 øker \( \texttt{t1} \) med \( 1\text{.} \) Runde nummer én bruker altså \( {t = 0}\text{,} \) runde to \( {t = 1}\text{,} \) og så videre.

2. Finn når temperaturen når 20 Vi løser \( {T(t) = 20}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= 20 \\ \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \]

Fra midnatt til \( {t = 12} \) synker cosinus hele tiden fra \( 1 \) til \( {-1}\text{,} \) så temperaturen stiger. Dette er derfor første gang den når \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\pi t}{12} &= \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{8} \end{aligned} \]

3. Tell rundene For \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er temperaturen akkurat \( 20\text{:} \) \[ T(\textcolor{blue}{8}) = 16 - 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 20 \]

Etter runden med \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er \( {\texttt{verdi} = 20}\text{.} \) Betingelsen \( {20 < 20} \) er usann, så løkken stopper. Rundene bruker \( {t = 0, 1, \ldots, \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) og det er: \[ \textcolor{blue}{8} + 1 = 9 \text{ runder} \]

Lengden av hver del er omkretsen til figuren. Fra omkretsen finner vi siden i kvadratet og radien i sirkelen, og så arealene.

1. Finn arealet av kvadratet Delen med lengde \( x \) er omkretsen til kvadratet. Et kvadrat har fire like sider, så hver side er: \[ \textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \]

Et kvadrat er et rektangel med like sider, som har arealet lengde ganger bredde i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{s}^2 = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 \]

2. Finn arealet av sirkelen Resten av strengen er \( {1 - x}\text{,} \) og det er omkretsen til sirkelen. Omkretsen av en sirkel er: \[ O = 2\pi \textcolor{red}{r} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2\pi \textcolor{red}{r} &= 1 - x \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \end{aligned} \]

Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{:} \) \[ \pi \textcolor{red}{r}^2 = \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 + \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

Delen \( x \) er en del av en streng på \( 1 \) meter, så den er mellom \( 0 \) og \( 1\text{:} \) \[ x \in [0, 1] \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(x) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Den andrederiverte viser at det er et minimum.

1. Forenkle og deriver Vi skriver om det andre leddet, slik at det blir enklere å derivere: \[ \begin{aligned} \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2 &= \pi \cdot \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi^2} \\ &= \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(\textcolor{green}{1 - x})^2}{4\pi} \]

Det andre leddet har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{u}^2)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{2x}{16} + \dfrac{2(\textcolor{green}{1 - x}) \cdot (\textcolor{green}{-1})}{4\pi} \\ &= \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( 8\pi \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} &= 0 \\ \pi x - 4(1 - x) &= 0 \\ \pi x + 4x &= 4 \\ x(\pi + 4) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Dette er en verdi i intervallet \( [0, 1]\text{.} \)

3. Vis at det er et minimum Den andrederiverte er: \[ A''(x) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2\pi} > 0 \]

Den er positiv for alle \( x\text{,} \) så grafen vender hele tiden den hule siden opp. Punktet er derfor det laveste på hele intervallet.

4. Regn ut arealet Vi setter inn \( {x = \dfrac{4}{\pi + 4}}\text{.} \) Vi trenger: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{4} &= \dfrac{1}{\pi + 4} \\ 1 - x &= 1 - \dfrac{4}{\pi + 4} = \dfrac{\pi}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formen fra første steg, \( {A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi^2}{4\pi(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{4 + \pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{4(\pi + 4)} \end{aligned} \]