Forkurseksamen etter tema

Programmet regner ut en Riemann-sum: arealet av fire firkanter under grafen. Linje 3 er selve funksjonen, og linje 8 legger til én firkant om gangen.

1. Skriv funksjonen på linje 3 Funksjonen skal returnere uttrykket som integreres: \[ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \]

På Python skrives det slik, med \( \texttt{sqrt} \) fra linje 1 og \( x^2 \) som \( \texttt{x*x}\text{:} \) \[ \texttt{return x/sqrt(x*x + 4)} \]

2. Skriv summen på linje 8 Arealet av en firkant er bredde ganget med høyde, som i videoen Riemann sum. Her er bredden \( \textcolor{blue}{\texttt{dx}} \) og høyden funksjonsverdien i venstre kant, \( \textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\text{:} \) \[ \text{areal} = \textcolor{red}{f(x_0)} \cdot \textcolor{blue}{\Delta x} \]

Vi legger arealet til summen \( s\text{:} \) \[ \texttt{s = s + }\textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\texttt{*}\textcolor{blue}{\texttt{dx}} \]

Vi ser at \( x \) i telleren nesten er den deriverte av det som står under roten. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = x^2 + 4}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter det som står under roten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + 4} \\ \dfrac{du}{dx} &= 2x \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \int \dfrac{1}{\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \dfrac{1}{2}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\int \textcolor{green}{u}^{-\tfrac{1}{2}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\textcolor{green}{u}^{\tfrac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{\textcolor{green}{x^2 + 4}} + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Vi bruker den antideriverte fra \( 0 \) til \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \left[\sqrt{x^2 + 4}\right]_0^2 \\ &= \sqrt{8} - \sqrt{4} \\ &= 2\sqrt{2} - 2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: den eksakte verdien står i oppgaveteksten i b).

Koden bruker bare fire brede firkanter. Med smalere og flere firkanter kommer vi nærmere arealet under grafen.

1. Forklar hvorfor estimatet er dårlig Koden regner ut venstre Riemann-sum med fire firkanter som er \( \textcolor{blue}{0{,}5} \) brede, med høyden \( \textcolor{red}{f(x_0)} \) i venstre kant. Avrundet til tre desimaler får vi: \[ \begin{aligned} s = \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{red}{f(0{,}5)} \\ &+ \textcolor{red}{f(1)} + \textcolor{red}{f(1{,}5)}) \\ \approx \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{0} + \textcolor{red}{0{,}243} \\ &+ \textcolor{red}{0{,}447} + \textcolor{red}{0{,}6}) \\ \approx \ &0{,}645 \end{aligned} \]

Den eksakte verdien fra b) er, avrundet til tre desimaler: \[ 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}828 \]

Grafen stiger hele veien fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Høyden tas i venstre kant, så firkantene ligger under grafen og gir for lite areal, som i videoen Riemann sum. Med så brede firkanter blir feilen stor.

2. Velg smalere firkanter Bredden ganget med antallet må fortsatt bli lengden av intervallet, \( 2\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\Delta x} \cdot n = 2 \]

Velger vi \( {\textcolor{blue}{\Delta x} = \textcolor{blue}{0{,}01}}\text{,} \) får vi: \[ n = \dfrac{2}{\textcolor{blue}{0{,}01}} = 200 \]Andre valg er også riktige, så lenge produktet er \( 2\text{.} \)

Linje 6 og 7 blir da: \[ \begin{aligned} &\texttt{dx = 1/100} \\ &\texttt{for i in range(200):} \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u og deriver Substitusjon forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'}\,dx = \int f(\textcolor{green}{u})\,d\textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + x} \\ d\textcolor{green}{u} &= (2x + 1)\,dx \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x}\,dx = \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \]

Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln \) av absoluttverdien, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} = \ln|\textcolor{green}{u}| + C \]

Bytter vi tilbake til \( x\text{,} \) får vi: \[ \ln|\textcolor{green}{x^2 + x}| + C \]

Vi integrerer et produkt av et polynom og \( e^x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og lar polynomet være det vi deriverer.

1. Finn delene i regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( e^x \) integrert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\Big[(\textcolor{red}{2x + 1})\textcolor{blue}{e^x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{e^x}\,dx \\ &= \Big[(2x + 1)e^x\Big]_0^1 - \Big[2e^x\Big]_0^1 \\ &= (3e^1 - 1 \cdot e^0) - (2e^1 - 2e^0) \\ &= (3e - 1) - (2e - 2) \\ &= e + 1 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( e^{2x}\text{,} \) og at \( 2x \) blir enklere når vi deriverer. Derfor bruker vi delvis integrasjon.

1. Skriv opp formelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{2x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} \end{aligned} \]Regelen for \( \textcolor{blue}{v} \) finner du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \cdot e^{2x}\,dx \\ &= \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}\,dx \\ &= xe^{2x} - \int e^{2x}\,dx \\ &= xe^{2x} - \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2x \) er den deriverte av eksponenten \( x^2\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = x^2}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon, og deriverer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ d\textcolor{green}{u} &= 2x\,dx \end{aligned} \]

2. Bytt grensene Grensene gjelder \( x\text{,} \) så vi regner dem om til \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0: \quad \textcolor{green}{u} &= 0^2 = 0 \\ x = 1: \quad \textcolor{green}{u} &= 1^2 = 1 \end{aligned} \]

3. Sett inn og integrer Setter vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\,dx &= \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \left[ e^{\textcolor{green}{u}} \right]_0^1 \\ &= e^1 - e^0 \\ &= e - 1 \end{aligned} \]

Vi ser at \( 3 \) er en felles faktor i \( f(x)\text{.} \) Da gir enhetsformelen at funksjonen er konstant, og integralet blir enkelt.

1. Forenkle funksjonen Vi setter \( \textcolor{blue}{3} \) utenfor: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3}\left(\sin^2 x + \cos^2 x\right) \]

Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \cdot 1 = \textcolor{blue}{3} \]

2. Regn ut integralet Regelen for integralet av en konstant forteller oss at: \[ \int k\, dx = kx + C \]Det er regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler med \( {n = 0}\text{.} \)

Plugger vi inn \( {k = \textcolor{blue}{3}} \) og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{13}} \textcolor{blue}{3}\, dx &= \Big[\textcolor{blue}{3}x\Big]_0^{\textcolor{red}{13}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{13} - \textcolor{blue}{3} \cdot 0 \\ &= 39 \end{aligned} \]

Dette er nettopp \( {\textcolor{red}{13} \cdot \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) integralet er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{red}{13} \) og høyde \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Robotens omvei gir derfor rett svar.

Vi ganger inn \( 3 \) og integrerer ledd for ledd.

1. Gang inn i parentesen \[ 3(x^2 + 4x + 4) = \textcolor{blue}{3x^2} + \textcolor{red}{12x} + \textcolor{green}{12} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a x^n\, dx = \dfrac{a}{n + 1} x^{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{3x^2} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{x^3}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{12x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{6x^2}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{12} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{green}{12x}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 3(x^2 + 4x + 4)\, dx \\ &= \textcolor{blue}{x^3} + \textcolor{red}{6x^2} + \textcolor{green}{12x} + C \end{aligned} \]

Nevneren er et fullstendig kvadrat. Når vi skriver den slik, kan vi bruke substitusjon.

1. Faktoriser nevneren Første kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ x^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 = (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})^2 \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{(x + 2)^2}\, dx \]

2. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 1 \\ dx &= d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2}\, d\textcolor{green}{u} \]

3. Integrer En brøk med \( \textcolor{green}{u}^2 \) i nevneren skriver vi som en negativ potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2} = 3\textcolor{green}{u}^{-2} \]

Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a u^n\, du = \dfrac{a}{n + 1} u^{n + 1} + C \]

Her er \( {a = 3} \) og \( {n = -2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int 3\textcolor{green}{u}^{-2}\, d\textcolor{green}{u} &= \dfrac{3}{-1} \textcolor{green}{u}^{-1} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{x + 2}} + C \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er halvparten av den deriverte til nevneren. Da bruker vi substitusjon med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 + 4x}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x + 4 = 2(x + 2) \\ (x + 2)\, dx &= \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

2. Integrer Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u}\, du = \ln|u| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn substitusjonen, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x}\, dx &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{x^2 + 4x}| + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Nevneren \( {x(x + 4)} \) er \( 0 \) bare i \( {x = 0} \) og \( {x = -4}\text{,} \) og ingen av dem ligger mellom grensene. Da kan vi sette inn: \[ \begin{aligned} &\left[\dfrac{1}{2} \ln|x^2 + 4x|\right]_{-3}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|1 - 4| - \dfrac{1}{2} \ln|9 - 12| \\ &= \dfrac{1}{2} \ln 3 - \dfrac{1}{2} \ln 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

En tangent er en rett linje, så vi trenger et punkt og et stigningstall. Stigningstallet får vi fra den deriverte.

1. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 4} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(4) &= 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 16 - 16 + 2 = 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ f'(4) &= 2 \cdot 4 - 4 = 4 \end{aligned} \]

2. Sett inn i tangentformelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y - f(\textcolor{blue}{a}) = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad f(\textcolor{blue}{4}) = 2, \quad \textcolor{red}{f'(4)} = \textcolor{red}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - 2 &= \textcolor{red}{4} \cdot (x - \textcolor{blue}{4}) \\ y - 2 &= 4x - 16 \\ y &= 4x - 14 \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn ett tall i \( f(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } f(x) \\ &\iff f(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Sett inn tallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{5}) &= 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {f(5) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 5)} \) en faktor.

Vi bruker fra b) at \( {(x - 5)} \) er en faktor i telleren.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 5}\text{,} \) men der er også telleren \( 0\text{.} \) Vi deler derfor først, og ser hva som står igjen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Se etter vertikal asymptote En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er det bare \( {x = 5}\text{.} \)

Vi forkorter brøken for \( {x \neq 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{\cancel{(x - 5)}}(x^2 + 3x - 4)}{\textcolor{darkorange}{\cancel{x - 5}}} \\ &= x^2 + 3x - 4 \end{aligned} \]

Når \( x \) går mot \( 5\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 5} f(x) &= 5^2 + 3 \cdot 5 - 4 \\ &= 36 \end{aligned} \]

Funksjonen går mot et tall og vokser ikke over alle grenser. Så \( {x = 5} \) er bare et hull i grafen, ikke en vertikal asymptote.

3. Se etter horisontal asymptote En horisontal asymptote får vi hvis \( f(x) \) går mot et tall når \( x \) blir veldig stor, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er leddet \( x^2 \) størst: \[ \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 + 3x - 4) = \infty \]

Grafen er en parabel med et hull, så den har heller ingen skrå asymptote.

Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Differansen blir enkel, og den integrerer vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Vi regner ut differansen: \[ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= (x + 1)e^{x^2} - e^{x^2} \\ &= x e^{x^2} \end{aligned} \]

På \( [0, 1] \) er \( {x \geq 0} \) og \( {e^{x^2} > 0}\text{,} \) så \( {f(x) \geq g(x)}\text{.} \) Grafen til \( f \) ligger altså øverst.

Arealet mellom grafene er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \int_0^1 (f(x) - g(x))\,dx \\ &= \int_0^1 x e^{x^2}\,dx \end{aligned} \]Arealet som et bestemt integral ser du i videoen Hva er integrasjon.

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 0 \\ x = 1 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 1 \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Integralet av \( e^u \) er \( e^u\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 \\ &= \dfrac{1}{2} (e^1 - e^0) = \dfrac{e - 1}{2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\sin x} \\ du &= \cos x\,dx \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = \dfrac{\pi}{2} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \\ x = \dfrac{2\pi}{3} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som du finner i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{2\pi}{3}} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx &= \int_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \Big[\ln|\textcolor{green}{u}|\Big]_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \ln 1 \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler først med polynomdivisjon. Så integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {4x^2 + 4x + 2} \) på \( {2x - 1} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^2} + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (2x - 1) &= 4x^2 - 2x \\ -(4x^2 - 2x) &= \textcolor{red}{-4x^2 + 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & 6x & {}+ 2 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {4x + 2x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2\text{.} \) Linja \( {6x + 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{magenta}{3} \cdot (2x - 1) &= 6x - 3 \\ -(6x - 3) &= \textcolor{magenta}{-6x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}+ 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-6x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3} \\ \hline & & 5 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {2 + 3 = 5}\text{.} \) Tallet 5 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 5 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x^2 + 4x + 2}{2x - 1} = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} + \dfrac{5}{2x - 1} \]

2. Integrer ledd for ledd De to første leddene integrerer vi som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int (\textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3})\,dx = x^2 + 3x \]

Det siste leddet løser vi med substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{2x - 1} \\ du &= 2\,dx \\ dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Siden \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{5}{\textcolor{blue}{2x - 1}}\,dx &= \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,du \\ &= \dfrac{5}{2}\ln|\textcolor{blue}{2x - 1}| + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ x^2 + 3x + \dfrac{5}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre: \[ \begin{aligned} 2x^2 - 2x + 3 &= -x^2 + 4x + 3 \\ 3x^2 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( 3x\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 3x(x - 2) &= 0 \\ x = \textcolor{blue}{0} \quad &\text{eller} \quad x = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn hvilken graf som er øverst Vi tester \( {x = 1} \) mellom skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 2 - 2 + 3 = 3 \\ g(1) &= -1 + 4 + 3 = 6 \end{aligned} \]

Så \( g \) ligger øverst.

3. Regn ut integralet Arealet under en graf er et integral, som i videoen Hva er integrasjon. Mellom to grafer tar vi den øverste minus den nederste. Grensene \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{2} \) er skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \left(g(x) - f(x)\right)dx \\ &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} (-3x^2 + 6x)\,dx \\ &= \Big[-x^3 + 3x^2\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (-8 + 12) - 0 = 4 \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene. Merk at \( e^2 \) bare er en konstant.

1. Integrer ledd for ledd Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn hvert ledd, og integrerer \( \textcolor{green}{e^2} \) som en konstant, får vi: \[ F(x) = x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + 3x^2 + \textcolor{green}{e^2}x \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er gitt ved: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {a = -2} \) og \( {b = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(2)} &= \textcolor{blue}{16 - \dfrac{16}{3} + 12 + 2\textcolor{green}{e^2}} \\ \textcolor{red}{F(-2)} &= \textcolor{red}{16 + \dfrac{16}{3} + 12 - 2\textcolor{green}{e^2}} \end{aligned} \]

Trekker vi fra, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{F(2)} - \textcolor{red}{F(-2)} \\ &= -\dfrac{16}{3} - \dfrac{16}{3} + 2\textcolor{green}{e^2} + 2\textcolor{green}{e^2} \\ &= 4\textcolor{green}{e^2} - \dfrac{32}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Da passer substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter, som i videoen Substitusjon: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x} \]

Deriverer vi begge sider og løser for \( dx\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= \cos x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, stryker \( \cos x \) mot \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{\sin^2 x}}\,dx &= \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{u}^2} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Potensregelen for integraler, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int u^n\,du = \dfrac{1}{n + 1}u^{n + 1} + C \]

Her er \( {n = -2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} = -\textcolor{green}{u}^{-1} + C = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} + C \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{\sin x}} + C \]

Et rotasjonslegeme kalles også et omdreiningslegeme. Vi bruker formelen for volumet om \( {x\text{-aksen,}} \) der radien er funksjonsverdien.

1. Sett opp integralet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er gitt ved: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \textcolor{green}{f(x)}^2\,dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \textcolor{green}{f(x)} = \textcolor{green}{e^x}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} (\textcolor{green}{e^x})^2\,dx = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} e^{2x}\,dx \]

2. Regn ut integralet Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n}e^{nx} + C \]Du finner regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} \\ &= \pi\left(\dfrac{1}{2}e^{2} - \dfrac{1}{2}e^{0}\right) \\ &= \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1) \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Faktoren \( {y + 1} \) kan vi forkorte bort først.

1. Separer likningen Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = y} \) og \( {b = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ (y - 1)\textcolor{darkorange}{(y + 1)}y' = 3\textcolor{darkorange}{(y + 1)} \]

Vi starter i \( {y = 2}\text{,} \) så \( {y + 1 \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på \( {\textcolor{darkorange}{(y + 1)}}\text{.} \) Så skriver vi \( {y' = \dfrac{dy}{dx}} \) og separerer, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} (y - 1)\dfrac{dy}{dx} &= 3 \\ (y - 1)\,dy &= 3\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider \[ \begin{aligned} \int (y - 1)\,dy &= \int 3\,dx \\ \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x + \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]

3. Bruk initialverdien Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 &= 3 \cdot 1 + \textcolor{green}{C} \\ 0 &= 3 + \textcolor{green}{C} \\ \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{-3} \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi setter inn \( \textcolor{green}{C} \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x \textcolor{green}{{}- 3} \\ y^2 - 2y &= 6x - 6 \\ y^2 - 2y + 6 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Dette er en andregradslikning i \( y\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at: \[ y = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}c}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad c = 6 - 6x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (6 - 6x)}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{24x - 20}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{6x - 5} \end{aligned} \]

5. Velg riktig fortegn Vi setter inn \( {x = 1} \) i begge og sammenligner med \( {y(1) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 2 \\ 1 - \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 0 \end{aligned} \]

Bare plusstegnet passer. Løsningen gjelder for \( {x > \dfrac{5}{6}}\text{,} \) der roten er positiv.

Vi ser et produkt av \( x \) og \( e^x\text{.} \) \( x \) blir enklere når den deriveres, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'} \, dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^x \, dx &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{blue}{e^x} \cdot \textcolor{red}{1} \, dx \\ &= x e^x - e^x + C \\ &= (x - 1)e^x + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2\pi x \) er den deriverte av det som står inni sinus. Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjonen Vi setter det som står inni sinus lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x^2 + 1} \\ \dfrac{du}{dx} &= \textcolor{blue}{2\pi x} \\ du &= \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx \end{aligned} \]

2. Integrer og sett tilbake Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx = \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Sinus integrert er minus cosinus, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du = -\cos(\textcolor{green}{u}) + C \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x^2 + 1}}\text{,} \) får vi: \[ -\cos(\textcolor{green}{\pi x^2 + 1}) + C \]

Nevneren er allerede faktorisert, så vi deler brøken opp med delbrøksoppspalting. Da kan vi integrere hver del for seg.

1. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 3} \]

Ganger vi med \( {(x + 1)(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x - 3) + \textcolor{blue}{B}(x + 1) \\ x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x - 3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Leddene med \( x \) og konstantleddene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 1 \\ -3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{red}{A} &= 2 \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{blue}{B} &= 1 - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Integrer delbrøkene Regelen for brøken, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{x + n} \, dx = \ln|x + n| + C \]

Nevnerne er ikke \( 0 \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så integralet finnes. En konstant foran brøken blir stående. Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{red}{1/2}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{x - 3}\right) dx \\ &= \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln|x + 1| + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln|x - 3|\right]_0^1 \end{aligned} \]

4. Sett inn grensene Med \( {x = 1} \) og \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} x = 1 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 = \ln 2 \\ x = 0 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 1 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln 3 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, og bruker logaritmereglene, får vi: \[ \begin{aligned} \ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 3 &= \dfrac{1}{2}(\ln 4 - \ln 3) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]