Forkurseksamen etter tema

Vi ser at nevneren kan faktoriseres og at telleren har lavere grad, så vi bruker delbrøksoppspalting.

1. Faktoriser nevneren Nevneren har nullpunktene \( {x = 2} \) og \( {x = -1}\text{,} \) siden \( {2 + (-1) = 1} \) og \( {2 \cdot (-1) = -2}\text{:} \) \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Vi ganger begge sider med \( {(x - 2)(x + 1)}\text{:} \) \[ 3x - 3 = \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \]

Med \( {x = 2} \) faller leddet med \( \textcolor{red}{B} \) bort: \[ \begin{aligned} 3 &= 3\textcolor{blue}{A} \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {x = -1} \) faller leddet med \( \textcolor{blue}{A} \) bort: \[ \begin{aligned} -6 &= -3\textcolor{red}{B} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

3. Integrer hver delbrøk Integralet av \( {\dfrac{1}{x + n}} \) er \( {\ln|x + n|}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{2}}{x + 1}\right) dx \\ &= \textcolor{blue}{1} \cdot \ln|x - 2| + \textcolor{red}{2} \ln|x + 1| + C \\ &= \ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C \end{aligned} \]

Vi integrerer et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Faktoren \( x \) blir enklere når den deriveres, så den setter vi som \( u\text{.} \)

1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\, dx \]Videoen Delvis integrasjon regner akkurat dette integralet, uten grenser.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

2. Finn det ubestemte integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int x \sin x\, dx \\ &= \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) - \int (\textcolor{blue}{-\cos x}) \cdot \textcolor{red}{1}\, dx \\ &= -x\cos x + \int \cos x\, dx \\ &= -x\cos x + \sin x + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\Big[-x\cos x + \sin x\Big]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= \left(-\dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &\quad - (-0 \cdot \cos 0 + \sin 0) \\ &= (0 + 1) - (0 + 0) \\ &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for volumet av et omdreiningslegeme. Grensene er endepunktene der funksjonen er definert.

1. Finn grensene Uttrykket under roten må ikke være negativt. Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -4} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og mellom dem er begge positive: \[ \begin{aligned} &(4 + x)(4 - x) \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ &-4 \leq x \leq 4 \end{aligned} \]

2. Skriv opp volumformelen Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_{\textcolor{green}{a}}^{\textcolor{green}{b}} \textcolor{blue}{f(x)^2}\, dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-4}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{4} \\ \textcolor{blue}{f(x)^2} &= (4 + x)(4 - x) = \textcolor{blue}{16 - x^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\textcolor{green}{-4}}^{\textcolor{green}{4}} (\textcolor{blue}{16 - x^2})\, dx \\ &= \pi \left[16x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{4} \\ &= \pi \left(64 - \dfrac{64}{3}\right) \\ &\quad - \pi \left(-64 + \dfrac{64}{3}\right) \\ &= \pi \left(128 - \dfrac{128}{3}\right) \\ &= \dfrac{256\pi}{3} \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd og husker konstanten \( C\text{,} \) siden integralet er ubestemt.

1. Integrer ledd for ledd For potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{n}}\, dx = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{n} + 1}x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{blue}{2}x\, dx = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1} + 1}x^{\textcolor{red}{1} + 1} = \underline{x^2} \]

Det siste leddet gir \( \ln\text{,} \) siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{.} \) Det viser den samme videoen: \[ \int \dfrac{1}{x}\, dx = \underline{\ln|x|} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \left(2x - \dfrac{1}{x}\right) dx = x^2 - \ln|x| + C \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Da får vi to enkle brøker som hver gir en \( \ln\text{.} \)

1. Faktoriser nevneren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4{\cdot}\textcolor{blue}{1}{\cdot}(\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x_1 &= 3, \quad x_2 = -1 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]Ingen av nullpunktene ligger i \( [0, 1]\text{,} \) så integralet kan regnes ut.

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x + 5}{(x - 3)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 3} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Ganger vi med fellesnevneren, får vi: \[ \begin{aligned} x + 5 &= \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 3) \\ x + 5 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + \textcolor{blue}{A} - 3\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

Koeffisientene foran \( x \) og konstantleddene må være like på begge sider: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 1 \\ \textcolor{blue}{A} - 3\textcolor{red}{B} &= 5 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, får vi: \[ 4\textcolor{red}{B} = -4 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{B} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{2} \]

3. Integrer Integrasjonsregelen for en slik brøk, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{p}{x + n}\, dx = p\ln|x + n| + C \]

Med \( {\textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{B} = \textcolor{red}{-1}} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x - 3} \textcolor{red}{-} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{x + 1}\right) dx \\ &= \Big[\textcolor{blue}{2}\ln|x - 3| \textcolor{red}{-} \ln|x + 1|\Big]_0^1 \\ &= (2\ln 2 - \ln 2) - (2\ln 3 - \ln 1) \\ &= \ln 2 - 2\ln 3 \end{aligned} \]

Med logaritmereglene, som i videoen Regneregler med Logaritmer, kan vi skrive det som én logaritme: \[ \ln 2 - 2\ln 3 = \ln 2 - \ln 9 = \ln\dfrac{2}{9} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

Vi ser et produkt av \( x \) og \( e^x\text{.} \) \( x \) blir enklere når den deriveres, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'} \, dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^x \, dx &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{blue}{e^x} \cdot \textcolor{red}{1} \, dx \\ &= x e^x - e^x + C \\ &= (x - 1)e^x + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2\pi x \) er den deriverte av det som står inni sinus. Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjonen Vi setter det som står inni sinus lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x^2 + 1} \\ \dfrac{du}{dx} &= \textcolor{blue}{2\pi x} \\ du &= \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx \end{aligned} \]

2. Integrer og sett tilbake Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx = \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Sinus integrert er minus cosinus, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du = -\cos(\textcolor{green}{u}) + C \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x^2 + 1}}\text{,} \) får vi: \[ -\cos(\textcolor{green}{\pi x^2 + 1}) + C \]

Nevneren er allerede faktorisert, så vi deler brøken opp med delbrøksoppspalting. Da kan vi integrere hver del for seg.

1. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 3} \]

Ganger vi med \( {(x + 1)(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x - 3) + \textcolor{blue}{B}(x + 1) \\ x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x - 3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Leddene med \( x \) og konstantleddene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 1 \\ -3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{red}{A} &= 2 \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{blue}{B} &= 1 - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Integrer delbrøkene Regelen for brøken, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{x + n} \, dx = \ln|x + n| + C \]

Nevnerne er ikke \( 0 \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så integralet finnes. En konstant foran brøken blir stående. Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{red}{1/2}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{x - 3}\right) dx \\ &= \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln|x + 1| + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln|x - 3|\right]_0^1 \end{aligned} \]

4. Sett inn grensene Med \( {x = 1} \) og \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} x = 1 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 = \ln 2 \\ x = 0 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 1 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln 3 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, og bruker logaritmereglene, får vi: \[ \begin{aligned} \ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 3 &= \dfrac{1}{2}(\ln 4 - \ln 3) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]