Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Tema

omdreiningslegeme

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

5 oppgaver om omdreiningslegeme

Ordinær eksamen 2026

Oppgave 4

3 poeng

Regn ut integralene og forenkle svarene mest mulig

Oppgave 4a)

\int \dfrac{3x - 3}{x^2 - x - 2}\, dx

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C}}

Vi ser at nevneren kan faktoriseres og at telleren har lavere grad, så vi bruker delbrøksoppspalting.

1. Faktoriser nevneren Nevneren har nullpunktene \( {x = 2} \) og \( {x = -1}\text{,} \) siden \( {2 + (-1) = 1} \) og \( {2 \cdot (-1) = -2}\text{:} \) \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Vi ganger begge sider med \( {(x - 2)(x + 1)}\text{:} \) \[ 3x - 3 = \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \]

Med \( {x = 2} \) faller leddet med \( \textcolor{red}{B} \) bort: \[ \begin{aligned} 3 &= 3\textcolor{blue}{A} \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {x = -1} \) faller leddet med \( \textcolor{blue}{A} \) bort: \[ \begin{aligned} -6 &= -3\textcolor{red}{B} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

3. Integrer hver delbrøk Integralet av \( {\dfrac{1}{x + n}} \) er \( {\ln|x + n|}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{2}}{x + 1}\right) dx \\ &= \textcolor{blue}{1} \cdot \ln|x - 2| + \textcolor{red}{2} \ln|x + 1| + C \\ &= \ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} x \sin x\, dx

Vis løsning

Svar

Integralet er:

\underline{\underline{1}}

Vi integrerer et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Faktoren \( x \) blir enklere når den deriveres, så den setter vi som \( u\text{.} \)

1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\, dx \]Videoen Delvis integrasjon regner akkurat dette integralet, uten grenser.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

2. Finn det ubestemte integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int x \sin x\, dx \\ &= \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) - \int (\textcolor{blue}{-\cos x}) \cdot \textcolor{red}{1}\, dx \\ &= -x\cos x + \int \cos x\, dx \\ &= -x\cos x + \sin x + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\Big[-x\cos x + \sin x\Big]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= \left(-\dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &\quad - (-0 \cdot \cos 0 + \sin 0) \\ &= (0 + 1) - (0 + 0) \\ &= 1 \end{aligned} \]

Oppgave 4c)

Grafen til funksjonen

{f(x) = \sqrt{(4 + x)(4 - x)}}

dreies

360^\circ

om x-aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet. Oppgi svaret eksakt.

Vis løsning

Svar

Volumet av omdreiningslegemet er:

\underline{\underline{V = \dfrac{256\pi}{3}}}

Vi bruker formelen for volumet av et omdreiningslegeme. Grensene er endepunktene der funksjonen er definert.

1. Finn grensene Uttrykket under roten må ikke være negativt. Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -4} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og mellom dem er begge positive: \[ \begin{aligned} &(4 + x)(4 - x) \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ &-4 \leq x \leq 4 \end{aligned} \]

2. Skriv opp volumformelen Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_{\textcolor{green}{a}}^{\textcolor{green}{b}} \textcolor{blue}{f(x)^2}\, dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-4}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{4} \\ \textcolor{blue}{f(x)^2} &= (4 + x)(4 - x) = \textcolor{blue}{16 - x^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\textcolor{green}{-4}}^{\textcolor{green}{4}} (\textcolor{blue}{16 - x^2})\, dx \\ &= \pi \left[16x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{4} \\ &= \pi \left(64 - \dfrac{64}{3}\right) \\ &\quad - \pi \left(-64 + \dfrac{64}{3}\right) \\ &= \pi \left(128 - \dfrac{128}{3}\right) \\ &= \dfrac{256\pi}{3} \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2022

Oppgave 9

1 poeng

Gitt funksjonen

{f(x) = \sqrt{x}\,(1 + x^2)}\text{.}

Vi roterer flatestykket mellom

{x\text{-aksen,}}

linja

{x = 1}

f(x)

360^\circ

{x\text{-aksen.}}

Regn ut volumet av omdreiningslegemet vi da får.

Vis løsning

Svar

Volumet av omdreiningslegemet er:

\underline{\underline{\dfrac{7\pi}{6}}}

Flaten roteres om \( {x\text{-aksen,}} \) så vi bruker volumformelen for omdreiningslegemer. Grensene er nullpunktet til \( f \) og linja \( {x = 1}\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \textcolor{green}{f(x)^2}\,dx \]Hvis du er usikker på volumformelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

2. Finn delene \( {1 + x^2} \) er alltid positiv, så \( {f(x) = 0} \) bare for \( {x = 0}\text{.} \) Siden \( {(\sqrt{x})^2 = x}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{green}{f(x)^2} &= x(1 + x^2)^2 \\ &= \textcolor{green}{x + 2x^3 + x^5} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Plugger vi dette inn og integrerer ledd for ledd, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} (\textcolor{green}{x + 2x^3 + x^5})\,dx \\ &= \pi \left[\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^6}{6}\right]_0^1 \\ &= \pi \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{7\pi}{6} \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 5

2 poeng

Figuren over viser grafen til funksjonen

F(x) = \dfrac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)

Vi ser på flatestykket som er avgrenset av denne grafen, linjene

{x = -1}

{x = 1}

{x\text{-aksen.}}

Oppgave 5a)

Finn arealet av dette flatestykket.

Vis løsning

Svar

Arealet av flatestykket er:

\underline{\underline{A = e - \dfrac{1}{e}}}

Grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( F(x) \) fra \( {-1} \) til \( 1\text{.} \)

1. Sett opp integralet Arealet under grafen er integralet mellom grensene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{2} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx} \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Her er \( {n = 1} \) i det første leddet og \( {n = -1} \) i det andre: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{e^x}\,dx &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \int \textcolor{red}{e^{-x}}\,dx &= \textcolor{red}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \left[ \textcolor{blue}{e^x} \textcolor{red}{- e^{-x}} \right]_{-1}^{1} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( (e - e^{-1}) - (e^{-1} - e) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 2e - 2e^{-1} \right) \\ &= e - \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Finn volumet av omdreiningslegemet som kommer frem ved å dreie dette flatestykket

360^\circ

{x\text{-aksen.}}

Vis løsning

Svar

Volumet av omdreiningslegemet er:

\underline{\underline{V = \dfrac{\pi}{4} \left( e^2 - e^{-2} + 4 \right)}}

Vi bruker volumformelen for et omdreiningslegeme. Vi må først kvadrere \( F(x)\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme om \( {x\text{-aksen}} \) er: \[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} F(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på volumformelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse. Her er grensene \( {x_1 = -1} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)

2. Kvadrer funksjonen Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Den står i videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{e^{-x}} \\ \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} &= e^{x - x} = 1 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} F(x)^2 &= \dfrac{1}{4} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right)^2 \\ &= \dfrac{1}{4} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, med regelen \( {\int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx}} \) fra videoen Basic integrasjonsregler/formler: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \int_{-1}^{1} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) dx \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left[ \dfrac{1}{2} e^{2x} + 2x - \dfrac{1}{2} e^{-2x} \right]_{-1}^{1} \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, først \( 1 \) og så \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^2 + 2 - \dfrac{1}{2} e^{-2} \right) \\ &\quad - \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^{-2} - 2 - \dfrac{1}{2} e^2 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left( e^2 - e^{-2} + 4 \right) \end{aligned} \]

Konteeksamen 2019

Oppgave 5

4 poeng

Oppgave 5a)

Regn ut det bestemte integralet

\int_{-2}^{2} (4x^3 - 2x^2 + 6x + e^2)\,dx

Vis løsning

Svar

Det bestemte integralet er:

\underline{\underline{4e^2 - \dfrac{32}{3}}}

Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene. Merk at \( e^2 \) bare er en konstant.

1. Integrer ledd for ledd Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Plugger vi inn hvert ledd, og integrerer \( \textcolor{green}{e^2} \) som en konstant, får vi: \[ F(x) = x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + 3x^2 + \textcolor{green}{e^2}x \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er gitt ved: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Her er \( {a = -2} \) og \( {b = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(2)} &= \textcolor{blue}{16 - \dfrac{16}{3} + 12 + 2\textcolor{green}{e^2}} \\ \textcolor{red}{F(-2)} &= \textcolor{red}{16 + \dfrac{16}{3} + 12 - 2\textcolor{green}{e^2}} \end{aligned} \]

Trekker vi fra, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{F(2)} - \textcolor{red}{F(-2)} \\ &= -\dfrac{16}{3} - \dfrac{16}{3} + 2\textcolor{green}{e^2} + 2\textcolor{green}{e^2} \\ &= 4\textcolor{green}{e^2} - \dfrac{32}{3} \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Regn ut det ubestemte integralet

\int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\sin x} + C}}

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Da passer substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter, som i videoen Substitusjon: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x} \]

Deriverer vi begge sider og løser for \( dx\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= \cos x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, stryker \( \cos x \) mot \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{\sin^2 x}}\,dx &= \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{u}^2} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Potensregelen for integraler, som i videoen Basic integrasjonsregler/formler, forteller oss at: \[ \int u^n\,du = \dfrac{1}{n + 1}u^{n + 1} + C \]

Her er \( {n = -2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} = -\textcolor{green}{u}^{-1} + C = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} + C \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{\sin x}} + C \]

Oppgave 5c)

Bestem volumet til rotasjonslegemet som fremkommer ved å rotere området mellom

x

-aksen og grafen til

{y = e^x}\text{,}

fra

{x = 0}

til

{x = 1}\text{,}

x

-aksen.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{V = \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)}}

Et rotasjonslegeme kalles også et omdreiningslegeme. Vi bruker formelen for volumet om \( {x\text{-aksen,}} \) der radien er funksjonsverdien.

1. Sett opp integralet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er gitt ved: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \textcolor{green}{f(x)}^2\,dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \textcolor{green}{f(x)} = \textcolor{green}{e^x}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} (\textcolor{green}{e^x})^2\,dx = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} e^{2x}\,dx \]

2. Regn ut integralet Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n}e^{nx} + C \]Du finner regelen i videoen Basic integrasjonsregler/formler.

Her er \( {n = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} \\ &= \pi\left(\dfrac{1}{2}e^{2} - \dfrac{1}{2}e^{0}\right) \\ &= \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1) \end{aligned} \]

Oppgave 5d)

Løs initialverdiproblemet

(y^2 - 1)y' = 3(y + 1)

der

{y(1) = 2}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{y = 1 + \sqrt{6x - 5}}}

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Faktoren \( {y + 1} \) kan vi forkorte bort først.

1. Separer likningen Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = y} \) og \( {b = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ (y - 1)\textcolor{darkorange}{(y + 1)}y' = 3\textcolor{darkorange}{(y + 1)} \]

Vi starter i \( {y = 2}\text{,} \) så \( {y + 1 \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på \( {\textcolor{darkorange}{(y + 1)}}\text{.} \) Så skriver vi \( {y' = \dfrac{dy}{dx}} \) og separerer, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} (y - 1)\dfrac{dy}{dx} &= 3 \\ (y - 1)\,dy &= 3\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider \[ \begin{aligned} \int (y - 1)\,dy &= \int 3\,dx \\ \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x + \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]

3. Bruk initialverdien Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 &= 3 \cdot 1 + \textcolor{green}{C} \\ 0 &= 3 + \textcolor{green}{C} \\ \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{-3} \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi setter inn \( \textcolor{green}{C} \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x \textcolor{green}{{}- 3} \\ y^2 - 2y &= 6x - 6 \\ y^2 - 2y + 6 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Dette er en andregradslikning i \( y\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at: \[ y = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}c}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad c = 6 - 6x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (6 - 6x)}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{24x - 20}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{6x - 5} \end{aligned} \]

5. Velg riktig fortegn Vi setter inn \( {x = 1} \) i begge og sammenligner med \( {y(1) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 2 \\ 1 - \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 0 \end{aligned} \]

Bare plusstegnet passer. Løsningen gjelder for \( {x > \dfrac{5}{6}}\text{,} \) der roten er positiv.

Ordinær eksamen 2019

Oppgave 7

1 poeng

Gitt en trekant

ABC

hvor koordinatene til

A

(0, 0)

og koordinatene til

B

(8, 0)\text{.}

{\angle A = 45^\circ}

{\angle B = 45^\circ}\text{.}

Regn ut volumet av legemet vi får når trekanten

ABC

roterer

360^\circ

rundt

x

-aksen.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{V = \dfrac{128\pi}{3}}}

Vi finner linja fra \( A \) til \( C\text{.} \) Trekanten er symmetrisk, så vi kan bruke volumformelen for omdreiningslegemer på den ene halvdelen og gange med \( 2\text{.} \)

1. Finn punktet C Vinklene ved \( A \) og \( B \) er like, så trekanten er likebeint, og \( C \) ligger rett over midten av \( AB\text{,} \) i \( {x = 4}\text{.} \) Punktet kan også ligge under \( x \)-aksen, men det gir det samme legemet.

Linja fra \( A \) har stigningstall: \[ \tan 45^\circ = 1 \]

Den går gjennom origo, så mellom \( {x = 0} \) og \( {x = 4} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(x)} &= \textcolor{blue}{x} \\ f(4) &= 4 \\ C &= (4, 4) \end{aligned} \]

2. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme rundt \( x \)-aksen er gitt ved: \[ V = \pi \int_a^b \textcolor{blue}{f(x)}^2 \, dx \]Her er \( a \) og \( b \) grensene for \( x\text{.} \) Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

3. Regn ut volumet Potensregelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

Trekanten er symmetrisk om \( {x = 4}\text{,} \) så de to halvdelene gir like stort volum. Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{f(x)} = \textcolor{blue}{x}} \) fra \( 0 \) til \( 4\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} V &= 2 \cdot \pi \int_0^4 \textcolor{blue}{x}^2 \, dx \\ &= 2\pi \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4 \\ &= 2\pi \cdot \dfrac{64}{3} = \dfrac{128\pi}{3} \end{aligned} \]

Kontroll: Legemet er to kjegler med radius \( 4 \) og høyde \( 4\text{:} \) \( {2 \cdot \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 4 = \dfrac{128\pi}{3}}\text{.} \)

Oppgavene

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar

Oppgave 4c)

Svar

Oppgave 9

Svar

Oppgave 5

Oppgave 5a)

Svar

Oppgave 5b)

Svar

Oppgave 5

Oppgave 5a)

Svar

Oppgave 5b)

Svar

Oppgave 5c)

Svar

Oppgave 5d)

Svar

Oppgave 7

Svar