Forkurs eksamen matematikk: oppgaver om betinget sannsynlighet

Ordinær eksamen 2022

Oppgave 8

4 poeng

I en klasse er det 28 elever. 7 av elevene er jenter. To av jentene har med seg matpakke på skolen. Av guttene er det

\dfrac{1}{3}

som har med seg matpakke på skolen.

Oppgave 8a)

Tegn et valgtre og et venndiagram som kartlegger denne situasjonen. Både valgtreet og venndiagrammet skal inneholde tall for de mengdene du illustrerer.

Vis løsning

Svar

Valgtreet og venndiagrammet står i stegene. Tallene i dem er:

\underline{\underline{\begin{aligned} \text{Jenter med matpakke:} \quad & 2 \\ \text{Jenter uten matpakke:} \quad & 5 \\ \text{Gutter med matpakke:} \quad & 7 \\ \text{Gutter uten matpakke:} \quad & 14 \end{aligned}}}

Vi regner først ut hvor mange det er i hver gruppe. Så tegner vi treet med kjønn først og matpakke etterpå, og venndiagrammet med en sirkel for jentene og en for dem med matpakke.

1. Tell opp hver gruppe Først finner vi guttene, og så hvor mange i hver gruppe som har matpakke: \[ \begin{aligned} \text{Gutter:} \quad & 28 - 7 = 21 \\ \text{Jenter med:} \quad & \textcolor{blue}{2} \\ \text{Jenter uten:} \quad & 7 - 2 = \textcolor{red}{5} \\ \text{Gutter med:} \quad & \dfrac{1}{3} \cdot 21 = \textcolor{green}{7} \\ \text{Gutter uten:} \quad & 21 - 7 = \textcolor{darkorange}{14} \end{aligned} \]

2. Tegn valgtreet Første gren går til jenter eller gutter. På grenene videre står sannsynligheten for matpakke når vi vet kjønnet. Det er en betinget sannsynlighet, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1:

3. Tegn venndiagrammet I overlappet står jentene med matpakke. Utenfor begge sirklene står guttene uten matpakke. Totalt er det: \[ \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{green}{7} + \textcolor{darkorange}{14} = 28 \]

Oppgave 8b)

Regn ut sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er jente som har med seg matpakke på skolen.

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for jente med matpakke er:

\underline{\underline{\dfrac{1}{14}}}

Vi bruker tallene fra a).

Alle elevene er like sannsynlige, så vi deler antall gunstige på antall mulige.

1. Del gunstige på mulige Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]

Her er det \( \textcolor{red}{2} \) jenter med matpakke blant \( \textcolor{blue}{28} \) elever. Det gir oss: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{1}{14} \]

Oppgave 8c)

Regn ut sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har med seg matpakke på skolen.

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for at eleven har matpakke er:

\underline{\underline{\dfrac{9}{28}}}

Vi bruker tallene fra a).

Vi teller alle med matpakke, både jenter og gutter, og deler på antall elever.

1. Tell alle med matpakke Det er \( 2 \) jenter og \( 7 \) gutter med matpakke: \[ \textcolor{red}{2 + 7 = 9} \]

Vi deler antall gunstige på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{blue}{28}} \]

Oppgave 8d)

Vi plukker ut en elev som har med seg matpakke på skolen. Regn ut sannsynligheten for at denne eleven er en gutt.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{7}{9}}}

Vi bruker tallene fra a).

Vi vet at eleven har matpakke. Da er det bare elevene med matpakke som er mulige, så dette er en betinget sannsynlighet.

1. Del på dem med matpakke Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]Hvis du er usikker på betinget sannsynlighet, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Gunstige er guttene med matpakke, og mulige er alle med matpakke. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{gunstige}} &= \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{blue}{\text{mulige}} &= 2 + 7 = \textcolor{blue}{9} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{9}} \]

Konteeksamen 2021

Oppgave 7

2 poeng

I et bøttelotteri er det til sammen

100

lodd. Loddene har to farger, og det er

30

gule og

70

blå lodd. Av de gule loddene er det

3

vinnerlodd, mens det er

10

blå vinnerlodd. Vi trekker et tilfeldig lodd. La oss se på de to hendingene

\begin{aligned} G &= \{\text{Vi trekker et gult lodd}\} \\ V &= \{\text{Vi trekker et vinnerlodd}\} \end{aligned}

Oppgave 7a)

Sett opp et valgtre og et venndiagram for å visualisere situasjonen.

Vis løsning

Svar

Valgtreet og venndiagrammet står i løsningen. Tallene i dem er:

\underline{\underline{\begin{aligned} \text{Gul: } & 0{,}3, \text{ så vinner } 0{,}1 \\ \text{Blå: } & 0{,}7, \text{ så vinner } \dfrac{1}{7} \\ \text{Bare gul: } & 27 \text{ lodd} \\ \text{Gul vinner: } & 3 \text{ lodd} \\ \text{Blå vinner: } & 10 \text{ lodd} \\ \text{Utenfor: } & 60 \text{ lodd} \end{aligned}}}

Vi fordeler de \( 100 \) loddene etter farge og etter vinner eller ikke. Det gir oss alle tallene til begge figurene.

1. Fordel loddene Vi trekker vinnerloddene fra hver farge: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\text{Gule}}: \quad & \textcolor{darkorange}{30} - 3 = 27 \text{ uten gevinst} \\ \textcolor{blue}{\text{Blå}}: \quad & \textcolor{blue}{70} - 10 = 60 \text{ uten gevinst} \end{aligned} \]

2. Tegn valgtreet På den første grenen velger vi farge, og på den andre om loddet er et vinnerlodd. Sannsynligheten på en gren er gunstige delt på mulige: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\text{Gul}}: \quad & \dfrac{\textcolor{darkorange}{30}}{100} = 0{,}3 \\ \text{Vinner, gitt gul}: \quad & \dfrac{3}{\textcolor{darkorange}{30}} = 0{,}1 \\ \text{Ikke vinner, gitt gul}: \quad & \dfrac{27}{\textcolor{darkorange}{30}} = 0{,}9 \\ \textcolor{blue}{\text{Blå}}: \quad & \dfrac{\textcolor{blue}{70}}{100} = 0{,}7 \\ \text{Vinner, gitt blå}: \quad & \dfrac{10}{\textcolor{blue}{70}} = \dfrac{1}{7} \\ \text{Ikke vinner, gitt blå}: \quad & \dfrac{60}{\textcolor{blue}{70}} = \dfrac{6}{7} \end{aligned} \]

3. Tegn venndiagrammet Sirkelen \( G \) har \( \textcolor{darkorange}{30} \) lodd, og sirkelen \( V \) har \( {3 + 10 = 13}\text{.} \) De \( 3 \) gule vinnerloddene ligger i begge sirklene, altså i snittet. Utenfor begge er de blå loddene uten gevinst: \[ 100 - 27 - 3 - 10 = 60 \]

Finn følgende sannsynligheter:

Oppgave 7b)

P(G)\text{,}

P(V)\text{,}

P(G \cap V)

og

P(V | G)\text{.}

Vis løsning

Svar

Sannsynlighetene er:

\underline{\underline{P(G) = 0{,}30}}

\underline{\underline{P(V) = 0{,}13}}

\underline{\underline{P(G \cap V) = 0{,}03}}

\underline{\underline{P(V | G) = 0{,}10}}

Vi bruker fordelingen av loddene fra a).

De tre første er gunstige delt på mulige. I den siste vet vi at loddet er gult, så da er det bare de gule loddene som er mulige.

1. Regn ut de tre første Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige, og her er det \( 100 \) mulige lodd.

\( P(G)\text{:} \) Det er \( 30 \) gule lodd: \[ P(G) = \dfrac{30}{100} = 0{,}30 \]

\( P(V)\text{:} \) Det er \( {3 + 10 = 13} \) vinnerlodd: \[ P(V) = \dfrac{13}{100} = 0{,}13 \]

\( P(G \cap V)\text{:} \) Det er \( 3 \) lodd som er både gule og vinnerlodd: \[ \textcolor{blue}{P(G \cap V)} = \dfrac{3}{100} = \textcolor{blue}{0{,}03} \]

2. Regn ut den betingede sannsynligheten \( P(V | G) \) er sannsynligheten for vinnerlodd når vi vet at loddet er gult, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1. Formelen forteller oss at: \[ P(V | G) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(G \cap V)}}{\textcolor{red}{P(G)}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{P(G \cap V)} = \textcolor{blue}{0{,}03}, \quad \textcolor{red}{P(G)} = \textcolor{red}{0{,}30} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(V | G) = \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}03}}{\textcolor{red}{0{,}30}} = 0{,}10 \]

Det stemmer med telling blant de gule loddene: \( 3 \) av \( 30 \) er vinnerlodd.

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 8

4 poeng

I en populasjon på

1000

vil

2{,}3\,\%

utvikle en sykdom

A\text{,}

som krever livslang oppfølging. En slik livslang oppfølging beregnes til å koste samfunnet i snitt

1\,000\,000

per person med sykdom

A\text{.}

Det finnes en vaksine mot denne sykdom

A\text{,}

som er

90\,\%

effektiv (

10\,\%

av befolkningen vil ikke være beskyttet mot sykdom

A

selv om de har tatt vaksinen). Denne vaksinen koster

2\,300

per stykk.

Oppgave 8a)

Lønner det seg å vaksinere hele populasjonen? Svaret må begrunnes.

Vis løsning

Svar

Ja, det lønner seg å vaksinere hele populasjonen. Kostnaden blir:

\underline{\underline{\begin{aligned} \text{Uten vaksine:} \quad & 23\,000\,000 \\ \text{Med vaksine:} \quad & 4\,600\,000 \end{aligned}}}

Vi regner ut hva det koster samfunnet uten vaksine og med vaksine, og sammenligner.

1. Regn ut kostnaden uten vaksine \( 2{,}3\,\% \) av \( 1000 \) personer blir syke, regnet som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \begin{aligned} \text{Syke} &= \dfrac{2{,}3}{100} \cdot 1000 = 23 \\ \textcolor{blue}{\text{Uten vaksine}} &= 23 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{blue}{23\,000\,000} \end{aligned} \]

2. Regn ut kostnaden med vaksine Vaksinen koster \( 2\,300 \) for hver av de \( 1000 \) personene. Av de \( 23 \) som ellers ville blitt syke, er \( 10\,\% \) ikke beskyttet: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\text{Vaksiner}} &= 1000 \cdot 2\,300 \\ &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ \text{Syke i snitt} &= \dfrac{10}{100} \cdot 23 = 2{,}3 \\ \textcolor{darkorange}{\text{Oppfølging}} &= 2{,}3 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Med vaksine}} &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ &\quad + \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \\ &= \textcolor{red}{4\,600\,000} \end{aligned} \]

3. Sammenlign Det koster mye mindre å vaksinere alle: \[ \textcolor{red}{4\,600\,000} < \textcolor{blue}{23\,000\,000} \]Samfunnet sparer \( 18\,400\,000\text{,} \) så det lønner seg.

Det viser seg at

0{,}1\,\%

av de som vaksinerer seg mot sykdom

A\text{,}

utvikler en sykdom

B\text{,}

som også krever livslang oppfølging.

Oppgave 8b)

Sett opp et valgtre og et venndiagram for å visualisere situasjonen.

Vis løsning

Svar

Sannsynlighetene på greinene er:

\underline{\underline{\begin{aligned} P(A \mid V) &= 0{,}23\,\% \\ P(A \mid \overline{V}) &= 2{,}3\,\% \\ P(B \mid V) &= 0{,}1\,\% \end{aligned}}}

Vi deler først på om personen er vaksinert eller ikke. Sykdom \( A \) kan ramme begge gruppene, mens sykdom \( B \) bare rammer de vaksinerte.

1. Finn sannsynlighetene La \( \textcolor{green}{V} \) være at personen er vaksinert. Blant de vaksinerte er \( 10\,\% \) av de \( 2{,}3\,\% \) ikke beskyttet. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(A \mid V)} &= 0{,}10 \cdot 0{,}023 = \textcolor{red}{0{,}0023} \\ \textcolor{red}{P(A \mid \overline{V})} &= \textcolor{red}{0{,}023} \\ \textcolor{blue}{P(B \mid V)} &= \textcolor{blue}{0{,}001} \end{aligned} \]

2. Tegn valgtreet Vi vet ikke ennå hvor mange som vaksinerer seg, så de første greinene har ikke tall. Vi antar at sjansen for \( \textcolor{blue}{B} \) er den samme enten personen får \( \textcolor{red}{A} \) eller ikke:

3. Tegn venndiagrammet Rektangelet er hele populasjonen, delt i vaksinerte og ikke vaksinerte. \( \textcolor{red}{A} \) ligger på begge sider av streken, mens \( \textcolor{blue}{B} \) ligger helt på den vaksinerte siden og overlapper med \( \textcolor{red}{A}\text{:} \)

På grunn av denne bieffekten på vaksinen mot sykdom

A

vil

25\,\%

av befolkningen motsette seg å ta vaksinen mot sykdom

A\text{.}

De resterende

75\,\%

av befolkningen tar vaksinen mot sykdom

A\text{.}

Oppgave 8c)

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i populasjonen, etter at alle som ønsket å vaksinere seg har fått sin dose, utvikler sykdom

A\text{?}

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for sykdom

A\text{,}

avrundet til to desimaler i prosent, er:

\underline{\underline{P(A) = 0{,}007475 \approx 0{,}75\,\%}}

En person kan få sykdommen på to måter: som vaksinert eller som uvaksinert. Vi regner ut begge og legger sammen.

1. Skriv opp sannsynlighetene La \( V \) være at personen er vaksinert. Blant de uvaksinerte får \( 2{,}3\,\% \) sykdommen, og blant de vaksinerte \( 10\,\% \) av dette. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} P(V) &= 0{,}75 & P(A \mid V) &= 0{,}0023 \\ P(\overline{V}) &= 0{,}25 & P(A \mid \overline{V}) &= 0{,}023 \end{aligned} \]

2. Legg sammen de to greinene Vi ganger langs hver grein og legger sammen: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{P(V) \cdot P(A \mid V)} \\ &\quad + \textcolor{red}{P(\overline{V}) \cdot P(A \mid \overline{V})} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{0{,}75 \cdot 0{,}0023} + \textcolor{red}{0{,}25 \cdot 0{,}023} \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} + \textcolor{red}{0{,}00575} \\ &= 0{,}007475 \end{aligned} \]

Oppgave 8d)

Hva er sannsynligheten for at en som har utviklet sykdom

A\text{,}

er vaksinert?

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for at personen er vaksinert, avrundet til én desimal i prosent, er:

\underline{\underline{P(V \mid A) = \dfrac{3}{13} \approx 23{,}1\,\%}}

Vi bruker tallene fra c).

Vi vet at personen har sykdom \( A\text{.} \) Da er dette en betinget sannsynlighet: de vaksinerte med sykdommen delt på alle med sykdommen.

1. Skriv opp betinget sannsynlighet La \( V \) være at personen er vaksinert. Betinget sannsynlighet er gunstige delt på mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(V \mid A) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)}}{\textcolor{red}{P(A)}} \]

I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)} &= 0{,}75 \cdot 0{,}0023 \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} \\ \textcolor{red}{P(A)} &= \textcolor{red}{0{,}007475} \end{aligned} \]

2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(V \mid A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}001725}}{\textcolor{red}{0{,}007475}} \\ &= \dfrac{3}{13} \approx 0{,}231 \end{aligned} \]

Konteeksamen 2020

Oppgave 2

1 poeng

Per skyter på blink. Det er 70 % sjanse for at han treffer med første skudd. Hvis han treffer, får han større selvtillit, og da er det 80 % sjanse for at han treffer med andre skudd. Bommer han med første skudd, går det ned med selvtilliten, og det er da bare 60 % sjanse for at han treffer med andre skudd. Per skyter 2 piler. Finn sannsynligheten for at han får 2 treff, 1 treff og ingen treff.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\begin{aligned} P(2 \text{ treff}) &= 0{,}56 \\ P(1 \text{ treff}) &= 0{,}32 \\ P(\text{ingen treff}) &= 0{,}12 \end{aligned}}}

Sannsynligheten for andre skudd avhenger av første skudd, så vi bruker betinget sannsynlighet og ganger langs hvert utfall.

1. Skriv opp regelen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{A} \cap \textcolor{red}{B}) = P(\textcolor{blue}{A}) \cdot P(\textcolor{red}{B} \mid \textcolor{blue}{A}) \]Hvis du er usikker på betinget sannsynlighet, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Vi kaller første skudd \( \textcolor{blue}{A} \) og andre skudd \( \textcolor{red}{B}\text{.} \) Bom er det motsatte av treff, så sannsynlighetene for bom er \( 1 \) minus sannsynlighetene for treff. Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{blue}{0{,}7} \\ P(\textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{blue}{0{,}3} \\ P(\textcolor{red}{\text{treff}} \mid \textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{red}{0{,}8} \\ P(\textcolor{red}{\text{bom}} \mid \textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{red}{0{,}2} \\ P(\textcolor{red}{\text{treff}} \mid \textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{red}{0{,}6} \\ P(\textcolor{red}{\text{bom}} \mid \textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{red}{0{,}4} \end{aligned} \]

2. Regn ut hvert antall treff To treff betyr treff på begge skuddene: \[ P(2 \text{ treff}) = \textcolor{blue}{0{,}7} \cdot \textcolor{red}{0{,}8} = 0{,}56 \]

Ett treff kan skje på to måter: treff og så bom, eller bom og så treff. Vi legger sammen de to: \[ \begin{aligned} P(1 \text{ treff}) &= \textcolor{blue}{0{,}7} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} + \textcolor{blue}{0{,}3} \cdot \textcolor{red}{0{,}6} \\ &= 0{,}14 + 0{,}18 = 0{,}32 \end{aligned} \]

Ingen treff betyr bom på begge skuddene: \[ P(0 \text{ treff}) = \textcolor{blue}{0{,}3} \cdot \textcolor{red}{0{,}4} = 0{,}12 \]

Kontroll: Summen skal være \( 1\text{:} \) \( {0{,}56 + 0{,}32 + 0{,}12 = 1}\text{.} \)

Konteeksamen 2019

Oppgave 8

2 poeng

Oppgave 8a)

I en klasse er det 10 jenter og 15 gutter. Det skal trekkes ut to elever som skal være klasserepresentanter. Hva er sannsynligheten for at begge elevene som trekkes ut er jenter. Og hva er sannsynligheten at begge elevene som trekkes ut er gutter? Regn også ut sannsynligheten for at begge elevene er gutter, hvis vi vet at resultatet av trekningen er at begge elevene har samme kjønn.

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{P(\text{to jenter}) = \dfrac{3}{20}}} \\ &\underline{\underline{P(\text{to gutter}) = \dfrac{7}{20}}} \\ &\underline{\underline{P(\text{gutter} \mid \text{samme kjønn}) = \dfrac{7}{10}}} \end{aligned}

Vi trekker én og én elev, så det er én elev færre å velge mellom i andre trekning. Til slutt bruker vi betinget sannsynlighet.

1. Regn ut to jenter Vi ganger sannsynlighetene for hver trekning, og tar hensyn til at utvalget endrer seg, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Det er \( 25 \) elever først, og \( 24 \) etter første trekning: \[ \textcolor{red}{P(JJ)} = \dfrac{10}{25} \cdot \dfrac{9}{24} = \textcolor{red}{\dfrac{3}{20}} \]

2. Regn ut to gutter På samme måte med guttene: \[ \textcolor{blue}{P(GG)} = \dfrac{15}{25} \cdot \dfrac{14}{24} = \textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}} \]

3. Regn ut betinget sannsynlighet Samme kjønn betyr to jenter eller to gutter, og det kan ikke skje samtidig. Vi legger sammen: \[ P(\text{samme}) = \textcolor{red}{\dfrac{3}{20}} + \textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}} = \dfrac{1}{2} \]

Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \]Det er samme tanke som gunstige delt på mulige i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Her er \( A \) samme kjønn og \( B \) to gutter. To gutter er allerede samme kjønn, så \( {P(A \cap B) = \textcolor{blue}{P(GG)}}\text{.} \)

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(GG \mid \text{samme}) = \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{10} \]

Oppgave 8b)

Vi kaster to rettferdige terninger. Regn ut sannsynligheten til følgende hendelser:

S: Summen av terningene er sju eller mer.

T: Den ene terningen viser et oddetall og den andre et partall.

Er hendingene S og T uavhengige? Hvis ikke, vil hendelse S gjøre hendelse T mer eller mindre sannsynlig?

Vis løsning

Svar

S

og

T

er ikke uavhengige, og

S

gjør

T

mer sannsynlig.

\begin{aligned} &\underline{\underline{P(S) = \dfrac{7}{12}, \quad P(T) = \dfrac{1}{2}}} \\ &\underline{\underline{P(T \mid S) = \dfrac{4}{7} > P(T)}} \end{aligned}

To terninger gir \( 36 \) like sannsynlige utfall, så vi teller gunstige utfall. To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene.

1. Regn ut sannsynligheten for summen Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige. Summene \( 7 \) til \( 12 \) har \( 6\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) utfall: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(S)} &= \dfrac{6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1}{36} \\ &= \dfrac{21}{36} = \textcolor{blue}{\dfrac{7}{12}} \end{aligned} \]

2. Regn ut oddetall og partall Første terning kan vise oddetall og andre partall, eller omvendt. Hver av disse gir \( {3 \cdot 3} \) utfall: \[ \textcolor{red}{P(T)} = \dfrac{3 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{36} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \]

3. Regn ut sannsynligheten for begge \( T \) betyr at summen er et oddetall. Begge skjer altså når summen er \( 7\text{,} \) \( 9 \) eller \( 11\text{,} \) som har \( 6\text{,} \) \( 4 \) og \( 2 \) utfall: \[ \textcolor{green}{P(S \cap T)} = \dfrac{6 + 4 + 2}{36} = \dfrac{12}{36} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \]

4. Sjekk om hendelsene er uavhengige Hendelsene er uavhengige hvis: \[ \textcolor{green}{P(S \cap T)} = \textcolor{blue}{P(S)} \cdot \textcolor{red}{P(T)} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{7}{12}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{24} \neq \dfrac{8}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \]

De er altså ikke uavhengige.

5. Sammenlign med betinget sannsynlighet Når vi vet at \( S \) har skjedd, er det \( 21 \) mulige utfall og \( 12 \) gunstige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(T \mid S) = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7} \]

Vi sammenligner med \( \textcolor{red}{P(T)}\text{:} \) \[ \dfrac{4}{7} > \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \]

\( S \) gjør altså \( T \) mer sannsynlig.

Ordinær eksamen 2019

Oppgave 10

2 poeng

Oppgave 10a)

I en klasse er det

10

jenter og

22

gutter. Det er

7

elever som snuser. Av de

7

som snuser er det

3

jenter. Vi trekker ut en tilfeldig valgt elev fra klassen og definerer hendingene:

J\text{:}

Eleven er ei jente

G\text{:}

Eleven er en gutt

S\text{:}

Eleven snuser

Tegn et venndiagram for hendelsene. Beskriv med ord hva vi mener med

P(S|G)\text{,}

P(J|S)\text{,}

P(G \cup S)

og

P(G|\overline{S})\text{,}

og beregne disse sannsynlighetene.

Vis løsning

Svar

Venndiagrammet og forklaringene står i løsningen.

\underline{\underline{P(S|G) = \dfrac{2}{11}}}

\underline{\underline{P(J|S) = \dfrac{3}{7}}}

\underline{\underline{P(G \cup S) = \dfrac{25}{32}}}

\underline{\underline{P(G|\overline{S}) = \dfrac{18}{25}}}

Vi teller først opp hvor mange elever som er i hvert felt i diagrammet. Da kan vi lese av alle sannsynlighetene som gunstige delt på mulige.

1. Tell opp elevene Av de \( 7 \) som snuser er \( 3 \) jenter, så resten er gutter. Vi trekker fra for å finne dem som ikke snuser: \[ \begin{aligned} \text{gutter, snuser} &: \ 7 - 3 = \textcolor{red}{4} \\ \text{jenter, snuser ikke} &: \ 10 - 3 = \textcolor{blue}{7} \\ \text{gutter, snuser ikke} &: \ 22 - \textcolor{red}{4} = \textcolor{green}{18} \end{aligned} \]

Alle elevene er enten jente eller gutt, så \( J \) og \( G \) deler rektangelet i to, mens \( S \) ligger over begge:

2. Regn ut de betingede sannsynlighetene \( P(S|G) \) er sannsynligheten for at eleven snuser når vi vet at eleven er en gutt. Vi deler antall gunstige på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(S|G) = \dfrac{\textcolor{red}{4}}{22} = \dfrac{2}{11} \]

\( P(J|S) \) er sannsynligheten for at eleven er ei jente når vi vet at eleven snuser: \[ P(J|S) = \dfrac{3}{7} \]

\( P(G|\overline{S}) \) er sannsynligheten for at eleven er en gutt når vi vet at eleven ikke snuser. Det er \( {\textcolor{blue}{7} + \textcolor{green}{18} = 25} \) elever som ikke snuser: \[ P(G|\overline{S}) = \dfrac{\textcolor{green}{18}}{25} \]

3. Regn ut unionen \( P(G \cup S) \) er sannsynligheten for at eleven er en gutt eller snuser, eller begge deler. Tegnet \( \cup \) betyr «eller», som i videoen Grunnleggende symboler. Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(G \cup S) &= P(G) + P(S) \\ &\quad - P(G \cap S) \end{aligned} \]

\( G \cap S \) er elevene som både er gutter og snuser. Plugger vi inn tallene fra diagrammet, får vi: \[ P(G \cup S) = \dfrac{22}{32} + \dfrac{7}{32} - \dfrac{\textcolor{red}{4}}{32} = \dfrac{25}{32} \]

Oppgave 10b)

Per trekker tre kort fra en godt blandet kortstokk. Hva er sannsynligheten for at alle kortene er av samme valør? (

3

spar eller

3

hjerter eller

3

ruter eller

3

kløver)

(I en kortstokk er det

13

spar,

13

hjerter,

13

ruter og

13

kløver)

Vis løsning

Svar

Avrundet til tre desimaler er:

\underline{\underline{P(\text{samme valør}) = \dfrac{22}{425} \approx 0{,}052}}

Vi regner ut sannsynligheten for tre spar, der kortstokken blir mindre for hvert kort. De fire sortene er like sannsynlige, så vi ganger til slutt med \( 4\text{.} \)

1. Finn sannsynligheten for tre spar For hvert kort vet vi hva som allerede er trukket, så det er en betinget sannsynlighet, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1. Gangeregelen forteller oss at: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

Etter første spar er det \( 12 \) spar igjen av \( 51 \) kort, og så \( 11 \) av \( 50\text{:} \) \[ P(\text{tre spar}) = \textcolor{blue}{\dfrac{13}{52}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{12}{51}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{11}{50}} \]

2. Gang med de fire sortene De fire utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger dem sammen. Det er det samme som å gange med \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} P &= 4 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{13}{52}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{12}{51}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{11}{50}} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{12 \cdot 11}{51 \cdot 50} \\ &= \dfrac{132}{2550} = \dfrac{22}{425} \end{aligned} \]

Konteeksamen 2018

Oppgave 4

6 poeng

Emma driver med roadracing. Med motorsykkelen i orden og god dagsform, vil Emma vinne løpene hun deltar i. Sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden er

30\,\% \text{,}

mens sannsynligheten for at god dagsform inntreffer er

25\,\% \text{.}

Sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden er

40\,\% \text{.}

Oppgave 4a)

Finn sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden samtidig som at Emma har en god dagsform.

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten for begge deler er

12\,\% \text{:}

\underline{\underline{P(M \cap G) = 0{,}12}}

Vi kjenner sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden, og det er en betinget sannsynlighet. Vi ganger den med sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden.

1. Skriv opp det vi vet Vi kaller hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) (motorsykkelen er i orden) og \( \textcolor{red}{G} \) (god dagsform). Oppgaveteksten gir: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) &= 0{,}30 \\ P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}25 \\ P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) &= 0{,}40 \end{aligned} \]

\( P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \) betyr sannsynligheten for \( \textcolor{red}{G} \) når vi vet at \( \textcolor{blue}{M} \) har skjedd, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

2. Bruk produktsetningen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}30 \cdot 0{,}40 = 0{,}12 \]

Oppgave 4b)

Er det at motorsykkelen er i orden og Emma har god dagsform uavhengige hendelser?

Vis løsning

Svar

Hendelsene er ikke uavhengige:

\underline{\underline{P(M \cap G) \neq P(M) \cdot P(G)}}

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene hver for seg. Vi sjekker om det stemmer her.

1. Sjekk kravet Hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) og \( \textcolor{red}{G} \) er uavhengige hvis og bare hvis: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) \]

Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}30 \cdot 0{,}25 = 0{,}075 \\ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) &= 0{,}12 \end{aligned} \]

De to er ulike: \[ 0{,}12 \neq 0{,}075 \]

Det å vite at motorsykkelen er i orden endrer altså sannsynligheten for god dagsform, fra \( 0{,}25 \) til \( 0{,}40\text{.} \) At en betingelse kan endre sannsynligheten, ser du i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Oppgave 4c)

Finn sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden når Emma har god dagsform.

Vis løsning

Svar

Sannsynligheten er

48\,\% \text{:}

\underline{\underline{P(M \mid G) = 0{,}48}}

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

Nå vet vi at \( G \) har skjedd, så vi bruker formelen for betinget sannsynlighet andre veien.

1. Bruk formelen Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G})}{P(\textcolor{red}{G})} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Eks 2.

Her er: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}12, \quad P(\textcolor{red}{G}) = 0{,}25 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{0{,}12}{0{,}25} = 0{,}48 \]

Etter en ulykke på banen er Emma tvunget til å ta smertestillende tabletter. Tablettene hun har fått inneholder

1{,}5

mg virkestoff. Kroppen til Emma bryter ned

20\,\%

av det aktive stoffet per døgn. Legen beordrer Emma til å spise en tablett hver dag.

Oppgave 4d)

Forklar hvorfor den geometriske rekka

\begin{aligned} &1{,}5 + 1{,}5 \cdot 0{,}80 + 1{,}5 \cdot 0{,}80^2 \\ &+ 1{,}5 \cdot 0{,}80^3 + \cdots \end{aligned}

uttrykker mengden virkestoff (målt i milligram) i Emma sin kropp.

Vis løsning

Svar

Mengden i mg like etter tablett nummer

n

er summen av det som er igjen av hver tablett:

\underline{\underline{S_n = 1{,}5 + \ldots + 1{,}5 \cdot 0{,}80^{n - 1}}}

Vi følger én tablett om gangen og ser hvor mye som er igjen av den etter hvert døgn. Mengden i kroppen er summen av det som er igjen av alle tablettene.

1. Følg én tablett Bryter kroppen ned \( 20\,\% \text{,} \) er \( 80\,\% \) igjen. Etter hvert døgn ganger vi derfor med \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{ny} &: \ 1{,}5 \\ \text{etter 1 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \text{etter 2 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^2 \end{aligned} \]

2. Legg sammen alle tablettene Like etter at Emma har tatt en tablett, har hun den nye, den fra i går, den fra i forgårs og så videre i kroppen. Hvert ledd i rekka er det som er igjen av én tablett. Etter \( n \) tabletter er mengden derfor summen av de \( n \) første leddene: \[ 1{,}5 + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} + \ldots + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^{n - 1} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{,} \) så rekka er geometrisk, som i videoen Geometriske rekker intro. Fortsetter kuren, får vi flere og flere ledd i rekka.

Oppgave 4e)

Finn kvotienten,

k\text{,}

ledd nr. 6,

a_6\text{,}

og summen av de seks første leddene,

S_6\text{,}

i denne geometriske rekka.

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{k = 0{,}80}}

\underline{\underline{a_6 = 0{,}49152\,\text{mg}}}

\underline{\underline{S_6 = 5{,}53392\,\text{mg}}}

Vi leser av første ledd og kvotienten. Så bruker vi formelen for ledd nummer \( n \) og formelen for summen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}80}{1{,}5} = \textcolor{blue}{0{,}80} \]

Første ledd er \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1{,}5}}\text{.} \)

2. Finn ledd nummer seks Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{k}^{\,n - 1} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometriske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ a_6 = \textcolor{red}{1{,}5} \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^5 = 0{,}49152 \]

3. Finn summen Formelen for summen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^n\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_6 &= \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}\left(1 - \textcolor{blue}{0{,}80}^6\right)}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} \\ &= \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}737856}{0{,}20} \\ &= 5{,}53392 \end{aligned} \]

Oppgave 4f)

Normalt tåler kroppen

10

mg av virkestoffet. Vil Emma overskride denne grensen ved å fortsette tablettkuren for lenge?

Vis løsning

Svar

Nei, mengden virkestoff blir aldri større enn:

\underline{\underline{S = 7{,}5\,\text{mg} < 10\,\text{mg}}}

Vi bruker \( {a_1 = 1{,}5} \) og \( {k = 0{,}80} \) fra e).

Fortsetter kuren for lenge, blir rekka uendelig. Vi sjekker om den konvergerer, og sammenligner summen med grensen.

1. Sjekk at rekka konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| = \textcolor{blue}{0{,}80} < 1 \]

2. Regn ut den uendelige summen Summen av en uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} = 7{,}5 \]

Alle leddene er positive, så mengden vokser mot \( 7{,}5 \) mg uten å nå dit: \[ S_n < 7{,}5 < 10 \]

Emma overskrider derfor ikke grensen på \( 10 \) mg, uansett hvor lenge kuren varer.

Ordinær eksamen 2018

Oppgave 4

3 poeng

I en klasse på 30 studenter tar 10 studenter fysikk og 22 studenter tar matematikk. 5 studenter tar både fysikk og matematikk. La F være hendelsen studenten tar fysikk og M være hendelsen studenten tar matematikk.

Oppgave 4a)

Tegn et venndiagram for disse hendelsene.

Vis løsning

Svar

Venndiagrammet står i stegene. Tallene i det er:

\underline{\underline{\begin{aligned} \text{Bare fysikk:} \quad & 5 \\ \text{Begge:} \quad & 5 \\ \text{Bare matematikk:} \quad & 17 \\ \text{Ingen av dem:} \quad & 3 \end{aligned}}}

Vi starter med overlappet, som er oppgitt. Så trekker vi fra for å finne hva som står alene i hver sirkel, og hva som står utenfor.

1. Tell opp hver gruppe Snittet \( F \cap M \) er de som tar begge fagene, og de teller med i begge sirklene. Hva symbolet betyr, ser du i videoen Grunnleggende symboler. Vi får: \[ \begin{aligned} \text{Begge:} \quad & \textcolor{green}{5} \\ \text{Bare fysikk:} \quad & 10 - 5 = \textcolor{blue}{5} \\ \text{Bare matte:} \quad & 22 - 5 = \textcolor{red}{17} \\ \text{Ingen:} \quad & 30 - \textcolor{blue}{5} - \textcolor{green}{5} - \textcolor{red}{17} = \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

2. Tegn venndiagrammet Vi tegner en sirkel for F og en for M, med overlappet i midten og resten av klassen utenfor:

Oppgave 4b)

Regn ut:

P(F)\text{,}

P(F \cap M)\text{,}

P(F \cup M)\text{,}

P(F \mid M)

og

P(M \mid \overline{F})\text{.}

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{\begin{aligned} P(F) &= \dfrac{1}{3} \\ P(F \cap M) &= \dfrac{1}{6} \\ P(F \cup M) &= \dfrac{9}{10} \\ P(F \mid M) &= \dfrac{5}{22} \\ P(M \mid \overline{F}) &= \dfrac{17}{20} \end{aligned}}}

Vi bruker tallene fra venndiagrammet i a).

Vi teller gunstige studenter og deler på mulige. Ved betinget sannsynlighet er de mulige bare dem vi vet noe om.

1. Regn ut de tre første \( P(F) \) og \( P(F \cap M) \) leser vi rett av tallene, siden alle \( 30 \) er mulige: \[ \begin{aligned} P(F) &= \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \\ P(F \cap M) &= \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &P(F \cup M) \\ &= P(F) + P(M) - P(F \cap M) \end{aligned} \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ \begin{aligned} P(F \cup M) &= \dfrac{10}{30} + \dfrac{22}{30} - \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} \\ &= \dfrac{27}{30} = \dfrac{9}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut de betingede Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(B \mid A) &= \dfrac{g}{m} \\ &= \dfrac{\text{antall i både } A \text{ og } B}{\text{antall i } A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.

De mulige er altså bare dem vi vet oppfyller betingelsen. Av alle som ikke tar fysikk, \( {30 - 10 = 20}\text{,} \) er det \( \textcolor{red}{17} \) som tar matematikk. Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(F \mid M) &= \dfrac{\text{begge}}{\text{matte}} = \dfrac{\textcolor{green}{5}}{22} \\ P(M \mid \overline{F}) &= \dfrac{\text{bare matte}}{\text{ikke fysikk}} = \dfrac{\textcolor{red}{17}}{20} \end{aligned} \]

Oppgave 4c)

En vinsmaking har følgende opplegg: Det fins 7 ulike viner å velge mellom, men en har bare mulighet til å smake på 5 (ulike) av disse. Vi antar at alle deltakere velger viner helt tilfeldig. Hva er det maksimale antallet deltakere det kan være på vinsmakingen, hvis det skal være mulig for hver person å velge forskjellige viner?

Vis løsning

Svar

Det maksimale antallet er:

\underline{\underline{\text{Antall deltakere} = 21}}

Vi velger \( 5 \) av \( 7 \) viner, og rekkefølgen spiller ingen rolle. Hver person må ha sitt eget utvalg, så antallet utvalg er antallet deltakere.

1. Skriv opp regelen Antall måter å velge \( \textcolor{red}{k} \) av \( \textcolor{blue}{n} \) ulike ting på, når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er: \[ \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}} = \dfrac{\textcolor{blue}{n}!}{\textcolor{red}{k}! \cdot (\textcolor{blue}{n} - \textcolor{red}{k})!} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{7}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5} \]

2. Regn ut antallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{5}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{7}!}{\textcolor{red}{5}! \cdot 2!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \end{aligned} \]

Det finnes altså \( 21 \) forskjellige utvalg. Med \( 21 \) deltakere kan alle ha hvert sitt utvalg. Med én til må to ha det samme.

Ordinær eksamen 2016

Oppgave 4

2 poeng

På en arbeidsplass jobber 13 jenter og 15 gutter. Seks av jentene og ti av guttene drikker kaffe. Vi velger en tilfeldig person.

Oppgave 4a)

Hva er sannsynligheten for at vi velger en gutt?

Hva er sannsynligheten for at vi velger en person som drikker kaffe?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(\text{gutt}) = \dfrac{15}{28}}}

\underline{\underline{P(\text{kaffe}) = \dfrac{4}{7}}}

Alle personene er like sannsynlige å velge. Sannsynligheten er derfor antall gunstige delt på antall mulige.

1. Tell de mulige Regelen forteller oss at: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]Starten av videoen Betinget sannsynlighet Del1 sier det samme.

De mulige er alle på arbeidsplassen: \[ \textcolor{blue}{13 + 15 = 28} \]

2. Finn sannsynlighetene Det er \( \textcolor{red}{15} \) gutter: \[ P(\text{gutt}) = \dfrac{\textcolor{red}{15}}{\textcolor{blue}{28}} \]

Antall som drikker kaffe er seks jenter og ti gutter: \[ \textcolor{red}{6 + 10 = 16} \]

Det gir oss: \[ P(\text{kaffe}) = \dfrac{\textcolor{red}{16}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{4}{7} \]

Oppgave 4b)

Hva er sannsynligheten for at personen vi velger er en jente som drikker kaffe?

Dersom vi får vite at personen er en jente. Hva er da sannsynligheten for at hun drikker kaffe?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{P(\text{jente og kaffe}) = \dfrac{3}{14}}}

\underline{\underline{P(\text{kaffe} \mid \text{jente}) = \dfrac{6}{13}}}

I det første spørsmålet velger vi blant alle de 28. I det andre vet vi at det er en jente, så da velger vi bare blant jentene.

1. Finn jente som drikker kaffe Det er \( \textcolor{red}{6} \) jenter som drikker kaffe, av \( \textcolor{blue}{28} \) personer: \[ P(\text{jente og kaffe}) = \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{3}{14} \]

2. Finn betinget sannsynlighet Når vi vet at personen er en jente, er de mulige bare de \( \textcolor{blue}{13} \) jentene, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(\text{kaffe} \mid \text{jente}) = \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{13}} \]

Det samme får vi med formelen for betinget sannsynlighet: \[ \begin{aligned} &P(\text{kaffe} \mid \text{jente}) \\ &= \dfrac{P(\text{jente og kaffe})}{P(\text{jente})} \\ &= \dfrac{6/28}{13/28} = \dfrac{6}{13} \end{aligned} \]

Oppgavene

Oppgave 8

Oppgave 8a)

Svar

Oppgave 8b)

Svar

Oppgave 8c)

Svar

Oppgave 8d)

Svar

Oppgave 7

Oppgave 7a)

Svar

Oppgave 7b)

Svar

Oppgave 8

Oppgave 8a)

Svar

Oppgave 8b)

Svar

Oppgave 8c)

Svar

Oppgave 8d)

Svar

Oppgave 2

Svar

Oppgave 8

Oppgave 8a)

Svar

Oppgave 8b)

Svar

Oppgave 10

Oppgave 10a)

Svar

Oppgave 10b)

Svar

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar

Oppgave 4c)

Svar

Oppgave 4d)

Svar

Oppgave 4e)

Svar

Oppgave 4f)

Svar

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar

Oppgave 4c)

Svar

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar