Forkurseksamen etter tema

I 1) velger vi fra to grupper hver for seg, så vi ganger. I 2) velger vi to fra samme gruppe, og rekkefølgen betyr ikke noe.

1. Tell jente og gutt Hver av de \( \textcolor{blue}{16} \) jentene kan settes sammen med hver av de \( \textcolor{red}{10} \) guttene, så vi ganger: \[ \textcolor{blue}{16} \cdot \textcolor{red}{10} = 160 \]

2. Tell to gutter Vi velger \( \textcolor{green}{k} \) av \( \textcolor{red}{n} \) uten å bry oss om rekkefølgen. Antall måter er gitt ved binomialkoeffisienten: \[ \binom{\textcolor{red}{n}}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{\textcolor{red}{n}!}{\textcolor{green}{k}! \cdot (\textcolor{red}{n} - \textcolor{green}{k})!} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{10}, \quad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \binom{\textcolor{red}{10}}{\textcolor{green}{2}} = \dfrac{\textcolor{red}{10}!}{\textcolor{green}{2}! \cdot 8!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} = 45 \]

Alle par er like sannsynlige, så vi teller parene der Soline er med og deler på alle parene.

1. Skriv opp sannsynligheten Når alle utfall er like sannsynlige, er sannsynligheten gitt ved: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{gunstige}}}{\textcolor{red}{\text{mulige}}} \]Det er formelen i videoen Diskret og kontinuerlig.

2. Tell parene Mulige utfall er alle par av de \( 26 \) elevene: \[ \textcolor{red}{\binom{26}{2}} = \dfrac{26 \cdot 25}{2} = \textcolor{red}{325} \]

Gunstige utfall er parene med Soline, og hun kan stå sammen med hver av de \( 25 \) andre: \[ \textcolor{blue}{\text{gunstige}} = \textcolor{blue}{25} \]

3. Regn ut sannsynligheten Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{25}}{\textcolor{red}{325}} = \dfrac{1}{13} \]

Vi starter med overlappet, som er oppgitt. Så trekker vi fra for å finne hva som står alene i hver sirkel, og hva som står utenfor.

1. Tell opp hver gruppe Snittet \( F \cap M \) er de som tar begge fagene, og de teller med i begge sirklene. Hva symbolet betyr, ser du i videoen Grunnleggende symboler. Vi får: \[ \begin{aligned} \text{Begge:} \quad & \textcolor{green}{5} \\ \text{Bare fysikk:} \quad & 10 - 5 = \textcolor{blue}{5} \\ \text{Bare matte:} \quad & 22 - 5 = \textcolor{red}{17} \\ \text{Ingen:} \quad & 30 - \textcolor{blue}{5} - \textcolor{green}{5} - \textcolor{red}{17} = \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

2. Tegn venndiagrammet Vi tegner en sirkel for F og en for M, med overlappet i midten og resten av klassen utenfor:

Vi bruker tallene fra venndiagrammet i a).

Vi teller gunstige studenter og deler på mulige. Ved betinget sannsynlighet er de mulige bare dem vi vet noe om.

1. Regn ut de tre første \( P(F) \) og \( P(F \cap M) \) leser vi rett av tallene, siden alle \( 30 \) er mulige: \[ \begin{aligned} P(F) &= \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \\ P(F \cap M) &= \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &P(F \cup M) \\ &= P(F) + P(M) - P(F \cap M) \end{aligned} \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ \begin{aligned} P(F \cup M) &= \dfrac{10}{30} + \dfrac{22}{30} - \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} \\ &= \dfrac{27}{30} = \dfrac{9}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut de betingede Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(B \mid A) &= \dfrac{g}{m} \\ &= \dfrac{\text{antall i både } A \text{ og } B}{\text{antall i } A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.

De mulige er altså bare dem vi vet oppfyller betingelsen. Av alle som ikke tar fysikk, \( {30 - 10 = 20}\text{,} \) er det \( \textcolor{red}{17} \) som tar matematikk. Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(F \mid M) &= \dfrac{\text{begge}}{\text{matte}} = \dfrac{\textcolor{green}{5}}{22} \\ P(M \mid \overline{F}) &= \dfrac{\text{bare matte}}{\text{ikke fysikk}} = \dfrac{\textcolor{red}{17}}{20} \end{aligned} \]

Vi velger \( 5 \) av \( 7 \) viner, og rekkefølgen spiller ingen rolle. Hver person må ha sitt eget utvalg, så antallet utvalg er antallet deltakere.

1. Skriv opp regelen Antall måter å velge \( \textcolor{red}{k} \) av \( \textcolor{blue}{n} \) ulike ting på, når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er: \[ \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}} = \dfrac{\textcolor{blue}{n}!}{\textcolor{red}{k}! \cdot (\textcolor{blue}{n} - \textcolor{red}{k})!} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{7}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5} \]

2. Regn ut antallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{5}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{7}!}{\textcolor{red}{5}! \cdot 2!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \end{aligned} \]

Det finnes altså \( 21 \) forskjellige utvalg. Med \( 21 \) deltakere kan alle ha hvert sitt utvalg. Med én til må to ha det samme.