Hopp til hovedinnholdet

Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

sannsynlighet

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

11 oppgaver om sannsynlighet · viser 1–10

Oppgavene

Konteeksamen 2022

Oppgave 9

2 poeng

I klasse 3X på Flåklypa VGS er det 10 gutter og 16 jenter. Det skal tilfeldig trekkes ut et par (to elever) til å rydde i kantina.

Oppgave 9a)

På hvor mange måter kan det trekkes ut et par når paret skal bestå av: 1) Ei jente og en gutt? 2) To gutter?
Vis løsning på oppgave 9a
Svar
1) 160 ma˚ter‾‾ \underline{\underline{\text{1) } 160 \text{ måter}}}
2) 45 ma˚ter‾‾ \underline{\underline{\text{2) } 45 \text{ måter}}}
I 1) velger vi fra to grupper hver for seg, så vi ganger. I 2) velger vi to fra samme gruppe, og rekkefølgen betyr ikke noe.
1. Tell jente og gutt Hver av de \( \textcolor{blue}{16} \) jentene kan settes sammen med hver av de \( \textcolor{red}{10} \) guttene, så vi ganger: \[ \textcolor{blue}{16} \cdot \textcolor{red}{10} = 160 \]
2. Tell to gutter Vi velger \( \textcolor{green}{k} \) av \( \textcolor{red}{n} \) uten å bry oss om rekkefølgen. Antall måter er gitt ved binomialkoeffisienten: \[ \binom{\textcolor{red}{n}}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{\textcolor{red}{n}!}{\textcolor{green}{k}! \cdot (\textcolor{red}{n} - \textcolor{green}{k})!} \]
Her er: \[ \textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{10}, \quad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \binom{\textcolor{red}{10}}{\textcolor{green}{2}} = \dfrac{\textcolor{red}{10}!}{\textcolor{green}{2}! \cdot 8!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} = 45 \]

Oppgave 9b)

Ei av jentene i klassen, Soline, har ei vond tå, så hun vil helst ikke bli trukket ut til å rydde i kantina. Hva er sannsynligheten for at Soline blir trukket ut til å rydde i kantina når det trekkes to tilfeldige elever?
Vis løsning på oppgave 9b
Svar
Sannsynligheten for at Soline blir trukket ut er:
113≈0,077‾‾ \underline{\underline{\dfrac{1}{13} \approx 0{,}077}}
Alle par er like sannsynlige, så vi teller parene der Soline er med og deler på alle parene.
1. Skriv opp sannsynligheten Når alle utfall er like sannsynlige, er sannsynligheten gitt ved: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{gunstige}}}{\textcolor{red}{\text{mulige}}} \]Det er formelen i videoen Diskret og kontinuerlig.
2. Tell parene Mulige utfall er alle par av de \( 26 \) elevene: \[ \textcolor{red}{\binom{26}{2}} = \dfrac{26 \cdot 25}{2} = \textcolor{red}{325} \]
Gunstige utfall er parene med Soline, og hun kan stå sammen med hver av de \( 25 \) andre: \[ \textcolor{blue}{\text{gunstige}} = \textcolor{blue}{25} \]
3. Regn ut sannsynligheten Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{25}}{\textcolor{red}{325}} = \dfrac{1}{13} \]

Ordinær eksamen 2022

Oppgave 8

4 poeng

I en klasse er det 28 elever. 7 av elevene er jenter. To av jentene har med seg matpakke på skolen. Av guttene er det 13 \dfrac{1}{3} som har med seg matpakke på skolen.

Oppgave 8a)

Tegn et valgtre og et venndiagram som kartlegger denne situasjonen. Både valgtreet og venndiagrammet skal inneholde tall for de mengdene du illustrerer.
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
Valgtreet og venndiagrammet står i stegene. Tallene i dem er:
Jenter med matpakke:2Jenter uten matpakke:5Gutter med matpakke:7Gutter uten matpakke:14‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \text{Jenter med matpakke:} \quad & 2 \\ \text{Jenter uten matpakke:} \quad & 5 \\ \text{Gutter med matpakke:} \quad & 7 \\ \text{Gutter uten matpakke:} \quad & 14 \end{aligned}}}
Vi regner først ut hvor mange det er i hver gruppe. Så tegner vi treet med kjønn først og matpakke etterpå, og venndiagrammet med en sirkel for jentene og en for dem med matpakke.
1. Tell opp hver gruppe Først finner vi guttene, og så hvor mange i hver gruppe som har matpakke: \[ \begin{aligned} \text{Gutter:} \quad & 28 - 7 = 21 \\ \text{Jenter med:} \quad & \textcolor{blue}{2} \\ \text{Jenter uten:} \quad & 7 - 2 = \textcolor{red}{5} \\ \text{Gutter med:} \quad & \dfrac{1}{3} \cdot 21 = \textcolor{green}{7} \\ \text{Gutter uten:} \quad & 21 - 7 = \textcolor{darkorange}{14} \end{aligned} \]
2. Tegn valgtreet Første gren går til jenter eller gutter. På grenene videre står sannsynligheten for matpakke når vi vet kjønnet. Det er en betinget sannsynlighet, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1:
3. Tegn venndiagrammet I overlappet står jentene med matpakke. Utenfor begge sirklene står guttene uten matpakke. Totalt er det: \[ \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{green}{7} + \textcolor{darkorange}{14} = 28 \]

Oppgave 8b)

Regn ut sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er jente som har med seg matpakke på skolen.
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
Sannsynligheten for jente med matpakke er:
114‾‾ \underline{\underline{\dfrac{1}{14}}}
Vi bruker tallene fra a).
Alle elevene er like sannsynlige, så vi deler antall gunstige på antall mulige.
1. Del gunstige på mulige Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]
Her er det \( \textcolor{red}{2} \) jenter med matpakke blant \( \textcolor{blue}{28} \) elever. Det gir oss: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{1}{14} \]

Oppgave 8c)

Regn ut sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har med seg matpakke på skolen.
Vis løsning på oppgave 8c
Svar
Sannsynligheten for at eleven har matpakke er:
928‾‾ \underline{\underline{\dfrac{9}{28}}}
Vi bruker tallene fra a).
Vi teller alle med matpakke, både jenter og gutter, og deler på antall elever.
1. Tell alle med matpakke Det er \( 2 \) jenter og \( 7 \) gutter med matpakke: \[ \textcolor{red}{2 + 7 = 9} \]
Vi deler antall gunstige på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{blue}{28}} \]

Oppgave 8d)

Vi plukker ut en elev som har med seg matpakke på skolen. Regn ut sannsynligheten for at denne eleven er en gutt.
Vis løsning på oppgave 8d
Svar
P(gutt∣matpakke)=79‾‾ \underline{\underline{P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{7}{9}}}
Vi bruker tallene fra a).
Vi vet at eleven har matpakke. Da er det bare elevene med matpakke som er mulige, så dette er en betinget sannsynlighet.
1. Del på dem med matpakke Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]Hvis du er usikker på betinget sannsynlighet, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.
Gunstige er guttene med matpakke, og mulige er alle med matpakke. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{gunstige}} &= \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{blue}{\text{mulige}} &= 2 + 7 = \textcolor{blue}{9} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{9}} \]

Konteeksamen 2021

Oppgave 7

2 poeng

I et bøttelotteri er det til sammen 100 100 lodd. Loddene har to farger, og det er 30 30 gule og 70 70 blå lodd. Av de gule loddene er det 3 3 vinnerlodd, mens det er 10 10 blå vinnerlodd. Vi trekker et tilfeldig lodd. La oss se på de to hendingene
G={Vi trekker et gult lodd}V={Vi trekker et vinnerlodd} \begin{aligned} G &= \{\text{Vi trekker et gult lodd}\} \\ V &= \{\text{Vi trekker et vinnerlodd}\} \end{aligned}

Oppgave 7a)

Sett opp et valgtre og et venndiagram for å visualisere situasjonen.
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Valgtreet og venndiagrammet står i løsningen. Tallene i dem er:
Gul: 0,3, sa˚ vinner 0,1Bla˚: 0,7, sa˚ vinner 17Bare gul: 27 loddGul vinner: 3 loddBla˚ vinner: 10 loddUtenfor: 60 lodd‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \text{Gul: } & 0{,}3, \text{ så vinner } 0{,}1 \\ \text{Blå: } & 0{,}7, \text{ så vinner } \dfrac{1}{7} \\ \text{Bare gul: } & 27 \text{ lodd} \\ \text{Gul vinner: } & 3 \text{ lodd} \\ \text{Blå vinner: } & 10 \text{ lodd} \\ \text{Utenfor: } & 60 \text{ lodd} \end{aligned}}}
Vi fordeler de \( 100 \) loddene etter farge og etter vinner eller ikke. Det gir oss alle tallene til begge figurene.
1. Fordel loddene Vi trekker vinnerloddene fra hver farge: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\text{Gule}}: \quad & \textcolor{darkorange}{30} - 3 = 27 \text{ uten gevinst} \\ \textcolor{blue}{\text{Blå}}: \quad & \textcolor{blue}{70} - 10 = 60 \text{ uten gevinst} \end{aligned} \]
2. Tegn valgtreet På den første grenen velger vi farge, og på den andre om loddet er et vinnerlodd. Sannsynligheten på en gren er gunstige delt på mulige: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\text{Gul}}: \quad & \dfrac{\textcolor{darkorange}{30}}{100} = 0{,}3 \\ \text{Vinner, gitt gul}: \quad & \dfrac{3}{\textcolor{darkorange}{30}} = 0{,}1 \\ \text{Ikke vinner, gitt gul}: \quad & \dfrac{27}{\textcolor{darkorange}{30}} = 0{,}9 \\ \textcolor{blue}{\text{Blå}}: \quad & \dfrac{\textcolor{blue}{70}}{100} = 0{,}7 \\ \text{Vinner, gitt blå}: \quad & \dfrac{10}{\textcolor{blue}{70}} = \dfrac{1}{7} \\ \text{Ikke vinner, gitt blå}: \quad & \dfrac{60}{\textcolor{blue}{70}} = \dfrac{6}{7} \end{aligned} \]
3. Tegn venndiagrammet Sirkelen \( G \) har \( \textcolor{darkorange}{30} \) lodd, og sirkelen \( V \) har \( {3 + 10 = 13}\text{.} \) De \( 3 \) gule vinnerloddene ligger i begge sirklene, altså i snittet. Utenfor begge er de blå loddene uten gevinst: \[ 100 - 27 - 3 - 10 = 60 \]
Finn følgende sannsynligheter:

Oppgave 7b)

P(G), P(G)\text{,} P(V), P(V)\text{,} P(G∩V) P(G \cap V) og P(V∣G). P(V | G)\text{.}
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Sannsynlighetene er:
P(G)=0,30‾‾ \underline{\underline{P(G) = 0{,}30}}
P(V)=0,13‾‾ \underline{\underline{P(V) = 0{,}13}}
P(G∩V)=0,03‾‾ \underline{\underline{P(G \cap V) = 0{,}03}}
P(V∣G)=0,10‾‾ \underline{\underline{P(V | G) = 0{,}10}}
Vi bruker fordelingen av loddene fra a).
De tre første er gunstige delt på mulige. I den siste vet vi at loddet er gult, så da er det bare de gule loddene som er mulige.
1. Regn ut de tre første Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige, og her er det \( 100 \) mulige lodd.
\( P(G)\text{:} \) Det er \( 30 \) gule lodd: \[ P(G) = \dfrac{30}{100} = 0{,}30 \]
\( P(V)\text{:} \) Det er \( {3 + 10 = 13} \) vinnerlodd: \[ P(V) = \dfrac{13}{100} = 0{,}13 \]
\( P(G \cap V)\text{:} \) Det er \( 3 \) lodd som er både gule og vinnerlodd: \[ \textcolor{blue}{P(G \cap V)} = \dfrac{3}{100} = \textcolor{blue}{0{,}03} \]
2. Regn ut den betingede sannsynligheten \( P(V | G) \) er sannsynligheten for vinnerlodd når vi vet at loddet er gult, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1. Formelen forteller oss at: \[ P(V | G) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(G \cap V)}}{\textcolor{red}{P(G)}} \]
Her er: \[ \textcolor{blue}{P(G \cap V)} = \textcolor{blue}{0{,}03}, \quad \textcolor{red}{P(G)} = \textcolor{red}{0{,}30} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(V | G) = \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}03}}{\textcolor{red}{0{,}30}} = 0{,}10 \]
Det stemmer med telling blant de gule loddene: \( 3 \) av \( 30 \) er vinnerlodd.

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 8

4 poeng

I en populasjon på 1000 1000 vil 2,3 % 2{,}3\,\% utvikle en sykdom A, A\text{,} som krever livslang oppfølging. En slik livslang oppfølging beregnes til å koste samfunnet i snitt 1 000 000 1\,000\,000 per person med sykdom A. A\text{.} Det finnes en vaksine mot denne sykdom A, A\text{,} som er 90 % 90\,\% effektiv (10 % 10\,\% av befolkningen vil ikke være beskyttet mot sykdom A A selv om de har tatt vaksinen). Denne vaksinen koster 2 300 2\,300 per stykk.

Oppgave 8a)

Lønner det seg å vaksinere hele populasjonen? Svaret må begrunnes.
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
Ja, det lønner seg å vaksinere hele populasjonen. Kostnaden blir:
Uten vaksine:23 000 000Med vaksine:4 600 000‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \text{Uten vaksine:} \quad & 23\,000\,000 \\ \text{Med vaksine:} \quad & 4\,600\,000 \end{aligned}}}
Vi regner ut hva det koster samfunnet uten vaksine og med vaksine, og sammenligner.
1. Regn ut kostnaden uten vaksine \( 2{,}3\,\% \) av \( 1000 \) personer blir syke, regnet som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \begin{aligned} \text{Syke} &= \dfrac{2{,}3}{100} \cdot 1000 = 23 \\ \textcolor{blue}{\text{Uten vaksine}} &= 23 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{blue}{23\,000\,000} \end{aligned} \]
2. Regn ut kostnaden med vaksine Vaksinen koster \( 2\,300 \) for hver av de \( 1000 \) personene. Av de \( 23 \) som ellers ville blitt syke, er \( 10\,\% \) ikke beskyttet: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\text{Vaksiner}} &= 1000 \cdot 2\,300 \\ &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ \text{Syke i snitt} &= \dfrac{10}{100} \cdot 23 = 2{,}3 \\ \textcolor{darkorange}{\text{Oppfølging}} &= 2{,}3 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \end{aligned} \]
Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Med vaksine}} &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ &\quad + \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \\ &= \textcolor{red}{4\,600\,000} \end{aligned} \]
3. Sammenlign Det koster mye mindre å vaksinere alle: \[ \textcolor{red}{4\,600\,000} < \textcolor{blue}{23\,000\,000} \]Samfunnet sparer \( 18\,400\,000\text{,} \) så det lønner seg.
Det viser seg at 0,1 % 0{,}1\,\% av de som vaksinerer seg mot sykdom A, A\text{,} utvikler en sykdom B, B\text{,} som også krever livslang oppfølging.

Oppgave 8b)

Sett opp et valgtre og et venndiagram for å visualisere situasjonen.
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
Sannsynlighetene på greinene er:
P(A∣V)=0,23 %P(A∣V‾)=2,3 %P(B∣V)=0,1 %‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} P(A \mid V) &= 0{,}23\,\% \\ P(A \mid \overline{V}) &= 2{,}3\,\% \\ P(B \mid V) &= 0{,}1\,\% \end{aligned}}}
Vi deler først på om personen er vaksinert eller ikke. Sykdom \( A \) kan ramme begge gruppene, mens sykdom \( B \) bare rammer de vaksinerte.
1. Finn sannsynlighetene La \( \textcolor{green}{V} \) være at personen er vaksinert. Blant de vaksinerte er \( 10\,\% \) av de \( 2{,}3\,\% \) ikke beskyttet. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(A \mid V)} &= 0{,}10 \cdot 0{,}023 = \textcolor{red}{0{,}0023} \\ \textcolor{red}{P(A \mid \overline{V})} &= \textcolor{red}{0{,}023} \\ \textcolor{blue}{P(B \mid V)} &= \textcolor{blue}{0{,}001} \end{aligned} \]
2. Tegn valgtreet Vi vet ikke ennå hvor mange som vaksinerer seg, så de første greinene har ikke tall. Vi antar at sjansen for \( \textcolor{blue}{B} \) er den samme enten personen får \( \textcolor{red}{A} \) eller ikke:
3. Tegn venndiagrammet Rektangelet er hele populasjonen, delt i vaksinerte og ikke vaksinerte. \( \textcolor{red}{A} \) ligger på begge sider av streken, mens \( \textcolor{blue}{B} \) ligger helt på den vaksinerte siden og overlapper med \( \textcolor{red}{A}\text{:} \)
På grunn av denne bieffekten på vaksinen mot sykdom A A vil 25 % 25\,\% av befolkningen motsette seg å ta vaksinen mot sykdom A. A\text{.} De resterende 75 % 75\,\% av befolkningen tar vaksinen mot sykdom A. A\text{.}

Oppgave 8c)

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i populasjonen, etter at alle som ønsket å vaksinere seg har fått sin dose, utvikler sykdom A? A\text{?}
Vis løsning på oppgave 8c
Svar
Sannsynligheten for sykdom A, A\text{,} avrundet til to desimaler i prosent, er:
P(A)=0,007475≈0,75 %‾‾ \underline{\underline{P(A) = 0{,}007475 \approx 0{,}75\,\%}}
En person kan få sykdommen på to måter: som vaksinert eller som uvaksinert. Vi regner ut begge og legger sammen.
1. Skriv opp sannsynlighetene La \( V \) være at personen er vaksinert. Blant de uvaksinerte får \( 2{,}3\,\% \) sykdommen, og blant de vaksinerte \( 10\,\% \) av dette. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} P(V) &= 0{,}75 & P(A \mid V) &= 0{,}0023 \\ P(\overline{V}) &= 0{,}25 & P(A \mid \overline{V}) &= 0{,}023 \end{aligned} \]
2. Legg sammen de to greinene Vi ganger langs hver grein og legger sammen: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{P(V) \cdot P(A \mid V)} \\ &\quad + \textcolor{red}{P(\overline{V}) \cdot P(A \mid \overline{V})} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{0{,}75 \cdot 0{,}0023} + \textcolor{red}{0{,}25 \cdot 0{,}023} \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} + \textcolor{red}{0{,}00575} \\ &= 0{,}007475 \end{aligned} \]

Oppgave 8d)

Hva er sannsynligheten for at en som har utviklet sykdom A, A\text{,} er vaksinert?
Vis løsning på oppgave 8d
Svar
Sannsynligheten for at personen er vaksinert, avrundet til én desimal i prosent, er:
P(V∣A)=313≈23,1 %‾‾ \underline{\underline{P(V \mid A) = \dfrac{3}{13} \approx 23{,}1\,\%}}
Vi bruker tallene fra c).
Vi vet at personen har sykdom \( A\text{.} \) Da er dette en betinget sannsynlighet: de vaksinerte med sykdommen delt på alle med sykdommen.
1. Skriv opp betinget sannsynlighet La \( V \) være at personen er vaksinert. Betinget sannsynlighet er gunstige delt på mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(V \mid A) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)}}{\textcolor{red}{P(A)}} \]
I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)} &= 0{,}75 \cdot 0{,}0023 \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} \\ \textcolor{red}{P(A)} &= \textcolor{red}{0{,}007475} \end{aligned} \]
2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(V \mid A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}001725}}{\textcolor{red}{0{,}007475}} \\ &= \dfrac{3}{13} \approx 0{,}231 \end{aligned} \]

Konteeksamen 2020

Oppgave 2

1 poeng

Per skyter på blink. Det er 70 % sjanse for at han treffer med første skudd. Hvis han treffer, får han større selvtillit, og da er det 80 % sjanse for at han treffer med andre skudd. Bommer han med første skudd, går det ned med selvtilliten, og det er da bare 60 % sjanse for at han treffer med andre skudd. Per skyter 2 piler. Finn sannsynligheten for at han får 2 treff, 1 treff og ingen treff.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

P(2 treff)=0,56P(1 treff)=0,32P(ingen treff)=0,12‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} P(2 \text{ treff}) &= 0{,}56 \\ P(1 \text{ treff}) &= 0{,}32 \\ P(\text{ingen treff}) &= 0{,}12 \end{aligned}}}
Sannsynligheten for andre skudd avhenger av første skudd, så vi bruker betinget sannsynlighet og ganger langs hvert utfall.
1. Skriv opp regelen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{A} \cap \textcolor{red}{B}) = P(\textcolor{blue}{A}) \cdot P(\textcolor{red}{B} \mid \textcolor{blue}{A}) \]Hvis du er usikker på betinget sannsynlighet, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.
Vi kaller første skudd \( \textcolor{blue}{A} \) og andre skudd \( \textcolor{red}{B}\text{.} \) Bom er det motsatte av treff, så sannsynlighetene for bom er \( 1 \) minus sannsynlighetene for treff. Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{blue}{0{,}7} \\ P(\textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{blue}{0{,}3} \\ P(\textcolor{red}{\text{treff}} \mid \textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{red}{0{,}8} \\ P(\textcolor{red}{\text{bom}} \mid \textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{red}{0{,}2} \\ P(\textcolor{red}{\text{treff}} \mid \textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{red}{0{,}6} \\ P(\textcolor{red}{\text{bom}} \mid \textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{red}{0{,}4} \end{aligned} \]
2. Regn ut hvert antall treff To treff betyr treff på begge skuddene: \[ P(2 \text{ treff}) = \textcolor{blue}{0{,}7} \cdot \textcolor{red}{0{,}8} = 0{,}56 \]
Ett treff kan skje på to måter: treff og så bom, eller bom og så treff. Vi legger sammen de to: \[ \begin{aligned} P(1 \text{ treff}) &= \textcolor{blue}{0{,}7} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} + \textcolor{blue}{0{,}3} \cdot \textcolor{red}{0{,}6} \\ &= 0{,}14 + 0{,}18 = 0{,}32 \end{aligned} \]
Ingen treff betyr bom på begge skuddene: \[ P(0 \text{ treff}) = \textcolor{blue}{0{,}3} \cdot \textcolor{red}{0{,}4} = 0{,}12 \]
Kontroll: Summen skal være \( 1\text{:} \) \( {0{,}56 + 0{,}32 + 0{,}12 = 1}\text{.} \)

Konteeksamen 2019

Oppgave 8

2 poeng

Oppgave 8a)

I en klasse er det 10 jenter og 15 gutter. Det skal trekkes ut to elever som skal være klasserepresentanter. Hva er sannsynligheten for at begge elevene som trekkes ut er jenter. Og hva er sannsynligheten at begge elevene som trekkes ut er gutter? Regn også ut sannsynligheten for at begge elevene er gutter, hvis vi vet at resultatet av trekningen er at begge elevene har samme kjønn.
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
P(to jenter)=320‾‾P(to gutter)=720‾‾P(gutter∣samme kjønn)=710‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{P(\text{to jenter}) = \dfrac{3}{20}}} \\ &\underline{\underline{P(\text{to gutter}) = \dfrac{7}{20}}} \\ &\underline{\underline{P(\text{gutter} \mid \text{samme kjønn}) = \dfrac{7}{10}}} \end{aligned}
Vi trekker én og én elev, så det er én elev færre å velge mellom i andre trekning. Til slutt bruker vi betinget sannsynlighet.
1. Regn ut to jenter Vi ganger sannsynlighetene for hver trekning, og tar hensyn til at utvalget endrer seg, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Det er \( 25 \) elever først, og \( 24 \) etter første trekning: \[ \textcolor{red}{P(JJ)} = \dfrac{10}{25} \cdot \dfrac{9}{24} = \textcolor{red}{\dfrac{3}{20}} \]
2. Regn ut to gutter På samme måte med guttene: \[ \textcolor{blue}{P(GG)} = \dfrac{15}{25} \cdot \dfrac{14}{24} = \textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}} \]
3. Regn ut betinget sannsynlighet Samme kjønn betyr to jenter eller to gutter, og det kan ikke skje samtidig. Vi legger sammen: \[ P(\text{samme}) = \textcolor{red}{\dfrac{3}{20}} + \textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}} = \dfrac{1}{2} \]
Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \]Det er samme tanke som gunstige delt på mulige i videoen Betinget sannsynlighet Del1.
Her er \( A \) samme kjønn og \( B \) to gutter. To gutter er allerede samme kjønn, så \( {P(A \cap B) = \textcolor{blue}{P(GG)}}\text{.} \)
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(GG \mid \text{samme}) = \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{10} \]

Oppgave 8b)

Vi kaster to rettferdige terninger. Regn ut sannsynligheten til følgende hendelser:
S: Summen av terningene er sju eller mer.
T: Den ene terningen viser et oddetall og den andre et partall.
Er hendingene S og T uavhengige? Hvis ikke, vil hendelse S gjøre hendelse T mer eller mindre sannsynlig?
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
S S og T T er ikke uavhengige, og S S gjør T T mer sannsynlig.
P(S)=712,P(T)=12‾‾P(T∣S)=47>P(T)‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{P(S) = \dfrac{7}{12}, \quad P(T) = \dfrac{1}{2}}} \\ &\underline{\underline{P(T \mid S) = \dfrac{4}{7} > P(T)}} \end{aligned}
To terninger gir \( 36 \) like sannsynlige utfall, så vi teller gunstige utfall. To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene.
1. Regn ut sannsynligheten for summen Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige. Summene \( 7 \) til \( 12 \) har \( 6\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) utfall: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(S)} &= \dfrac{6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1}{36} \\ &= \dfrac{21}{36} = \textcolor{blue}{\dfrac{7}{12}} \end{aligned} \]
2. Regn ut oddetall og partall Første terning kan vise oddetall og andre partall, eller omvendt. Hver av disse gir \( {3 \cdot 3} \) utfall: \[ \textcolor{red}{P(T)} = \dfrac{3 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{36} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \]
3. Regn ut sannsynligheten for begge \( T \) betyr at summen er et oddetall. Begge skjer altså når summen er \( 7\text{,} \) \( 9 \) eller \( 11\text{,} \) som har \( 6\text{,} \) \( 4 \) og \( 2 \) utfall: \[ \textcolor{green}{P(S \cap T)} = \dfrac{6 + 4 + 2}{36} = \dfrac{12}{36} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \]
4. Sjekk om hendelsene er uavhengige Hendelsene er uavhengige hvis: \[ \textcolor{green}{P(S \cap T)} = \textcolor{blue}{P(S)} \cdot \textcolor{red}{P(T)} \]
Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{7}{12}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{24} \neq \dfrac{8}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \]
De er altså ikke uavhengige.
5. Sammenlign med betinget sannsynlighet Når vi vet at \( S \) har skjedd, er det \( 21 \) mulige utfall og \( 12 \) gunstige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(T \mid S) = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7} \]
Vi sammenligner med \( \textcolor{red}{P(T)}\text{:} \) \[ \dfrac{4}{7} > \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \]
\( S \) gjør altså \( T \) mer sannsynlig.

Ordinær eksamen 2019

Oppgave 10

2 poeng

Oppgave 10a)

I en klasse er det 10 10 jenter og 22 22 gutter. Det er 7 7 elever som snuser. Av de 7 7 som snuser er det 3 3 jenter. Vi trekker ut en tilfeldig valgt elev fra klassen og definerer hendingene:
J: J\text{:} Eleven er ei jente G: G\text{:} Eleven er en gutt S: S\text{:} Eleven snuser
Tegn et venndiagram for hendelsene. Beskriv med ord hva vi mener med P(S∣G), P(S|G)\text{,} P(J∣S), P(J|S)\text{,} P(G∪S) P(G \cup S) og P(G∣S‾), P(G|\overline{S})\text{,} og beregne disse sannsynlighetene.
Vis løsning på oppgave 10a
Svar
Venndiagrammet og forklaringene står i løsningen.
P(S∣G)=211‾‾ \underline{\underline{P(S|G) = \dfrac{2}{11}}}
P(J∣S)=37‾‾ \underline{\underline{P(J|S) = \dfrac{3}{7}}}
P(G∪S)=2532‾‾ \underline{\underline{P(G \cup S) = \dfrac{25}{32}}}
P(G∣S‾)=1825‾‾ \underline{\underline{P(G|\overline{S}) = \dfrac{18}{25}}}
Vi teller først opp hvor mange elever som er i hvert felt i diagrammet. Da kan vi lese av alle sannsynlighetene som gunstige delt på mulige.
1. Tell opp elevene Av de \( 7 \) som snuser er \( 3 \) jenter, så resten er gutter. Vi trekker fra for å finne dem som ikke snuser: \[ \begin{aligned} \text{gutter, snuser} &: \ 7 - 3 = \textcolor{red}{4} \\ \text{jenter, snuser ikke} &: \ 10 - 3 = \textcolor{blue}{7} \\ \text{gutter, snuser ikke} &: \ 22 - \textcolor{red}{4} = \textcolor{green}{18} \end{aligned} \]
Alle elevene er enten jente eller gutt, så \( J \) og \( G \) deler rektangelet i to, mens \( S \) ligger over begge:
2. Regn ut de betingede sannsynlighetene \( P(S|G) \) er sannsynligheten for at eleven snuser når vi vet at eleven er en gutt. Vi deler antall gunstige på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(S|G) = \dfrac{\textcolor{red}{4}}{22} = \dfrac{2}{11} \]
\( P(J|S) \) er sannsynligheten for at eleven er ei jente når vi vet at eleven snuser: \[ P(J|S) = \dfrac{3}{7} \]
\( P(G|\overline{S}) \) er sannsynligheten for at eleven er en gutt når vi vet at eleven ikke snuser. Det er \( {\textcolor{blue}{7} + \textcolor{green}{18} = 25} \) elever som ikke snuser: \[ P(G|\overline{S}) = \dfrac{\textcolor{green}{18}}{25} \]
3. Regn ut unionen \( P(G \cup S) \) er sannsynligheten for at eleven er en gutt eller snuser, eller begge deler. Tegnet \( \cup \) betyr «eller», som i videoen Grunnleggende symboler. Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(G \cup S) &= P(G) + P(S) \\ &\quad - P(G \cap S) \end{aligned} \]
\( G \cap S \) er elevene som både er gutter og snuser. Plugger vi inn tallene fra diagrammet, får vi: \[ P(G \cup S) = \dfrac{22}{32} + \dfrac{7}{32} - \dfrac{\textcolor{red}{4}}{32} = \dfrac{25}{32} \]

Oppgave 10b)

Per trekker tre kort fra en godt blandet kortstokk. Hva er sannsynligheten for at alle kortene er av samme valør? (3 3 spar eller 3 3 hjerter eller 3 3 ruter eller 3 3 kløver)
(I en kortstokk er det 13 13 spar, 13 13 hjerter, 13 13 ruter og 13 13 kløver)
Vis løsning på oppgave 10b
Svar
Avrundet til tre desimaler er:
P(samme valør)=22425≈0,052‾‾ \underline{\underline{P(\text{samme valør}) = \dfrac{22}{425} \approx 0{,}052}}
Vi regner ut sannsynligheten for tre spar, der kortstokken blir mindre for hvert kort. De fire sortene er like sannsynlige, så vi ganger til slutt med \( 4\text{.} \)
1. Finn sannsynligheten for tre spar For hvert kort vet vi hva som allerede er trukket, så det er en betinget sannsynlighet, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1. Gangeregelen forteller oss at: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \]
Etter første spar er det \( 12 \) spar igjen av \( 51 \) kort, og så \( 11 \) av \( 50\text{:} \) \[ P(\text{tre spar}) = \textcolor{blue}{\dfrac{13}{52}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{12}{51}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{11}{50}} \]
2. Gang med de fire sortene De fire utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger dem sammen. Det er det samme som å gange med \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} P &= 4 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{13}{52}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{12}{51}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{11}{50}} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{12 \cdot 11}{51 \cdot 50} \\ &= \dfrac{132}{2550} = \dfrac{22}{425} \end{aligned} \]

Konteeksamen 2018

Oppgave 4

6 poeng

Emma driver med roadracing. Med motorsykkelen i orden og god dagsform, vil Emma vinne løpene hun deltar i. Sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden er 30 %, 30\,\% \text{,} mens sannsynligheten for at god dagsform inntreffer er 25 %. 25\,\% \text{.} Sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden er 40 %. 40\,\% \text{.}

Oppgave 4a)

Finn sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden samtidig som at Emma har en god dagsform.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Sannsynligheten for begge deler er 12 %: 12\,\% \text{:}
P(M∩G)=0,12‾‾ \underline{\underline{P(M \cap G) = 0{,}12}}
Vi kjenner sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden, og det er en betinget sannsynlighet. Vi ganger den med sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden.
1. Skriv opp det vi vet Vi kaller hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) (motorsykkelen er i orden) og \( \textcolor{red}{G} \) (god dagsform). Oppgaveteksten gir: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) &= 0{,}30 \\ P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}25 \\ P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) &= 0{,}40 \end{aligned} \]
\( P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \) betyr sannsynligheten for \( \textcolor{red}{G} \) når vi vet at \( \textcolor{blue}{M} \) har skjedd, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1.
2. Bruk produktsetningen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \]
Plugger vi inn tallene, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}30 \cdot 0{,}40 = 0{,}12 \]

Oppgave 4b)

Er det at motorsykkelen er i orden og Emma har god dagsform uavhengige hendelser?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Hendelsene er ikke uavhengige:
P(M∩G)≠P(M)⋅P(G)‾‾ \underline{\underline{P(M \cap G) \neq P(M) \cdot P(G)}}
Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).
To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene hver for seg. Vi sjekker om det stemmer her.
1. Sjekk kravet Hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) og \( \textcolor{red}{G} \) er uavhengige hvis og bare hvis: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) \]
Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}30 \cdot 0{,}25 = 0{,}075 \\ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) &= 0{,}12 \end{aligned} \]
De to er ulike: \[ 0{,}12 \neq 0{,}075 \]
Det å vite at motorsykkelen er i orden endrer altså sannsynligheten for god dagsform, fra \( 0{,}25 \) til \( 0{,}40\text{.} \) At en betingelse kan endre sannsynligheten, ser du i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Oppgave 4c)

Finn sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden når Emma har god dagsform.
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Sannsynligheten er 48 %: 48\,\% \text{:}
P(M∣G)=0,48‾‾ \underline{\underline{P(M \mid G) = 0{,}48}}
Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).
Nå vet vi at \( G \) har skjedd, så vi bruker formelen for betinget sannsynlighet andre veien.
1. Bruk formelen Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G})}{P(\textcolor{red}{G})} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Eks 2.
Her er: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}12, \quad P(\textcolor{red}{G}) = 0{,}25 \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{0{,}12}{0{,}25} = 0{,}48 \]
Etter en ulykke på banen er Emma tvunget til å ta smertestillende tabletter. Tablettene hun har fått inneholder 1,5 1{,}5 mg virkestoff. Kroppen til Emma bryter ned 20 % 20\,\% av det aktive stoffet per døgn. Legen beordrer Emma til å spise en tablett hver dag.

Oppgave 4d)

Forklar hvorfor den geometriske rekka
1,5+1,5⋅0,80+1,5⋅0,802+1,5⋅0,803+⋯ \begin{aligned} &1{,}5 + 1{,}5 \cdot 0{,}80 + 1{,}5 \cdot 0{,}80^2 \\ &+ 1{,}5 \cdot 0{,}80^3 + \cdots \end{aligned}
uttrykker mengden virkestoff (målt i milligram) i Emma sin kropp.
Vis løsning på oppgave 4d
Svar
Mengden i mg like etter tablett nummer n n er summen av det som er igjen av hver tablett:
Sn=1,5+…+1,5⋅0,80n−1‾‾ \underline{\underline{S_n = 1{,}5 + \ldots + 1{,}5 \cdot 0{,}80^{n - 1}}}
Vi følger én tablett om gangen og ser hvor mye som er igjen av den etter hvert døgn. Mengden i kroppen er summen av det som er igjen av alle tablettene.
1. Følg én tablett Bryter kroppen ned \( 20\,\% \text{,} \) er \( 80\,\% \) igjen. Etter hvert døgn ganger vi derfor med \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{ny} &: \ 1{,}5 \\ \text{etter 1 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \text{etter 2 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^2 \end{aligned} \]
2. Legg sammen alle tablettene Like etter at Emma har tatt en tablett, har hun den nye, den fra i går, den fra i forgårs og så videre i kroppen. Hvert ledd i rekka er det som er igjen av én tablett. Etter \( n \) tabletter er mengden derfor summen av de \( n \) første leddene: \[ 1{,}5 + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} + \ldots + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^{n - 1} \]
Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{,} \) så rekka er geometrisk, som i videoen Geometriske rekker intro. Fortsetter kuren, får vi flere og flere ledd i rekka.

Oppgave 4e)

Finn kvotienten, k, k\text{,} ledd nr. 6, a6, a_6\text{,} og summen av de seks første leddene, S6, S_6\text{,} i denne geometriske rekka.
Vis løsning på oppgave 4e
Svar
k=0,80‾‾ \underline{\underline{k = 0{,}80}}
a6=0,49152 mg‾‾ \underline{\underline{a_6 = 0{,}49152\,\text{mg}}}
S6=5,53392 mg‾‾ \underline{\underline{S_6 = 5{,}53392\,\text{mg}}}
Vi leser av første ledd og kvotienten. Så bruker vi formelen for ledd nummer \( n \) og formelen for summen.
1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}80}{1{,}5} = \textcolor{blue}{0{,}80} \]
Første ledd er \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1{,}5}}\text{.} \)
2. Finn ledd nummer seks Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{k}^{\,n - 1} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometriske rekker intro.
Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ a_6 = \textcolor{red}{1{,}5} \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^5 = 0{,}49152 \]
3. Finn summen Formelen for summen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^n\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_6 &= \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}\left(1 - \textcolor{blue}{0{,}80}^6\right)}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} \\ &= \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}737856}{0{,}20} \\ &= 5{,}53392 \end{aligned} \]

Oppgave 4f)

Normalt tåler kroppen 10 10 mg av virkestoffet. Vil Emma overskride denne grensen ved å fortsette tablettkuren for lenge?
Vis løsning på oppgave 4f
Svar
Nei, mengden virkestoff blir aldri større enn:
S=7,5 mg<10 mg‾‾ \underline{\underline{S = 7{,}5\,\text{mg} < 10\,\text{mg}}}
Vi bruker \( {a_1 = 1{,}5} \) og \( {k = 0{,}80} \) fra e).
Fortsetter kuren for lenge, blir rekka uendelig. Vi sjekker om den konvergerer, og sammenligner summen med grensen.
1. Sjekk at rekka konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| = \textcolor{blue}{0{,}80} < 1 \]
2. Regn ut den uendelige summen Summen av en uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.
Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} = 7{,}5 \]
Alle leddene er positive, så mengden vokser mot \( 7{,}5 \) mg uten å nå dit: \[ S_n < 7{,}5 < 10 \]
Emma overskrider derfor ikke grensen på \( 10 \) mg, uansett hvor lenge kuren varer.

Ordinær eksamen 2018

Oppgave 4

3 poeng

I en klasse på 30 studenter tar 10 studenter fysikk og 22 studenter tar matematikk. 5 studenter tar både fysikk og matematikk. La F være hendelsen studenten tar fysikk og M være hendelsen studenten tar matematikk.

Oppgave 4a)

Tegn et venndiagram for disse hendelsene.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Venndiagrammet står i stegene. Tallene i det er:
Bare fysikk:5Begge:5Bare matematikk:17Ingen av dem:3‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \text{Bare fysikk:} \quad & 5 \\ \text{Begge:} \quad & 5 \\ \text{Bare matematikk:} \quad & 17 \\ \text{Ingen av dem:} \quad & 3 \end{aligned}}}
Vi starter med overlappet, som er oppgitt. Så trekker vi fra for å finne hva som står alene i hver sirkel, og hva som står utenfor.
1. Tell opp hver gruppe Snittet \( F \cap M \) er de som tar begge fagene, og de teller med i begge sirklene. Hva symbolet betyr, ser du i videoen Grunnleggende symboler. Vi får: \[ \begin{aligned} \text{Begge:} \quad & \textcolor{green}{5} \\ \text{Bare fysikk:} \quad & 10 - 5 = \textcolor{blue}{5} \\ \text{Bare matte:} \quad & 22 - 5 = \textcolor{red}{17} \\ \text{Ingen:} \quad & 30 - \textcolor{blue}{5} - \textcolor{green}{5} - \textcolor{red}{17} = \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]
2. Tegn venndiagrammet Vi tegner en sirkel for F og en for M, med overlappet i midten og resten av klassen utenfor:

Oppgave 4b)

Regn ut: P(F), P(F)\text{,} P(F∩M), P(F \cap M)\text{,} P(F∪M), P(F \cup M)\text{,} P(F∣M) P(F \mid M) og P(M∣F‾). P(M \mid \overline{F})\text{.}
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
P(F)=13P(F∩M)=16P(F∪M)=910P(F∣M)=522P(M∣F‾)=1720‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} P(F) &= \dfrac{1}{3} \\ P(F \cap M) &= \dfrac{1}{6} \\ P(F \cup M) &= \dfrac{9}{10} \\ P(F \mid M) &= \dfrac{5}{22} \\ P(M \mid \overline{F}) &= \dfrac{17}{20} \end{aligned}}}
Vi bruker tallene fra venndiagrammet i a).
Vi teller gunstige studenter og deler på mulige. Ved betinget sannsynlighet er de mulige bare dem vi vet noe om.
1. Regn ut de tre første \( P(F) \) og \( P(F \cap M) \) leser vi rett av tallene, siden alle \( 30 \) er mulige: \[ \begin{aligned} P(F) &= \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \\ P(F \cap M) &= \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]
Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &P(F \cup M) \\ &= P(F) + P(M) - P(F \cap M) \end{aligned} \]
Plugger vi inn tallene, får vi: \[ \begin{aligned} P(F \cup M) &= \dfrac{10}{30} + \dfrac{22}{30} - \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} \\ &= \dfrac{27}{30} = \dfrac{9}{10} \end{aligned} \]
2. Regn ut de betingede Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(B \mid A) &= \dfrac{g}{m} \\ &= \dfrac{\text{antall i både } A \text{ og } B}{\text{antall i } A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.
De mulige er altså bare dem vi vet oppfyller betingelsen. Av alle som ikke tar fysikk, \( {30 - 10 = 20}\text{,} \) er det \( \textcolor{red}{17} \) som tar matematikk. Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(F \mid M) &= \dfrac{\text{begge}}{\text{matte}} = \dfrac{\textcolor{green}{5}}{22} \\ P(M \mid \overline{F}) &= \dfrac{\text{bare matte}}{\text{ikke fysikk}} = \dfrac{\textcolor{red}{17}}{20} \end{aligned} \]

Oppgave 4c)

En vinsmaking har følgende opplegg: Det fins 7 ulike viner å velge mellom, men en har bare mulighet til å smake på 5 (ulike) av disse. Vi antar at alle deltakere velger viner helt tilfeldig. Hva er det maksimale antallet deltakere det kan være på vinsmakingen, hvis det skal være mulig for hver person å velge forskjellige viner?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Det maksimale antallet er:
Antall deltakere=21‾‾ \underline{\underline{\text{Antall deltakere} = 21}}
Vi velger \( 5 \) av \( 7 \) viner, og rekkefølgen spiller ingen rolle. Hver person må ha sitt eget utvalg, så antallet utvalg er antallet deltakere.
1. Skriv opp regelen Antall måter å velge \( \textcolor{red}{k} \) av \( \textcolor{blue}{n} \) ulike ting på, når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er: \[ \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}} = \dfrac{\textcolor{blue}{n}!}{\textcolor{red}{k}! \cdot (\textcolor{blue}{n} - \textcolor{red}{k})!} \]
Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{7}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5} \]
2. Regn ut antallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{5}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{7}!}{\textcolor{red}{5}! \cdot 2!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \end{aligned} \]
Det finnes altså \( 21 \) forskjellige utvalg. Med \( 21 \) deltakere kan alle ha hvert sitt utvalg. Med én til må to ha det samme.

Ordinær eksamen 2017

Oppgave 6

2 poeng

To personer a a og b b skyter annenhver gang på en ballong. Den som treffer ballongen først har vunnet spillet. La A A og B B være begivenhetene at henholdsvis a a og b b treffer ballongen i et enkelt skudd. Anta at disse begivenhetene er uavhengige. Anta at P(A)=13, {P(A) = \dfrac{1}{3}}\text{,} P(B)=12 {P(B) = \dfrac{1}{2}} og at a a skyter først.

Oppgave 6a)

Regn ut følgende sannsynligheter:
- Sannsynligheten for at a a bommer i et enkelt skudd (dvs. P(Aˉ) P(\bar{A}) ). - Sannsynligheten for at a a bommer på første forsøk og b b treffer (dvs. P(Aˉ∩B)? P(\bar{A} \cap B)\text{?} ). - Sannsynligheten for at det blir skutt tre ganger og at a a vinner spillet. - Sannsynligheten for at det blir skutt fem ganger og at a a vinner spillet. - Den totale sannsynligheten for at det blir skutt en, tre eller fem ganger og at a a vinner.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Sannsynlighetene er, i samme rekkefølge som i oppgaven:
P(Aˉ)=23P(Aˉ∩B)=13tre skudd: 19fem skudd: 127en, tre eller fem: 1327‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} P(\bar{A}) &= \dfrac{2}{3} \\ P(\bar{A} \cap B) &= \dfrac{1}{3} \\ \text{tre skudd: } &\dfrac{1}{9} \\ \text{fem skudd: } &\dfrac{1}{27} \\ \text{en, tre eller fem: } &\dfrac{13}{27} \end{aligned}}}
Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd. Spillet fortsetter bare så lenge begge bommer.
1. Finn sannsynligheten for bom \( a \) enten treffer eller bommer, og det samme gjelder \( b\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(\bar{A})} &= 1 - \dfrac{1}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{blue}{P(\bar{B})} &= 1 - \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]
2. Gang sannsynlighetene for hvert skudd For uavhengige begivenheter ganger vi sannsynlighetene: \[ P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y) \]
Det gir oss: \[ P(\bar{A} \cap B) = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \]
Når \( a \) vinner på skudd tre, bommer først \( a \) og så \( b\text{,} \) og så treffer \( a\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9} \]
Når \( a \) vinner på skudd fem, bommer begge to ganger før \( a \) treffer: \[ \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{27} \]
3. Legg sammen Vinner \( a \) på første skudd, er sannsynligheten \( {P(A) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \) De tre utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger dem sammen. Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, altså en kvotient på \( \dfrac{1}{3}\text{:} \) \[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{9 + 3 + 1}{27} = \dfrac{13}{27} \]

Oppgave 6b)

Hva er sannsynligheten for at a a vinner spillet?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Sannsynligheten for at a a vinner spillet er:
P=12‾‾ \underline{\underline{P = \dfrac{1}{2}}}
Vi bruker mønsteret fra a).
\( a \) kan vinne på skudd en, tre, fem og så videre. Det gir en uendelig geometrisk rekke, som vi kan summere.
1. Finn rekken I a) fant vi leddene \( \dfrac{1}{3}\text{,} \) \( \dfrac{1}{9} \) og \( \dfrac{1}{27}\text{.} \) For hver runde der begge bommer, ganges sannsynligheten med: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \]
Sannsynligheten for at \( a \) vinner er derfor en uendelig geometrisk rekke: \[ P = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \cdots \]
2. Summer rekken Siden \( {\left|\textcolor{blue}{k}\right| < 1}\text{,} \) er rekken konvergent. Summen av en uendelig geometrisk rekke, som i videoen Geometrisk rekke test, er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]
Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{1}{3}}}{1 - \textcolor{blue}{\tfrac{1}{3}}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{2} \]