Forkurseksamen etter tema

Vi finner \( \sin x \) med enhetsformelen. Så bruker vi formlene for dobbel vinkel, og til slutt at tangens er sinus delt på cosinus.

1. Finn sinus til x Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \textcolor{blue}{\cos^2 x} = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Her er \( {\textcolor{blue}{\cos x} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin^2 x + \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}\right)^2 &= 1 \\ \sin^2 x &= 1 - \dfrac{4}{25} \\ \sin^2 x &= \dfrac{21}{25} \end{aligned} \]

Siden \( x \) ligger mellom \( 0 \) og \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) er \( \sin x \) positiv: \[ \underline{\textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}} \]

2. Finn sinus til 2x Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2 \cdot \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \sin 2x = 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \underline{\dfrac{4\sqrt{21}}{25}} \]

3. Finn cosinus til 2x For tangens trenger vi også \( \cos 2x\text{.} \) Formelen for cosinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos 2x = 2\textcolor{blue}{\cos^2 x} - 1 \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= 2 \cdot \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}\right)^2 - 1 \\ &= \dfrac{8}{25} - \dfrac{25}{25} \\ &= -\dfrac{17}{25} \end{aligned} \]

4. Finn tangens til 2x Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \begin{aligned} \tan 2x &= \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= \dfrac{\dfrac{4\sqrt{21}}{25}}{-\dfrac{17}{25}} \\ &= -\dfrac{4\sqrt{21}}{17} \end{aligned} \]

Vi begynner med å sette inn. Mot \( 2 \) går det rett fram. Mot \( 1 \) får vi \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så der faktoriserer vi telleren og forkorter.

1. Regn ut den første grensen Nevneren er ikke \( 0 \) i \( {x = 2}\text{,} \) så vi setter rett inn: \[ \lim_{x \to 2} r(x) = \dfrac{2^2 - 3 \cdot 2 + 2}{2 - 1} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

2. Sett inn i den andre grensen Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) blir både telleren og nevneren \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \dfrac{0}{0} \]Da gjør vi som i videoen Grenseverdier: vi faktoriserer telleren.

3. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi: \[ x^2 - 3x + 2 = \textcolor{blue}{1} \cdot (x - 2)(x - 1) \]

4. Forkort og sett inn Grensen handler om \( x \) nær \( 1\text{,} \) ikke i \( 1\text{,} \) så vi kan stryke \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} r(x) &= \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 1)}}{\textcolor{darkorange}{x - 1}} \\ &= \lim_{x \to 1} (x - 2) \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på én side og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Vi løser den, og bruker \( {y(0) = 10} \) til å finne konstanten.

1. Separer variablene Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{x} \) på hver sin side, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= (1 - x)y \\ \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \int \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \\ \ln|y| &= x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {y(0) = 10 > 0}\text{,} \) er \( y \) positiv, så \( {|y| = y}\text{.} \) Vi skriver \( {\textcolor{green}{K} = e^{C}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |y| &= e^{x - \tfrac{1}{2}x^2 + C} \\ y &= e^{C} \cdot e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \\ y &= \textcolor{green}{K} e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \end{aligned} \]

4. Finn konstanten Vi setter inn \( {y(0) = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10 &= \textcolor{green}{K} e^{0} \\ \textcolor{green}{K} &= \textcolor{green}{10} \end{aligned} \]

Det gir oss løsningen vi skulle vise: \[ y(x) = \textcolor{green}{10}e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

For å finne den høyeste temperaturen setter vi \( {y'(x) = 0}\text{.} \) Den deriverte står allerede i differensiallikningen.

1. Sett den deriverte lik null For å finne et toppunkt setter vi den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Differensiallikningen gir: \[ y'(x) = (\textcolor{darkorange}{1 - x}) \cdot \textcolor{magenta}{y(x)} \]

\( {\textcolor{magenta}{y(x)} = 10e^{x - \tfrac{1}{2}x^2}} \) er alltid positiv, siden \( e \) opphøyd i noe aldri blir \( 0 \) eller negativ. Dermed må: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1 - x} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Vis at det er et toppunkt Siden \( \textcolor{magenta}{y(x)} \) er positiv, har \( y'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{darkorange}{1 - x}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le x < 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} > 0, \ \ y'(x) > 0 \\ x > 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} < 0, \ \ y'(x) < 0 \end{aligned} \]

Temperaturen stiger helt fram til \( {x = 1} \) og synker hele tiden etterpå. Da er \( {x = 1} \) det høyeste punktet på hele intervallet.

3. Regn ut temperaturen Vi setter \( {x = 1} \) inn i \( y(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} y(1) &= 10e^{1 - \tfrac{1}{2} \cdot 1^2} \\ &= 10e^{\tfrac{1}{2}} = 10\sqrt{e} \approx 16{,}5 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi lar \( x \) bli stor og ser hva som skjer med eksponenten i \( y(x)\text{.} \)

1. Se på eksponenten Vi lar \( x \) gå mot uendelig, som når vi leter etter en horisontal asymptote i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer eksponenten: \[ \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} = x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) \]

Når \( x \) blir stor, går \( x \) mot uendelig og parentesen mot minus uendelig. Dermed vet vi at: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} \right) = -\infty \]

2. Finn grenseverdien \( e \) opphøyd i et stort negativt tall er nesten \( 0\text{,} \) siden det er det samme som \( 1 \) delt på et stort tall. Det gir oss: \[ \lim_{x \to \infty} 10e^{\textcolor{blue}{x - \tfrac{1}{2}x^2}} = 10 \cdot 0 = 0 \]

Temperaturen er hele tiden over \( 0\,^\circ\text{C}\text{,} \) men kommer så nær vi vil etter hvert.