Forkurseksamen etter tema

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor med fellesnevneren, så brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Gang med fellesnevneren Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{2x(x - 2)}}\text{.} \) Hvert ledd ganget med den blir: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 2} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= 2x \\ \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= 2(x - 2) \\ \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= x(x - 2) \end{aligned} \]

Likningen blir da: \[ \begin{aligned} 2x - 2(x - 2) &= x(x - 2) \\ 2x - 2x + 4 &= x^2 - 2x \\ 0 &= x^2 - 2x - 4 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{5} \end{aligned} \]

Ingen av disse er \( 0 \) eller \( 2\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen, akkurat som \( x \) i en andregradslikning. Vi bytter den derfor ut med en ny bokstav.

1. Bytt ut logaritmen Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) der \( {x > 0}\text{.} \) Det samme grepet, med \( e^x \) i stedet, ser du i videoen Oppgave 1C - Løs likningen. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u}^2 + 2\textcolor{darkorange}{u} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{u}^2 + 2\textcolor{darkorange}{u} - 8 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs for den nye bokstaven abc-formelen forteller oss at: \[ \textcolor{darkorange}{u} = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 6}{2} \\ \textcolor{darkorange}{u} &= 2 \ \text{ eller } \ \textcolor{darkorange}{u} = -4 \end{aligned} \]

3. Finn x Fra definisjonen av den naturlige logaritmen, som i videoen Naturlige Logaritmer, vet vi at: \[ \ln x = k \ \Leftrightarrow \ x = e^k \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \ &\Rightarrow \ x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -4 \ &\Rightarrow \ x = e^{-4} \end{aligned} \]

Begge er positive, så begge er løsninger.

Vi ser at vi har både sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler derfor på \( \cos x\text{,} \) så får vi en likning med bare tangens.

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da blir venstre side: \[ \pm 1 + \sqrt{3} \cdot 0 = \pm 1 \neq 0 \]

Altså er \( {\cos x \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på den. Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3}\cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Vi kjenner eksaktverdiene for vinkelen \( \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \\ \tan\left(-\textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right) &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

Hvordan vi leser av en vinkel på enhetssirkelen, ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der gjelder \( {\tan(-x) = -\tan x}\text{,} \) som gir raden over, og tangens har periode \( \pi\text{.} \) Alle løsningene er derfor: \[ x = -\textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}} + \textcolor{red}{k} \cdot \pi \]

3. Velg vinkelen i intervallet Vi prøver heltall for \( \textcolor{red}{k}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = 1 &: \ x = \dfrac{2\pi}{3} < \pi \\ \textcolor{red}{k} = 2 &: \ x = \dfrac{5\pi}{3} \in [\pi, 2\pi\rangle \\ \textcolor{red}{k} = 3 &: \ x = \dfrac{8\pi}{3} > 2\pi \end{aligned} \]

Bare \( {\textcolor{red}{k} = 2} \) gir en vinkel i intervallet.

Funksjonen er en brøk med \( x \) både i teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( e^x \) derivert er \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 - x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{(\textcolor{red}{2x - 1})\textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{x^2 - x})\textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

2. Forenkle Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, og bruker at \( {(e^x)^2 = e^x \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\left(2x - 1 - x^2 + x\right)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \\ &= \dfrac{-x^2 + 3x - 1}{e^x} \end{aligned} \]

Vi ser en logaritme av en brøk. Vi skriver den derfor om med logaritmereglene først, så blir derivasjonen enkel.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{a}{b} &= \ln a - \ln b \\ \ln e^{c} &= c \cdot \ln e = c \end{aligned} \]Du ser reglene i videoene Regneregler med Logaritmer og Naturlige Logaritmer.

Plugger vi inn, får vi, for \( {x > -\dfrac{1}{2}} \) der logaritmen finnes: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln(2x + 1) - \ln e^{2x} \\ &= \ln(2x + 1) - 2x \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\ln(\textcolor{green}{2x + 1})} \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + 1}}\text{,} \) med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Det gir oss: \[ \underline{\left(\ln(\textcolor{green}{2x + 1})\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{2x + 1}}} \]

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

3. Forenkle Slår vi dette sammen, får vi, med \( {2x + 1} \) som fellesnevner: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{2x + 1}} - 2 \\ &= \dfrac{2 - 2(2x + 1)}{2x + 1} \\ &= \dfrac{-4x}{2x + 1} \end{aligned} \]

Vi ser et produkt av \( x \) og \( e^x\text{.} \) \( x \) blir enklere når den deriveres, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'} \, dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^x \, dx &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{blue}{e^x} \cdot \textcolor{red}{1} \, dx \\ &= x e^x - e^x + C \\ &= (x - 1)e^x + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2\pi x \) er den deriverte av det som står inni sinus. Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjonen Vi setter det som står inni sinus lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x^2 + 1} \\ \dfrac{du}{dx} &= \textcolor{blue}{2\pi x} \\ du &= \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx \end{aligned} \]

2. Integrer og sett tilbake Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx = \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Sinus integrert er minus cosinus, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du = -\cos(\textcolor{green}{u}) + C \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x^2 + 1}}\text{,} \) får vi: \[ -\cos(\textcolor{green}{\pi x^2 + 1}) + C \]

Nevneren er allerede faktorisert, så vi deler brøken opp med delbrøksoppspalting. Da kan vi integrere hver del for seg.

1. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 3} \]

Ganger vi med \( {(x + 1)(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x - 3) + \textcolor{blue}{B}(x + 1) \\ x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x - 3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Leddene med \( x \) og konstantleddene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 1 \\ -3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{red}{A} &= 2 \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{blue}{B} &= 1 - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Integrer delbrøkene Regelen for brøken, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{x + n} \, dx = \ln|x + n| + C \]

Nevnerne er ikke \( 0 \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så integralet finnes. En konstant foran brøken blir stående. Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{red}{1/2}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{x - 3}\right) dx \\ &= \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln|x + 1| + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln|x - 3|\right]_0^1 \end{aligned} \]

4. Sett inn grensene Med \( {x = 1} \) og \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} x = 1 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 = \ln 2 \\ x = 0 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 1 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln 3 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, og bruker logaritmereglene, får vi: \[ \begin{aligned} \ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 3 &= \dfrac{1}{2}(\ln 4 - \ln 3) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

På \( x \)-aksen er \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så en av faktorene må være \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{blue}{e^x}(\textcolor{red}{e^x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^x} > 0 \ \text{ for alle } x \]

Vi står igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= 0 \end{aligned} \]Her bruker vi at et tall opphøyd i null er \( 1\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser.

Funksjonsverdien der er: \[ f(0) = 1 \cdot (1 - 1) = 0 \]

Vi deriverer med produktregelen og setter \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Fortegnet til \( f'(x) \) forteller oss om punktet er et toppunkt eller et bunnpunkt.

1. Deriver funksjonen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, og faktoriserer ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 1}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(2e^x - 1) \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Siden \( {e^x > 0} \) for alle \( x\text{,} \) står vi igjen med: \[ \begin{aligned} 2e^x - 1 &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\dfrac{1}{2} \\ x &= \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2 \end{aligned} \]

3. Finn fortegnet til den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -\ln 2} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( f'(x) \) skifter fortegn, så funksjonen har ikke noe toppunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = -\ln 2} \) inn i funksjonen: \[ \begin{aligned} e^{-\ln 2} &= \dfrac{1}{e^{\ln 2}} = \dfrac{1}{2} \\ f(-\ln 2) &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b).

Vi bruker tangentformelen, så vi trenger funksjonsverdien og den deriverte i \( {x = \ln 2}\text{.} \)

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) \( x \)-koordinaten til punktet. Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

2. Finn verdiene i punktet I b) fant vi: \[ f'(x) = e^x(2e^x - 1) \]

Vi setter inn \( {x = \ln 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{\ln 2} \\ e^{\ln 2} &= 2 \\ \textcolor{green}{f(a)} &= 2(2 - 1) = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{red}{f'(a)} &= 2(2 \cdot 2 - 1) = \textcolor{red}{6} \end{aligned} \]

3. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{6}(x - \textcolor{blue}{\ln 2}) + \textcolor{green}{2} \\ y &= 6x + 2 - 6\ln 2 \end{aligned} \]

Forskjellen mellom leddene er alltid \( 2\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekka har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{2}, \quad a_n = 129 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 129 &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{2} \\ 124 &= 2(n - 1) \\ 62 &= n - 1 \\ n &= 63 \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en aritmetisk rekke, som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel, er gitt ved: \[ S_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + a_n) \cdot n}{2} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{63} &= \dfrac{(\textcolor{blue}{5} + 129) \cdot 63}{2} \\ &= 67 \cdot 63 = 4221 \end{aligned} \]

Etter det første fallet går ballen hver høyde to ganger, opp og ned. Høydene er en uendelig geometrisk rekke, så vi bruker summen av den.

1. Sett opp distansen Høyden blir ganget med \( \textcolor{red}{0{,}8} \) for hvert sprett. Høydene etter sprettene er: \[ \textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + 1{,}024 + \cdots \]

Ballen faller \( 2 \) meter først, og går så hver av disse høydene to ganger: \[ s = 2 + 2\left(\textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + \cdots\right) \]

2. Summer den uendelige rekka En geometrisk rekke konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test. Da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}6}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}6}}{1 - \textcolor{red}{0{,}8}} = \dfrac{1{,}6}{0{,}2} = 8 \]

3. Regn ut totalen \[ s = 2 + 2 \cdot 8 = 18 \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten har absoluttverdi mindre enn \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{1}{x + 1} \]Her må \( {x \neq -1}\text{,} \) ellers finnes ikke brøken.

2. Bruk konvergenskravet Rekka konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ \left|\textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 1}}\right| < 1 \]

Ganger vi med \( {|x + 1|}\text{,} \) som er positiv, får vi: \[ 1 < |x + 1| \]

3. Løs ulikheten Absoluttverdien er større enn \( 1 \) når \( {x + 1} \) er større enn \( 1 \) eller mindre enn \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 1 > 1 \ &\Rightarrow \ x > 0 \\ x + 1 < -1 \ &\Rightarrow \ x < -2 \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner så koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [3 - (-2),\ 1 - 1,\ 1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [1 - 3,\ 3 - 1,\ -2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektoren Vi regner koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer, og et tall ganger hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} \vec{a} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} - 2\textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \\ &= [5 + 4,\ 0 - 4,\ -1 + 6] \\ &= [9, -4, 5] \end{aligned} \]

Vinkelen mellom to vektorer finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp vektorene Siden \( O \) er origo, har vektorene de samme koordinatene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarprodukt og lengder Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Du ser regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( \theta \) vinkelen mellom vektorene. Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor, med en tredje koordinat: \[ |\textcolor{blue}{\vec{u}}| = \sqrt{\textcolor{blue}{u_1}^2 + \textcolor{blue}{u_2}^2 + \textcolor{blue}{u_3}^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= -6 + 1 + 2 = -3 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}}| &= \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{OB}}| &= \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{-3}{3\sqrt{11}} = -\dfrac{1}{\sqrt{11}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right) \\ \theta &\approx 107{,}5^\circ \end{aligned} \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi sette opp likningen for planet.

1. Finn to vektorer i planet Vi tar sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - (-2),\ 3 - 1,\ -2 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[3, 2, -4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \) er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Det er det samme som å ta en determinant, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 2 \\ y &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 17 \\ z &= \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 10 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{green}{[2, 17, 10]} \]

3. Sett opp likningen Et plan med normalvektor \( \textcolor{green}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn punktet \( {A(-2, 1, 2)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x + 2) + \textcolor{green}{17}(y - 1) \\ &+ \textcolor{green}{10}(z - 2) = 0 \\ &2x + 4 + 17y - 17 + 10z - 20 = 0 \\ &2x + 17y + 10z - 33 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tetraederet er utspent av tre vektorer fra \( A\text{,} \) så vi bruker volumformelen med vektorproduktet og skalarproduktet.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer er gitt ved: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{w}}\right| \]Volum som grunnflate ganger høyde ser du i videoen Volum og Overflate.

Her er, med vektorproduktet fra c): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [2, 17, 10] \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{AO}} &= \textcolor{green}{[2, -1, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6} \left|2 \cdot \textcolor{green}{2} + 17(\textcolor{green}{-1}) + 10(\textcolor{green}{-2})\right| \\ &= \dfrac{1}{6} \left|4 - 17 - 20\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren til \( \alpha \) fra c).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Planet inneholder \( \overrightarrow{OB}\text{,} \) og siden det står normalt på \( \alpha\text{,} \) inneholder det også normalvektoren til \( \alpha\text{.} \)

1. Finn punktet og retningene \( \overrightarrow{OB} \) ligger i \( \beta\text{,} \) så origo ligger i planet, og én retning er: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} = \overrightarrow{OB} = \textcolor{blue}{[3, 1, 1]} \]

\( \beta \) står normalt på \( \alpha\text{,} \) så normalvektoren til \( \alpha \) er parallell med \( \beta\text{.} \) Normalvektoren kan vi lese av likningen fra c), og den er den andre retningen: \[ \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{[2, 17, 10]} \]

Koordinatene er ikke proporsjonale, så vektorene er ikke parallelle, og de utspenner et plan: \[ \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{17}{1} \]

2. Skriv parameterframstillingen Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningene \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{v}} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} x &= x_0 + s\textcolor{blue}{u_1} + t\textcolor{red}{v_1} \\ y &= y_0 + s\textcolor{blue}{u_2} + t\textcolor{red}{v_2} \\ z &= z_0 + s\textcolor{blue}{u_3} + t\textcolor{red}{v_3} \end{aligned} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn origo og de to retningene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{2}t \\ y &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{17}t \\ z &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{10}t \end{aligned} \]

Andre framstillinger av samme plan er også riktige, for eksempel med punktet \( B \) i stedet for origo.

Vi teller først opp hvor mange elever som er i hvert felt i diagrammet. Da kan vi lese av alle sannsynlighetene som gunstige delt på mulige.

1. Tell opp elevene Av de \( 7 \) som snuser er \( 3 \) jenter, så resten er gutter. Vi trekker fra for å finne dem som ikke snuser: \[ \begin{aligned} \text{gutter, snuser} &: \ 7 - 3 = \textcolor{red}{4} \\ \text{jenter, snuser ikke} &: \ 10 - 3 = \textcolor{blue}{7} \\ \text{gutter, snuser ikke} &: \ 22 - \textcolor{red}{4} = \textcolor{green}{18} \end{aligned} \]

Alle elevene er enten jente eller gutt, så \( J \) og \( G \) deler rektangelet i to, mens \( S \) ligger over begge:

2. Regn ut de betingede sannsynlighetene \( P(S|G) \) er sannsynligheten for at eleven snuser når vi vet at eleven er en gutt. Vi deler antall gunstige på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(S|G) = \dfrac{\textcolor{red}{4}}{22} = \dfrac{2}{11} \]

\( P(J|S) \) er sannsynligheten for at eleven er ei jente når vi vet at eleven snuser: \[ P(J|S) = \dfrac{3}{7} \]

\( P(G|\overline{S}) \) er sannsynligheten for at eleven er en gutt når vi vet at eleven ikke snuser. Det er \( {\textcolor{blue}{7} + \textcolor{green}{18} = 25} \) elever som ikke snuser: \[ P(G|\overline{S}) = \dfrac{\textcolor{green}{18}}{25} \]

3. Regn ut unionen \( P(G \cup S) \) er sannsynligheten for at eleven er en gutt eller snuser, eller begge deler. Tegnet \( \cup \) betyr «eller», som i videoen Grunnleggende symboler. Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(G \cup S) &= P(G) + P(S) \\ &\quad - P(G \cap S) \end{aligned} \]

\( G \cap S \) er elevene som både er gutter og snuser. Plugger vi inn tallene fra diagrammet, får vi: \[ P(G \cup S) = \dfrac{22}{32} + \dfrac{7}{32} - \dfrac{\textcolor{red}{4}}{32} = \dfrac{25}{32} \]

Vi regner ut sannsynligheten for tre spar, der kortstokken blir mindre for hvert kort. De fire sortene er like sannsynlige, så vi ganger til slutt med \( 4\text{.} \)

1. Finn sannsynligheten for tre spar For hvert kort vet vi hva som allerede er trukket, så det er en betinget sannsynlighet, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1. Gangeregelen forteller oss at: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

Etter første spar er det \( 12 \) spar igjen av \( 51 \) kort, og så \( 11 \) av \( 50\text{:} \) \[ P(\text{tre spar}) = \textcolor{blue}{\dfrac{13}{52}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{12}{51}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{11}{50}} \]

2. Gang med de fire sortene De fire utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger dem sammen. Det er det samme som å gange med \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} P &= 4 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{13}{52}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{12}{51}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{11}{50}} \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{12 \cdot 11}{51 \cdot 50} \\ &= \dfrac{132}{2550} = \dfrac{22}{425} \end{aligned} \]