Forkurseksamen etter tema

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vektoren fra \( A \) til \( D \) må derfor være lik vektoren fra \( B \) til \( C\text{.} \)

1. Finn vektoren fra B til C En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [-2 - 2,\ 2 - 3,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Finn punktet D Vi starter i \( A \) og legger til vektoren. Vektorer legger vi sammen koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= A + \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \\ &= (4 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 1 + (\textcolor{blue}{-1}),\ -1 + \textcolor{blue}{1}) \\ &= (0, 0, 0) \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Arealet av et parallellogram er lengden av kryssproduktet til to vektorer langs sidene.

1. Sett opp vektorene Vi tar de to sidene som går ut fra \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 4,\ 3 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{blue}{[-2,\ 2,\ 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 4,\ 0 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{red}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Arealet er gitt ved: \[ T = \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\ &\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3}, \\ &\textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}\ ] \end{aligned} \]Kryssproduktet som determinant vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) &= 3 \\ \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= -2 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) &= 10 \end{aligned} \]

Det gir oss kryssproduktet, i grønt: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \]

3. Finn lengden Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av koordinatene opphøyd i andre, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \sqrt{\textcolor{green}{3}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 + \textcolor{green}{10}^2} \\ &= \sqrt{113} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a), og kryssproduktet \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Kryssproduktet står vinkelrett på grunnflata. Høyden er derfor hvor langt vektoren fra \( D \) til \( T \) rekker i retningen til denne vektoren.

1. Sett opp formelen Med en normalvektor \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og et punkt \( D \) i planet forteller avstandsformelen oss at: \[ h = \dfrac{\left|\textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}\right|}{\left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right|} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\vec{n}} &= \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \\ \left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right| &= \sqrt{113} \end{aligned} \]

2. Plugg inn Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram? Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{green}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{green}{10} \cdot \textcolor{red}{4}|}{\sqrt{113}} \\ &= \dfrac{41}{\sqrt{113}} \approx 3{,}86 \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Et plan er bestemt av en normalvektor og ett punkt. Normalvektoren har vi, og punktet kan vi velge.

1. Skriv opp likningen Likningen til et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{blue}{b},\ \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[3,\ -2,\ 10]} \\ (\textcolor{red}{x_0},\ \textcolor{red}{y_0},\ \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(4,\ 1,\ -1)} \end{aligned} \]

2. Plugg inn punktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{3}(x - \textcolor{red}{4}) \textcolor{blue}{{}- 2}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{10}(z + \textcolor{red}{1}) = 0 \\ &3x - 12 - 2y + 2 + 10z + 10 = 0 \\ &3x - 2y + 10z = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Vinkelen ligger i \( D\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet til de to vektorene som går ut fra \( D\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Siden \( D \) er origo, er vektorene de samme som koordinatene til punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} &= \textcolor{blue}{[2,\ 3,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \end{aligned} \]

2. Bruk skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Regelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 5 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}}| &= \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}| &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \theta\text{,} \) får vi, avrundet til én desimal: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}}\right) \\ \theta &\approx 70{,}9^\circ \end{aligned} \]

Vi starter med formelen for \( \cos 2x\text{,} \) og bruker enhetsformelen til å få bort \( \cos^2 x\text{.} \)

1. Skriv opp de to formlene Formelen for dobbel vinkel og enhetsformelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{\cos^2 x} - \sin^2 x \\ \textcolor{red}{\cos^2 x} &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} \end{aligned} \]Enhetsformelen er Pytagoras på katetene i enhetssirkelen, som du ser i videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Sett inn og løs for sinus Plugger vi den andre inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} - \sin^2 x \\ \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \end{aligned} \]

Vi løser for \( \sin^2 x \) og får: \[ \begin{aligned} 2\sin^2 x &= 1 - \cos 2x \\ \sin^2 x &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( f \) om til en vanlig cosinusfunksjon. Da kan vi lese av alle de tre størrelsene.

1. Skriv om funksjonen Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\cos(\textcolor{blue}{2}x) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Les av størrelsene En cosinusfunksjon på formen \( {\textcolor{red}{A}\cos(\textcolor{blue}{k}x) + \textcolor{green}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= |\textcolor{red}{A}| \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{d} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{k}} \end{aligned} \]At sinus og cosinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= \left|\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right| = \dfrac{1}{2} \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{2}} = \pi \end{aligned} \]

Vi bruker amplituden \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) likevektslinjen \( {y = \dfrac{1}{2}} \) og perioden \( \pi \) fra b).

Vi regner ut funksjonsverdien der grafen snur, og tegner en bølge gjennom punktene.

1. Regn ut punktene Grafen svinger \( \dfrac{1}{2} \) opp og ned fra \( {y = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) altså mellom \( 0 \) og \( 1\text{.} \) Perioden er \( \pi\text{,} \) så den snur for hver \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Sinusverdiene står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \sin^2 0 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(\pi)} &= \sin^2 \pi = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{3\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(2\pi)} &= \sin^2 2\pi = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Tegn grafen Vi tegner en jevn bølge gjennom punktene, med to hele perioder på intervallet:

Verdimengden er alle verdiene funksjonen kan få. Vi starter med hva vi vet om sinus.

1. Finn største og minste verdi Sinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da er \( \sin^2 x \) høyst \( 1\text{,} \) og et kvadrat er aldri negativt: \[ \begin{aligned} |\sin x| \leq 1 \ &\Rightarrow \ \sin^2 x \leq 1 \\ \sin^2 x &\geq 0 \end{aligned} \]

Begge endene blir nådd, og \( f \) er kontinuerlig, så den får også alle verdiene imellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( \sin^2 x \) om til to ledd som er enkle å integrere. Vi tar dem ledd for ledd.

1. Skriv om integralet Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \sin^2 x \, dx \\ &= \int \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{2}\cos 2x}\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x}}\text{.} \)

For det andre leddet forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \cos(nx)\,dx = \dfrac{1}{n}\sin(nx) + C \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\cos 2x}\,dx \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2x + C \\ &= \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}\sin 2x}} + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{4}\sin 2x} + C \]

I e) fant vi at \[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C \]

Vi skriver \( \sin^2 x \) som et produkt. Da dukker det opprinnelige integralet opp igjen, og vi kan løse for det som i en likning.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I &= \int \sin^2 x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\sin x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\cos x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x})\,dx \\ &= -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx \end{aligned} \]

2. Løs for integralet Enhetsformelen gir \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x}\text{.} \) Da kommer \( \textcolor{darkorange}{I} \) tilbake på høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2 x)dx \\ &= -\sin x \cos x + \int 1\,dx - \textcolor{darkorange}{I} \\ \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + x - \textcolor{darkorange}{I} \end{aligned} \]

Vi legger \( \textcolor{darkorange}{I} \) til på begge sider, deler på \( 2 \) og tar med konstanten: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{I} &= x - \sin x \cos x + C_1 \\ \textcolor{darkorange}{I} &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\sin x \cos x + C \end{aligned} \]

3. Sammenlign med e) Resultatet ser annerledes ut enn i e). Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi denne inn i svaret fra e), får vi: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{4}\sin 2x &= -\dfrac{1}{4} \cdot 2\sin x \cos x \\ &= -\dfrac{1}{2}\sin x \cos x \end{aligned} \]

De to svarene er altså det samme uttrykket, skrevet på to måter.

Vi skriver begge leddene som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen.

1. Skriv leddene som potenser En brøk med \( x \) i nevneren har negativ eksponent, og en rot kan skrives som en potens, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{3}{x}} &= \textcolor{red}{3x^{-1}} \\ \textcolor{blue}{4x^2\sqrt{x}} &= 4x^2 \cdot x^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {\textcolor{red}{3x^{-1}}} \) derivert blir: \[ 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}}} \]

\( \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \) derivert blir: \[ 4 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x^{\tfrac{3}{2}} = 10x^{\tfrac{3}{2}} = \underline{\textcolor{blue}{10x\sqrt{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}} - \textcolor{blue}{10x\sqrt{x}} \]

Nevneren er bare tallet \( 5\text{,} \) så vi trenger ikke kvotientregelen. Vi deriverer telleren og deler på \( 5\text{,} \) og leddet \( 2x^3 \cos x \) er et produkt.

1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{1}{5} \) utenfor en parentes: \[ g(x) = \dfrac{1}{5}\left(2x^3 \cos x + 1\right) \]

Konstanten \( 1 \) derivert blir \( 0\text{,} \) så vi står igjen med å derivere produktet.

2. Deriver produktet Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi bruker at \( \cos x \) derivert blir \( {-\sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x^2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(2x^3 \cos x)' \\ &= \textcolor{red}{6x^2} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{2x^3} \cdot (\textcolor{blue}{-\sin x}) \\ &= 6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x \end{aligned} \]

3. Sett sammen Vi deler på \( 5 \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x}{5} \]

Vi ser en brøk og potenser inni \( \ln\text{.} \) Med logaritmereglene blir uttrykket mye enklere å derivere, så vi skriver det om først.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) &= \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln(a^b) &= b \cdot \ln a \end{aligned} \]Du finner dem i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x^3}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \]

Plugger vi dette inn og bruker at \( {\ln e = 1}\text{,} \) får vi for \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k(x) &= \ln \textcolor{red}{x^3} - \ln \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \\ &= 3\ln x - (2x - 1) \cdot \ln e \\ &= 3\ln x - 2x + 1 \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( \ln x \) derivert blir \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Da får vi: \[ (3\ln x)' = \underline{\dfrac{3}{x}} \]

\( {-2x + 1} \) derivert blir: \[ (-2x + 1)' = \underline{-2} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ k'(x) = \dfrac{3}{x} - 2 \]

Volumet binder høyden til radien, så overflaten kan skrives med bare én variabel. Så finner vi bunnpunktet med den deriverte.

1. Uttrykk høyden med radien Vi regner i desimeter, siden \( 1 \) liter er \( 1\,\text{dm}^3\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = \pi r^2 \textcolor{green}{h} \]

Her er \( {V = 1}\text{.} \) Løser vi for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \pi r^2 \textcolor{green}{h} &= 1 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Sylinderen har bunn, men ikke lokk. Sideflaten rullet ut er et rektangel med bredde \( 2\pi r \) og høyde \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Overflaten er derfor: \[ O = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{green}{h} \]

Plugger vi inn høyden, får vi: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2}{r} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, med \( {\dfrac{2}{r} = 2r^{-1}}\text{:} \) \[ O'(r) = 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} &= 0 \\ 2\pi r^3 &= 2 \\ \textcolor{blue}{r^3} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(r) = \dfrac{2\pi r^3 - 2}{r^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} r^3 < \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) < 0 \\ r^3 > \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og den er derfor minst i dette punktet.

5. Finn forholdet Vi deler høyden på radien og setter inn \( \textcolor{blue}{r^3}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{h}}{r} = \dfrac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{\pi r^2} \cdot r} = \dfrac{1}{\pi \textcolor{blue}{r^3}} = \dfrac{1}{\pi \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}}} = 1 \]

Høyden må altså være like stor som radien.

Vi setter inn \( {x = 5} \) og ser at venstresiden blir \( 0\text{.} \) Da er \( {(x - 5)} \) en faktor, og polynomdivisjon gir resten.

1. Sett inn løsningen Vi setter \( {x = 5} \) inn i venstresiden: \[ \begin{aligned} &5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Venstresiden blir \( 0\text{,} \) så \( 5 \) er en løsning. Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &P(a) = 0 \\ &\iff P(x) = (x - a) \cdot Q(x) \end{aligned} \]Videoen Nullpunktssetningen sier den fra den andre siden, og den gjelder begge veier.

Her er \( {a = 5}\text{,} \) så polynomet er delelig med \( {(x - 5)}\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon Vi deler polynomet på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = -4 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 1} \) og \( {x_2 = -4}\text{,} \) får vi: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x - 1)(x + 4) \end{aligned} \]

Vi ser at \( (\ln x)^3 \) og \( \ln x^3 \) er to ulike ting. Vi skriver om \( \ln x^3 \) med logaritmeregelen, og da er \( \ln x \) den eneste ukjente.

1. Skriv om logaritmen Logaritmeregelen for en potens forteller oss at: \[ \ln(a^b) = b \cdot \ln a \]Du ser den brukt i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er \( {a = x} \) og \( {b = 3}\text{,} \) for \( {x > 0}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\ln x)^3 - 3\ln x &= \ln x \\ (\ln x)^3 - 4\ln x &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs for logaritmen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) og faktoriserer ut \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u}^3 - 4\textcolor{green}{u} &= 0 \\ \textcolor{green}{u}(\textcolor{green}{u}^2 - 4) &= 0 \end{aligned} \]

Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = \textcolor{green}{u}} \) og \( {b = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u}(\textcolor{green}{u} - 2)(\textcolor{green}{u} + 2) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{u} = 0 \text{ eller } \textcolor{green}{u} = 2 \text{ eller } \textcolor{green}{u} = -2 \]

3. Finn x Fra definisjonen av \( \ln \) vet vi at: \[ \textcolor{green}{\ln x} = \textcolor{green}{u} \quad \Leftrightarrow \quad x = e^{\textcolor{green}{u}} \]Du ser definisjonen i videoen Naturlige Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{green}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{green}{\ln x} = -2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-2} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi ser både \( \sin(2x) \) og \( \sin x\text{.} \) Med formelen for sinus til dobbel vinkel kan vi faktorisere ut \( \sin x \) og løse to enklere likninger.

1. Faktoriser likningen Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2x) = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi dette inn og setter \( \textcolor{red}{\sin x} \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{red}{\sin x} \cos x - \textcolor{red}{\sin x} &= 0 \\ \textcolor{red}{\sin x}\,(\textcolor{blue}{2\cos x - 1}) &= 0 \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så vi løser hver faktor for seg.

2. Løs den første faktoren \[ \textcolor{red}{\sin x} = 0 \]

Sinus er \( 0 \) der enhetssirkelen krysser \( {x\text{-aksen.}} \) I intervallet \( {[-\pi, \pi]} \) gir det: \[ x = -\pi \text{ eller } x = 0 \text{ eller } x = \pi \]

3. Løs den andre faktoren \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\cos x - 1} &= 0 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Enhetssirkelen gir to vinkler med samme cosinus, en på hver side av \( {x\text{-aksen,}} \) slik videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025 viser for sinus. Siden \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

En dobbel ulikhet er to ulikheter som begge må gjelde. Vi løser dem hver for seg og slår svarene sammen.

1. Løs venstre ulikhet Vi flytter \( x \) og tallene over. Det snur aldri tegnet, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} x - 2 &< 2x - 1 \\ -2 + 1 &< 2x - x \\ \textcolor{blue}{-1} &\textcolor{blue}{{}< x} \end{aligned} \]

2. Løs høyre ulikhet Vi gjør det samme med den andre: \[ \begin{aligned} 2x - 1 &\leq x + 7 \\ 2x - x &\leq 7 + 1 \\ \textcolor{red}{x} &\textcolor{red}{{}\leq 8} \end{aligned} \]

3. Slå sammen svarene Begge må gjelde samtidig, så vi får: \[ \textcolor{blue}{-1 <{}} \textcolor{red}{x \leq 8} \]

Vi kan ikke gange med \( {x - 1}\text{,} \) for vi vet ikke om det er positivt eller negativt. Vi samler alt på én side, skriver det som én brøk og bruker et fortegnsskjema.

1. Samle alt på én side Vi flytter \( x \) over og setter på felles brøkstrek, med \( {x \neq 1} \) siden nevneren ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2}{x - 1} - x &\geq 0 \\ \dfrac{2 - x(x - 1)}{x - 1} &\geq 0 \\ \dfrac{-x^2 + x + 2}{x - 1} &\geq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger med \( {-1} \) for å få \( x^2 \) positiv. Da snur tegnet, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} \leq 0 \]

2. Faktoriser telleren Vi finner nullpunktene til telleren med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2} \]

Plugger vi dette inn, med \( {-\textcolor{red}{b} = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{1 \pm 3}{2} \\ x &= 2 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -1}\text{.} \) Telleren er derfor \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) og ulikheten blir: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x + 1)}\textcolor{magenta}{(x - 2)}}{x - 1} \leq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "x - 1", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{x - 1}", "expr": "(x + 1)*(x - 2)/(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor brøken ikke finnes.

Vi vil ha brøken negativ eller lik \( 0\text{.} \) Det gir oss: \[ x \leq -1 \quad \text{eller} \quad 1 < x \leq 2 \]

Strekene i \( {x = -1} \) og \( {x = 2} \) er med, siden brøken er \( 0 \) der. \( {x = 1} \) er ikke med.

Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene. Merk at \( e^2 \) bare er en konstant.

1. Integrer ledd for ledd Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn hvert ledd, og integrerer \( \textcolor{green}{e^2} \) som en konstant, får vi: \[ F(x) = x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + 3x^2 + \textcolor{green}{e^2}x \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er gitt ved: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {a = -2} \) og \( {b = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(2)} &= \textcolor{blue}{16 - \dfrac{16}{3} + 12 + 2\textcolor{green}{e^2}} \\ \textcolor{red}{F(-2)} &= \textcolor{red}{16 + \dfrac{16}{3} + 12 - 2\textcolor{green}{e^2}} \end{aligned} \]

Trekker vi fra, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{F(2)} - \textcolor{red}{F(-2)} \\ &= -\dfrac{16}{3} - \dfrac{16}{3} + 2\textcolor{green}{e^2} + 2\textcolor{green}{e^2} \\ &= 4\textcolor{green}{e^2} - \dfrac{32}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Da passer substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter, som i videoen Substitusjon: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x} \]

Deriverer vi begge sider og løser for \( dx\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= \cos x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, stryker \( \cos x \) mot \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{\sin^2 x}}\,dx &= \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{u}^2} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Potensregelen for integraler, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int u^n\,du = \dfrac{1}{n + 1}u^{n + 1} + C \]

Her er \( {n = -2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} = -\textcolor{green}{u}^{-1} + C = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} + C \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{\sin x}} + C \]

Et rotasjonslegeme kalles også et omdreiningslegeme. Vi bruker formelen for volumet om \( {x\text{-aksen,}} \) der radien er funksjonsverdien.

1. Sett opp integralet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er gitt ved: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \textcolor{green}{f(x)}^2\,dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \textcolor{green}{f(x)} = \textcolor{green}{e^x}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} (\textcolor{green}{e^x})^2\,dx = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} e^{2x}\,dx \]

2. Regn ut integralet Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n}e^{nx} + C \]Du finner regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} \\ &= \pi\left(\dfrac{1}{2}e^{2} - \dfrac{1}{2}e^{0}\right) \\ &= \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1) \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Faktoren \( {y + 1} \) kan vi forkorte bort først.

1. Separer likningen Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = y} \) og \( {b = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ (y - 1)\textcolor{darkorange}{(y + 1)}y' = 3\textcolor{darkorange}{(y + 1)} \]

Vi starter i \( {y = 2}\text{,} \) så \( {y + 1 \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på \( {\textcolor{darkorange}{(y + 1)}}\text{.} \) Så skriver vi \( {y' = \dfrac{dy}{dx}} \) og separerer, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} (y - 1)\dfrac{dy}{dx} &= 3 \\ (y - 1)\,dy &= 3\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider \[ \begin{aligned} \int (y - 1)\,dy &= \int 3\,dx \\ \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x + \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]

3. Bruk initialverdien Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 &= 3 \cdot 1 + \textcolor{green}{C} \\ 0 &= 3 + \textcolor{green}{C} \\ \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{-3} \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi setter inn \( \textcolor{green}{C} \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x \textcolor{green}{{}- 3} \\ y^2 - 2y &= 6x - 6 \\ y^2 - 2y + 6 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Dette er en andregradslikning i \( y\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at: \[ y = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}c}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad c = 6 - 6x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (6 - 6x)}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{24x - 20}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{6x - 5} \end{aligned} \]

5. Velg riktig fortegn Vi setter inn \( {x = 1} \) i begge og sammenligner med \( {y(1) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 2 \\ 1 - \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 0 \end{aligned} \]

Bare plusstegnet passer. Løsningen gjelder for \( {x > \dfrac{5}{6}}\text{,} \) der roten er positiv.

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat.

1. Regn ut vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [-3 - 0,\ 2 - (-1),\ -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[-3, 3, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 0,\ 2 - (-1),\ -3 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[1, 3, -5]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen, og lengden av vektorproduktet gir arealet.

1. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Du ser det regnet ut i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3, 3, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -5]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-5}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{3}, \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-5}), \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1}] \\ &= [-6, -18, -12] \end{aligned} \]

2. Finn likningen for planet Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi deler på \( {-6} \) og velger den enkleste: \[ \textcolor{darkorange}{\vec{n}} = \textcolor{darkorange}{[1, 3, 2]} \]

Et plan med normalvektor \( [\textcolor{darkorange}{a}, \textcolor{darkorange}{b}, \textcolor{darkorange}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{green}{x_0}, \textcolor{green}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{a}(x - \textcolor{green}{x_0}) + \textcolor{darkorange}{b}(y - \textcolor{green}{y_0}) \\ &+ \textcolor{darkorange}{c}(z - \textcolor{green}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{darkorange}{a}, \textcolor{darkorange}{b}, \textcolor{darkorange}{c}] &= [\textcolor{darkorange}{1}, \textcolor{darkorange}{3}, \textcolor{darkorange}{2}] \\ (\textcolor{green}{x_0}, \textcolor{green}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) &= (\textcolor{green}{0}, \textcolor{green}{-1}, \textcolor{green}{2}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1}(x - \textcolor{green}{0}) + \textcolor{darkorange}{3}(y + \textcolor{green}{1}) + \textcolor{darkorange}{2}(z - \textcolor{green}{2}) &= 0 \\ x + 3y + 3 + 2z - 4 &= 0 \\ x + 3y + 2z - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[v_1, v_2, v_3]\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + (-18)^2 + (-12)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{504} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} \\ &= 3\sqrt{14} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

Den korteste veien fra et punkt til et plan går vinkelrett på planet. Vi lager derfor en linje gjennom \( E \) med normalvektoren som retning, og finner hvor den treffer planet.

1. Sett opp linja gjennom punktet Av likningen \( {x + 3y + 2z - 1 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{darkorange}{\vec{n}} = \textcolor{darkorange}{[1, 3, 2]}}\text{.} \) Den står vinkelrett på planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Linja gjennom \( E(1, 1, 2) \) med denne retningen er: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{darkorange}{1} \cdot \textcolor{green}{t} \\ y &= 1 + \textcolor{darkorange}{3} \cdot \textcolor{green}{t} \\ z &= 2 + \textcolor{darkorange}{2} \cdot \textcolor{green}{t} \end{aligned} \]

2. Finn hvor linja treffer planet Vi setter koordinatene inn i likningen for planet og løser for \( \textcolor{green}{t}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(1 + \textcolor{green}{t}) + 3(1 + 3\textcolor{green}{t}) \\ &\quad + 2(2 + 2\textcolor{green}{t}) - 1 = 0 \\ &14\textcolor{green}{t} + 7 = 0 \\ &\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Regn ut koordinatene Plugger vi \( \textcolor{green}{t} \) inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{2} \\ y &= 1 + 3 \cdot \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = -\dfrac{1}{2} \\ z &= 2 + 2 \cdot \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = 1 \end{aligned} \]

Vi trekker én og én elev, så det er én elev færre å velge mellom i andre trekning. Til slutt bruker vi betinget sannsynlighet.

1. Regn ut to jenter Vi ganger sannsynlighetene for hver trekning, og tar hensyn til at utvalget endrer seg, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Det er \( 25 \) elever først, og \( 24 \) etter første trekning: \[ \textcolor{red}{P(JJ)} = \dfrac{10}{25} \cdot \dfrac{9}{24} = \textcolor{red}{\dfrac{3}{20}} \]

2. Regn ut to gutter På samme måte med guttene: \[ \textcolor{blue}{P(GG)} = \dfrac{15}{25} \cdot \dfrac{14}{24} = \textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}} \]

3. Regn ut betinget sannsynlighet Samme kjønn betyr to jenter eller to gutter, og det kan ikke skje samtidig. Vi legger sammen: \[ P(\text{samme}) = \textcolor{red}{\dfrac{3}{20}} + \textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}} = \dfrac{1}{2} \]

Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \]Det er samme tanke som gunstige delt på mulige i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Her er \( A \) samme kjønn og \( B \) to gutter. To gutter er allerede samme kjønn, så \( {P(A \cap B) = \textcolor{blue}{P(GG)}}\text{.} \)

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(GG \mid \text{samme}) = \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{7}{20}}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{10} \]

To terninger gir \( 36 \) like sannsynlige utfall, så vi teller gunstige utfall. To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene.

1. Regn ut sannsynligheten for summen Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige. Summene \( 7 \) til \( 12 \) har \( 6\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) utfall: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(S)} &= \dfrac{6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1}{36} \\ &= \dfrac{21}{36} = \textcolor{blue}{\dfrac{7}{12}} \end{aligned} \]

2. Regn ut oddetall og partall Første terning kan vise oddetall og andre partall, eller omvendt. Hver av disse gir \( {3 \cdot 3} \) utfall: \[ \textcolor{red}{P(T)} = \dfrac{3 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{36} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \]

3. Regn ut sannsynligheten for begge \( T \) betyr at summen er et oddetall. Begge skjer altså når summen er \( 7\text{,} \) \( 9 \) eller \( 11\text{,} \) som har \( 6\text{,} \) \( 4 \) og \( 2 \) utfall: \[ \textcolor{green}{P(S \cap T)} = \dfrac{6 + 4 + 2}{36} = \dfrac{12}{36} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \]

4. Sjekk om hendelsene er uavhengige Hendelsene er uavhengige hvis: \[ \textcolor{green}{P(S \cap T)} = \textcolor{blue}{P(S)} \cdot \textcolor{red}{P(T)} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{7}{12}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{24} \neq \dfrac{8}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \]

De er altså ikke uavhengige.

5. Sammenlign med betinget sannsynlighet Når vi vet at \( S \) har skjedd, er det \( 21 \) mulige utfall og \( 12 \) gunstige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(T \mid S) = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7} \]

Vi sammenligner med \( \textcolor{red}{P(T)}\text{:} \) \[ \dfrac{4}{7} > \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \]

\( S \) gjør altså \( T \) mer sannsynlig.