Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \tan x \) derivert er \( \dfrac{1}{\cos^2 x}\text{,} \) som videoen Koblede hastigheter 1 viser ved å skrive \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\tan x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\tan x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} \\ &= \tan x + \dfrac{x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

Vi har en funksjon inni en annen: eksponenten er kjernen. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoene Kjerneregelen og Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{t^3 + 2t} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3t^2 + 2} \end{aligned} \]

Konstanten \( 5 \) blir stående som en faktor. Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(t) &= 5e^{\textcolor{green}{t^3 + 2t}} \cdot (\textcolor{green}{3t^2 + 2}) \\ &= (15t^2 + 10)e^{t^3 + 2t} \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( \ln x \) derivert er \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og \( \sqrt{x} \) derivert er \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ h'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{x}} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}{(\textcolor{blue}{\sqrt{x}})^2} \]

2. Trekk sammen I telleren er \( {\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{,} \) og nevneren er \( x\text{.} \) Vi samler telleren på én brøkstrek: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \dfrac{\dfrac{2 - \ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må: \[ \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

2. Løs for x Sinus er \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi\text{,} \) \( 2\pi \) og så videre, som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \pi x &= k\pi \\ x &= k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{:} \) \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3 \]

Begge er et produkt av \( e^x \) og et trigonometrisk uttrykk, så vi bruker produktregelen to ganger. Konstanten \( \dfrac{1}{10} \) blir stående foran.

1. Finn den deriverte Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \sin(\pi x) \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{10}\big(\textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin \pi x} \\ &\qquad + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x}\big) \\ &= \dfrac{1}{10}e^x(\sin \pi x + \pi \cos \pi x) \end{aligned} \]

2. Finn den andrederiverte Vi bruker produktregelen en gang til, nå på det vi nettopp fant. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &f''(x) = \dfrac{1}{10}\Big( \\ &\textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) \\ &+ \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x})\Big) \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x \) og samler leddene med \( \sin \pi x \) og \( \cos \pi x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) = \dfrac{1}{10}e^x\big(&(1 - \pi^2)\sin(\pi x) \\ &+ 2\pi\cos(\pi x)\big) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null Når den deriverte er \( 0\text{,} \) kan vi ha et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}(\textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} &= 0 \\ \dfrac{\sin \pi x}{\cos \pi x} &= -\pi \\ \tan \pi x &= -\pi \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}(-\pi) + \pi k \\ x &= k - \dfrac{\tan^{-1}(\pi)}{\pi} \\ x &\approx k - 0{,}402 \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = 2} \) og \( {k = 3}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}598,\ \ x \approx 1{,}598,\ \ x \approx 2{,}598 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot \pi > 0 \\ f'(1) &= -\dfrac{e\pi}{10} < 0 \\ f'(2) &= \dfrac{e^2\pi}{10} > 0 \\ f'(3) &= -\dfrac{e^3\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{,} \) tegnet som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0.598, 1.598, 2.598], "labels": ["0{,}598", "1{,}598", "2{,}598"], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x - 0.598)(x - 1.598)(x - 2.598)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den deriverte går fra pluss til minus i \( {x \approx 0{,}598} \) og \( {x \approx 2{,}598}\text{,} \) så der har vi toppunkter. Den går fra minus til pluss i \( {x \approx 1{,}598}\text{,} \) så der har vi et bunnpunkt. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx -0{,}471 \\ f(2{,}598) &\approx 1{,}281 \end{aligned} \]

Grafen stiger fra \( {x = 0} \) og synker inn mot \( {x = 3}\text{,} \) så endepunktene er også lokale bunnpunkter. Nullpunktene fra a) gir: \[ f(0) = 0, \quad f(3) = 0 \]

Det gir oss monotoniegenskapene: \[ \begin{aligned} \text{Stigende: } & 0 \le x \le 0{,}598 \\ & 1{,}598 \le x \le 2{,}598 \\ \text{Synkende: } & 0{,}598 \le x \le 1{,}598 \\ & 2{,}598 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f''(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f''(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen krummer oppover og nedover.

1. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}\big(&\textcolor{green}{(1 - \pi^2)\sin \pi x} \\ &\textcolor{green}{{}+ 2\pi\cos \pi x}\big) = 0 \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Vi flytter leddet med \( \sin \pi x \) over på høyre side, der fortegnet snur. Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x \) og på \( {\pi^2 - 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi\cos \pi x &= (\pi^2 - 1)\sin \pi x \\ \tan \pi x &= \dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1} \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}\left(\dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1}\right) + \pi k \\ x &\approx 0{,}196 + k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 0}\text{,} \) \( {k = 1} \) og \( {k = 2}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}196,\ \ x \approx 1{,}196,\ \ x \approx 2{,}196 \]

3. Finn fortegnet til den andrederiverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot 2\pi > 0 \\ f''(1) &= -\dfrac{e \cdot 2\pi}{10} < 0 \\ f''(2) &= \dfrac{e^2 \cdot 2\pi}{10} > 0 \\ f''(3) &= -\dfrac{e^3 \cdot 2\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.196, 1.196, 2.196], "labels": ["0{,}196", "1{,}196", "2{,}196"], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-(x - 0.196)(x - 1.196)(x - 2.196)"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den andrederiverte skifter fortegn i alle tre, så alle er vendepunkter. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}196) &\approx 0{,}070 \\ f(1{,}196) &\approx -0{,}191 \\ f(2{,}196) &\approx 0{,}520 \end{aligned} \]

Der \( {f''(x) > 0} \) krummer grafen oppover, og der \( {f''(x) < 0} \) krummer den nedover: \[ \begin{aligned} \text{Oppover: } & 0 \le x \le 0{,}196 \\ & 1{,}196 \le x \le 2{,}196 \\ \text{Nedover: } & 0{,}196 \le x \le 1{,}196 \\ & 2{,}196 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), c) og d).

Vi merker av nullpunktene, ekstremalpunktene og vendepunktene, og trekker en kurve gjennom dem med riktig krumning.

1. Merk av punktene I a) fant vi nullpunktene, i c) topp- og bunnpunktene og i d) vendepunktene: \[ \begin{aligned} \text{Null: } & x = 0,\ 1,\ 2,\ 3 \\ \text{Topp: } & (0{,}598;\ 0{,}173) \\ & (2{,}598;\ 1{,}281) \\ \text{Bunn: } & (1{,}598;\ -0{,}471) \\ \text{Vende: } & (0{,}196;\ 0{,}070) \\ & (1{,}196;\ -0{,}191) \\ & (2{,}196;\ 0{,}520) \end{aligned} \]

2. Tegn kurven Topp- og bunnpunktene ligger der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Grafen svinger mellom positive og negative verdier, og utslagene blir større med \( x\text{,} \) siden faktoren \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) vokser. Den krummer som vi fant i d):

Vi bruker verdiene fra c).

Grafen er sammenhengende på \( [0, 3]\text{,} \) så verdimengden går fra den minste til den største verdien funksjonen har.

1. Sammenlign verdiene Den største og den minste verdien må ligge i et ekstremalpunkt. I c) fant vi: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}471} \\ f(2{,}598) &\approx \textcolor{red}{1{,}281} \\ f(3) &= 0 \end{aligned} \]

Den minste verdien er \( {\textcolor{blue}{-0{,}471}} \) og den største er \( \textcolor{red}{1{,}281}\text{,} \) og grafen er sammenhengende, så den tar alle verdiene imellom: \[ V_f \approx [\textcolor{blue}{-0{,}471},\ \textcolor{red}{1{,}281}] \]

Vil du repetere hva sammenhengende betyr, kan du se videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\sin x} \\ du &= \cos x\,dx \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = \dfrac{\pi}{2} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \\ x = \dfrac{2\pi}{3} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som du finner i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{2\pi}{3}} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx &= \int_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \Big[\ln|\textcolor{green}{u}|\Big]_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \ln 1 \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler først med polynomdivisjon. Så integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {4x^2 + 4x + 2} \) på \( {2x - 1} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^2} + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (2x - 1) &= 4x^2 - 2x \\ -(4x^2 - 2x) &= \textcolor{red}{-4x^2 + 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & 6x & {}+ 2 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {4x + 2x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2\text{.} \) Linja \( {6x + 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{magenta}{3} \cdot (2x - 1) &= 6x - 3 \\ -(6x - 3) &= \textcolor{magenta}{-6x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}+ 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-6x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3} \\ \hline & & 5 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {2 + 3 = 5}\text{.} \) Tallet 5 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 5 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x^2 + 4x + 2}{2x - 1} = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} + \dfrac{5}{2x - 1} \]

2. Integrer ledd for ledd De to første leddene integrerer vi som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int (\textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3})\,dx = x^2 + 3x \]

Det siste leddet løser vi med substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{2x - 1} \\ du &= 2\,dx \\ dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Siden \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{5}{\textcolor{blue}{2x - 1}}\,dx &= \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,du \\ &= \dfrac{5}{2}\ln|\textcolor{blue}{2x - 1}| + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ x^2 + 3x + \dfrac{5}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre: \[ \begin{aligned} 2x^2 - 2x + 3 &= -x^2 + 4x + 3 \\ 3x^2 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( 3x\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 3x(x - 2) &= 0 \\ x = \textcolor{blue}{0} \quad &\text{eller} \quad x = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn hvilken graf som er øverst Vi tester \( {x = 1} \) mellom skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 2 - 2 + 3 = 3 \\ g(1) &= -1 + 4 + 3 = 6 \end{aligned} \]

Så \( g \) ligger øverst.

3. Regn ut integralet Arealet under en graf er et integral, som i videoen Hva er integrasjon. Mellom to grafer tar vi den øverste minus den nederste. Grensene \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{2} \) er skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \left(g(x) - f(x)\right)dx \\ &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} (-3x^2 + 6x)\,dx \\ &= \Big[-x^3 + 3x^2\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (-8 + 12) - 0 = 4 \end{aligned} \]

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet. Da får vi to likninger med \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp to likninger Formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn d og a1 Vi trekker den første likningen fra den andre, så \( \textcolor{blue}{a_1} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

Vi setter dette inn i den første likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Finn summen Sumformelen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} n &= 40 \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2} = 1 - \dfrac{2}{x^2} \]

Rekken er bare definert for \( {x \neq 0}\text{,} \) siden \( x^2 \) står i nevneren.

2. Sett opp kravet Konvergenskravet forteller oss at: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]Du ser det i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) får vi: \[ -1 < \textcolor{blue}{1 - \dfrac{2}{x^2}} < 1 \]

3. Løs de to ulikhetene Den høyre ulikheten holder alltid, siden \( {\dfrac{2}{x^2} > 0} \) for \( {x \neq 0}\text{:} \) \[ 1 - \dfrac{2}{x^2} < 1 \]

Den venstre gir, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{2}{x^2} \\ \dfrac{2}{x^2} &< 2 \\ 2 &< 2x^2 \\ 1 &< x^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 1 \]

Uttrykket består av røtter og potenser. Vi skriver derfor røttene som potenser, og samler så potensene med samme grunntall.

1. Skriv opp reglene En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]Regelen står i videoen Potenser og røtter.

Potensreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} (a^n)^m &= a^{n \cdot m} \\ (a \cdot b)^n &= a^n \cdot b^n \\ a^n \cdot a^m &= a^{n + m} \\ \dfrac{a^n}{a^m} &= a^{n - m} \\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoene Flere regneregler med Potenser og Regneregler med Potenser.

2. Skriv om telleren Vi skriver røttene som potenser, ganger sammen eksponentene og legger sammen potensene av \( a\text{.} \) Potensene av \( 5 \) er blå, og potensene av \( a \) er røde: \[ \begin{aligned} &\sqrt{5}\left(\sqrt[5]{a^2}\right)^2 a^{\tfrac{1}{5}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{\left(a^{\tfrac{2}{5}}\right)^2} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \end{aligned} \]

3. Skriv om nevneren Eksponenten \( 3 \) går på begge faktorene i parentesen: \[ \begin{aligned} &a^{-1}\left(\sqrt{5}\,a^{\tfrac{1}{3}}\right)^3 \\ &= \textcolor{red}{a^{-1}} \cdot \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{1}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{0}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \end{aligned} \]

4. Sett sammen brøken Vi trekker eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren, og skriver den negative eksponenten som en brøk: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}}} &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \textcolor{blue}{5^{-1}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5}} \end{aligned} \]

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken. Så faktoriserer vi og stryker det som er likt.

1. Gjør om til ganging Regelen for brøk delt på brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \]Du ser dette i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).

Plugger vi inn brøkene våre, får vi: \[ \dfrac{5t^2 - 45}{t - 3} \cdot \dfrac{3t^2 + 6t}{t + 2} \]

2. Faktoriser I \( {5t^2 - 45} \) setter vi \( 5 \) utenfor. Da står vi igjen med et uttrykk der konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{t}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 45 &= 5(\textcolor{blue}{t}^2 - \textcolor{red}{3}^2) \\ &= 5(\textcolor{blue}{t} + \textcolor{red}{3})(\textcolor{blue}{t} - \textcolor{red}{3}) \end{aligned} \]

I \( {3t^2 + 6t} \) setter vi \( 3t \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 3t^2 + 6t = 3t(t + 2) \]

3. Stryk like faktorer Plugger vi dette inn, kan vi stryke \( {\textcolor{darkorange}{t - 3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{t + 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(t + 3)\cancel{\textcolor{darkorange}{(t - 3)}}}{\cancel{\textcolor{darkorange}{t - 3}}} \cdot \dfrac{3t\cancel{\textcolor{magenta}{(t + 2)}}}{\cancel{\textcolor{magenta}{t + 2}}} \\ &= 5(t + 3) \cdot 3t \\ &= 15t(t + 3) \\ &= 15t^2 + 45t \end{aligned} \]

Uttrykket i oppgaven er bare definert når vi ikke deler på \( 0\text{:} \) \[ t \neq 3, \quad t \neq 0, \quad t \neq -2 \]

Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så vi finner først hvilke \( x \) som er lov. Så slår vi sammen logaritmene til én.

1. Finn hvilke verdier som er lov Vi kan ikke ta \( \ln \) av null eller et negativt tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Begge uttrykkene må derfor være positive: \[ \begin{aligned} x &> 0 \\ x^2 - x = x(x - 1) &> 0 \end{aligned} \]

Når \( x \) er positiv, er den andre ulikheten oppfylt bare når \( {x - 1} \) også er positiv: \[ x > 1 \]

2. Slå sammen logaritmene Regneregelen for logaritmer forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regnereglene gjelder for \( \ln \) også, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x^2 - x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og stryker \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x(x - 1)}} &= 1 \\ \ln \dfrac{1}{x - 1} &= 1 \end{aligned} \]

3. Løs for x Definisjonen av \( \ln \) forteller oss at: \[ \ln c = 1 \quad \Leftrightarrow \quad c = e^1 \]Definisjonen står i videoen Hva er en Logaritme?

Her er \( {c = \dfrac{1}{x - 1}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 1} &= e \\ x - 1 &= \dfrac{1}{e} \\ x &= 1 + \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Denne verdien er lov, siden: \[ 1 + \dfrac{1}{e} > 1 \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler ledd for ledd til det som står igjen har lavere grad enn nevneren.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {3x^3 - 4x^2 - 14x + 11} \) på \( {x^2 - 3x + 2} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{3x^3} - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^3}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{red}{3x} \\ &\textcolor{red}{3x} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 3x^3 - 9x^2 + 6x \\ &-(3x^3 - 9x^2 + 6x) \\ &= \textcolor{red}{-3x^3 + 9x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & 5x^2 & {}- 20x & {}+ 11 \end{array} \end{array} \]\( 3x^3 \) strykes mot \( {-3x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + 9x^2 = 5x^2}\text{,} \) \( {-14x - 6x = -20x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 11\text{.} \) Linja \( {5x^2 - 20x + 11} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{magenta}{5} \\ &\textcolor{magenta}{5} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 5x^2 - 15x + 10 \\ &-(5x^2 - 15x + 10) \\ &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 15x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 20x & {}+ 11 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \textcolor{magenta}{{}- 10} \\ \hline & & -5x & {}+ 1 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-20x + 15x = -5x}\text{,} \) og \( {11 - 10 = 1}\text{.} \) Linja \( {-5x + 1} \) har grad 1, som er lavere enn nevnerens grad 2. Da stopper vi, og \( {-5x + 1} \) er restleddet.

2. Skriv opp svaret Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret: \[ \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{-5x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]

Nullpunktsetningen gir oss en rask sjekk: vi setter inn det tallet som gjør \( {x + 3} \) lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktsetningen Nullpunktsetningen forteller oss at for et polynom \( P(x) \) gjelder: \[ x - \textcolor{blue}{r} \text{ er en faktor} \quad \Leftrightarrow \quad P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 - 13x - 12 \\ x + 3 &= x - (\textcolor{blue}{-3}) \end{aligned} \]

Plugger vi \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{-3}} \) inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{-3}) &= (\textcolor{blue}{-3})^3 - 13 \cdot (\textcolor{blue}{-3}) - 12 \\ &= -27 + 39 - 12 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {x + 3} \) er en faktor.

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: at \( {x + 3} \) er en faktor, står i oppgaveteksten til b).

Vi flytter alt over på én side og faktoriserer med faktoren fra b). Så finner vi fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Flytt alt over på én side Vi trekker \( 12 \) fra på begge sider og får: \[ x^3 - 13x - 12 > 0 \]

2. Del med polynomdivisjon I b) så vi at \( {x + 3} \) er en faktor. Vi deler \( {x^3 - 13x - 12} \) på \( {x + 3} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Leddet med \( x^2 \) mangler, så vi skriver \( 0x^2 \) på plassen, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 3) &= x^3 + 3x^2 \\ -(x^3 + 3x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - 3x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 13x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {0x^2 - 3x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-13x} \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x + 3) &= -3x^2 - 9x \\ -(-3x^2 - 9x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 + 9x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & -4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-13x + 9x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {-4x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x + 3) &= -4x - 12 \\ -(-4x - 12) &= \textcolor{blue}{4x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Vi bruker den til å faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 4} \) og \( {x = -1}\text{.} \) Dermed får vi tre faktorer, med hver sin farge fra nå av: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)}\textcolor{magenta}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x - 4)} \end{aligned} \]

4. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, -1, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)", "expr": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt mellom \( {-3} \) og \( {-1} \) og til høyre for \( 4\text{:} \) \[ -3 < x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 4 \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]Disse deriverte står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} \end{aligned} \]

2. Forkort brøken Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{x} \) i telleren, kan vi forkorte: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(1 - 2\ln x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den andre faktoren deriverer vi med kjerneregelen.

1. Deriver den andre faktoren Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{k}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{k}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x + 3}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{1}, \quad n = 3 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x + 3})^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{x + 3})^2 \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= 3(x + 3)^2 \end{aligned} \]

2. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x + 3)^3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{(x + 3)^3} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \]

3. Faktoriser svaret Faktoriserer vi ut \( {\textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}\left((x + 3) + 3x\right) \\ &= (x + 3)^2(4x + 3) \end{aligned} \]

Vi kan samle alt med \( y \) på én side og alt med \( x \) på den andre. Likningen er altså separabel.

1. Separer likningen Vi ganger begge sider med \( 2x \) og med \( e^{y}\text{,} \) og bruker at \( {e^{y} \cdot e^{-y} = 1}\text{:} \) \[ e^{y} \cdot y' = 2x \]

En separabel likning løser vi ved at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{g(y)} \cdot y' = \textcolor{red}{h(x)} \\ &\Rightarrow \ \int \textcolor{blue}{g(y)}\,dy = \int \textcolor{red}{h(x)}\,dx \end{aligned} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Seperable diff-ligninger.

Her er \( {\textcolor{blue}{g(y)} = \textcolor{blue}{e^{y}}} \) og \( {\textcolor{red}{h(x)} = \textcolor{red}{2x}}\text{:} \) \[ \int \textcolor{blue}{e^{y}}\,dy = \int \textcolor{red}{2x}\,dx \]

2. Integrer begge sider Integrerer vi begge sider, får vi resultatet under. Reglene står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler for \( 2x\text{,} \) og fra 3:08 for \( e^{y}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{y}} = \textcolor{red}{x^2} + C \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{1} &= 0^2 + C \\ C &= e \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} e^{y} &= x^2 + e \\ y &= \ln(x^2 + e) \end{aligned} \]

Trekanten er rettvinklet, så vi kan bruke cosinus. Vi kjenner den hosliggende kateten og skal finne hypotenusen.

1. Bruk cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos A = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sett fra \( A \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen gir \( \angle D\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) kan vi bruke sinussetningen.

1. Finn vinkel D Vinkelsummen i en firkant er \( 360^\circ\text{.} \) Vinkel \( B \) er fortsatt \( 90^\circ\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \angle D &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD Figuren viser firkanten med diagonalen \( AC\text{.} \)

Diagonalen deler vinklene i \( A \) og \( C\text{.} \) Vinkelsummen i trekant \( ABC \) gir oss vinkelen i \( C\text{:} \) \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Det gir oss vinklene i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle DAC &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \textcolor{red}{\angle ACD} &= 140^\circ - 60^\circ = \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{\alpha}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{\beta}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( AD \) rett overfor \( \angle ACD\text{,} \) og \( AC \) rett overfor \( \angle D\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{\alpha} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{\beta} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle DAC = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver av dem med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn arealet av trekant ABC Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ABC \) er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AB}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ &= \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trekant ACD Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AD}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen og runder av til to desimaler, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

En asymptote er en linje som grafen kommer stadig nærmere. Her viser de stiplede linjene oss hvor de er, så vi leser av likningene.

1. Finn de loddrette asymptotene Grafen går mot pluss eller minus uendelig på begge sider av de loddrette linjene, som asymptotene i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Linjene står i: \[ x = -1 \quad \text{og} \quad x = 3 \]

2. Finn den skrå asymptoten Grafen nærmer seg den skrå linja når \( x \) går mot pluss og minus uendelig. En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]

Vi leser av to punkter på linja, \( {(-6, 0)} \) og \( (0, 3)\text{.} \) Den skjærer \( {y\text{-aksen}} \) i \( 3\text{,} \) og stigningstallet blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{a} &= \dfrac{3 - 0}{0 - (-6)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}x + \textcolor{blue}{3} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen stiger og synker, og hvilken vei den krummer.

1. Les av fortegnet til den deriverte \( f'(x) \) er positiv der grafen stiger, negativ der den synker og \( 0 \) i topp- og bunnpunktene, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren ligger disse punktene nær: \[ f'(x) = 0 \text{ for } \textcolor{darkorange}{x \approx 1{,}7} \text{ og } \textcolor{darkorange}{x \approx 4{,}4} \]

Grafen stiger til venstre for \( {x = -1}\text{,} \) og fra \( {x = -1} \) til toppunktet. Den synker fra toppunktet mot \( {x = 3}\text{.} \) Til høyre for \( {x = 3} \) synker den fra uendelig ned til bunnpunktet, og etter det stiger den igjen. I \( {x = -1} \) og \( {x = 3} \) er \( f \) ikke definert. Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1.7, 3, 4.4], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "(x - 1.7)*(x - 4.4)/((x + 1)^2*(x - 3)^2)"}]}

En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{,} \) og × hvor den ikke er definert.

2. Les av fortegnet til den andrederiverte \( f''(x) \) er positiv der grafen krummer oppover, som en skål, og negativ der den krummer nedover, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren har vi: \[ \begin{aligned} x < -1 &: \ \text{krummer oppover} \\ -1 < x < 3 &: \ \text{krummer nedover} \\ x > 3 &: \ \text{krummer oppover} \end{aligned} \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "1/((x + 1)*(x - 3))"}]}

Vi bruker fortegnslinjene fra b).

Fortegnslinjene forteller oss hvor grafen snur og hvor den skifter krumning. Koordinatene leser vi av i figuren.

1. Finn toppunktet I \( {x = 1{,}7} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus. Grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{red}{f(1{,}7)} \approx \textcolor{red}{2{,}9} \]

2. Finn bunnpunktet I \( {x = 4{,}4} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss. Grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{blue}{f(4{,}4)} \approx \textcolor{blue}{5{,}8} \]

3. Se etter vendepunkter I et vendepunkt skifter \( f''(x) \) fortegn, som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Fortegnet til \( f''(x) \) skifter bare i asymptotene, der \( f \) ikke er definert: \[ f(-1) \text{ og } f(3) \text{ finnes ikke} \]

Grafen har derfor ingen vendepunkter i figuren.