Hopp til hovedinnholdet

Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

163 oppgaver · viser 101–110

Oppgavene

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 2

1 poeng

Gitt funksjonen:
f(x)=ax1≤x≤ea>0 f(x) = \dfrac{a}{x} \qquad 1 \le x \le e \qquad a > 0
Bestem a a slik at arealet avgrenset av f(x) f(x) og x-aksen {x\text{-aksen}} blir lik 2. 2\text{.}
Vis løsning på oppgave 2

Svar

a=2‾‾ \underline{\underline{a = 2}}
Funksjonen er positiv på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet fra \( 1 \) til \( e\text{.} \) Vi regner det ut og setter det lik \( 2\text{.} \)
1. Sett opp integralet Arealet under grafen er integralet mellom grensene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^e \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{x}\,dx \]
2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{x} \) er \( \ln|x|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Konstanten \( \textcolor{blue}{a} \) settes utenfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{a} \left[ \ln x \right]_1^e \\ &= \textcolor{blue}{a} (\ln e - \ln 1) \\ &= \textcolor{blue}{a} (1 - 0) \\ &= \textcolor{blue}{a} \end{aligned} \]
3. Sett arealet lik to Arealet skal være \( 2\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} A &= 2 \\ \textcolor{blue}{a} &= 2 \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 3

3 poeng

Gitt den uendelige geometriske rekka
12tan⁡x2+sin⁡x2+sin⁡x+⋯ \dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2} + \sin\dfrac{x}{2} + \sin x + \cdots

Oppgave 3a)

Vis at koeffisienten til den uendelige geometriske rekka over er k=2cos⁡x2. {k = 2\cos\dfrac{x}{2}}\text{.} Vis at k k er den samme mellom a1 a_1 og a2, a_2\text{,} og mellom a2 a_2 og a3. a_3\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Koeffisienten mellom leddene er:
k=a2a1=a3a2=2cos⁡x2‾‾ \underline{\underline{k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} = 2\cos\dfrac{x}{2}}}
Koeffisienten \( k \) er et ledd delt på leddet foran. Vi regner ut begge kvotientene og viser at begge blir \( 2\cos\dfrac{x}{2}\text{.} \)
1. Skriv opp leddene Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} \]
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{red}{a_2} &= \textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{green}{a_3} &= \textcolor{green}{\sin x} \end{aligned} \]Vi regner for de \( x \) der leddene finnes og ikke er \( 0\text{.} \)
2. Del andre ledd på første Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_2}}{\textcolor{blue}{a_1}} &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}}} \\ &= \sin\dfrac{x}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]
3. Del tredje ledd på andre Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2u) = 2\sin u \cos u \]
Her er \( {u = \dfrac{x}{2}}\text{,} \) så \( {2u = x}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\sin x} = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{green}{a_3}}{\textcolor{red}{a_2}} &= \dfrac{\textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}} \\ &= \dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]
Begge kvotientene blir det samme, så \( k \) er den samme mellom \( a_1 \) og \( a_2\text{,} \) og mellom \( a_2 \) og \( a_3\text{.} \)

Oppgave 3b)

For hvilke verdier av k k konvergerer rekka? La x∈[0,4π). x \in [0, 4\pi)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Rekka konvergerer for:
−1<k<1, altsa˚2π3<x<4π3, x≠π8π3<x<10π3, x≠3π‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} &-1 < k < 1, \text{ altså} \\ &\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3},\ x \ne \pi \\ &\dfrac{8\pi}{3} < x < \dfrac{10\pi}{3},\ x \ne 3\pi \end{aligned}}}
Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a).
En geometrisk rekke konvergerer når \( k \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi setter inn \( k \) og finner hvilke \( x \) det gir.
1. Skriv opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \Leftrightarrow -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]
Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{k = 2\cos\dfrac{x}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 &< \textcolor{blue}{2\cos\dfrac{x}{2}} < 1 \\ -\dfrac{1}{2} &< \cos\dfrac{x}{2} < \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene Vi setter \( {\textcolor{red}{u} = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Siden \( {0 \le x < 4\pi}\text{,} \) er \( {0 \le \textcolor{red}{u} < 2\pi}\text{.} \) Der er: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{red}{u} = \dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \\ \cos \textcolor{red}{u} = -\dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3} \end{aligned} \]Tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser hvordan cosinus går fra \( 1 \) ned til \( {-1} \) og opp igjen.
Cosinus synker fra \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{3} \) til \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{2\pi}{3}\text{,} \) og stiger igjen fra \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{4\pi}{3} \) til \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{5\pi}{3}\text{.} \) Enhetssirkelen brukes til dette i videoen Oppgave 2B - Løs ulikheten. Cosinus ligger altså mellom \( {-\dfrac{1}{2}} \) og \( \dfrac{1}{2} \) for: \[ \dfrac{\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{2\pi}{3} \quad \text{eller} \quad \dfrac{4\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{5\pi}{3} \]
3. Gå tilbake til x Vi ganger med \( 2\text{,} \) siden \( {x = 2\textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3} \quad \text{eller} \\ &\dfrac{8\pi}{3} < x < \dfrac{10\pi}{3} \end{aligned} \]
I første ledd står \( \tan\dfrac{x}{2}\text{,} \) som ikke finnes når \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2}} \) eller \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{3\pi}{2}}\text{.} \) Disse to verdiene må vi derfor ta ut: \[ x \ne \pi, \quad x \ne 3\pi \]

Oppgave 3c)

Finn summen av den uendelige rekka når x=5π6. {x = \dfrac{5\pi}{6}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Summen, avrundet til to desimaler, er:
S=tan⁡5π122−4cos⁡5π12≈3,87‾‾ \underline{\underline{S = \dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{12}}{2 - 4\cos\dfrac{5\pi}{12}} \approx 3{,}87}}
Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a) og konvergensområdet fra b).
Vi sjekker først at rekka konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \) Så setter vi første ledd og \( k \) inn i sumformelen.
1. Sjekk at rekka konvergerer I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3}} \) med \( x \ne \pi\text{.} \) Her er: \[ \dfrac{4\pi}{6} < \dfrac{5\pi}{6} < \dfrac{6\pi}{6} = \pi \]
2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer, er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)
Her er \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{5\pi}{12}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og ganger med \( 2 \) oppe og nede, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}}}{1 - \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}}} \\ &= \dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{12}}{2 - 4\cos\dfrac{5\pi}{12}} \\ &\approx 3{,}87 \end{aligned} \]Tallet er avrundet til to desimaler, med kalkulatoren stilt på radianer.

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 4

5 poeng

Figuren viser en bru over en elv. Brua er tegnet i et koordinatsystem der origo ligger i vannoverflaten midt under brua. Brua er symmetrisk om y-aksen, {y\text{-aksen,}} og den krumme delen av den kan beskrives ved funksjonen:
f(x)=−0,09x2+9 f(x) = -0{,}09x^2 + 9

Oppgave 4a)

Vis at bredden på elva under brua er 20 m. 20\,\text{m}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Bredden på elva under brua er:
10−(−10)=20 m‾‾ \underline{\underline{10 - (-10) = 20\,\text{m}}}
Buen møter vannet der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Bredden er avstanden mellom de to punktene.
1. Sett funksjonen lik null Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}09x^2 + 9 &= 0 \\ 0{,}09x^2 &= 9 \\ x^2 &= 100 \end{aligned} \]
Vi tar kvadratroten på begge sider, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?, og får to løsninger: \[ x = \textcolor{blue}{-10} \quad \text{eller} \quad x = \textcolor{red}{10} \]
2. Regn ut bredden Bredden er avstanden mellom punktene: \[ \text{Bredde} = \textcolor{red}{10} - (\textcolor{blue}{-10}) = 20 \]

Oppgave 4b)

Veibanen ligger 11 m 11\,\text{m} over elva. I forbindelse med vedlikehold av brua skal den ene sideflaten (skravert) males. Finn ved regning arealet av sideflaten av brua.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Arealet av sideflaten er:
A=100 m2‾‾ \underline{\underline{A = 100\,\text{m}^2}}
Vi bruker fra a) at buen treffer vannet i \( {x = -10} \) og \( {x = 10}\text{.} \)
Sideflaten er et rektangel der vi tar bort arealet under buen. Rektangelet er \( 20\,\text{m} \) bredt og \( 11\,\text{m} \) høyt.
1. Regn ut rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganget med bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{A_{\text{rektangel}}} = 20 \cdot 11 = \textcolor{blue}{220} \]
2. Regn ut arealet under buen Arealet under grafen er integralet mellom nullpunktene, som i videoen Hva er integrasjon. Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A_{\text{bue}}} &= \int_{-10}^{10} (-0{,}09x^2 + 9)\,dx \\ &= \left[ -0{,}03x^3 + 9x \right]_{-10}^{10} \\ &= (-30 + 90) - (30 - 90) \\ &= 60 + 60 = \textcolor{red}{120} \end{aligned} \]
3. Trekk fra Sideflaten er rektangelet minus arealet under buen: \[ A = \textcolor{blue}{220} - \textcolor{red}{120} = 100 \]
En lekter som frakter konteinere, må passere under brua. Vi antar at lekteren sammen med konteinere har tverrsnitt som et rektangel med bredde 12 m 12\,\text{m} og høyde 5,5 m 5{,}5\,\text{m} over vannflaten.

Oppgave 4c)

Undersøk om lekteren kan passere under brua.
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Lekteren kan passere, siden buen er høyere enn lekteren:
f(6)=5,76 m>5,5 m‾‾ \underline{\underline{f(6) = 5{,}76\,\text{m} > 5{,}5\,\text{m}}}
Lekteren er \( 12\,\text{m} \) bred, så midt i elva går hjørnene i \( {x = -6} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Vi ser om buen er høyere enn lekteren der.
1. Regn ut høyden ved hjørnene Brua er symmetrisk, så det holder å se på \( {\textcolor{blue}{x = 6}}\text{.} \) Der er buen: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{6}) &= -0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 9 \\ &= -3{,}24 + 9 \\ &= \textcolor{red}{5{,}76} \end{aligned} \]
2. Sammenlign med lekteren Buen er høyere enn lekteren ved hjørnene: \[ \textcolor{red}{5{,}76} > 5{,}5 \]Lengre inn mot midten er buen enda høyere, så lekteren kan passere midt i elva, med \( 0{,}26\,\text{m} \) klaring.

Oppgave 4d)

Det skal bygges en ny lekter. Vis at arealet av det rektangulære tverrsnittet av lekter og konteinere som kan passere under brua, kan skrives:
A(x)=18x−0,18x3 A(x) = 18x - 0{,}18x^3
Vis løsning på oppgave 4d
Svar
Arealet av tverrsnittet er:
A(x)=18x−0,18x3‾‾ \underline{\underline{A(x) = 18x - 0{,}18x^3}}
Vi lar hjørnene øverst følge buen. Arealet er da bredden ganget med høyden, begge uttrykt med \( x\text{.} \)
1. Sett opp bredde og høyde Rektangelet står midt under brua, med hjørner i \( {-x} \) og \( x\text{,} \) der \( {0 < x < 10}\text{.} \) Det blir høyest mulig når de øverste hjørnene treffer buen:
Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= \textcolor{blue}{2x} \\ \textcolor{red}{\text{høyde}} &= \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9} \end{aligned} \]
2. Gang sammen Arealet av et rektangel er bredden ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A(x) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot (\textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9}) \\ &= -0{,}18x^3 + 18x \\ &= 18x - 0{,}18x^3 \end{aligned} \]

Oppgave 4e)

Hvilken bredde må lekteren og konteinere ha for at arealet skal bli størst mulig?
Vis løsning på oppgave 4e
Svar
Bredden, avrundet til to desimaler, må være:
Bredde=203 m≈11,55 m‾‾ \underline{\underline{\text{Bredde} = \dfrac{20}{\sqrt{3}}\,\text{m} \approx 11{,}55\,\text{m}}}
Selv om du ikke fikk til d), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten, og bredden er \( 2x\text{.} \)
Arealet er størst der den deriverte er \( 0 \) og går fra pluss til minus. Vi finner \( x \) der, og ganger med \( 2\text{.} \)
1. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} (18x)' &= 18 \\ (0{,}18x^3)' &= 0{,}54x^2 \\ A'(x) &= 18 - 0{,}54x^2 \end{aligned} \]
Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 18 - 0{,}54x^2 &= 0 \\ x^2 &= \dfrac{18}{0{,}54} = \dfrac{100}{3} \\ x &= \pm\dfrac{10}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]
Bare den positive løsningen gir mening, siden \( {0 < x < 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} \approx 5{,}77 \]
2. Sjekk at det er et toppunkt Vi ser på fortegnet til \( A'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A'(5) &= 18 - 13{,}5 = 4{,}5 > 0 \\ A'(6) &= 18 - 19{,}44 = -1{,}44 < 0 \end{aligned} \]Den deriverte går fra pluss til minus, så arealet er størst i \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{10}{\sqrt{3}}}}\text{.} \)
3. Regn ut bredden Bredden er \( 2x\text{:} \) \[ \text{Bredde} = 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \]

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 5

2 poeng

Figuren over viser grafen til funksjonen
F(x)=12(ex+e−x) F(x) = \dfrac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)
Vi ser på flatestykket som er avgrenset av denne grafen, linjene x=−1 {x = -1} og x=1 {x = 1} og x-aksen. {x\text{-aksen.}}

Oppgave 5a)

Finn arealet av dette flatestykket.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Arealet av flatestykket er:
A=e−1e‾‾ \underline{\underline{A = e - \dfrac{1}{e}}}
Grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( F(x) \) fra \( {-1} \) til \( 1\text{.} \)
1. Sett opp integralet Arealet under grafen er integralet mellom grensene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{2} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right) dx \]
2. Integrer ledd for ledd Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx} \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {n = 1} \) i det første leddet og \( {n = -1} \) i det andre: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{e^x}\,dx &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \int \textcolor{red}{e^{-x}}\,dx &= \textcolor{red}{-e^{-x}} \end{aligned} \]
3. Sett inn grensene Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \left[ \textcolor{blue}{e^x} \textcolor{red}{- e^{-x}} \right]_{-1}^{1} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( (e - e^{-1}) - (e^{-1} - e) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 2e - 2e^{-1} \right) \\ &= e - \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Finn volumet av omdreiningslegemet som kommer frem ved å dreie dette flatestykket 360∘ 360^\circ om x-aksen. {x\text{-aksen.}}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Volumet av omdreiningslegemet er:
V=π4(e2−e−2+4)‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{\pi}{4} \left( e^2 - e^{-2} + 4 \right)}}
Vi bruker volumformelen for et omdreiningslegeme. Vi må først kvadrere \( F(x)\text{.} \)
1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme om \( {x\text{-aksen}} \) er: \[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} F(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på volumformelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse. Her er grensene \( {x_1 = -1} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)
2. Kvadrer funksjonen Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Den står i videoen Kvadratsetningene.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{e^{-x}} \\ \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} &= e^{x - x} = 1 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} F(x)^2 &= \dfrac{1}{4} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right)^2 \\ &= \dfrac{1}{4} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) \end{aligned} \]
3. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, med regelen \( {\int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx}} \) fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \int_{-1}^{1} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) dx \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left[ \dfrac{1}{2} e^{2x} + 2x - \dfrac{1}{2} e^{-2x} \right]_{-1}^{1} \end{aligned} \]
Vi setter inn grensene, først \( 1 \) og så \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^2 + 2 - \dfrac{1}{2} e^{-2} \right) \\ &\quad - \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^{-2} - 2 - \dfrac{1}{2} e^2 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left( e^2 - e^{-2} + 4 \right) \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 6

4 poeng

Gitt fire punkter A(0,0,0), A(0, 0, 0)\text{,} B(3,1,0), B(3, 1, 0)\text{,} C(2,4,0) C(2, 4, 0) og T(1,2,5). T(1, 2, 5)\text{.}

Oppgave 6a)

Regn ut CA→, \overrightarrow{CA}\text{,} CB→ \overrightarrow{CB} og ∠ACB. \angle ACB\text{.}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Vektorene og vinkelen er:
CA→=[−2,−4,0]CB→=[1,−3,0]∠ACB=45∘‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [-2, -4, 0] \\ \overrightarrow{CB} &= [1, -3, 0] \\ \angle ACB &= 45^\circ \end{aligned}}}
Vi finner vektorene ved å trekke fra koordinatene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet.
1. Finn vektorene Vektoren fra \( C \) til et punkt er koordinatene til punktet minus koordinatene til \( C\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -4, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 0]} \end{aligned} \]
2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} = |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| \cdot |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Her er \( \textcolor{green}{v} \) vinkelen mellom vektorene. Regelen står i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Vi ganger koordinat for koordinat og legger sammen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} \\ &= -2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\ &= -2 + 12 = 10 \end{aligned} \]
3. Regn ut lengdene Lengden finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{20} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| &= \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{10} \end{aligned} \]
4. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

△ABC \triangle ABC utgjør grunnflaten i en pyramide med toppunkt T. T\text{.} Regn ut volumet til pyramiden ABCT. ABCT\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Volumet til pyramiden er:
V=253‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{25}{3}}}
Vi bruker lengdene og vinkelen fra a).
Volumet er en tredel av grunnflaten ganger høyden. Grunnflaten finner vi med arealsetningen, og høyden kan vi lese av \( {z\text{-koordinatene.}} \)
1. Regn ut grunnflaten Arealsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{G} = \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C \]Her er \( CA \) og \( CB \) to sider, og \( C \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
I a) fant vi: \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{20} \\ CB &= \sqrt{10} \\ \angle C &= 45^\circ \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{G} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]
2. Finn høyden \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) har alle \( {z = 0}\text{,} \) så grunnflaten ligger i \( {xy\text{-planet.}} \) Høyden er derfor \( {z\text{-koordinaten}} \) til \( T\text{:} \) \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{5} \]
3. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser hvorfor \( {V = G \cdot h} \) ikke gjelder for en pyramide.
Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{25}{3} \]

Oppgave 6c)

Regn ut AT→×AB→. \overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB}\text{.} Hva er arealet av sideflaten ABT? ABT\text{?}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Kryssproduktet og arealet av sideflaten er:
AT→×AB→=[−5,15,−5]A=5112‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} &= [-5, 15, -5] \\ A &= \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned}}}
Vi setter opp kryssproduktet som en determinant. Lengden av kryssproduktet er arealet av et parallellogram, og trekanten er halvparten.
1. Finn vektorene Siden \( A \) er origo, er vektorene de samme tallene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{blue}{[1, 2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 0]} \end{aligned} \]
2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten med enhetsvektorene i første rad. Det vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, et eksempel om curl, der kryssproduktet regnes slik: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \end{vmatrix} \]
Vi regner ut hver komponent: \[ \begin{aligned} \vec{i}: \quad & 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \\ \vec{j}: \quad & -(1 \cdot 0 - 5 \cdot 3) = 15 \\ \vec{k}: \quad & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5 \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{green}{[-5, 15, -5]} \]
3. Regn ut arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot |\textcolor{green}{[-5, 15, -5]}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{25 + 225 + 25} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{275} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 6d)

Sideflaten ABT ABT ligger i et plan α. \alpha\text{.} Finn likningen for planet α. \alpha\text{.}
Vis løsning på oppgave 6d
Svar
Likningen for planet α \alpha er:
x−3y+z=0‾‾ \underline{\underline{x - 3y + z = 0}}
Vi bruker kryssproduktet fra c) som normalvektor.
Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet. Det er derfor en normalvektor, og \( A \) er et punkt i planet.
1. Finn normalvektoren I c) fant vi \( {\overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} = [-5, 15, -5]}\text{.} \) Vi kan dele på \( {-5} \) og få en enklere vektor med samme retning: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \]
2. Sett opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.
Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \\ (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{1}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x - 3y + z &= 0 \end{aligned} \]
Kontroll: \( B(3, 1, 0) \) gir \( {3 - 3 + 0 = 0}\text{,} \) og \( T(1, 2, 5) \) gir \( {1 - 6 + 5 = 0}\text{.} \)

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 7

3 poeng

Gitt et trapes der sidene AB AB og CD CD er parallelle. BC=22 m, {BC = 2\sqrt{2}\,\text{m}}\text{,} CD=6 m {CD = 6\,\text{m}} og vinkel B B er større enn 90∘. 90^\circ\text{.} Avstanden mellom de parallelle sidene er 2 m 2\,\text{m} og arealet av trapeset er 15 m2. 15\,\text{m}^2\text{.}

Oppgave 7a)

Finn vinkel B. B\text{.}
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
∠B=135∘‾‾ \underline{\underline{\angle B = 135^\circ}}
Vi feller ned høyden fra \( C \) og får en rettvinklet trekant. Der finner vi vinkelen med sinus, og vinkel \( B \) er den som står igjen på den rette linja.
1. Tegn en skisse Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) lander normalen fra \( C \) utenfor \( AB\text{,} \) i punktet \( E\text{:} \)
2. Finn vinkelen i trekanten Trekanten \( BEC \) er rettvinklet, og sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{motstående}} &= \textcolor{red}{CE} = \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{green}{v} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]
3. Finn vinkel B Vinkel \( B \) og \( \textcolor{green}{v} \) ligger på samme rette linje, så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle B = 180^\circ - \textcolor{green}{45^\circ} = 135^\circ \]

Oppgave 7b)

Finn diagonalen BD. BD\text{.}
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Diagonalen er:
BD=25 m≈4,47 m‾‾ \underline{\underline{BD = 2\sqrt{5}\,\text{m} \approx 4{,}47\,\text{m}}}
Vi bruker \( {\angle B = 135^\circ} \) fra a).
I trekanten \( BCD \) kjenner vi to sider. Vinkelen mellom dem finner vi fra vinkel \( B\text{,} \) og så bruker vi cosinussetningen.
1. Finn vinkel C \( AB \) og \( CD \) er parallelle, så vinkel \( B \) og vinkel \( C \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\angle C} = 180^\circ - 135^\circ = \textcolor{green}{45^\circ} \]
2. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{BC}^2 + \textcolor{red}{CD}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \textcolor{red}{CD} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \\ \textcolor{red}{CD} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{\angle C} &= \textcolor{green}{45^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= (\textcolor{blue}{2\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{6}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos \textcolor{green}{45^\circ} \\ &= 8 + 36 - 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 44 - 24 = 20 \\ BD &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]

Oppgave 7c)

Finn vinkel A. A\text{.}
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Vinkel A, A\text{,} avrundet til én desimal, er:
∠A=arctan⁡25≈21,8∘‾‾ \underline{\underline{\angle A = \arctan\dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ}}
Arealet gir oss siden \( AB\text{.} \) Så feller vi ned høyden fra \( D \) og får en rettvinklet trekant med vinkel \( A\text{.} \)
1. Finn siden AB Arealet av et trapes er gjennomsnittet av de parallelle sidene ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A_{\text{trapes}} = \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + CD}{2} \cdot h \]
Plugger vi inn \( {A_{\text{trapes}} = 15}\text{,} \) \( {CD = 6} \) og \( {h = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 15 &= \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + 6}{2} \cdot 2 \\ 15 &= \textcolor{magenta}{AB} + 6 \\ \textcolor{magenta}{AB} &= 9 \end{aligned} \]
2. Finn siden AF Vi feller ned normalen fra \( D \) til punktet \( F \) og normalen fra \( C \) til punktet \( E\text{.} \) Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) ligger \( E \) til høyre for \( B\text{:} \)
Pytagoras i trekanten \( BEC \) gir oss \( BE\text{:} \) \[ \begin{aligned} BE^2 + CE^2 &= BC^2 \\ BE &= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \sqrt{8 - 4} = 2 \end{aligned} \]
Avstanden \( FE \) er like lang som \( CD\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AF} &= \textcolor{magenta}{AB} + BE - FE \\ &= \textcolor{magenta}{9} + 2 - 6 = \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]
3. Finn vinkelen Tangens forteller oss at: \[ \tan \textcolor{green}{A} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri. Den samme videoen viser hvordan vi finner vinkelen baklengs.
Her er \( {\textcolor{red}{DF = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{AF = 5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{green}{A} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{5}} \\ \textcolor{green}{A} &= \arctan \dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 8

4 poeng

I en populasjon på 1000 1000 vil 2,3 % 2{,}3\,\% utvikle en sykdom A, A\text{,} som krever livslang oppfølging. En slik livslang oppfølging beregnes til å koste samfunnet i snitt 1 000 000 1\,000\,000 per person med sykdom A. A\text{.} Det finnes en vaksine mot denne sykdom A, A\text{,} som er 90 % 90\,\% effektiv (10 % 10\,\% av befolkningen vil ikke være beskyttet mot sykdom A A selv om de har tatt vaksinen). Denne vaksinen koster 2 300 2\,300 per stykk.

Oppgave 8a)

Lønner det seg å vaksinere hele populasjonen? Svaret må begrunnes.
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
Ja, det lønner seg å vaksinere hele populasjonen. Kostnaden blir:
Uten vaksine:23 000 000Med vaksine:4 600 000‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \text{Uten vaksine:} \quad & 23\,000\,000 \\ \text{Med vaksine:} \quad & 4\,600\,000 \end{aligned}}}
Vi regner ut hva det koster samfunnet uten vaksine og med vaksine, og sammenligner.
1. Regn ut kostnaden uten vaksine \( 2{,}3\,\% \) av \( 1000 \) personer blir syke, regnet som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \begin{aligned} \text{Syke} &= \dfrac{2{,}3}{100} \cdot 1000 = 23 \\ \textcolor{blue}{\text{Uten vaksine}} &= 23 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{blue}{23\,000\,000} \end{aligned} \]
2. Regn ut kostnaden med vaksine Vaksinen koster \( 2\,300 \) for hver av de \( 1000 \) personene. Av de \( 23 \) som ellers ville blitt syke, er \( 10\,\% \) ikke beskyttet: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\text{Vaksiner}} &= 1000 \cdot 2\,300 \\ &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ \text{Syke i snitt} &= \dfrac{10}{100} \cdot 23 = 2{,}3 \\ \textcolor{darkorange}{\text{Oppfølging}} &= 2{,}3 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \end{aligned} \]
Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Med vaksine}} &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ &\quad + \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \\ &= \textcolor{red}{4\,600\,000} \end{aligned} \]
3. Sammenlign Det koster mye mindre å vaksinere alle: \[ \textcolor{red}{4\,600\,000} < \textcolor{blue}{23\,000\,000} \]Samfunnet sparer \( 18\,400\,000\text{,} \) så det lønner seg.
Det viser seg at 0,1 % 0{,}1\,\% av de som vaksinerer seg mot sykdom A, A\text{,} utvikler en sykdom B, B\text{,} som også krever livslang oppfølging.

Oppgave 8b)

Sett opp et valgtre og et venndiagram for å visualisere situasjonen.
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
Sannsynlighetene på greinene er:
P(A∣V)=0,23 %P(A∣V‾)=2,3 %P(B∣V)=0,1 %‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} P(A \mid V) &= 0{,}23\,\% \\ P(A \mid \overline{V}) &= 2{,}3\,\% \\ P(B \mid V) &= 0{,}1\,\% \end{aligned}}}
Vi deler først på om personen er vaksinert eller ikke. Sykdom \( A \) kan ramme begge gruppene, mens sykdom \( B \) bare rammer de vaksinerte.
1. Finn sannsynlighetene La \( \textcolor{green}{V} \) være at personen er vaksinert. Blant de vaksinerte er \( 10\,\% \) av de \( 2{,}3\,\% \) ikke beskyttet. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(A \mid V)} &= 0{,}10 \cdot 0{,}023 = \textcolor{red}{0{,}0023} \\ \textcolor{red}{P(A \mid \overline{V})} &= \textcolor{red}{0{,}023} \\ \textcolor{blue}{P(B \mid V)} &= \textcolor{blue}{0{,}001} \end{aligned} \]
2. Tegn valgtreet Vi vet ikke ennå hvor mange som vaksinerer seg, så de første greinene har ikke tall. Vi antar at sjansen for \( \textcolor{blue}{B} \) er den samme enten personen får \( \textcolor{red}{A} \) eller ikke:
3. Tegn venndiagrammet Rektangelet er hele populasjonen, delt i vaksinerte og ikke vaksinerte. \( \textcolor{red}{A} \) ligger på begge sider av streken, mens \( \textcolor{blue}{B} \) ligger helt på den vaksinerte siden og overlapper med \( \textcolor{red}{A}\text{:} \)
På grunn av denne bieffekten på vaksinen mot sykdom A A vil 25 % 25\,\% av befolkningen motsette seg å ta vaksinen mot sykdom A. A\text{.} De resterende 75 % 75\,\% av befolkningen tar vaksinen mot sykdom A. A\text{.}

Oppgave 8c)

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i populasjonen, etter at alle som ønsket å vaksinere seg har fått sin dose, utvikler sykdom A? A\text{?}
Vis løsning på oppgave 8c
Svar
Sannsynligheten for sykdom A, A\text{,} avrundet til to desimaler i prosent, er:
P(A)=0,007475≈0,75 %‾‾ \underline{\underline{P(A) = 0{,}007475 \approx 0{,}75\,\%}}
En person kan få sykdommen på to måter: som vaksinert eller som uvaksinert. Vi regner ut begge og legger sammen.
1. Skriv opp sannsynlighetene La \( V \) være at personen er vaksinert. Blant de uvaksinerte får \( 2{,}3\,\% \) sykdommen, og blant de vaksinerte \( 10\,\% \) av dette. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} P(V) &= 0{,}75 & P(A \mid V) &= 0{,}0023 \\ P(\overline{V}) &= 0{,}25 & P(A \mid \overline{V}) &= 0{,}023 \end{aligned} \]
2. Legg sammen de to greinene Vi ganger langs hver grein og legger sammen: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{P(V) \cdot P(A \mid V)} \\ &\quad + \textcolor{red}{P(\overline{V}) \cdot P(A \mid \overline{V})} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{0{,}75 \cdot 0{,}0023} + \textcolor{red}{0{,}25 \cdot 0{,}023} \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} + \textcolor{red}{0{,}00575} \\ &= 0{,}007475 \end{aligned} \]

Oppgave 8d)

Hva er sannsynligheten for at en som har utviklet sykdom A, A\text{,} er vaksinert?
Vis løsning på oppgave 8d
Svar
Sannsynligheten for at personen er vaksinert, avrundet til én desimal i prosent, er:
P(V∣A)=313≈23,1 %‾‾ \underline{\underline{P(V \mid A) = \dfrac{3}{13} \approx 23{,}1\,\%}}
Vi bruker tallene fra c).
Vi vet at personen har sykdom \( A\text{.} \) Da er dette en betinget sannsynlighet: de vaksinerte med sykdommen delt på alle med sykdommen.
1. Skriv opp betinget sannsynlighet La \( V \) være at personen er vaksinert. Betinget sannsynlighet er gunstige delt på mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(V \mid A) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)}}{\textcolor{red}{P(A)}} \]
I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)} &= 0{,}75 \cdot 0{,}0023 \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} \\ \textcolor{red}{P(A)} &= \textcolor{red}{0{,}007475} \end{aligned} \]
2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(V \mid A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}001725}}{\textcolor{red}{0{,}007475}} \\ &= \dfrac{3}{13} \approx 0{,}231 \end{aligned} \]

Konteeksamen 2020

Oppgave 1

6 poeng

Løs likningene ved regning

Oppgave 1a)

23x+45=−13(x+9)−15 \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}(x + 9) - \dfrac{1}{5}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
x=−4‾‾ \underline{\underline{x = -4}}
Vi ser at likningen har brøker. Vi løser opp parentesen og ganger med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.
1. Løs opp parentesen Vi ganger \( {-\dfrac{1}{3}} \) inn i parentesen: \[ \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}x - 3 - \dfrac{1}{5} \]
2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren til \( 3 \) og \( 5 \) er \( \textcolor{darkorange}{15}\text{.} \) Hvis du er usikker på fellesnevner, kan du se videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter. Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{2}{3}x + \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= -\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{3}x - \textcolor{darkorange}{15} \cdot 3 - \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ 10x + 12 = -5x - 45 - 3 \]
3. Løs for x Vi samler \( x \) på venstre side og tallene på høyre: \[ \begin{aligned} 10x + 5x &= -45 - 3 - 12 \\ 15x &= -60 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Oppgave 1b)

{h+40=0h=10t−5t2 \begin{cases} h + 40 = 0 \\ h = 10t - 5t^2 \end{cases}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Likningssettet har to løsninger:
t=−2,h=−40‾‾ \underline{\underline{t = -2, \quad h = -40}}
t=4,h=−40‾‾ \underline{\underline{t = 4, \quad h = -40}}
Den første likningen gir \( h \) med en gang. Vi setter den inn i den andre og får en andregradslikning i \( t\text{.} \)
1. Finn h Vi løser den første likningen for \( h\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{h} = \textcolor{darkorange}{-40} \]
2. Sett inn i den andre likningen Vi setter dette inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \textcolor{darkorange}{-40} = 10t - 5t^2 \]
Vi flytter alt over på én side og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 10t - 40 &= 0 \\ t^2 - 2t - 8 &= 0 \end{aligned} \]
3. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ t = 4 \quad \text{eller} \quad t = -2 \]

Oppgave 1c)

x+2x+2=−3 x + 2\sqrt{x + 2} = -3
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Ingen løsning for x‾‾ \underline{\underline{\text{Ingen løsning for } x}}
Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.
1. Isoler roten Vi flytter \( x \) over på høyre side: \[ 2\sqrt{x + 2} = -3 - x \]
2. Kvadrer begge sider Roten er det samme som å opphøye i en halv, som i videoen Potenser og røtter, så den forsvinner når vi kvadrerer. Siden \( {(-3 - x)^2 = (x + 3)^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (2\sqrt{x + 2})^2 &= (x + 3)^2 \\ 4(x + 2) &= (x + 3)^2 \end{aligned} \]
Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 4x + 8 &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 4x + 8 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned} \]
3. Løs andregradslikningen Her er høyresiden første kvadratsetning baklengs, med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1})^2 &= 0 \\ x &= -1 \end{aligned} \]
4. Sett prøve Vi setter \( {x = -1} \) inn i venstresiden av den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} V &= -1 + 2\sqrt{-1 + 2} \\ &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]
Høyresiden er: \[ H = -3 \]
Siden \( {1 \neq -3}\text{,} \) stemmer ikke \( {x = -1}\text{.} \) Det var den eneste mulige løsningen, så likningen har ingen løsning.

Oppgave 1d)

lg⁡(2x+7)=3 \lg(2x + 7) = 3
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
x=9932‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{993}{2}}}
Vi bruker definisjonen av logaritmen til å få bort \( \lg\text{.} \)
1. Bruk definisjonen av lg Definisjonen av logaritmen forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b} \quad \Leftrightarrow \quad 10^{\textcolor{red}{b}} = \textcolor{blue}{a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2x + 7}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ 10^{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{blue}{2x + 7} \]
2. Løs for x \[ \begin{aligned} 1000 &= 2x + 7 \\ 2x &= 993 \\ x &= \dfrac{993}{2} \end{aligned} \]
Her er \( {2x + 7 = 1000}\text{,} \) som er positivt, så logaritmen finnes.

Oppgave 1e)

7e−x−3=5 7e^{-x-3} = 5
Vis løsning på oppgave 1e
Svar
x=ln⁡75−3‾‾ \underline{\underline{x = \ln\dfrac{7}{5} - 3}}
Vi isolerer potensen med \( e \) og tar \( \ln \) på begge sider.
1. Isoler potensen Vi deler på \( 7\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{-x-3}} = \dfrac{5}{7} \]
2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{-x-3}}\right) = \ln\dfrac{5}{7} \]
Logaritmereglene forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.
Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x-3}}\text{,} \) så vi får: \[ \textcolor{green}{-x-3} = \ln\dfrac{5}{7} \]
3. Løs for x Vi legger til \( 3 \) på begge sider og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ x = -3 - \ln\dfrac{5}{7} \]
Siden \( {-\ln\dfrac{5}{7} = \ln\dfrac{7}{5}}\text{,} \) kan vi også skrive: \[ x = \ln\dfrac{7}{5} - 3 \]

Oppgave 1f)

2sin⁡(π4x−π6)+3=0,x∈[−4,8] \begin{aligned} &2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3} = 0, \\ &x \in [-4, 8] \end{aligned}
Vis løsning på oppgave 1f
Svar
x=−2,x=−23‾‾ \underline{\underline{x = -2, \quad x = -\dfrac{2}{3}}}
x=6,x=223‾‾ \underline{\underline{x = 6, \quad x = \dfrac{22}{3}}}
Vi isolerer sinus og finner de to vinklene som gir denne sinusverdien. Så løser vi for \( x \) og tester hvilke \( x \) som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \)
1. Isoler sinus Vi kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} 2\sin \textcolor{green}{v} + \sqrt{3} &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]
2. Finn de to vinklene Vi vet at \( \dfrac{\pi}{3} \) er \( 60^\circ\text{,} \) som står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Sinus er negativ, så vi bytter fortegn på vinkelen: \[ \begin{aligned} \sin\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]
Den ene vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_1} = -\dfrac{\pi}{3} \]
På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \sin v = \sin(\pi - v) \]
Den andre vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_2} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} \]
Sinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \\ \textcolor{green}{v} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]
3. Løs for x Vi setter inn for \( \textcolor{green}{v}\text{,} \) legger til \( \dfrac{\pi}{6} \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{4}{\pi}\text{.} \) Den første gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{2}{3} + 8k \end{aligned} \]
Den andre gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 6 + 8k \end{aligned} \]
4. Test hvilke x som er med Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -1 &: \quad x = -\dfrac{26}{3} \quad \text{utenfor} \\ k = 0 &: \quad x = -\dfrac{2}{3} \\ k = 1 &: \quad x = \dfrac{22}{3} \\ k = 2 &: \quad x = \dfrac{46}{3} \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]
Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -2 &: \quad x = -10 \quad \text{utenfor} \\ k = -1 &: \quad x = -2 \\ k = 0 &: \quad x = 6 \\ k = 1 &: \quad x = 14 \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Konteeksamen 2020

Oppgave 2

1 poeng

Per skyter på blink. Det er 70 % sjanse for at han treffer med første skudd. Hvis han treffer, får han større selvtillit, og da er det 80 % sjanse for at han treffer med andre skudd. Bommer han med første skudd, går det ned med selvtilliten, og det er da bare 60 % sjanse for at han treffer med andre skudd. Per skyter 2 piler. Finn sannsynligheten for at han får 2 treff, 1 treff og ingen treff.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

P(2 treff)=0,56P(1 treff)=0,32P(ingen treff)=0,12‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} P(2 \text{ treff}) &= 0{,}56 \\ P(1 \text{ treff}) &= 0{,}32 \\ P(\text{ingen treff}) &= 0{,}12 \end{aligned}}}
Sannsynligheten for andre skudd avhenger av første skudd, så vi bruker betinget sannsynlighet og ganger langs hvert utfall.
1. Skriv opp regelen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{A} \cap \textcolor{red}{B}) = P(\textcolor{blue}{A}) \cdot P(\textcolor{red}{B} \mid \textcolor{blue}{A}) \]Hvis du er usikker på betinget sannsynlighet, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.
Vi kaller første skudd \( \textcolor{blue}{A} \) og andre skudd \( \textcolor{red}{B}\text{.} \) Bom er det motsatte av treff, så sannsynlighetene for bom er \( 1 \) minus sannsynlighetene for treff. Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{blue}{0{,}7} \\ P(\textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{blue}{0{,}3} \\ P(\textcolor{red}{\text{treff}} \mid \textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{red}{0{,}8} \\ P(\textcolor{red}{\text{bom}} \mid \textcolor{blue}{\text{treff}}) &= \textcolor{red}{0{,}2} \\ P(\textcolor{red}{\text{treff}} \mid \textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{red}{0{,}6} \\ P(\textcolor{red}{\text{bom}} \mid \textcolor{blue}{\text{bom}}) &= \textcolor{red}{0{,}4} \end{aligned} \]
2. Regn ut hvert antall treff To treff betyr treff på begge skuddene: \[ P(2 \text{ treff}) = \textcolor{blue}{0{,}7} \cdot \textcolor{red}{0{,}8} = 0{,}56 \]
Ett treff kan skje på to måter: treff og så bom, eller bom og så treff. Vi legger sammen de to: \[ \begin{aligned} P(1 \text{ treff}) &= \textcolor{blue}{0{,}7} \cdot \textcolor{red}{0{,}2} + \textcolor{blue}{0{,}3} \cdot \textcolor{red}{0{,}6} \\ &= 0{,}14 + 0{,}18 = 0{,}32 \end{aligned} \]
Ingen treff betyr bom på begge skuddene: \[ P(0 \text{ treff}) = \textcolor{blue}{0{,}3} \cdot \textcolor{red}{0{,}4} = 0{,}12 \]
Kontroll: Summen skal være \( 1\text{:} \) \( {0{,}56 + 0{,}32 + 0{,}12 = 1}\text{.} \)

Konteeksamen 2020

Oppgave 3

5 poeng

Punktene A(1,1,0), A(1, 1, 0)\text{,} B(0,3,1) B(0, 3, 1) og C(0,0,2) C(0, 0, 2) danner hjørnene i en trekant.

Oppgave 3a)

Finn AB→ \overrightarrow{AB} og 3AB→−12BC→. {3\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
AB→=[−1,2,1]‾‾ \underline{\underline{\overrightarrow{AB} = [-1, 2, 1]}}
3AB→−12BC→=[−3, 152, 52]‾‾ \underline{\underline{3\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \left[-3,\ \dfrac{15}{2},\ \dfrac{5}{2}\right]}}
Vi finner vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner videre koordinat for koordinat.
1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]
Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 3 - 1,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ 2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]
2. Regn ut uttrykket Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?, og vektorer trekkes fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &3\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} \\ &= 3\textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{[0, -3, 1]} \\ &= [-3, 6, 3] - \left[0, -\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \\ &= \left[-3,\ \dfrac{15}{2},\ \dfrac{5}{2}\right] \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Finn vinkel ∠B \angle B i trekanten.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til én desimal:
∠B≈49,8∘‾‾ \underline{\underline{\angle B \approx 49{,}8^\circ}}
Vinkelen i \( B \) er vinkelen mellom de to vektorene som går ut fra \( B\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.
1. Skriv opp regelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Her er \( v \) vinkelen mellom vektorene. Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.
Begge vektorene må starte i \( B\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[1, -2, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]
2. Regn ut delene Skalarproduktet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0 + 6 - 1 = 5 \end{aligned} \]
Lengdene finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \\ |\textcolor{red}{\vec{w}}| &= \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \end{aligned} \]
3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \cos \angle B = \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{60}} \]
Vi tar \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren og runder av til én desimal: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{60}}\right) \approx 49{,}8^\circ \]

Oppgave 3c)

Finn en likning for planet gjennom punktene A, A\text{,} B B og C. C\text{.}
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Likningen for planet er:
5x+y+3z=6‾‾ \underline{\underline{5x + y + 3z = 6}}
Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi skrive opp likningen.
1. Finn en normalvektor Vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [n_1, n_2, n_3]} \) står vinkelrett på begge vektorene. Koordinatene er: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ n_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ n_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]Videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet regner kryssproduktet som en determinant, i et eksempel om curl.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-1, -1, 2]} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 5 \\ n_2 &= \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 1 \\ n_3 &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 3 \end{aligned} \]
Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{green}{[5, 1, 3]} \]
2. Skriv opp likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{green}{a}, \textcolor{green}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.
Vi bruker punktet \( A(1, 1, 0)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{5}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 1) + \textcolor{green}{3}(z - 0) &= 0 \\ 5x - 5 + y - 1 + 3z &= 0 \\ 5x + y + 3z &= 6 \end{aligned} \]
Kontroll: \( B \) og \( C \) skal også passe: \( {0 + 3 + 3 = 6} \) og \( {0 + 0 + 6 = 6}\text{.} \)
Gitt et punkt D D som ligger på z-aksen. {z\text{-aksen.}}

Oppgave 3d)

Finn koordinatene til dette punktet slik at AB→ \overrightarrow{AB} står vinkelrett på BD→. \overrightarrow{BD}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3d
Svar
Punktet er:
D=(0,0,7)‾‾ \underline{\underline{D = (0, 0, 7)}}
Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) Vi krever at skalarproduktet er \( 0 \) og løser for \( z\text{.} \)
1. Skriv opp vektorene Vi skriver \( D(0, 0, z)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ z - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, z - 1]} \end{aligned} \]
2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= 0 \\ (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{z - 1}) &= 0 \\ -6 + z - 1 &= 0 \\ z &= 7 \end{aligned} \]
Punktene A, A\text{,} B, B\text{,} C C og origo danner en trekantpyramide.

Oppgave 3e)

Finn volumet av pyramiden.
Vis løsning på oppgave 3e
Svar
Volumet av pyramiden er:
V=1‾‾ \underline{\underline{V = 1}}
Tre vektorer fra origo utspenner pyramiden. Volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.
1. Skriv opp formelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left| (\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{t}} \right| \]Videoen Determinanter 3x3 matrise viser volumet tre vektorer utspenner. Pyramiden er en sjettedel av det.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{[1, 1, 0]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{OB} = \textcolor{red}{[0, 3, 1]} \\ \textcolor{green}{\vec{t}} &= \overrightarrow{OC} = \textcolor{green}{[0, 0, 2]} \end{aligned} \]
2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [p_1, p_2, p_3]} \) er: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ p_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ p_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 1 \\ p_2 &= \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = -1 \\ p_3 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} = 3 \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [1, -1, 3] \]
3. Regn ut volumet Vi ganger med den tredje vektoren: \[ \begin{aligned} [1, -1, 3] \cdot \textcolor{green}{[0, 0, 2]} &= 0 + 0 + 6 = 6 \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |6| = 1 \]