Forkurseksamen etter tema

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Integralet av \( 2x\ln x \) tar vi med delvis integrasjon.

1. Separer likningen Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( y \) og \( x \) hver for seg, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x\ln x}{y} \\ y\,dy &= 2x\ln x\,dx \end{aligned} \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \int y\,dy = \int 2x\ln x\,dx \]

Venstre side blir: \[ \underline{\dfrac{1}{2}y^2} \]

2. Integrer høyre side Høyre side er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Den forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= \underline{x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K} \end{aligned} \]

3. Løs for y Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{1}{2}y^2 = x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K \]

Vi ganger med \( 2 \) og kaller konstanten \( 2K \) for \( C\text{:} \) \[ y^2 = 2x^2\ln x - x^2 + C \]

Siden \( {y > 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + C} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den generelle løsningen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter punktet inn i den generelle løsningen og løser for konstanten \( C\text{.} \)

1. Finn konstanten Vi setter inn \( {y = \textcolor{red}{2}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) i den generelle løsningen, som i videoen Differensialligning oppgave 3: \[ \textcolor{red}{2} = \sqrt{2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \ln \textcolor{blue}{1} - \textcolor{blue}{1}^2 + C} \]

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \) Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 4 &= -1 + C \\ C &= 5 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i den generelle løsningen, får vi: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + 5} \]

En tangent er en rett linje, så vi trenger et punkt og et stigningstall. Stigningstallet får vi fra den deriverte.

1. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 4} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(4) &= 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 16 - 16 + 2 = 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ f'(4) &= 2 \cdot 4 - 4 = 4 \end{aligned} \]

2. Sett inn i tangentformelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y - f(\textcolor{blue}{a}) = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad f(\textcolor{blue}{4}) = 2, \quad \textcolor{red}{f'(4)} = \textcolor{red}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - 2 &= \textcolor{red}{4} \cdot (x - \textcolor{blue}{4}) \\ y - 2 &= 4x - 16 \\ y &= 4x - 14 \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn ett tall i \( f(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } f(x) \\ &\iff f(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Sett inn tallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{5}) &= 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {f(5) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 5)} \) en faktor.

Vi bruker fra b) at \( {(x - 5)} \) er en faktor i telleren.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 5}\text{,} \) men der er også telleren \( 0\text{.} \) Vi deler derfor først, og ser hva som står igjen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Se etter vertikal asymptote En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er det bare \( {x = 5}\text{.} \)

Vi forkorter brøken for \( {x \neq 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{\cancel{(x - 5)}}(x^2 + 3x - 4)}{\textcolor{darkorange}{\cancel{x - 5}}} \\ &= x^2 + 3x - 4 \end{aligned} \]

Når \( x \) går mot \( 5\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 5} f(x) &= 5^2 + 3 \cdot 5 - 4 \\ &= 36 \end{aligned} \]

Funksjonen går mot et tall og vokser ikke over alle grenser. Så \( {x = 5} \) er bare et hull i grafen, ikke en vertikal asymptote.

3. Se etter horisontal asymptote En horisontal asymptote får vi hvis \( f(x) \) går mot et tall når \( x \) blir veldig stor, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er leddet \( x^2 \) størst: \[ \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 + 3x - 4) = \infty \]

Grafen er en parabel med et hull, så den har heller ingen skrå asymptote.

Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Differansen blir enkel, og den integrerer vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Vi regner ut differansen: \[ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= (x + 1)e^{x^2} - e^{x^2} \\ &= x e^{x^2} \end{aligned} \]

På \( [0, 1] \) er \( {x \geq 0} \) og \( {e^{x^2} > 0}\text{,} \) så \( {f(x) \geq g(x)}\text{.} \) Grafen til \( f \) ligger altså øverst.

Arealet mellom grafene er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \int_0^1 (f(x) - g(x))\,dx \\ &= \int_0^1 x e^{x^2}\,dx \end{aligned} \]Arealet som et bestemt integral ser du i videoen Hva er integrasjon.

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 0 \\ x = 1 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 1 \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Integralet av \( e^u \) er \( e^u\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 \\ &= \dfrac{1}{2} (e^1 - e^0) = \dfrac{e - 1}{2} \end{aligned} \]

Volumet avhenger av høyden, som vi ikke kjenner. Vi bruker omkretsen til å uttrykke høyden med \( x\text{,} \) og setter det inn i volumet.

1. Finn høyden Omkretsen er alle fire sidene lagt sammen, som i videoen Volum og Overflate: \[ 2x + 2\textcolor{red}{h} = 24 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{12 - x} \]

2. Sett opp volumet Volumet av en sylinder forteller oss at: \[ V = \pi \textcolor{blue}{r}^2 \textcolor{red}{h} \]Formelen skriver vi opp i videoen Omdreninglegeme y-akse.

Rektangelet roterer om siden \( h\text{,} \) så \( h \) blir høyden i sylinderen, og bredden \( x \) blir radien. Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{12 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V(x) = \pi \textcolor{blue}{x}^2 (\textcolor{red}{12 - x}) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( V(x) \) står i oppgaveteksten.

Det største volumet finner vi der den deriverte er \( 0\text{.} \) Vi deriverer, løser likningen og sjekker med et fortegnsskjema at det er et toppunkt.

1. Deriver volumet Vi har: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi x^2 (12 - x) \\ &= \pi (12x^2 - x^3) \end{aligned} \]

Begge sidene i rektangelet må være positive, så: \[ 0 < x < 12 \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} V'(x) &= \pi (24x - 3x^2) \\ &= 3\pi \textcolor{darkorange}{x} (\textcolor{magenta}{8 - x}) \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {x > 0}\text{,} \) må den siste faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{8 - x} &= 0 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. \( 3\pi \) er positiv, så den endrer ikke fortegnet: :::fortegnsskjema {"points": [8], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{8 - x}", "expr": "8 - x"}, {"label": "V'(x)", "expr": "3*x*(8 - x)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 8} \) går \( V'(x) \) fra pluss til minus, så volumet vokser og så avtar. Der er altså det største volumet.

3. Regn ut volumet Vi setter inn \( {x = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(8) &= \pi \cdot 8^2 \cdot (12 - 8) \\ &= \pi \cdot 64 \cdot 4 = 256\pi \end{aligned} \]

Vi finner hver vektor ved å ta sluttpunkt minus startpunkt. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra, koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 0 - 1,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 1,\ 3 - 1,\ 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} &= [0 - (-1),\ 0 - 3,\ 2 - 3] \\ &= \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Når vi ganger med et tall, ganger vi hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?. Når vi trekker fra, gjør vi det koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &2\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} - \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} \\ &= 2 \cdot \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-4, 4, 8] - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-5, 7, 9] \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Vinkel \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} \\ &= 2 - 2 + 12 = 12 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + \textcolor{blue}{3}^2} = \sqrt{11} \\ |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(A) &= \dfrac{12}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{24}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{264}} \approx 0{,}7385 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A = \cos^{-1}\left(\dfrac{12}{\sqrt{264}}\right) \approx 42{,}4^\circ \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} = -10 \\ y &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} = -2 \\ z &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -4 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-10, -2, -4] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{30} = \sqrt{30} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene i planet, så det er en normalvektor. Med en normalvektor og et punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-10, -2, -4] \\ &= -2 \cdot [5, 1, 2] \end{aligned} \]

Vektoren \( [5, 1, 2] \) er parallell med denne, så den er også en normalvektor, og den er enklere å regne med.

2. Sett inn i likningen for planet Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[5, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(1, 1, -1)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{5}(x - \textcolor{red}{1}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(z - (\textcolor{red}{-1})) = 0 \\ &5x - 5 + y - 1 + 2z + 2 = 0 \\ &5x + y + 2z = 4 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan som er parallelt med \( \alpha \) har de samme retningene. Vi bruker derfor \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) men starter i \( E\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= E = \textcolor{green}{(2, 3, 4)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 1}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 1}s + \textcolor{red}{2}t \\ z &= \textcolor{green}{4} + \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{4}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( {[-1, 1, 2]} \) i stedet for \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Vi skriver \( D \) med en ukjent \( {y\text{-koordinat}} \) og setter volumet lik \( 20\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I c) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \]

Et punkt på \( {y\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {z = 0}\text{,} \) så \( {D = (0, y, 0)}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 1,\ y - 1,\ 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \cdot \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \\ &= (\textcolor{blue}{-10}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{y - 1}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 10 - 2y + 2 - 4 \\ &= 8 - 2y \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi setter volumet lik \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6} |8 - 2y| &= 20 \\ |8 - 2y| &= 120 \end{aligned} \]

Tallverdien er \( 120 \) når uttrykket er \( 120 \) eller \( {-120}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8 - 2y = 120 &\Rightarrow y = -56 \\ 8 - 2y = -120 &\Rightarrow y = 64 \end{aligned} \]

Vi leser fortegnene av topp- og bunnpunktet og vendepunktet. Den deriverte sier om grafen stiger eller synker, og den dobbeltderiverte hvilken vei den krummer.

1. Tegn fortegnslinja til den deriverte Fortegnet til \( g'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. I topp- og bunnpunktet er den \( 0\text{:} \) \[ g'(\textcolor{blue}{0}) = 0, \quad g'(\textcolor{blue}{3}) = 0 \]

Grafen stiger fram til \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) synker fra \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) og stiger så igjen. Det gir oss denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "g'(x)", "expr": "x*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( g'(x) \) er \( 0\text{.} \)

2. Tegn fortegnslinja til den dobbeltderiverte Fortegnet til \( g''(x) \) sier hvilken vei grafen krummer, og i vendepunktet er den \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ g''\left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right) = 0 \]

Rundt toppunktet i \( {x = 0} \) krummer grafen nedover, så \( g''(x) \) er negativ før \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Rundt bunnpunktet i \( {x = 3} \) krummer den oppover, så \( g''(x) \) er positiv etter: :::fortegnsskjema {"points": [1.5], "labels": ["\\dfrac{3}{2}"], "rows": [{"label": "g''(x)", "expr": "2*x - 3"}]} En strek viser hvor \( g''(x) \) er \( 0\text{.} \) Hvordan vi tenker fram disse linjene, ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025.

En tredjegradsfunksjon har fire ukjente koeffisienter. Topp- og bunnpunktet gir oss fire likninger, og vendepunktet kan vi bruke til å sjekke svaret.

1. Skriv opp funksjonen og den deriverte En tredjegradsfunksjon kan skrives slik: \[ g(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + \textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{d} \]

Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ g'(x) = 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} \]

2. Bruk toppunktet Toppunktet \( (0, 6) \) ligger på grafen, og der er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(0) = 6 &\Rightarrow \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{6} \\ g'(0) = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

3. Bruk bunnpunktet Det samme gjelder bunnpunktet \( {(3, -21)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(3) = -21 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 9\textcolor{red}{b} + 6 = -21 \\ g'(3) = 0 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 6\textcolor{red}{b} = 0 \end{aligned} \]

Det er et likningssett med to ukjente, som i videoen Likningssett. Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{red}{b} + 6 &= -21 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-9} \end{aligned} \]

Setter vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 27\textcolor{blue}{a} + 6 \cdot (\textcolor{red}{-9}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

4. Sjekk med vendepunktet Funksjonen er nå \( {g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er \( {g''(x) = 12x - 18}\text{.} \) Vendepunktet stemmer: \[ \begin{aligned} g''\left(\dfrac{3}{2}\right) &= 18 - 18 = 0 \\ g\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{27}{4} - \dfrac{81}{4} + 6 = -\dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Fortegnet til den deriverte sier hvor \( f \) vokser og synker. Vi deriverer, finner nullpunktene og tegner fortegnslinja.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi løser \( {f'(x) = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-1})} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \dfrac{-2 \pm 4}{-2} \end{aligned} \]

Det gir oss \( {x = -1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) og dermed: \[ f'(x) = -(x + 1)(x - 3) \]

3. Tegn fortegnslinja Fortegnet til \( f'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x + 1)*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er det et bunnpunkt. I \( {x = 3} \) går den fra pluss til minus, så der er det et toppunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{1}{3} + 1 - 3 = -\dfrac{5}{3} \\ f(3) &= -9 + 9 + 9 = 9 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra c).

Fortegnet til den dobbeltderiverte sier hvilken vei grafen krummer. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

1. Finn den dobbeltderiverte I c) fant vi: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Deriverer vi en gang til, får vi: \[ f''(x) = -2x + 2 \]

2. Tegn fortegnslinja Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} -2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Fortegnslinja blir: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-2*x + 2"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \)

\( f''(x) \) er positiv før \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der krummer grafen opp. Den er negativ etter, så der krummer grafen ned. Den skifter fortegn i \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der er det et vendepunkt.

3. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{1}) = -\dfrac{1}{3} + 1 + 3 = \dfrac{11}{3} \]

Vi kaller punktet på \( l \) nærmest \( P \) for \( F\text{.} \) Avstandskravet gjør at \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på planet, så den er normalvektoren vi trenger.

1. Finn normalvektoren ut fra kravet Avstanden fra \( P \) til \( l \) er \( |\overrightarrow{PF}|\text{.} \) Siden \( l \) er parallell med planet, er avstanden fra \( l \) til planet det samme som avstanden fra \( F \) til planet. Kravet er altså: \[ |\overrightarrow{PF}| = \text{avstanden fra } F \text{ til } \alpha \]

Avstanden fra \( F \) til planet er den korteste veien dit. \( P \) ligger i planet, så \( \overrightarrow{PF} \) er en vei fra planet til \( F\text{.} \) Den er bare den korteste hvis den står vinkelrett på planet: \[ \overrightarrow{PF} \perp \alpha \]

2. Finn punktet F Et vilkårlig punkt på \( l \) er: \[ F = (2 - 3t,\ -1 + 4t,\ 1 + 2t) \]

Vektoren fra \( P \) er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} = [&2 - 3t - 1, \\ &-1 + 4t - 4, \\ &1 + 2t - 4] \\ = [&\textcolor{red}{1 - 3t,\ -5 + 4t,\ -3 + 2t}] \end{aligned} \]

\( F \) er punktet nærmest \( P\text{,} \) så \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på retningsvektoren til \( l\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{[-3, 4, 2]}}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{-3}(\textcolor{red}{1 - 3t}) + \textcolor{blue}{4}(\textcolor{red}{-5 + 4t}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(\textcolor{red}{-3 + 2t}) = 0 \\ &-3 + 9t - 20 + 16t - 6 + 4t = 0 \\ &29t - 29 = 0 \\ &t = 1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &= (-1, 3, 3) \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} &= \textcolor{red}{[-2, -1, -1]} \end{aligned} \]

3. Sett inn i likningen for planet Vektoren \( [2, 1, 1] \) er parallell med \( \overrightarrow{PF}\text{,} \) så vi bruker den som normalvektor. Den står vinkelrett på \( l\text{,} \) slik at \( l \) er parallell med planet: \[ [2, 1, 1] \cdot \textcolor{blue}{[-3, 4, 2]} = -6 + 4 + 2 = 0 \]

Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{[a, b, c]} &= \textcolor{green}{[2, 1, 1]} \\ (x_0, y_0, z_0) &= P = (1, 4, 4) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 4) \\ &+ \textcolor{green}{1}(z - 4) = 0 \\ &2x - 2 + y - 4 + z - 4 = 0 \\ &2x + y + z = 10 \end{aligned} \]

Linja \( AB \) og linja mellom sentrene deler hverandre på midten og står vinkelrett. Da får vi en rettvinklet trekant, og vi kan bruke Pytagoras.

1. Finn den rettvinklede trekanten \( A \) og \( B \) ligger på begge sirklene, så begge er like langt fra \( S_1 \) og \( S_2\text{:} \) \[ AS_1 = AS_2 = BS_1 = BS_2 = 1 \]

\( AB \) står derfor vinkelrett på \( S_1S_2 \) midt mellom sentrene. Vi kaller punktet der de krysser for \( M\text{.} \) \( S_1 \) og \( S_2 \) er også like langt fra \( A \) og \( B\text{,} \) så \( S_1S_2 \) halverer \( AB\text{.} \) Sentrum i den ene sirkelen ligger på buen til den andre, så \( {S_1S_2 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \]

2. Bruk Pytagoras Trekanten \( AMS_1 \) er rettvinklet i \( M\text{.} \) Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\text{hypotenus}}^2 = \textcolor{blue}{\text{katet}_1}^2 + \text{katet}_2^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oppgave 3B (Pytagoras).

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{\text{katet}_1} &= \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{katet}_2 &= AM \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1}^2 &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + AM^2 \\ AM^2 &= \dfrac{3}{4} \\ AM &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

3. Doble lengden \( M \) ligger midt på \( AB\text{,} \) så: \[ AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

Vi bruker den rettvinklede trekanten fra a).

Vi ser på trekanten \( ABS_1\text{.} \) Den rettvinklede trekanten \( AMS_1 \) gir oss vinkelen i \( A\text{,} \) og resten følger av symmetri og vinkelsummen.

1. Finn vinkelen i A I a) fant vi at trekanten \( AMS_1 \) er rettvinklet i \( M\text{,} \) med: \[ \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \]

Sinus er motstående katet delt på hypotenusen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \sin(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{mot}}}{\textcolor{red}{\text{hyp}}} \]

Sett fra \( A \) er \( \textcolor{blue}{S_1M} \) motstående katet, så vi får: \[ \begin{aligned} \sin(\angle A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{\textcolor{red}{1}} = \dfrac{1}{2} \\ \angle A &= 30^\circ \end{aligned} \]

2. Finn de to andre vinklene Trekanten \( ABS_1 \) er likebeint, siden \( {AS_1 = BS_1 = 1}\text{.} \) Vinklene ved grunnlinja er derfor like store: \[ \angle B = \angle A = 30^\circ \]

Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 3C (Enkel trigonometri): \[ \angle S_1 = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \]

Fra ledd nummer \( 8 \) til ledd nummer \( 27 \) legger vi til \( d \) nitten ganger. Det gir \( d\text{,} \) og deretter \( a_1 \) og summen.

1. Finn differansen Formelen for ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1)\textcolor{blue}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Vi skriver opp de to leddene vi kjenner: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7\textcolor{blue}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} + 26\textcolor{blue}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{blue}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{blue}{d} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Setter vi dette inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{red}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {n = 40}\text{,} \) og det siste leddet er: \[ \textcolor{green}{a_{40}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den doble ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}}, \quad x \neq 0 \]

2. Sett opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten om: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2} \]

3. Løs de to ulikhetene \( {\textcolor{blue}{k} < 1} \) er alltid oppfylt, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \]

\( {\textcolor{blue}{k} > -1} \) gir oss, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - \dfrac{1}{x^2} &> -1 \\ 2 &> \dfrac{1}{x^2} \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss, med \( {\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter inn i sumformelen for en konvergent geometrisk rekke, forenkler og setter summen lik \( 4\text{.} \) Så sjekker vi at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent geometrisk rekke forteller oss at: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{1 - \left(\textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}}\right)} \\ &= \dfrac{x^2}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \end{aligned} \]

2. Sett summen lik 4 Vi løser likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

\( {x^2 = -2} \) har ingen løsning, så den er ikke med.

3. Sjekk konvergensintervallet I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {|x| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og det holder her: \[ \sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Begge løsningene er altså med.

Vi fordeler de \( 100 \) loddene etter farge og etter vinner eller ikke. Det gir oss alle tallene til begge figurene.

1. Fordel loddene Vi trekker vinnerloddene fra hver farge: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\text{Gule}}: \quad & \textcolor{darkorange}{30} - 3 = 27 \text{ uten gevinst} \\ \textcolor{blue}{\text{Blå}}: \quad & \textcolor{blue}{70} - 10 = 60 \text{ uten gevinst} \end{aligned} \]

2. Tegn valgtreet På den første grenen velger vi farge, og på den andre om loddet er et vinnerlodd. Sannsynligheten på en gren er gunstige delt på mulige: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\text{Gul}}: \quad & \dfrac{\textcolor{darkorange}{30}}{100} = 0{,}3 \\ \text{Vinner, gitt gul}: \quad & \dfrac{3}{\textcolor{darkorange}{30}} = 0{,}1 \\ \text{Ikke vinner, gitt gul}: \quad & \dfrac{27}{\textcolor{darkorange}{30}} = 0{,}9 \\ \textcolor{blue}{\text{Blå}}: \quad & \dfrac{\textcolor{blue}{70}}{100} = 0{,}7 \\ \text{Vinner, gitt blå}: \quad & \dfrac{10}{\textcolor{blue}{70}} = \dfrac{1}{7} \\ \text{Ikke vinner, gitt blå}: \quad & \dfrac{60}{\textcolor{blue}{70}} = \dfrac{6}{7} \end{aligned} \]

3. Tegn venndiagrammet Sirkelen \( G \) har \( \textcolor{darkorange}{30} \) lodd, og sirkelen \( V \) har \( {3 + 10 = 13}\text{.} \) De \( 3 \) gule vinnerloddene ligger i begge sirklene, altså i snittet. Utenfor begge er de blå loddene uten gevinst: \[ 100 - 27 - 3 - 10 = 60 \]

Vi bruker fordelingen av loddene fra a).

De tre første er gunstige delt på mulige. I den siste vet vi at loddet er gult, så da er det bare de gule loddene som er mulige.

1. Regn ut de tre første Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige, og her er det \( 100 \) mulige lodd.

\( P(G)\text{:} \) Det er \( 30 \) gule lodd: \[ P(G) = \dfrac{30}{100} = 0{,}30 \]

\( P(V)\text{:} \) Det er \( {3 + 10 = 13} \) vinnerlodd: \[ P(V) = \dfrac{13}{100} = 0{,}13 \]

\( P(G \cap V)\text{:} \) Det er \( 3 \) lodd som er både gule og vinnerlodd: \[ \textcolor{blue}{P(G \cap V)} = \dfrac{3}{100} = \textcolor{blue}{0{,}03} \]

2. Regn ut den betingede sannsynligheten \( P(V | G) \) er sannsynligheten for vinnerlodd når vi vet at loddet er gult, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1. Formelen forteller oss at: \[ P(V | G) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(G \cap V)}}{\textcolor{red}{P(G)}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{P(G \cap V)} = \textcolor{blue}{0{,}03}, \quad \textcolor{red}{P(G)} = \textcolor{red}{0{,}30} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(V | G) = \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}03}}{\textcolor{red}{0{,}30}} = 0{,}10 \]

Det stemmer med telling blant de gule loddene: \( 3 \) av \( 30 \) er vinnerlodd.