Forkurseksamen etter tema

Vi får \( \cos x \) alene, og så går vi baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, slik videoen Introduksjon til Trigonometri viser med \( \arccos\text{.} \)

1. Få cosinus alene Vi flytter \( \sqrt{3} \) over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\cos x &= \sqrt{3} \\ \cos x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn vinkelen Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]Alle løsningene er: \[ x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \]

Av disse er det bare \( \dfrac{\pi}{6} \) som ligger i intervallet \( [0, \pi]\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{6} \]

Vi faktoriserer telleren og nevneren. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

1. Faktoriser telleren og nevneren Telleren er en differanse mellom to kvadrater, så konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Med \( {a = x} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \]

I nevneren setter vi \( x \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ x^2 - x = x(x - 1) \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 1)} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 0} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \)

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene.

:::fortegnsskjema {"points": [-3, 0, 1, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x}", "expr": "(x + 3)(x - 3)/(x(x - 1))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ fra \( {-3} \) til \( 0 \) og fra \( 1 \) til \( 3\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = -3} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er med. Den er ikke definert i \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x \in [-3, 0\rangle \cup \langle 1, 3] \]

Vi flytter \( 2 \)-tallet inn i logaritmen. Da står det \( \lg \) av noe på begge sider, og vi kan sette det som står inni, likt. Til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Skriv venstre side som én logaritme Den tredje logaritmeregelen forteller oss at, for \( {\textcolor{red}{a} > 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b} \cdot \lg \textcolor{red}{a} = \lg \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{b}} \]Den står i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lg (\textcolor{red}{3x + 1})^{\textcolor{blue}{2}} = \lg x^2 \]

2. Løs likningen uten logaritmer Siden \( \lg \) gir samme verdi bare for samme tall, må det som står inni, være likt: \[ (3x + 1)^2 = x^2 \]

To kvadrater er like når tallene er like eller motsatte: \[ 3x + 1 = x \quad \text{eller} \quad 3x + 1 = -x \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -1 & 4x &= -1 \\ x &= -\dfrac{1}{2} & x &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Vi setter inn begge i \( {3x + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 &= -\dfrac{1}{2} < 0 \\ 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) + 1 &= \dfrac{1}{4} > 0 \end{aligned} \]

\( {x = -\dfrac{1}{2}} \) faller derfor bort. For \( {x = -\dfrac{1}{4}} \) er også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så den er løsningen.

Momentan vekstfart er den deriverte. Vi deriverer begge funksjonene, setter dem like og løser med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver begge funksjonene \( e^x \) derivert er seg selv: \[ f'(x) = e^x \]

\( g \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}}\text{.} \) Kjerneregelen for \( e^u \) forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{u}})' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ g'(x) = e^{\textcolor{green}{4x}} \cdot \textcolor{green}{4} = 4e^{4x} \]

2. Sett de deriverte like Vi deler begge sider på \( e^x\text{,} \) som aldri er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^x &= 4e^{4x} \\ 1 &= 4e^{3x} \\ e^{3x} &= \dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Løs med logaritmer Vi tar \( \ln \) på begge sider og flytter ned \( 3x\text{,} \) slik videoen Naturlige Logaritmer viser: \[ \begin{aligned} \ln e^{3x} &= \ln \dfrac{1}{4} \\ 3x &= \ln \dfrac{1}{4} \\ x &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \ln \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Dette er formen \( {x = \textcolor{blue}{a} \ln \textcolor{red}{b}}\text{,} \) så vi kan lese av: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \]

Siden \( {\ln \dfrac{1}{4} = -\ln 4}\text{,} \) kan samme \( x \) også skrives \( {x = -\dfrac{1}{3} \ln 4}\text{.} \) Da er \( {a = -\dfrac{1}{3}} \) og \( {b = 4}\text{,} \) som også er riktig.

En tangent trenger et punkt og et stigningstall. Vi finner \( {g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og \( {g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og setter dem inn i tangentformelen.

1. Finn punktet \[ g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \pi = \dfrac{\pi}{2} \cdot 0 = 0 \]

2. Deriver funksjonen Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( \sin 2x \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{k})' = \cos \textcolor{green}{k} \cdot \textcolor{green}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ (\sin 2x)' = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2\cos 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin 2x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2\cos 2x} \\ &= \sin 2x + 2x\cos 2x \end{aligned} \]

3. Finn stigningstallet \[ \begin{aligned} g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin \pi + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \pi \\ &= 0 + \pi \cdot (-1) \\ &= -\pi \end{aligned} \]

4. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = g'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + g(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}} \\ g\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= 0 \\ g'\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= -\pi \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= -\pi\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) + 0 \\ &= -\pi x + \dfrac{\pi^2}{2} \end{aligned} \]

Vi setter opp arealet som en funksjon av \( x \) og finner toppunktet ved å sette den deriverte lik \( 0\text{.} \) Samme tankegang står i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

1. Sett opp arealet Sidene må være positive, så \( {0 < x < 4}\text{.} \) Rektangelet har areal lengde ganger høyde: \[ \textcolor{blue}{A_r} = \textcolor{blue}{x(4 - x)} = \textcolor{blue}{4x - x^2} \]

Halvsirkelen har radius \( \dfrac{x}{2}\text{,} \) og arealet er halve \( \pi r^2\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A_s} = \dfrac{1}{2} \pi \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \textcolor{blue}{4x - x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

2. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd: \[ A'(x) = 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og samler leddene med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} &= 0 \\ x\left(2 - \dfrac{\pi}{4}\right) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{2 - \dfrac{\pi}{4}} \\ x &= \dfrac{16}{8 - \pi} \end{aligned} \]

Dette er innenfor kravet til \( x\text{,} \) siden \( {8 - \pi > 4}\text{:} \) \[ 0 < \dfrac{16}{8 - \pi} < 4 \]

3. Sjekk at det er et toppunkt Den andrederiverte er negativ for alle \( x\text{,} \) siden \( {\pi < 8}\text{:} \) \[ A''(x) = -2 + \dfrac{\pi}{4} < 0 \]Grafen krummer altså nedover, så punktet er et toppunkt, og arealet er størst der.

Vi ser at nevneren kan faktoriseres og at telleren har lavere grad, så vi bruker delbrøksoppspalting.

1. Faktoriser nevneren Nevneren har nullpunktene \( {x = 2} \) og \( {x = -1}\text{,} \) siden \( {2 + (-1) = 1} \) og \( {2 \cdot (-1) = -2}\text{:} \) \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Vi ganger begge sider med \( {(x - 2)(x + 1)}\text{:} \) \[ 3x - 3 = \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \]

Med \( {x = 2} \) faller leddet med \( \textcolor{red}{B} \) bort: \[ \begin{aligned} 3 &= 3\textcolor{blue}{A} \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {x = -1} \) faller leddet med \( \textcolor{blue}{A} \) bort: \[ \begin{aligned} -6 &= -3\textcolor{red}{B} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

3. Integrer hver delbrøk Integralet av \( {\dfrac{1}{x + n}} \) er \( {\ln|x + n|}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{2}}{x + 1}\right) dx \\ &= \textcolor{blue}{1} \cdot \ln|x - 2| + \textcolor{red}{2} \ln|x + 1| + C \\ &= \ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C \end{aligned} \]

Vi integrerer et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Faktoren \( x \) blir enklere når den deriveres, så den setter vi som \( u\text{.} \)

1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\, dx \]Videoen Delvis integrasjon regner akkurat dette integralet, uten grenser.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

2. Finn det ubestemte integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int x \sin x\, dx \\ &= \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) - \int (\textcolor{blue}{-\cos x}) \cdot \textcolor{red}{1}\, dx \\ &= -x\cos x + \int \cos x\, dx \\ &= -x\cos x + \sin x + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\Big[-x\cos x + \sin x\Big]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= \left(-\dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &\quad - (-0 \cdot \cos 0 + \sin 0) \\ &= (0 + 1) - (0 + 0) \\ &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for volumet av et omdreiningslegeme. Grensene er endepunktene der funksjonen er definert.

1. Finn grensene Uttrykket under roten må ikke være negativt. Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -4} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og mellom dem er begge positive: \[ \begin{aligned} &(4 + x)(4 - x) \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ &-4 \leq x \leq 4 \end{aligned} \]

2. Skriv opp volumformelen Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_{\textcolor{green}{a}}^{\textcolor{green}{b}} \textcolor{blue}{f(x)^2}\, dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-4}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{4} \\ \textcolor{blue}{f(x)^2} &= (4 + x)(4 - x) = \textcolor{blue}{16 - x^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\textcolor{green}{-4}}^{\textcolor{green}{4}} (\textcolor{blue}{16 - x^2})\, dx \\ &= \pi \left[16x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{4} \\ &= \pi \left(64 - \dfrac{64}{3}\right) \\ &\quad - \pi \left(-64 + \dfrac{64}{3}\right) \\ &= \pi \left(128 - \dfrac{128}{3}\right) \\ &= \dfrac{256\pi}{3} \end{aligned} \]

Grafen skjærer \( x \)-aksen der telleren er \( 0\text{,} \) og \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med x-aksen En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -4 \quad \text{eller} \quad x = 1 \]Nevneren er ikke \( 0 \) i noen av dem, så begge er nullpunkter.

2. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 + 3 \cdot 0 - 4}{0 + 2} = \dfrac{-4}{2} = -2 \]

Vi ser etter en vertikal asymptote der nevneren er \( 0\text{.} \) Siden telleren har én grad høyere enn nevneren, finner vi en skrå asymptote med polynomdivisjon.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi finner hvor nevneren er \( 0\text{:} \) \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Vi ser hva telleren er der: \[ (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 4 = -6 \neq 0 \]Telleren er ikke \( 0\text{,} \) så \( f(x) \) går mot pluss eller minus uendelig når \( x \) nærmer seg \( {-2}\text{.} \) Linja \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på nevneren med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 2) &= x^2 + 2x \\ -(x^2 + 2x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {3x - 2x = x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{1} \\ \textcolor{magenta}{1} \cdot (x + 2) &= x + 2 \\ -(x + 2) &= \textcolor{magenta}{-x - 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x}} & \textcolor{magenta}{{}- 2} \\ \hline & & -6 \end{array} \end{array} \]\( x \) strykes mot \( {-x}\text{,} \) og \( {-4 - 2 = -6}\text{.} \) Tallet \( {-6} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( {-6} \) er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret: \[ \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} + \dfrac{-6}{x + 2} = x + 1 - \dfrac{6}{x + 2} \]

3. Finn den skrå asymptoten Funksjonen er altså: \[ f(x) = \textcolor{blue}{x + 1} - \dfrac{6}{x + 2} \]

Når \( x \) blir veldig stor eller veldig liten, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{6}{x + 2} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{blue}{x + 1}}\text{,} \) som er en skrå asymptote. Siden \( f(x) \) ikke går mot et fast tall, er det ingen horisontal asymptote.

Vi bruker skjæringspunktene fra a) og asymptotene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tegner asymptotene først, setter inn skjæringspunktene og regner ut noen få verdier til. Så tegner vi grafen gjennom punktene, tett inntil asymptotene.

1. Sett opp det vi vet I a) fant vi skjæringspunktene: \[ (-4, 0), \quad (1, 0), \quad (0, -2) \]

I b) fant vi asymptotene: \[ \textcolor{red}{x = -2}, \quad \textcolor{blue}{y = x + 1} \]

2. Regn ut noen verdier Vi setter inn noen \( x \)-verdier på hver side av \( {x = -2}\text{,} \) slik vi setter inn verdier for å tegne en graf i videoen Grenseverdier: \[ \begin{aligned} f(-6) &= \dfrac{14}{-4} = -\dfrac{7}{2} \\ f(-3) &= \dfrac{-4}{-1} = 4 \\ f(-1) &= \dfrac{-6}{1} = -6 \\ f(2) &= \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\ f(4) &= \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi tegner \( {\textcolor{red}{x = -2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y = x + 1}} \) stiplet. Fra b) vet vi hvor langt grafen er fra den skrå linja: \[ f(x) - (\textcolor{blue}{x + 1}) = -\dfrac{6}{x + 2} \]

Brøken er positiv til venstre for \( {\textcolor{red}{x = -2}}\text{,} \) så der ligger grafen over linja og går mot pluss uendelig inntil asymptoten.

Til høyre ligger den under linja og kommer fra minus uendelig.

I \( B \) ligger \( x \) og \( 2x \) langs en rett linje, så de er \( 180^\circ \) til sammen. Deretter bruker vi vinkelsummen i trekanten.

1. Finn x Vinklene langs en rett linje er \( 180^\circ \) til sammen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} + 2\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

2. Finn y Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} + 2\textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{60^\circ} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{red}{y} &= 120^\circ \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{red}{40^\circ} \end{aligned} \]

3. Sett opp vinklene Vinkelen i \( C \) er \( 2\textcolor{red}{y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle A &= \textcolor{red}{y} = 40^\circ \\ \angle B &= \textcolor{blue}{x} = 60^\circ \\ \angle C &= 2\textcolor{red}{y} = 80^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vinklene fra a): \( {\angle A = 40^\circ}\text{,} \) \( {\angle B = 60^\circ} \) og \( {\angle C = 80^\circ}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kjenner én side og alle vinklene, så vi finner \( AC \) med sinussetningen. Da kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så arealet finner vi med arealsetningen.

1. Finn siden AC Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{\sin \textcolor{red}{C}} \]Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Side \( AC \) står rett overfor \( B\text{,} \) og side \( AB \) står rett overfor \( C\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{AC} & \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \\ \textcolor{red}{c} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{C} &= \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} \\ AC &= \dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \\ AC &\approx 1{,}76 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.

2. Finn arealet Arealsetningen forteller oss at, med nye farger: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Her er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{,} \) som i videoen Arealsetningen.

Vinkelen mellom \( AB \) og \( AC \) er vinkelen i \( A\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{40^\circ} \]

Plugger vi dette inn, med den uavrundede \( AC\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &\approx 1{,}13 \end{aligned} \]

Uttrykket står i linje 3. Temperaturen er størst og minst der \( \cos \) er henholdsvis \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) fordi den trekkes fra.

1. Les av uttrykket Linje 2 og 3 definerer funksjonen. I koden står \( \texttt{pi} \) for \( \pi\text{,} \) og \( \texttt{*} \) betyr gange: \[ T(t) = 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \]

2. Finn største og minste verdi Verdiene til cosinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser: \[ -1 \leq \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \leq 1 \]

Gjennom døgnet går \( t \) fra \( 0 \) til \( 24\text{,} \) så \( \dfrac{\pi t}{12} \) går fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{.} \) Da får cosinus både verdien \( 1 \) og verdien \( {-1}\text{.} \)

Med \( {\cos = \textcolor{blue}{-1}} \) får vi den høyeste temperaturen, ved \( {t = 12}\text{:} \) \[ T_{\text{maks}} = 16 - 8 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 24 \]

Med \( {\cos = \textcolor{red}{1}} \) får vi den laveste temperaturen, ved \( {t = 0} \) og \( {t = 24}\text{:} \) \[ T_{\text{min}} = 16 - 8 \cdot \textcolor{red}{1} = 8 \]

Vi tenker som datamaskinen, slik videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025 gjør. Løkken stopper første gang \( \texttt{verdi} \) er minst \( 20\text{.} \)

1. Se hva løkken gjør Linje 6 sjekker om \( {\texttt{verdi} < 20} \) før hver runde. Først er \( {\texttt{verdi} = 0} \) og \( {\texttt{t1} = 0}\text{.} \)

I hver runde regner linje 7 ut \( T(\texttt{t1})\text{,} \) og linje 9 øker \( \texttt{t1} \) med \( 1\text{.} \) Runde nummer én bruker altså \( {t = 0}\text{,} \) runde to \( {t = 1}\text{,} \) og så videre.

2. Finn når temperaturen når 20 Vi løser \( {T(t) = 20}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= 20 \\ \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \]

Fra midnatt til \( {t = 12} \) synker cosinus hele tiden fra \( 1 \) til \( {-1}\text{,} \) så temperaturen stiger. Dette er derfor første gang den når \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\pi t}{12} &= \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{8} \end{aligned} \]

3. Tell rundene For \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er temperaturen akkurat \( 20\text{:} \) \[ T(\textcolor{blue}{8}) = 16 - 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 20 \]

Etter runden med \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er \( {\texttt{verdi} = 20}\text{.} \) Betingelsen \( {20 < 20} \) er usann, så løkken stopper. Rundene bruker \( {t = 0, 1, \ldots, \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) og det er: \[ \textcolor{blue}{8} + 1 = 9 \text{ runder} \]

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Så ganger vi og legger sammen koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = B - A \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [-2 - 0,\ 2 - 2,\ 4 - 3] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, 0, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 0,\ -3 - 2,\ 0 - 3] \\ &= \textcolor{red}{[1, -5, -3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Vi ganger hver koordinat med \( 2 \) og legger sammen koordinatene, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &2\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} + \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= 2\textcolor{blue}{[-2, 0, 1]} + \textcolor{red}{[1, -5, -3]} \\ &= [-4, 0, 2] + [1, -5, -3] \\ &= [-3, -5, -1] \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vektorproduktet av to vektorer står vinkelrett på begge. Det regner vi ut.

1. Skriv opp vektorproduktet I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-2, 0, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, -5, -3]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \times [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= [\textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{y_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{z_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{x_2}] \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{y_1} &= \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{z_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{red}{-5} & \textcolor{red}{z_2} &= \textcolor{red}{-3} \end{aligned} \]

2. Regn ut koordinatene Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-3}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-5}) &= 5 \\ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) &= -5 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-5}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} &= 10 \end{aligned} \]

Det gir oss vektoren \( {[5, -5, 10]}\text{.} \) Vi kan dele den på \( 5 \) uten at retningen endrer seg: \[ [5, -5, 10] = 5 \cdot [1, -1, 2] \]

3. Sjekk med skalarproduktet Skalarproduktet er \( 0 \) for vinkelrette vektorer, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?. Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [1, -1, 2]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{n} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= -2 + 0 + 2 = 0 \\ \vec{n} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= 1 + 5 - 6 = 0 \end{aligned} \]

Alle andre vektorer parallelle med denne er også riktige, for eksempel \( {[5, -5, 10]}\text{.} \)

Vi bruker vektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vektoren fra b) står vinkelrett på to vektorer i planet, så den er en normalvektor. Med en normalvektor og et punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Oppgaven i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ? gjør det samme.

Her er \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] \) normalvektoren fra b), og \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{c} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{x_0} &= \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{y_0} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{z_0} &= \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{{}- 1}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{2}(z - \textcolor{red}{3}) &= 0 \\ x - y + 2 + 2z - 6 &= 0 \\ x - y + 2z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sjekk de andre punktene \( B \) og \( C \) skal også passe i likningen: \[ \begin{aligned} B&: \quad -2 - 2 + 2 \cdot 4 - 4 = 0 \\ C&: \quad 1 + 3 + 2 \cdot 0 - 4 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker planet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Linja står normalt på planet, så normalvektoren er retningen til linja. Vi parametriserer linja, setter den inn i planlikningen og løser for \( t\text{.} \)

1. Parametriser linja Fra c) har planet likningen \( {x - y + 2z - 4 = 0} \) og normalvektoren: \[ \textcolor{blue}{[1, -1, 2]} \]

Vi starter i \( \textcolor{red}{D} \) og går \( t \) ganger normalvektoren. Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{1} \cdot t = t \\ y &= \textcolor{red}{0} \textcolor{blue}{{}- 1} \cdot t = -t \\ z &= \textcolor{red}{-1} + \textcolor{blue}{2} \cdot t = -1 + 2t \end{aligned} \]

2. Sett inn i planlikningen Vi setter inn koordinatene til linja: \[ \begin{aligned} t - (-t) + 2(-1 + 2t) - 4 &= 0 \\ t + t - 2 + 4t - 4 &= 0 \\ 6t - 6 &= 0 \\ t &= 1 \end{aligned} \]

3. Finn punktet Vi setter \( {t = 1} \) inn i linja: \[ \begin{aligned} x &= 1 \\ y &= -1 \\ z &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Punktet passer i planet: \[ 1 - (-1) + 2 \cdot 1 - 4 = 0 \]

Vi ser at hver dag er \( 0{,}01 \) km kortere enn dagen før. Det er en aritmetisk rekke, så vi bruker sumformelen.

1. Finn det n-te leddet I en aritmetisk rekke legger vi til det samme tallet \( \textcolor{red}{d} \) hver gang. Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a_n} = a_1 + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}01} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 - 0{,}01(n - 1)} \]

2. Bruk sumformelen Sumformelen forteller oss at: \[ s_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{a_n}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} s_n &= \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 - 0{,}01(n - 1)}) \cdot n}{2} \\ &= \dfrac{2a_1 n - 0{,}01(n - 1)n}{2} \\ &= a_1 n - 0{,}005(n^2 - n) \end{aligned} \]

3. Skriv om til formen i oppgaven Siden \( {0{,}005 = \dfrac{1}{200}}\text{,} \) får vi: \[ s_n = a_1 n - \dfrac{n^2 - n}{200} \]

Formelen for \( s_n \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Etter \( 365 \) dager skal summen være \( 1748 \) km. Vi setter dette inn i formelen fra a) og løser for \( a_1\text{.} \)

1. Sett inn i formelen Formelen fra a) er: \[ s_n = a_1 n - \dfrac{n^2 - n}{200} \]Sumformelen bak den står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{365}, \quad \textcolor{red}{s_n} = \textcolor{red}{1748} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{1748} = a_1 \cdot \textcolor{blue}{365} - \dfrac{\textcolor{blue}{365}^2 - \textcolor{blue}{365}}{200} \]

2. Løs for den første dagen Brøken regner vi ut først: \[ \dfrac{365^2 - 365}{200} = \dfrac{132\,860}{200} = 664{,}3 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 1748 &= 365a_1 - 664{,}3 \\ 365a_1 &= 2412{,}3 \\ a_1 &\approx 6{,}61 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.

Vi ganger ut parentesene hver for seg, og trekker så sammen ledd av samme type.

1. Gang ut parentesene Vi ganger de to første parentesene med hverandre, ledd for ledd, som i videoen Oppgave 1A - Løs likningen: \[ \begin{aligned} &(5x - 2)\left(\dfrac{1}{2}x + 2\right) \\ &= 5x \cdot \dfrac{1}{2}x + 5x \cdot 2 - 2 \cdot \dfrac{1}{2}x - 2 \cdot 2 \\ &= \dfrac{5}{2}x^2 + 10x - x - 4 \end{aligned} \]

I den siste parentesen ganger vi inn \( {-2}\text{:} \) \[ -2(x^2 + 4x) = -2x^2 - 8x \]

2. Trekk sammen Trekker vi sammen, samler vi \( {\textcolor{blue}{x^2\text{-leddene}}} \) og \( {\textcolor{red}{x\text{-leddene}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\dfrac{5}{2}x^2} \textcolor{red}{+ 10x - x} - 4 \textcolor{blue}{- 2x^2} \textcolor{red}{- 8x} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x^2} \textcolor{red}{+ x} - 4 \end{aligned} \]

Teller og nevner har samme grunntall, så vi bruker potensregelen for brøk. Så gjenstår det å gange ut kvadratet.

1. Trekk sammen potensene Potensregelen for brøk forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{g}^{\textcolor{red}{m}}}{\textcolor{blue}{g}^{\textcolor{green}{n}}} = \textcolor{blue}{g}^{\textcolor{red}{m} - \textcolor{green}{n}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Her er: \[ \textcolor{blue}{g} = \textcolor{blue}{x + 3}, \quad \textcolor{red}{m} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \]

Faktoren \( 2 \) i nevneren blir stående som \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{(\textcolor{blue}{x + 3})^{\textcolor{red}{5/2}}}{2(\textcolor{blue}{x + 3})^{\textcolor{green}{1/2}}} &= \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x + 3})^{\textcolor{red}{5/2} - \textcolor{green}{1/2}} \\ &= \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x + 3})^2 \end{aligned} \]

2. Gang ut kvadratet Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 = \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{3})^2 &= \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2) \\ &= \dfrac{1}{2}(x^2 + 6x + 9) \\ &= \dfrac{1}{2}x^2 + 3x + \dfrac{9}{2} \end{aligned} \]

Sammenligner vi med \( {ax^2 + bx + c}\text{,} \) kan vi lese av: \[ a = \dfrac{1}{2}, \quad b = 3, \quad c = \dfrac{9}{2} \]

Vi ser at vi har brøker med \( x \) i nevneren. Vi ganger derfor med fellesnevneren, slik at brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq -1} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)}}\text{.} \) Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x + 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &- \dfrac{1}{x - 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Forkorter vi, får vi: \[ \begin{aligned} &x(x - 1) - (x + 1) \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Til høyre bruker vi konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene: \[ (p + q)(p - q) = p^2 - q^2 \]

Da får vi, når vi ganger ut: \[ \begin{aligned} x^2 - x - x - 1 &= 2(x^2 - 1) \\ x^2 - 2x - 1 &= 2x^2 - 2 \end{aligned} \]

Flytter vi alt over på høyre side, får vi: \[ 0 = x^2 + 2x - 1 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2} \end{aligned} \]

Ingen av løsningene er \( {-1} \) eller \( 1\text{,} \) så begge gjelder.

Begge leddene har faktoren \( \cos x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og da må en av de to faktorene være \( 0\text{.} \)

1. Faktoriser Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{\cos x}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\cos x}(\sin x - \cos x) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{\cos x} = 0 \quad \text{eller} \quad \sin x - \cos x = 0 \]

2. Løs den første likningen Cosinus er \( 0 \) i toppen og bunnen av enhetssirkelen: \[ \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{3\pi}{2} \]

3. Løs den andre likningen Her kan ikke \( \cos x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= 1 \\ \tan x &= 1 \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen, så: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4} \]