Forkurseksamen etter tema

Vi deriverer \( f \) to ganger med potensregelen, og setter inn \( {x = -2} \) i hvert uttrykk.

1. Finn funksjonsverdien Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{-2}) &= (\textcolor{blue}{-2})^3 - 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -8 + 4 \\ &= -4 \end{aligned} \]

2. Deriver én gang Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^3 \) derivert blir \( \underline{3x^2}\text{.} \)

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{blue}{-2}) &= 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2})^2 - 2 \\ &= 12 - 2 \\ &= 10 \end{aligned} \]

3. Deriver en gang til \( 3x^2 \) derivert blir \( \underline{6x}\text{,} \) og \( {-2} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant: \[ f''(x) = 6x \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ f''(\textcolor{blue}{-2}) = 6 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) = -12 \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Faktoren \( \cos 2x \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Faktoren \( \cos 2x \) har kjernen \( \textcolor{green}{2x}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{w})' = -\sin \textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]

Her er \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ (\cos \textcolor{green}{2x})' = -\sin \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = -2\sin 2x \]

Delene i produktregelen er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-2\sin 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\cos 2x} + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-2\sin 2x}) \\ &= e^x(\cos 2x - 2\sin 2x) \end{aligned} \]

Vi skriver om begge leddene før vi deriverer: brøken som en potens, og logaritmen med logaritmereglene. Så deriverer vi ledd for ledd.

1. Skriv om logaritmen Inni logaritmen skriver vi roten som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} \]

Logaritmeregelen for potenser, som i videoen Regneregler med Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(a^n) = n \cdot \ln a \]

Det gir oss: \[ \ln(x^{5/2}) = \dfrac{5}{2}\ln x \]

Funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{,} \) og vi kan skrive den som: \[ h(x) = \textcolor{blue}{2x^{-1}} - \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{2x^{-1}}} \) derivert blir, med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \textcolor{blue}{-2x^{-2} = -\dfrac{2}{x^2}} \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \) derivert blir, siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{blue}{-\dfrac{2}{x^2}} \textcolor{red}{- \dfrac{5}{2x}} \\ &= -\dfrac{4}{2x^2} - \dfrac{5x}{2x^2} \\ &= -\dfrac{5x + 4}{2x^2} \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd og husker konstanten \( C\text{,} \) siden integralet er ubestemt.

1. Integrer ledd for ledd For potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{n}}\, dx = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{n} + 1}x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{blue}{2}x\, dx = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1} + 1}x^{\textcolor{red}{1} + 1} = \underline{x^2} \]

Det siste leddet gir \( \ln\text{,} \) siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{.} \) Det viser den samme videoen: \[ \int \dfrac{1}{x}\, dx = \underline{\ln|x|} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \left(2x - \dfrac{1}{x}\right) dx = x^2 - \ln|x| + C \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Da får vi to enkle brøker som hver gir en \( \ln\text{.} \)

1. Faktoriser nevneren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4{\cdot}\textcolor{blue}{1}{\cdot}(\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x_1 &= 3, \quad x_2 = -1 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]Ingen av nullpunktene ligger i \( [0, 1]\text{,} \) så integralet kan regnes ut.

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x + 5}{(x - 3)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 3} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Ganger vi med fellesnevneren, får vi: \[ \begin{aligned} x + 5 &= \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 3) \\ x + 5 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + \textcolor{blue}{A} - 3\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

Koeffisientene foran \( x \) og konstantleddene må være like på begge sider: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 1 \\ \textcolor{blue}{A} - 3\textcolor{red}{B} &= 5 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, får vi: \[ 4\textcolor{red}{B} = -4 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{B} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{2} \]

3. Integrer Integrasjonsregelen for en slik brøk, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{p}{x + n}\, dx = p\ln|x + n| + C \]

Med \( {\textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{B} = \textcolor{red}{-1}} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x - 3} \textcolor{red}{-} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{x + 1}\right) dx \\ &= \Big[\textcolor{blue}{2}\ln|x - 3| \textcolor{red}{-} \ln|x + 1|\Big]_0^1 \\ &= (2\ln 2 - \ln 2) - (2\ln 3 - \ln 1) \\ &= \ln 2 - 2\ln 3 \end{aligned} \]

Med logaritmereglene, som i videoen Regneregler med Logaritmer, kan vi skrive det som én logaritme: \[ \ln 2 - 2\ln 3 = \ln 2 - \ln 9 = \ln\dfrac{2}{9} \]

Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( AC \) er hypotenusen og \( AB \) er hosliggende katet til vinkelen i \( A\text{.} \) Vi bruker derfor cosinus.

1. Bruk cosinus I en rettvinklet trekant forteller definisjonen av cosinus oss at: \[ \cos \theta = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \begin{aligned} \theta &= 30^\circ \\ \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen i firkanten gir \( \angle CDA\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) bruker vi sinussetningen.

1. Finn vinkelen i D Diagonalen deler firkanten i to trekanter, så vinkelsummen er \( {2 \cdot 180^\circ = 360^\circ}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CDA &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD I trekant \( ABC \) er den siste vinkelen: \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Da blir vinklene ved diagonalen i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CAD &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \angle ACD &= 140^\circ - 60^\circ = 80^\circ \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side \( s \) delt på sinus til vinkelen \( v \) den står mot, er det samme for alle sidene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{s_1}}{\sin \textcolor{red}{v_1}} = \dfrac{\textcolor{blue}{s_2}}{\sin \textcolor{blue}{v_2}} \]Hvis du er usikker på sinussetningen, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot vinkelen i \( C\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen i \( D\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_1} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{v_1} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{v_2} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{AD}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} = 4 \\ \textcolor{red}{AD} &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle CAD = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger dem sammen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]der \( \textcolor{green}{\theta} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

2. Finn arealet av trekant ABC Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{30^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ T_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \]

3. Finn arealet av trekant ACD Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{40^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

4. Legg sammen Slår vi dette sammen, og runder av først til slutt, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 2{,}598 + 4{,}386 \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{(x + 1)^2}{4} \cdot \dfrac{2}{x + 1} = \textcolor{red}{\dfrac{x + 1}{2}} \]

2. Bruk konvergenskriteriet En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{x + 1}{2}} &< 1 \\ -2 < x + 1 &< 2 \\ -3 < x &< 1 \end{aligned} \]

Kvotienten kan ikke regnes ut for \( {x = -1}\text{,} \) der alle leddene er \( 0\text{.} \) Rekka har da summen \( 0\text{,} \) så den konvergerer også der, og \( {-1} \) ligger i intervallet.

Vi bruker fra a) at \( {k = \dfrac{x + 1}{2}} \) og at rekka konvergerer for \( {-3 < x < 1}\text{.} \)

\( {x = -2} \) ligger i intervallet fra a), så rekka har en sum. Vi finner første ledd og kvotienten, og setter dem inn i sumformelen.

1. Finn første ledd og kvotient Vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{-2 + 1}{2} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{-2 + 1}{2} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {|k| < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du vil se hvordan den brukes, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}}{1 - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right)} = \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi tenker som datamaskinen og går gjennom løkka runde for runde. Legg merke til at programmet skriver ut etter at tallet er endret.

1. Gå gjennom løkka Linje 1 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 0}\text{.} \) Linje 2 sjekker om \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 20}\text{.} \) Linje 3 regner ut det nye \( \textcolor{red}{\texttt{tall}}\text{,} \) og linje 4 skriver det ut. Slik går vi gjennom en løkke i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Hver runde ser slik ut: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{0} \le 20 &: \quad 2 \cdot \textcolor{blue}{0} + 3 = \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \le 20 &: \quad 2 \cdot \textcolor{blue}{3} + 3 = \textcolor{red}{9} \\ \textcolor{blue}{9} \le 20 &: \quad 2 \cdot \textcolor{blue}{9} + 3 = \textcolor{red}{21} \end{aligned} \]

2. Se når løkka stopper Nå er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 21}\text{,} \) og betingelsen holder ikke lenger: \[ 21 \le 20 \quad \text{er usant} \]Programmet stopper. \( 21 \) er likevel skrevet ut, for sjekken kommer først i neste runde.

Partallene kommer ved å legge til \( 2 \) hver runde. Vi endrer derfor linje 3, og linje 2 slik at løkka stopper etter \( 18\text{.} \)

1. Endre utregningen Vi vil at tallet skal gå slik: \[ 0 \to 2 \to 4 \to 6 \to \cdots \to \textcolor{blue}{18} \]Hver runde legger vi altså til \( \textcolor{red}{2}\text{,} \) så linje 3 blir \( {\texttt{tall = tall + 2}}\text{.} \)

2. Endre betingelsen Programmet skriver ut etter at tallet er endret, som vi også ser når vi går gjennom koden i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Det siste tallet skal være \( \textcolor{blue}{18}\text{.} \) Den siste runden må derfor starte med \( 16\text{,} \) og det må ikke komme en ny runde når tallet er \( 18\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16 < 18 &: \quad 16 \textcolor{red}{+ 2} = \textcolor{blue}{18} \\ \textcolor{blue}{18} < 18 &: \quad \text{usant, løkka stopper} \end{aligned} \]

Linje 2 blir derfor \( {\texttt{while tall < 18:}}\text{,} \) og programmet blir:

Andre programmer er også riktige, for eksempel med \( {\texttt{while tall <= 16:}} \) i linje 2.

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Lengden finner vi med Pytagoras, og \( \overrightarrow{AB} \) er like lang som \( \overrightarrow{BA}\text{.} \)

1. Finn vektoren Vektoren fra \( B \) til \( A \) er: \[ \overrightarrow{BA} = [\textcolor{blue}{x_A - x_B},\ \textcolor{red}{y_A - y_B},\ \textcolor{green}{z_A - z_B}] \]Slik setter vi opp en vektor i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [\textcolor{blue}{1 - (-1)},\ \textcolor{red}{1 - 4},\ \textcolor{green}{-3 - 2}] \\ &= [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-5}] \end{aligned} \]

2. Finn lengden \( \overrightarrow{AB} \) er den motsatte vektoren: \[ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{3},\ \textcolor{green}{5}] \]

Lengden til en vektor finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[\textcolor{blue}{x},\ \textcolor{red}{y},\ \textcolor{green}{z}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2 + \textcolor{red}{3}^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{BA} = [2,\ -3,\ -5]} \) og \( {|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{38}} \) fra a).

\( \angle B \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{.} \) Vi finner den med formelen for vinkelen mellom to vektorer.

1. Finn den andre vektoren Vektoren fra \( B \) til \( C \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [3 - (-1),\ 0 - 4,\ 2 - 2] \\ &= [4,\ -4,\ 0] \end{aligned} \]

Lengden er: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Bruk vinkelformelen Vinkelen mellom to vektorer gir oss: \[ \cos \angle B = \dfrac{\textcolor{red}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{\textcolor{blue}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} \]

Skalarproduktet regner vi ut koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{aligned} \]

Her gir det: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}} \\ &= 2 \cdot 4 + (-3) \cdot (-4) + (-5) \cdot 0 \\ &= \textcolor{red}{20} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle B &= \dfrac{\textcolor{red}{20}}{\textcolor{blue}{\sqrt{38} \cdot 4\sqrt{2}}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{76}} = \dfrac{5}{2\sqrt{19}} \end{aligned} \]

Med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren får vi: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{2\sqrt{19}}\right) \approx 55{,}0^\circ \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{BA} = [2,\ -3,\ -5]} \) fra a) og \( {\overrightarrow{BC} = [4,\ -4,\ 0]} \) fra b).

En normalvektor står vinkelrett på to vektorer i planet som ikke er parallelle, og da er begge skalarproduktene \( 0\text{.} \) Med normalvektoren og ett punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Vis at vektoren står normalt Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [5, 5, -1]}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{BA} \\ &= 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-5) \\ &= 10 - 15 + 5 = 0 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} \\ &= 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) + (-1) \cdot 0 \\ &= 20 - 20 + 0 = 0 \end{aligned} \]

\( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC} \) ligger i planet og er ikke parallelle, siden: \[ [4,\ -4,\ 0] \neq t \cdot [2,\ -3,\ -5] \]\( {z\text{-koordinaten}} \) gir \( {t = 0}\text{,} \) men da blir \( {x\text{-koordinaten}} \) \( {0 \neq 4}\text{.} \) Dermed er \( \vec{n} \) en normalvektor til planet \( \alpha\text{.} \)

2. Finn likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{red}{b},\ \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \\ (x_0, y_0, z_0) &= A = (1, 1, -3) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}(x - 1) + \textcolor{red}{5}(y - 1) \textcolor{green}{- 1}(z + 3) &= 0 \\ 5x - 5 + 5y - 5 - z - 3 &= 0 \\ 5x + 5y - z - 13 &= 0 \end{aligned} \]

Et punkt på \( {x\text{-aksen}} \) har \( {y = 0} \) og \( {z = 0}\text{.} \) Vi setter avstanden fra \( B \) lik \( 6\text{,} \) finner de to punktene, og bruker vektorene fra \( B \) som retningsvektorer.

1. Finn skjæringspunktene Vi kaller punktet på \( {x\text{-aksen}} \) \( P(p, 0, 0)\text{.} \) Vektoren fra \( {B(-1, 4, 2)} \) er: \[ \overrightarrow{BP} = [p + 1,\ -4,\ -2] \]

Lengden skal være \( 6\text{,} \) som vi regner ut som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \sqrt{(p + 1)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} &= 6 \\ (p + 1)^2 + 16 + 4 &= 36 \\ (p + 1)^2 &= 16 \\ p + 1 &= \pm 4 \end{aligned} \]

Det gir to punkter: \[ \begin{aligned} p &= 3: & \textcolor{blue}{P_1} &= \textcolor{blue}{(3, 0, 0)} \\ p &= -5: & \textcolor{red}{P_2} &= \textcolor{red}{(-5, 0, 0)} \end{aligned} \]

2. Finn retningsvektorene Vi setter \( p \) inn i \( \overrightarrow{BP} \) og forkorter med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BP_1}} &= [4,\ -4,\ -2] \\ &= 2 \cdot \textcolor{blue}{[2,\ -2,\ -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BP_2}} &= [-4,\ -4,\ -2] \\ &= -2 \cdot \textcolor{red}{[2,\ 2,\ 1]} \end{aligned} \]

3. Skriv parameterframstillingene En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [a, b, c] \) har parameterframstillingen: \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \]

Plugger vi inn \( {B(-1, 4, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{[2,\ -2,\ -1]}}\text{,} \) får vi \( l\text{:} \) \[ l: \ \begin{cases} x = -1 \textcolor{blue}{+ 2t} \\ y = 4 \textcolor{blue}{- 2t} \\ z = 2 \textcolor{blue}{- t} \end{cases} \]

Plugger vi inn \( {B(-1, 4, 2)} \) og \( \textcolor{red}{[2,\ 2,\ 1]}\text{,} \) får vi \( m\text{:} \) \[ m: \ \begin{cases} x = -1 \textcolor{red}{+ 2t} \\ y = 4 \textcolor{red}{+ 2t} \\ z = 2 \textcolor{red}{+ t} \end{cases} \]

Hvilken av linjene som heter \( l \) og \( m \) kan byttes om, og andre parameterframstillinger av de samme linjene er også riktige.

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det.

1. Sett telleren lik null Slik finner vi nullpunktet til en brøk i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2x^2 - 4} &= 0 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Sjekk nevneren Vi setter inn \( {x = \pm\sqrt{2}} \) i nevneren: \[ \textcolor{blue}{(\pm\sqrt{2})^2 - 4} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \]Begge verdiene er derfor nullpunkter.

En vertikal asymptote er der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det. Den horisontale finner vi ved å la \( x \) gå mot pluss og minus uendelig.

1. Finn de vertikale asymptotene Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

Vi setter inn i telleren: \[ 2 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4 \neq 0 \]Da har vi vertikale asymptoter i \( {x = -2} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

2. Finn den horisontale asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Både teller og nevner vokser da uten grense. Det er typen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi deler begge på \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x^2 - 4}{x^2 - 4} &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}}{1 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}} \\ &= \dfrac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \end{aligned} \]Da har vi en horisontal asymptote i \( {y = 2}\text{.} \)

\( g \) er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {g'(x) = 0} \) og bruker et fortegnsskjema for å se om punktet er et topp- eller bunnpunkt.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 - 4} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4x}(\textcolor{blue}{x^2 - 4}) - (\textcolor{red}{2x^2 - 4})\textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 - 4})^2} \\ &= \dfrac{4x^3 - 16x - 4x^3 + 8x}{(x^2 - 4)^2} \\ &= \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {g'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Brøken er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{-8x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]Nevneren er \( {(0 - 4)^2 = 16 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = 0} \) gjelder.

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til \( {\textcolor{magenta}{-8x}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}}\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 0, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-8x}", "expr": "-8x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}", "expr": "(x^2 - 4)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "-8x/(x^2 - 4)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes.

I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \pm 2} \) finnes ikke \( g\text{,} \) så der er det ingen topp- eller bunnpunkter.

Vi setter inn \( {x = 0} \) i \( g(x) \) for å finne \( {y\text{-verdien:}} \) \[ g(0) = \dfrac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 - 4} = \dfrac{-4}{-4} = 1 \]

I c) fant vi \( {g'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2}}\text{.} \)

Vi deriverer \( g'(x) \) med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. Et vendepunkt krever at \( g''(x) \) skifter fortegn der \( g \) finnes.

1. Deriver nevneren Nevneren har kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{x^2 - 4}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{w}^2)' = 2\textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x^2 - 4})^2\right)' &= 2(\textcolor{green}{x^2 - 4}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= 4x(x^2 - 4) \end{aligned} \]

2. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-8x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i telleren \( {\textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}}\text{,} \) og setter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}} \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-8}\textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} - (\textcolor{red}{-8x})\textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \\ &= -8(x^2 - 4)^2 + 32x^2(x^2 - 4) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}\left(-8(x^2 - 4) + 32x^2\right) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32) \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{blue}{v}^2 = (x^2 - 4)^4}\text{.} \) Vi forkorter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g''(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32)}{(x^2 - 4)^4} \\ &= \dfrac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3} \end{aligned} \]

3. Se etter vendepunkt Et vendepunkt krever at \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 24x^2 + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\dfrac{4}{3} \]Et kvadrat kan ikke være negativt, så likningen har ingen løsning. Telleren \( {24x^2 + 32} \) er alltid positiv, så fortegnet kommer fra nevneren \( {(x^2 - 4)^3}\text{,} \) som skifter fortegn bare i \( {x = \pm 2}\text{.} \) Der finnes ikke \( g\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a), asymptotene fra b), toppunktet og fortegnsskjemaet fra c), og at det ikke er noen vendepunkter fra d).

Vi tegner asymptotene først og merker punktene. Så finner vi om grafen ligger over eller under \( {y = 2}\text{,} \) og tegner en del av grafen for hvert intervall.

1. Samle det vi har funnet Dette skal inn i koordinatsystemet: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \ & x = \pm 2, \ y = 2 \\ \text{Nullpunkter:} \ & (-\sqrt{2}, 0), \ (\sqrt{2}, 0) \\ \text{Toppunkt:} \ & (0, 1) \end{aligned} \]

2. Finn hvor grafen ligger Vi trekker fra den horisontale asymptoten: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} - 2 &= \dfrac{2x^2 - 4 - 2(x^2 - 4)}{x^2 - 4} \\ &= \dfrac{4}{x^2 - 4} \end{aligned} \]

Brøken er positiv når \( {|x| > 2} \) og negativ når \( {|x| < 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |x| > 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} > 2 \\ |x| < 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} < 2 \end{aligned} \]

Fortegnet til \( g'(x) \) fra c), som vi leser av som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering, sier hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} x < -2: \quad & \text{stiger mot } +\infty \\ -2 < x < 0: \quad & \text{stiger til } (0, 1) \\ 0 < x < 2: \quad & \text{synker mot } -\infty \\ x > 2: \quad & \text{synker mot } y = 2 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi trekker asymptotene stiplet, merker punktene og tegner de tre delene gjennom dem:

Brøkene har ulike nevnere. Vi finner derfor en felles nevner og trekker sammen til én brøk.

1. Finn felles nevner 0:15 Vi ganger hver brøk over og under med nevneren til den andre brøken: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{5}{x + 2} \\ &= \dfrac{4\textcolor{blue}{(x + 2)}}{(x - 1)\textcolor{blue}{(x + 2)}} \\ &\quad - \dfrac{5\textcolor{red}{(x - 1)}}{(x + 2)\textcolor{red}{(x - 1)}} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesene 1:11 Vi ganger ut tellerne og den felles nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{(x + 2)} &= 4x + 8 \\ 5\textcolor{red}{(x - 1)} &= 5x - 5 \\ (x - 1)(x + 2) &= x^2 + x - 2 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen til én brøk 2:00 Nå har brøkene samme nevner, så vi samler dem på én brøkstrek. Minus foran den andre brøken bytter fortegn på begge leddene i telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4x + 8 - (5x - 5)}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{4x + 8 - 5x + 5}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{13 - x}{x^2 + x - 2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( P(x) \) er et tredjegradspolynom. Vi viser faktoren med nullpunktsetningen, og faktoriserer med polynomdivisjon og abc-formelen.

1. Bruk nullpunktsetningen 0:11 Nullpunktsetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P(x) \) når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 \\ &= 1 + 3 - 1 - 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {(x - 1)} \) er en faktor i \( P(x)\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon 1:49 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 4x^2 & {}- x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + x^2 = 4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-x} \) og \( {-3}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{4x} \\ \textcolor{magenta}{4x} \cdot (x - 1) &= 4x^2 - 4x \\ -(4x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-4x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 3x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {-x + 4x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3}\text{.} \) Linja \( {3x - 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 1) &= 3x - 3 \\ -(3x - 3) &= \textcolor{blue}{-3x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 3 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 3} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-3 + 3 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen på resten 4:13 Vi faktoriserer \( {x^2 + 4x + 3} \) videre. abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

4. Skriv opp faktorene 6:25 Et andregradsuttrykk kan skrives slik, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1} \) og løsningene, får vi: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Slår vi dette sammen med faktoren \( {(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Finn delene i regelen 0:14 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen 1:28 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{6x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{3x^2 - 4}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{6x^2 - 3x^2 + 4}{x^2} \\ &= \dfrac{3x^2 + 4}{x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en sum, så vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet har en kjerne, så der bruker vi kjerneregelen.

1. Del opp i to ledd 0:05 Vi kaller leddene \( \textcolor{blue}{a(x)} \) og \( \textcolor{red}{b(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a(x)} &= \textcolor{blue}{2\sin(\pi x)} \\ \textcolor{red}{b(x)} &= \textcolor{red}{2x^3} \end{aligned} \]

Da er: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{a'(x)} + \textcolor{red}{b'(x)} \]

2. Bruk kjerneregelen på første ledd 0:43 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{u(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'(x)} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Kjernen er \( \pi x\text{,} \) og sinus derivert er cosinus, så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x} & \textcolor{green}{u'(x)} &= \textcolor{green}{\pi} \\ f(u) &= 2\sin u & f'(u) &= 2\cos u \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a'(x)} &= 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det andre leddet 2:55 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {n = 3}\text{,} \) og konstanten \( 2 \) blir stående: \[ \textcolor{red}{b'(x)} = 2 \cdot 3x^2 = \underline{\textcolor{red}{6x^2}} \]

4. Slå sammen leddene 3:16 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)} + \textcolor{red}{6x^2} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) hvor den stiger, og hvor stigningen øker.

1. Les av fortegnet til funksjonen 0:15 Grafen ligger over \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 1}\text{,} \) krysser den i \( {x = 1} \) og ligger under til høyre: \[ \textcolor{darkorange}{h(1)} = 0 \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{h(x)}", "expr": "1 - x"}]}

2. Les av fortegnet til den deriverte 1:08 Den deriverte er \( 0 \) der grafen har et toppunkt, og det ser vi i \( {x = 0{,}5}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{h'(0{,}5)} = 0 \]

Til venstre for toppunktet stiger grafen, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er positiv. Til høyre synker den, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er negativ: :::fortegnsskjema {"points": [0.5], "labels": ["0{,}5"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{h'(x)}", "expr": "0.5 - x"}]}

3. Les av fortegnet til den dobbeltderiverte 2:25 Den dobbeltderiverte følger veksten til \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{.} \) Grafen blir brattere og brattere fram mot \( {x = 0}\text{,} \) er brattest der, og blir så slakere. Da har \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) et toppunkt i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{h''(0)} = 0 \]

Til venstre for \( {x = 0} \) vokser \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{,} \) og til høyre avtar den: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{green}{h''(x)}", "expr": "-x"}]}

En strek viser hvor funksjonen på linja er \( 0\text{.} \) Punktene er lest av figuren.

Vi løser først for \( \sin x\text{.} \) Siden to vinkler gir samme sinusverdi og sinus gjentar seg, finner vi så begge vinklene og alle rundene som ligger i intervallet.

1. Løs for sinus 0:26 Intervallet går til \( 4\pi\text{,} \) så vi svarer i radianer. Vi flytter over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn den første vinkelen 0:47 Vi vet at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og siden \( {\sin(-v) = -\sin v} \) gir sinus invers: \[ x = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6} \]Sinus invers forklares i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) der \( k \) er et helt tall: \[ \textcolor{blue}{x_1} = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k} \]

3. Finn den andre vinkelen 2:57 På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = -\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_2} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi k \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k} \end{aligned} \]

4. Test verdier av k 4:52 Vi tester \( k \) og beholder det som ligger i \( [0,\ 4\pi\rangle\text{.} \) Her er \( {4\pi = \dfrac{24\pi}{6}}\text{.} \)

For \( \textcolor{blue}{x_1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; -\dfrac{\pi}{6} \; \text{utenfor} \\ k = 1&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{11\pi}{6}} \\ k = 2&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \underline{\dfrac{23\pi}{6}} \\ k = 3&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{35\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

For \( \textcolor{red}{x_2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; \underline{\dfrac{7\pi}{6}} \\ k = 1&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{19\pi}{6}} \\ k = 2&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{31\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi slår sammen de to logaritmene til én, fjerner \( \ln \) med \( e\text{,} \) og løser for \( x\text{.} \) Til slutt må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater.

Merk – Videoen stopper før sjekken: Videoen ender på \( {x = \dfrac{e}{1 - e}}\text{.} \) Det tallet er negativt, så det er ikke en løsning, som siste steg her viser.

1. Slå sammen logaritmene 0:16 Logaritmeregelen for minus forteller oss at: \[ \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} = \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) \]Regelen vises i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{x + 1}}\right) = 1 \]

2. Fjern logaritmen 1:17 Vi opphøyer begge sider med \( e\text{,} \) siden: \[ e^{\ln u} = u \]

Det gir oss: \[ \dfrac{x}{x + 1} = e \]

3. Løs for x 1:53 Vi ganger med \( {x + 1} \) og samler \( x \) på venstre side: \[ \begin{aligned} x &= e(x + 1) \\ x &= ex + e \\ x - ex &= e \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x(1 - e) &= e \\ x &= \dfrac{e}{1 - e} \end{aligned} \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet Før vi svarer, må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater. \( \ln \) finnes bare av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. I likningen må derfor: \[ x > 0 \quad \text{og} \quad x + 1 > 0 \]

Siden \( {e > 1}\text{,} \) er nevneren negativ og telleren positiv: \[ \dfrac{e}{1 - e} < 0 \]

Tallet er negativt, så \( \ln x \) finnes ikke der. Likningen har derfor ingen løsning.

Vi ser at \( x \) står i nevneren. Vi samler derfor alt på én side, slår sammen til én brøk og bruker fortegnsskjema.

1. Finn bruddpunktet 0:00 Nevneren kan ikke være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 2 &\ne 0 \\ x &\ne -2 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 0:30 Vi flytter \( 1 \) over og skriver det med samme nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{2x - 4}{x + 2} - 1 &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4 - (x + 2)}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 6}}{\textcolor{magenta}{x + 2}} &\ge 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp fortegnsskjema 2:25 Fortegnet til brøken finner vi ved å sette sammen fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 6}{x + 2}", "expr": "(x - 6)/(x + 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 4:17 Brøken er positiv for \( {x < -2} \) og for \( {x > 6}\text{.} \) I \( {x = 6} \) er den \( 0\text{,} \) som er med. I \( {x = -2} \) finnes den ikke, så det punktet er ikke med: \[ x < -2 \quad \text{eller} \quad x \ge 6 \]