Forkurseksamen etter tema

Vi ser at telleren er den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u og deriver Substitusjon forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'}\,dx = \int f(\textcolor{green}{u})\,d\textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + x} \\ d\textcolor{green}{u} &= (2x + 1)\,dx \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x}\,dx = \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \]

Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln \) av absoluttverdien, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} = \ln|\textcolor{green}{u}| + C \]

Bytter vi tilbake til \( x\text{,} \) får vi: \[ \ln|\textcolor{green}{x^2 + x}| + C \]

Vi integrerer et produkt av et polynom og \( e^x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og lar polynomet være det vi deriverer.

1. Finn delene i regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( e^x \) integrert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\Big[(\textcolor{red}{2x + 1})\textcolor{blue}{e^x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{e^x}\,dx \\ &= \Big[(2x + 1)e^x\Big]_0^1 - \Big[2e^x\Big]_0^1 \\ &= (3e^1 - 1 \cdot e^0) - (2e^1 - 2e^0) \\ &= (3e - 1) - (2e - 2) \\ &= e + 1 \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra koordinat for koordinat.

1. Finn de to vektorene Vektoren fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-1 - 2},\ \textcolor{red}{1 - 0},\ \textcolor{green}{3 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}]} \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{1 - 2},\ \textcolor{red}{4 - 0},\ \textcolor{green}{4 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}]} \end{aligned} \]

2. Regn ut differansen Vi ganger hver koordinat med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?, og trekker fra koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}] - 2[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}] \\ &= [\textcolor{blue}{-3 + 2},\ \textcolor{red}{1 - 8},\ \textcolor{green}{4 - 10}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-7},\ \textcolor{green}{-6}]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med normalvektoren og punktet \( A \) kan vi sette opp likningen til planet.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-3,\ 1,\ 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1,\ 4,\ 5] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}]} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}]} \) står normalt på begge, og er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [&\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4}, \\ &\textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{5}, \\ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1})] \\ = [&-11,\ 11,\ -11] \end{aligned} \]

Vi kan dele på \( {-11}\text{,} \) siden alle vektorer som er parallelle med denne også står normalt på planet. Da er normalvektoren: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{1}] \]

2. Sett opp likningen til planet Likningen til et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn \( \vec{n} \) og punktet \( {A(2, 0, -1)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - 2) \textcolor{red}{- 1}(y - 0) + \textcolor{green}{1}(z + 1) &= 0 \\ x - 2 - y + z + 1 &= 0 \\ x - y + z &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Grunnflaten er en trekant utspent av \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og toppunktet gir vektoren \( \overrightarrow{AP}\text{.} \) Da kan vi bruke volumformelen med vektorer.

1. Finn vektoren til toppunktet Vektoren fra \( {A(2, 0, -1)} \) til \( P(2, 6, 2) \) er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}} &= [2 - 2,\ 6 - 0,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]} \end{aligned} \]

2. Bruk volumformelen Grunnflaten er \( \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\text{,} \) og volumet er en tredjedel av grunnflaten ganger høyden. Det gir formelen: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|\textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \cdot \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|0 + 66 - 33\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Likningen til planet fra b) står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Normalvektoren til planet er retningsvektoren til linja. I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {z = 0}\text{,} \) så vi løser for parameteren der.

1. Sett opp linja Koeffisientene i \( {\beta\text{: } x - y + z = 1} \) er normalvektoren, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?: \[ \vec{n} = [1,\ -1,\ 1] \]

En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retning \( [p, q, r] \) kan skrives med en parameter \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= x_0 + pt \\ y &= y_0 + qt \\ z &= z_0 + rt \end{aligned} \]

Her er punktet \( P(2, 6, 2) \) og retningen \( \vec{n}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + t \\ y &= 6 - t \\ \textcolor{blue}{z} &= \textcolor{blue}{2 + t} \end{aligned} \]

2. Finn skjæringspunktet I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {\textcolor{blue}{z} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 + t} &= 0 \\ t &= -2 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + (-2) = 0 \\ y &= 6 - (-2) = 8 \\ z &= 2 + (-2) = 0 \end{aligned} \]

Vi legger til differansen for å finne leddene. Til summen trenger vi ledd nummer \( 72 \) først.

1. Finn de fem første leddene Vi starter på \( 5 \) og legger til \( 8 \) hver gang: \[ 5, \; 13, \; 21, \; 29, \; 37 \]

2. Finn ledd nummer 72 Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er: \[ \textcolor{red}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{green}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{8}, \quad n = 72 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a_{72}} = \textcolor{blue}{5} + 71 \cdot \textcolor{green}{8} = \textcolor{red}{573} \]

3. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Formelen står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} S_{72} &= \dfrac{72(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{573})}{2} \\ &= 36 \cdot 578 \\ &= 20\,808 \end{aligned} \]

Vi skriver summen som et uttrykk i \( n \) og setter det lik \( 5\,000\text{.} \) Så runder vi opp til neste hele tall.

1. Skriv summen med n Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{5 + (n - 1) \cdot 8 = 8n - 3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_n &= \dfrac{n(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{8n - 3})}{2} \\ &= \dfrac{n(8n + 2)}{2} \\ &= 4n^2 + n \end{aligned} \]

2. Finn hvor summen blir 5000 Vi setter summen lik \( 5\,000 \) og samler alt på én side: \[ 4n^2 + n - 5\,000 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ n = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er brukt til leddene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-5\,000} \]

Plugger vi dette inn og ser på den positive løsningen, får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} n &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} + \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5\,000})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-1 + \sqrt{80\,001}}{8} \\ &\approx 35{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn antall ledd og siste ledd Antall ledd er et helt tall, og summen vokser for hvert ledd, så vi må opp til \( {n = 36}\text{.} \) Vi sjekker de to nærmeste verdiene: \[ \begin{aligned} S_{35} &= 4 \cdot 35^2 + 35 = 4\,935 \\ S_{36} &= 4 \cdot 36^2 + 36 = 5\,220 \end{aligned} \]

Det siste leddet er da: \[ a_{36} = 8 \cdot 36 - 3 = 285 \]

Vi ser hvilke \( x \) vi kan sette inn i de to faktorene. For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Både \( {x - 2} \) og \( e^x \) kan regnes ut for alle tall, så: \[ D_f = \mathbb{R} \]

2. Finn nullpunktene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025. Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 2} &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Finn delene i regelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

\( e^x \) derivert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= e^x(1 + x - 2) \\ &= e^x(x - 1) \end{aligned} \]

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte. Fortegnet viser både hvor grafen stiger og synker, og hva slags punkt vi har.

1. Sett den deriverte lik null I b) viste vi uttrykket for den deriverte. For å finne topp- og bunnpunkter setter vi det lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^x}(\textcolor{magenta}{x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinje for den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "exp(x)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "exp(x)*(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {x = 1} \) gir et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så det er ingen toppunkter.

3. Finn y-koordinaten og monotoni Vi setter \( {x = 1} \) inn i funksjonen: \[ f(1) = (1 - 2)e^1 = -e \]

Grafen synker og stiger altså slik: \[ \begin{aligned} f \text{ synker for } &x \in \langle \leftarrow,\ 1] \\ f \text{ stiger for } &x \in [1,\ \rightarrow\rangle \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktet fra a) og bunnpunktet og fortegnet til den deriverte fra c).

Vi setter inn de punktene vi kjenner, regner ut noen få verdier til, og lar den deriverte fortelle hvor grafen stiger og synker.

1. Finn punktene vi trenger I a) fant vi nullpunktet \( {x = 2} \) og i c) bunnpunktet \( {(1, -e)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= 0 \\ \textcolor{blue}{f(1)} &= -e \approx -2{,}72 \end{aligned} \]

Disse to punktene markerer vi på grafen.

Vi regner ut noen flere verdier, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-3) &= -5e^{-3} \approx -0{,}25 \\ f(-1) &= -3e^{-1} \approx -1{,}10 \\ f(0) &= -2 \\ f\left(2{,}5\right) &= 0{,}5e^{2{,}5} \approx 6{,}09 \end{aligned} \]

Faktoren \( e^x \) er svært liten når \( x \) er et stort negativt tall, og \( {x - 2} \) er negativ der. Da ligger grafen rett under \( {x\text{-aksen}} \) langt til venstre.

2. Tegn grafen Vi tegner en kurve gjennom punktene, som synker fram til \( {x = 1} \) og stiger etter det:

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi finner punktet på grafen og stigningstallet der, og setter dem inn i formelen for tangenten.

1. Finn delene i formelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

I b) viste vi at: \[ f'(x) = e^x(x - 1) \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{green}{f(-1)} &= (-1 - 2)e^{-1} = \textcolor{green}{-\dfrac{3}{e}} \\ \textcolor{red}{f'(-1)} &= e^{-1}(-1 - 1) = \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}}(x - (\textcolor{blue}{-1})) \textcolor{green}{- \dfrac{3}{e}} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{2}{e} - \dfrac{3}{e} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{5}{e} \end{aligned} \]

Vi ser at linje 14 og 15 har \( \texttt{sqrt(d)} \) der abc-formelen har rottegnet. Da må \( \textcolor{blue}{d} \) være det som står under roten.

1. Sammenlign med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b^2 - 4ac}}}{2a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Linje 14 i koden er: \[ \texttt{x\_1 = (-b + sqrt(}\textcolor{blue}{\texttt{d}}\texttt{))/(2*a)} \]

Altså er: \[ \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{b^2 - 4ac} \]

2. Skriv det som kode I Python skriver vi potens med to stjerner og ganger med én stjerne:

Vi bruker fra a) at \( {d = b^2 - 4ac} \) er det som står under roten i abc-formelen.

Fortegnet til \( \textcolor{blue}{d} \) forteller hvor mange løsninger likningen har. Teksten skal si det.

1. Les hva hver gren betyr Tallet under roten avgjør antall løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} < 0&: \quad \text{ingen reelle løsninger} \\ \textcolor{blue}{d} = 0&: \quad \text{én løsning} \\ \textcolor{blue}{d} > 0&: \quad \text{to løsninger} \end{aligned} \]

Linje 9 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} < 0}\text{.} \) Der er roten ikke et reelt tall, og linje 10 skal si at det ikke finnes noen løsning.

Linje 11 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} = 0}\text{.} \) Da blir abc-formelen: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\dfrac{b}{2a} \]

Dette er tallet linje 12 skriver ut etter teksten, så teksten skal føre fram til det.

2. Skriv teksten En passende tekst, som følger linje 16, er:

Andre tekster som sier det samme, er også riktige.

Vi ser at \( {27 = 3^3}\text{,} \) så hele brøken er en potens av \( \dfrac{x}{3}\text{.} \) Da kan vi gange eksponentene sammen. Vi regner med \( {x > 0}\text{,} \) siden eksponenten er en brøk.

1. Skriv brøken som én potens Siden \( {27 = 3^3}\text{,} \) kan vi skrive: \[ \dfrac{x^3}{27} = \dfrac{x^3}{3^3} = \left(\dfrac{x}{3}\right)^3 \]

2. Gang eksponentene Regelen for en potens av en potens forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n}})^{\textcolor{green}{m}} = \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{green}{m}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}, \quad \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{green}{m} = \textcolor{green}{-\dfrac{2}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{\textcolor{blue}{3}}\right)^{\textcolor{green}{-2/3}} &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-2/3})} \\ &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{-2} \end{aligned} \]

3. Bli kvitt den negative eksponenten En negativ eksponent betyr at potensen står i nevneren, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{-2} &= \dfrac{1}{\left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^2} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{9}} \\ &= \dfrac{9}{x^2} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, slik at alt består av \( \ln x \) og \( \ln y\text{,} \) og trekker sammen. Logaritmene finnes bare når \( {x > 0} \) og \( {y > 0}\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln(a \cdot b) &= \ln a + \ln b \\ \ln(a^n) &= n \cdot \ln a \end{aligned} \]Reglene gjennomgås i videoen Regneregler med Logaritmer, og i Naturlige Logaritmer ser du at de gjelder for \( \ln \) også.

2. Skriv om ledd for ledd \( \ln(xy)\text{:} \) \[ \ln(xy) = \underline{\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{\ln y}} \]

\( \ln(x^2 y)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(x^2 y) &= \ln(x^2) + \ln y \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{\ln y}} \end{aligned} \]

\( \ln(xy^2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(xy^2) &= \ln x + \ln(y^2) \\ &= \underline{\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{2\ln y}} \end{aligned} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{\ln y} + \textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{\ln y} \\ &\quad - (\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{2\ln y}) \\ &= \textcolor{blue}{(1 + 2 - 1)\ln x} \\ &\quad + \textcolor{red}{(1 + 1 - 2)\ln y} \\ &= \textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{0 \cdot \ln y} \\ &= \textcolor{blue}{2\ln x} \end{aligned} \]

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

For å finne tangenten trenger vi punktet og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \) Stigningstallet får vi ved å derivere \( f \) med kjerneregelen.

1. Finn punktet Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) får vi: \[ f(1) = \ln(3 - 1) = \ln 2 \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3 - x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3 - x}} \cdot (\textcolor{green}{-1}) = -\dfrac{1}{3 - x} \]

Stigningstallet i punktet er derfor: \[ f'(1) = -\dfrac{1}{3 - 1} = -\dfrac{1}{2} \]

3. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) er: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{darkorange}{f(a)} \]Formelen brukes i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{f'(a)} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{darkorange}{f(a)} = \textcolor{darkorange}{\ln 2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \cdot (x - \textcolor{blue}{1}) + \textcolor{darkorange}{\ln 2} \\ y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser på hva som skjer med \( f(x) \) der funksjonen slutter å eksistere, og når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonen finnes bare når \( {3 - x > 0}\text{,} \) altså for \( {x < 3}\text{.} \)

1. Se på den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Lar vi \( x \) gå mot \( 3 \) fra venstre, går \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) mot \( 0 \) fra positiv side, og da går \( \ln \) mot minus uendelig: \[ \lim_{x \to 3^-} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = -\infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. La x gå mot minus uendelig Funksjonen finnes bare til venstre for \( 3\text{,} \) så vi lar \( x \) gå mot minus uendelig. Da vokser \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) uten grense, og \( \ln \) gjør det samme, bare saktere: \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = \infty \]Funksjonen nærmer seg altså ingen konstant verdi, så den har ingen horisontal asymptote.

For en skrå asymptote måtte \( \dfrac{f(x)}{x} \) ha gått mot et tall ulikt \( 0\text{.} \) Siden \( \ln \) vokser saktere enn \( x\text{,} \) får vi: \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\ln(\textcolor{green}{3 - x})}{x} = 0 \]Så funksjonen har heller ingen skrå asymptote.

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]