Forkurseksamen etter tema

Vi kjenner arealet og vinkelen mellom \( AB \) og \( BC\text{,} \) så arealsetningen gir oss de to sidene. Den siste siden finner vi med cosinussetningen.

1. Finn AB og BC med arealsetningen Vi kaller \( {AB = x}\text{,} \) så er \( {BC = 2x}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} A &= 8 & \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{150^\circ} \end{aligned} \]

Vi trenger også sinus til vinkelen: \[ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x} \cdot \dfrac{1}{2} \\ 8 &= \dfrac{x^2}{2} \\ x^2 &= 16 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så \( {x = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ AB = 4, \quad BC = 2 \cdot 4 = 8 \]

2. Finn AC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden overfor vinkel \( B \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]Du finner den i videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Cosinus til vinkelen er: \[ \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{4}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 + 64 + 32\sqrt{3} \\ &= 80 + 32\sqrt{3} \end{aligned} \]

Tar vi kvadratroten og setter \( 16 \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} AC &= \sqrt{80 + 32\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{16 \cdot (5 + 2\sqrt{3})} \\ &= 4\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \\ &\approx 11{,}6 \end{aligned} \]

Vi bruker sidene \( {AB = 4} \) og \( {BC = 8} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser på trekanten \( BMC\text{,} \) der vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Cosinussetningen gir siden \( MC\text{,} \) og da gir sinussetningen vinkelen.

I a) fant vi \( {AB = 4}\text{,} \) så \( {BM = 2}\text{.} \) Cosinussetningen, som i videoen Cosinussetningen, forteller oss at i trekanten \( BMC \) er: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{BM}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{BM} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{BM} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos(150^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 68 + 16\sqrt{3} \end{aligned} \]

Så lengden er: \[ \textcolor{magenta}{MC} = \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \]

2. Finn vinkelen med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\sin(\textcolor{blue}{M})}{\textcolor{blue}{BC}} = \dfrac{\sin(\textcolor{green}{B})}{\textcolor{magenta}{MC}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{8} \\ \textcolor{green}{B} &= \textcolor{green}{150^\circ} \\ \textcolor{magenta}{MC} &= \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\sin(150^\circ) = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin(\textcolor{blue}{M}) &= \dfrac{\textcolor{blue}{8} \cdot \sin(\textcolor{green}{150^\circ})}{\textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \approx 0{,}409 \end{aligned} \]

3. Velg riktig vinkel Sinus gir to mulige vinkler, men vinkel \( B \) er \( 150^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene i trekanten har til sammen bare \( 30^\circ\text{.} \) Vinkelen må derfor være spiss: \[ \begin{aligned} \angle BMC &= \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}\right) \\ &\approx 24{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi går gjennom linje 4 og 5, som er selve løkka. Linje 4 sier hvor mange ganger den kjører, og linje 5 hva som skjer hver gang.

1. Se hvor mange ganger den kjører Et program gjør én ting om gangen, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 lar \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) gå gjennom tallene i \( \texttt{range(1,31)}\text{.} \) Der er 1 med, mens 31 ikke er med, så: \[ \textcolor{blue}{n} = 1, 2, 3, \dots, 30 \]Det er \( 30 \) verdier, så løkka kjører \( 30 \) ganger.

2. Se hva linje 5 gjør I en geometrisk rekke er ledd nummer \( \textcolor{blue}{n} \) gitt ved: \[ \textcolor{red}{a_n} = a_1 \cdot k^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Det er nettopp det som står etter plusstegnet i linje 5, der to stjerner betyr «opphøyd i». Linja regner ut ledd nummer \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) og legger det til summen \( \texttt{s}\text{,} \) som starter på \( 0\text{.} \) Med \( {a_1 = 1} \) og \( {k = 1{,}2} \) blir summen til slutt: \[ s = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1{,}2} + \textcolor{red}{1{,}2^2} + \dots + \textcolor{red}{1{,}2^{29}} \]

I a) så vi at programmet legger sammen de \( 30 \) første leddene i den geometriske rekka.

Å legge sammen \( 30 \) ledd for hånd tar for lang tid, så vi bruker formelen for summen av en geometrisk rekke.

1. Skriv opp sumformelen Summen av de \( \textcolor{green}{n} \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}2}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30} \]

2. Regn ut summen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{\textcolor{green}{30}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}2}^{\textcolor{green}{30}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}2} - 1} \\ &\approx \dfrac{237{,}3763 - 1}{0{,}2} \\ &\approx 1181{,}9 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( e^{2x}\text{,} \) og at \( 2x \) blir enklere når vi deriverer. Derfor bruker vi delvis integrasjon.

1. Skriv opp formelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{2x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} \end{aligned} \]Regelen for \( \textcolor{blue}{v} \) finner du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \cdot e^{2x}\,dx \\ &= \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}\,dx \\ &= xe^{2x} - \int e^{2x}\,dx \\ &= xe^{2x} - \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2x \) er den deriverte av eksponenten \( x^2\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = x^2}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon, og deriverer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ d\textcolor{green}{u} &= 2x\,dx \end{aligned} \]

2. Bytt grensene Grensene gjelder \( x\text{,} \) så vi regner dem om til \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0: \quad \textcolor{green}{u} &= 0^2 = 0 \\ x = 1: \quad \textcolor{green}{u} &= 1^2 = 1 \end{aligned} \]

3. Sett inn og integrer Setter vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\,dx &= \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \left[ e^{\textcolor{green}{u}} \right]_0^1 \\ &= e^1 - e^0 \\ &= e - 1 \end{aligned} \]

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet, og trekanten er halvparten av det. Arealet er også halvparten av grunnlinje ganger høyde, så vi kan løse for høyden.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1, 2 - 2, 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 0, 4]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 1, 4 - 2, -3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-2}), \\ &\qquad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0}] \\ &= [-8, 2, 2] \end{aligned} \]

3. Finn lengdene Lengden til en vektor er gitt ved: \[ \left|[a, b, c]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]Du finner den i videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| &= \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \\ \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{17} \end{aligned} \]

4. Løs for høyden Arealet av trekanten kan skrives på to måter: \[ \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot h \]

Løser vi for \( h\text{,} \) får vi: \[ h = \dfrac{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \dfrac{6\sqrt{34}}{17} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a), og \( A \) fra oppgaveteksten.

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-8, 2, 2] \\ &= -2 \cdot [4, -1, -1] \end{aligned} \]

Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi velger den enkleste: \[ \textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]} \]

2. Sett inn i planformelen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}(x - \textcolor{blue}{x_0}) + \textcolor{red}{b}(y - \textcolor{blue}{y_0}) \\ &+ \textcolor{red}{c}(z - \textcolor{blue}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] &= [\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{-1}, \textcolor{red}{-1}] \\ (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) &= (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{-1}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4}(x - \textcolor{blue}{1}) \textcolor{red}{{}- 1}(y - \textcolor{blue}{2}) \textcolor{red}{{}- 1}(z + \textcolor{blue}{1}) &= 0 \\ 4x - 4 - y + 2 - z - 1 &= 0 \\ 4x - y - z - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

En linje er parallell med et plan når retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren. Skalarproduktet må altså bli \( 0\text{.} \) Vi sjekker også at linja ikke ligger i selve planet.

1. Regn ut skalarproduktet Linja har retningsvektor \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} = \textcolor{blue}{[1, 1, 3]}}\text{,} \) og av likningen \( {4x - y - z - 3 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]}}\text{.} \)

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} \cdot \textcolor{red}{\vec{n}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) \\ &= 4 - 1 - 3 = 0 \end{aligned} \]

Linja står altså vinkelrett på normalvektoren, så den er parallell med planet eller ligger i det.

2. Sjekk at linja ligger utenfor planet Linja går gjennom origo. Setter vi inn \( (0, 0, 0) \) i likningen for planet, får vi: \[ 4 \cdot 0 - 0 - 0 - 3 = -3 \neq 0 \]

Origo ligger ikke i planet, så linja ligger ikke i planet, og den er parallell med det.

Vi bruker vektorproduktet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tre vektorer fra samme hjørne utspenner pyramiden, og volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|\left(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\right) \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}}\right| \]At en pyramide trenger en annen formel enn en boks, ser du i videoen Volum og Overflate.

I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [-8, 2, 2] \]

Den tredje vektoren går fra \( A \) til \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}} &= [-3 - 1, 0 - 2, 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{green}{[-4, -2, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|(-8)(\textcolor{green}{-4}) + 2(\textcolor{green}{-2}) + 2 \cdot \textcolor{green}{1}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|32 - 4 + 2\right| \\ &= \dfrac{30}{6} = 5 \end{aligned} \]

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser at både telleren og nevneren kan faktoriseres. Vi faktoriserer dem, forkorter brøken og legger til slutt til \( 1\text{.} \)

1. Faktoriser telleren Telleren er en differanse mellom to kvadrater. Konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 - \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})(\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q}) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{2a} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 4a^2 - b^2 = (\textcolor{blue}{2a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{2a} - \textcolor{red}{b}) \]

2. Faktoriser nevneren Begge leddene i nevneren har faktoren \( b\text{,} \) som vi setter utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 2ab + b^2 = b(2a + b) \]

3. Forkort og legg sammen Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{2a + b}} \) står både i telleren og i nevneren, så den stryker vi, som i eksempelet i Faktorisering steg for steg. Så skriver vi \( 1 \) som \( \dfrac{b}{b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{(2a + b)}(2a - b)}{b\textcolor{darkorange}{(2a + b)}} + 1 \\ &= \dfrac{2a - b}{b} + \dfrac{b}{b} \\ &= \dfrac{2a - b + b}{b} \\ &= \dfrac{2a}{b} \end{aligned} \]

Vi skriver begge logaritmene med potens eller rot som et tall ganger \( \ln b\text{.} \) Da kan vi forkorte.

1. Skriv om logaritmene Logaritmeregelen for en potens forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]Samme regel gjelder for \( \log \) og \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

En rot kan vi skrive som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt{b} = b^{\tfrac{1}{2}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{b}} \) begge steder. Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln b^2 &= \textcolor{red}{2} \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \sqrt{b} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \ln \textcolor{blue}{b} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forkort Plugger vi dette inn i brøken, kan vi sette \( \textcolor{magenta}{\ln b} \) utenfor i telleren. Da stryker vi \( {\textcolor{darkorange}{a - 2}} \) og \( \textcolor{magenta}{\ln b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{a \ln b - 2 \ln b}{(a - 2) \cdot \dfrac{1}{2} \ln b} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(a - 2)}\textcolor{magenta}{\ln b}}{\textcolor{darkorange}{(a - 2)} \cdot \dfrac{1}{2} \textcolor{magenta}{\ln b}} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \end{aligned} \]

Vi finner \( \sin x \) med enhetsformelen. Så bruker vi formlene for dobbel vinkel, og til slutt at tangens er sinus delt på cosinus.

1. Finn sinus til x Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \textcolor{blue}{\cos^2 x} = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Her er \( {\textcolor{blue}{\cos x} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin^2 x + \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}\right)^2 &= 1 \\ \sin^2 x &= 1 - \dfrac{4}{25} \\ \sin^2 x &= \dfrac{21}{25} \end{aligned} \]

Siden \( x \) ligger mellom \( 0 \) og \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) er \( \sin x \) positiv: \[ \underline{\textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}} \]

2. Finn sinus til 2x Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2 \cdot \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \sin 2x = 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \underline{\dfrac{4\sqrt{21}}{25}} \]

3. Finn cosinus til 2x For tangens trenger vi også \( \cos 2x\text{.} \) Formelen for cosinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos 2x = 2\textcolor{blue}{\cos^2 x} - 1 \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= 2 \cdot \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}\right)^2 - 1 \\ &= \dfrac{8}{25} - \dfrac{25}{25} \\ &= -\dfrac{17}{25} \end{aligned} \]

4. Finn tangens til 2x Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \begin{aligned} \tan 2x &= \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= \dfrac{\dfrac{4\sqrt{21}}{25}}{-\dfrac{17}{25}} \\ &= -\dfrac{4\sqrt{21}}{17} \end{aligned} \]

Vi begynner med å sette inn. Mot \( 2 \) går det rett fram. Mot \( 1 \) får vi \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så der faktoriserer vi telleren og forkorter.

1. Regn ut den første grensen Nevneren er ikke \( 0 \) i \( {x = 2}\text{,} \) så vi setter rett inn: \[ \lim_{x \to 2} r(x) = \dfrac{2^2 - 3 \cdot 2 + 2}{2 - 1} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

2. Sett inn i den andre grensen Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) blir både telleren og nevneren \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \dfrac{0}{0} \]Da gjør vi som i videoen Grenseverdier: vi faktoriserer telleren.

3. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi: \[ x^2 - 3x + 2 = \textcolor{blue}{1} \cdot (x - 2)(x - 1) \]

4. Forkort og sett inn Grensen handler om \( x \) nær \( 1\text{,} \) ikke i \( 1\text{,} \) så vi kan stryke \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} r(x) &= \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 1)}}{\textcolor{darkorange}{x - 1}} \\ &= \lim_{x \to 1} (x - 2) \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( \sin x \) derivert er \( \cos x\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2 \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2 \cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2 \cos x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{2 \sin x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{2x^2 \cos x - 4x \sin x}{x^4} \end{aligned} \]

Begge leddene i telleren har faktoren \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) som vi stryker mot en \( \textcolor{darkorange}{x} \) i nevneren: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(2x \cos x - 4 \sin x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} \\ &= \dfrac{2x \cos x - 4 \sin x}{x^3} \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det et uttrykk, så vi bruker kjerneregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og Kjerneregelen forklarer hvorfor.

Kjernen deriverer vi med potensregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{2x^2 - 2x^4} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{4x - 8x^3} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Faktoren \( \dfrac{1}{2} \) blir stående. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{2x^2 - 2x^4}} \cdot (\textcolor{green}{4x - 8x^3}) \\ &= \dfrac{2x - 4x^3}{2x^2 - 2x^4} \end{aligned} \]

Faktoriserer vi telleren og nevneren, kan vi stryke \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}(1 - 2x^2)}{\textcolor{darkorange}{2x} \cdot x(1 - x^2)} \\ &= \dfrac{1 - 2x^2}{x(1 - x^2)} \end{aligned} \]

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i \( {x = e}\text{,} \) og det siste finner vi med produktregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = h'(\textcolor{magenta}{a})(x - \textcolor{magenta}{a}) + h(\textcolor{magenta}{a}) \]Den står i videoen Tangentlinje. Her er \( {\textcolor{magenta}{a} = \textcolor{magenta}{e}}\text{.} \)

2. Finn funksjonsverdien Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{:} \) \[ h(\textcolor{magenta}{e}) = e \cdot \ln e = e \cdot 1 = \underline{e} \]

3. Finn stigningstallet Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \\ &= 1 + \ln x \end{aligned} \]

I punktet \( {x = \textcolor{magenta}{e}} \) er stigningstallet: \[ h'(\textcolor{magenta}{e}) = 1 + \ln e = 1 + 1 = \underline{2} \]

4. Sett inn i tangentformelen Plugger vi inn \( {h(\textcolor{magenta}{e}) = e} \) og \( {h'(\textcolor{magenta}{e}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= 2(x - \textcolor{magenta}{e}) + e \\ &= 2x - 2e + e \\ &= 2x - e \end{aligned} \]

Alt står allerede på én side. Vi faktoriserer venstresiden og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Faktoriser venstresiden abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -3}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi faktorene \( {\textcolor{magenta}{x + 3}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ x^2 + x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 3})(\textcolor{darkorange}{x - 2}) \]

2. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "(x + 3)(x - 2)", "expr": "(x + 3)(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi vil ha produktet negativt eller \( 0\text{.} \) Det er det mellom strekene, og i strekene også: \[ -3 \leq x \leq 2 \]

Vi ser at \( 5^x \) går igjen. Setter vi \( {u = 5^x}\text{,} \) får vi en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{5^x}}\text{:} \) \[ \dfrac{18 - \textcolor{darkorange}{u}}{\textcolor{darkorange}{u}} = \textcolor{darkorange}{u} + 2 \]

\( 5^x \) er alltid positiv, så vi kan gange begge sider med \( \textcolor{darkorange}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 18 - u &= u^2 + 2u \\ 0 &= u^2 + 3u - 18 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-18} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-18})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 9}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 3} \) og \( {u = -6}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( 5^x \) er alltid positiv, så \( {5^x = -6} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med: \[ 5^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for en potens, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}}) &= \ln 3 \\ \textcolor{red}{x} \ln \textcolor{blue}{5} &= \ln 3 \\ x &= \dfrac{\ln 3}{\ln 5} \end{aligned} \]

Vi får \( \sin(2\pi x) \) alene og finner vinklene som passer. Intervallet for \( x \) forteller hvilke vinkler vi skal se på.

1. Få sinus alene Vi flytter \( 2 \) over: \[ \dfrac{\sqrt{3}}{\sin(2\pi x)} = 2 \]

Vi ganger med \( \sin(2\pi x)\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{,} \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{3} &= 2 \sin(2\pi x) \\ \sin(2\pi x) &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går vinkelen fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{:} \) \[ 0 \leq \textcolor{blue}{2\pi x} \leq 2\pi \]

Vi kjenner eksaktverdien: \[ \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Det forteller oss at: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\pi x} &= \dfrac{\pi}{3} \\ \text{eller} \quad \textcolor{blue}{2\pi x} &= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ x = \dfrac{1}{6} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{1}{3} \]Begge ligger i \( [0, 1]\text{,} \) og nevneren er ikke \( 0 \) for noen av dem.

Vi ser at \( 3 \) er en felles faktor i \( f(x)\text{.} \) Da gir enhetsformelen at funksjonen er konstant, og integralet blir enkelt.

1. Forenkle funksjonen Vi setter \( \textcolor{blue}{3} \) utenfor: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3}\left(\sin^2 x + \cos^2 x\right) \]

Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \cdot 1 = \textcolor{blue}{3} \]

2. Regn ut integralet Regelen for integralet av en konstant forteller oss at: \[ \int k\, dx = kx + C \]Det er regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler med \( {n = 0}\text{.} \)

Plugger vi inn \( {k = \textcolor{blue}{3}} \) og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{13}} \textcolor{blue}{3}\, dx &= \Big[\textcolor{blue}{3}x\Big]_0^{\textcolor{red}{13}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{13} - \textcolor{blue}{3} \cdot 0 \\ &= 39 \end{aligned} \]

Dette er nettopp \( {\textcolor{red}{13} \cdot \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) integralet er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{red}{13} \) og høyde \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Robotens omvei gir derfor rett svar.

Vi ganger inn \( 3 \) og integrerer ledd for ledd.

1. Gang inn i parentesen \[ 3(x^2 + 4x + 4) = \textcolor{blue}{3x^2} + \textcolor{red}{12x} + \textcolor{green}{12} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a x^n\, dx = \dfrac{a}{n + 1} x^{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{3x^2} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{x^3}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{12x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{6x^2}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{12} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{green}{12x}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 3(x^2 + 4x + 4)\, dx \\ &= \textcolor{blue}{x^3} + \textcolor{red}{6x^2} + \textcolor{green}{12x} + C \end{aligned} \]

Nevneren er et fullstendig kvadrat. Når vi skriver den slik, kan vi bruke substitusjon.

1. Faktoriser nevneren Første kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ x^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 = (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})^2 \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{(x + 2)^2}\, dx \]

2. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 1 \\ dx &= d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2}\, d\textcolor{green}{u} \]

3. Integrer En brøk med \( \textcolor{green}{u}^2 \) i nevneren skriver vi som en negativ potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2} = 3\textcolor{green}{u}^{-2} \]

Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a u^n\, du = \dfrac{a}{n + 1} u^{n + 1} + C \]

Her er \( {a = 3} \) og \( {n = -2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int 3\textcolor{green}{u}^{-2}\, d\textcolor{green}{u} &= \dfrac{3}{-1} \textcolor{green}{u}^{-1} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{x + 2}} + C \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er halvparten av den deriverte til nevneren. Da bruker vi substitusjon med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 + 4x}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x + 4 = 2(x + 2) \\ (x + 2)\, dx &= \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

2. Integrer Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u}\, du = \ln|u| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn substitusjonen, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x}\, dx &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{x^2 + 4x}| + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Nevneren \( {x(x + 4)} \) er \( 0 \) bare i \( {x = 0} \) og \( {x = -4}\text{,} \) og ingen av dem ligger mellom grensene. Da kan vi sette inn: \[ \begin{aligned} &\left[\dfrac{1}{2} \ln|x^2 + 4x|\right]_{-3}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|1 - 4| - \dfrac{1}{2} \ln|9 - 12| \\ &= \dfrac{1}{2} \ln 3 - \dfrac{1}{2} \ln 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]