Forkurseksamen etter tema

Vi setter inn \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) for å vise at det er et nullpunkt. Da er \( {x + \dfrac{1}{2}} \) en faktor, så vi deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Sett inn nullpunktet Plugger vi inn \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &\quad - 4\left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{1}{2} + 1 + 2 - \dfrac{5}{2} \\ &= 0 \end{aligned} \]Altså er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) et nullpunkt.

2. Del med polynomdivisjon Nullpunktsetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &f(\textcolor{magenta}{r}) = 0 \\ &\iff f(x) \text{ er delelig med } x - \textcolor{magenta}{r} \end{aligned} \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{magenta}{r} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) så \( f(x) \) er delelig med \( {x + \dfrac{1}{2}}\text{.} \)

Vi deler \( f(x) \) på \( {x + \dfrac{1}{2}} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^3} + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4x^2} \\ \textcolor{red}{4x^2} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 4x^3 + 2x^2 \\ -(4x^3 + 2x^2) &= \textcolor{red}{-4x^3 - 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & 2x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 4x^3 \) strykes mot \( {-4x^3}\text{,} \) \( {4x^2 - 2x^2 = 2x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4x} \) og \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{2x} \\ \textcolor{magenta}{2x} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 2x^2 + x \\ -(2x^2 + x) &= \textcolor{magenta}{-2x^2 - x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & -5x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-4x - x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \) Linja \( {-5x - \dfrac{5}{2}} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{blue}{-5} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= -5x - \dfrac{5}{2} \\ -(-5x - \dfrac{5}{2}) &= \textcolor{blue}{5x + \dfrac{5}{2}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \textcolor{blue}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- \dfrac{5}{2} \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{5x}} & \textcolor{blue}{{}+ \dfrac{5}{2}} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2} \\ &= (x + \dfrac{1}{2})(4x^2 + 2x - 5) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen De andre nullpunktene er der \( {4x^2 + 2x - 5 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{84}}{8} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{21}}{8} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{21}}{4} \end{aligned} \]

Vi deriverer og finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Et fortegnsskjema for \( f'(x) \) viser hvor grafen stiger og synker, og dermed hva slags punkter vi har.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = 12x^2 + 8x - 4 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Slik finner vi ekstremalpunkter også i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og deler på \( 4\text{:} \) \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{3}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{1}{3}} \) og \( {x = -1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Vi faktoriserer \( f'(x) \) med nullpunktene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ f'(x) = 12(\textcolor{magenta}{x + 1})\left(\textcolor{darkorange}{x - \dfrac{1}{3}}\right) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktoren \( 12 \) er positiv og endrer ingenting: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 0.3333333333333333], "labels": ["-1", "\\dfrac{1}{3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - \\dfrac{1}{3}}", "expr": "x - 1/3"}, {"label": "f'(x)", "expr": "12(x + 1)(x - 1/3)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{3}} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så vi har et bunnpunkt. Grafen stiger altså for \( {x \leq -1} \) og \( {x \geq \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og synker mellom.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= 4(-1)^3 + 4(-1)^2 \\ &\quad - 4(-1) - \dfrac{5}{2} \\ &= -4 + 4 + 4 - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{3}\right) &= 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &\quad - 4 \cdot \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{4}{27} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{8 + 24 - 72 - 135}{54} \\ &= -\dfrac{175}{54} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b): \( {f'(x) = 12x^2 + 8x - 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen skjærer y-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Normalen står vinkelrett på tangenten der, så vi finner stigningstallet fra tangentens stigningstall.

1. Finn punktet og tangentens stigningstall Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 4 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{5}{2} \\ f'(0) &= 12 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 4 \\ &= \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

2. Finn normalens stigningstall To linjer som står vinkelrett på hverandre, har stigningstall med produkt \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_t} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

3. Sett opp likningen Formelen for en rett linje forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{green}{b} \]Den står i videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}} \]Konstantleddet \( \textcolor{green}{b} \) er y-verdien der linja skjærer y-aksen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}x \textcolor{green}{{}- \dfrac{5}{2}} \]

Vinkel \( A \) er vinkelen mellom vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1,\ 4 - 1,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 3, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [2 - 1,\ 2 - 1,\ 4 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, 1, 4]} \end{aligned} \]

2. Skriv opp skalarproduktregelen Skalarproduktregelen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \angle(\vec{u}, \vec{v}) \]Den brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 4 \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{10} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} \end{aligned} \]

3. Sett inn og finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ 4 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{18} \cdot \cos \angle A \]

Løser vi for \( \cos \angle A\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle A &= \dfrac{4}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{18}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{180}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{5}}{15} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren og runder av til én desimal: \[ \angle A = \cos^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{15}\right) \approx 72{,}7^\circ \]

Arealet av trekanten er halve lengden av kryssproduktet av to av sidevektorene.

1. Skriv opp vektorene Fra punktene har vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[1, 3, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 1, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten vi ser i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{[u_1, u_2, u_3]}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{[v_1, v_2, v_3]}} \) forteller den oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{bmatrix} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 12 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

3. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\right| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{12^2 + (-4)^2 + (-2)^2} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 41} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{41} \\ &= \sqrt{41} \end{aligned} \]

Vi bruker kryssproduktet fra b): \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [12, -4, -2]}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kryssproduktet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. For parameterframstillingen går vi ut fra \( A \) langs de to vektorene i planet.

1. Finn en normalvektor Vi kan dele kryssproduktet på \( 2 \) og få en enklere normalvektor: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[6, -2, -1]} \]

2. Finn likningen til planet Likningen til et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) er, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{blue}{b}(y - y_0) \\ &\quad + \textcolor{blue}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]

Plugger vi inn normalvektoren og punktet \( A(1, 1, 0)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{6}(x - 1) \textcolor{blue}{{}- 2}(y - 1) \textcolor{blue}{{}- 1}(z - 0) &= 0 \\ 6x - 6 - 2y + 2 - z &= 0 \\ 6x - 2y - z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp parameterframstillingen Et punkt i planet når vi ved å gå fra \( A \) et stykke \( \textcolor{green}{s} \) langs \( \overrightarrow{AB} \) og et stykke \( \textcolor{magenta}{t} \) langs \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} [x, y, z] &= [1, 1, 0] + \textcolor{green}{s}[1, 3, 0] \\ &\quad + \textcolor{magenta}{t}[1, 1, 4] \end{aligned} \]

Koordinat for koordinat gir det: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{green}{s} + \textcolor{magenta}{t} \\ y &= 1 + 3\textcolor{green}{s} + \textcolor{magenta}{t} \\ z &= 4\textcolor{magenta}{t} \end{aligned} \]Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( B \) som startpunkt.

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Et punkt på y-aksen har \( {x = 0} \) og \( {z = 0}\text{.} \)

1. Finn vektorene Vi kaller punktet \( D(0, \textcolor{darkorange}{d}, 0)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 1,\ \textcolor{darkorange}{d} - 1,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, d - 1, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [2 - 2,\ 2 - 4,\ 4 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null Skalarproduktet er \( 0 \) når det er \( 90^\circ \) mellom vektorene, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AD}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} = 0 \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} (-1) \cdot 0 + (\textcolor{darkorange}{d} - 1) \cdot (-2) + 0 \cdot 4 &= 0 \\ -2\textcolor{darkorange}{d} + 2 &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{d} &= 1 \end{aligned} \]

Vi regner ut høyresiden koordinat for koordinat og går så fra \( A \) langs \( \overrightarrow{AE}\text{.} \)

1. Skriv opp vektorene Fra punktene har vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[1, 3, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut høyresiden Vi ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) med \( 2 \) og trekker fra \( \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} \) koordinat for koordinat, som i videoene Hva er en Skalar? og Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AE} &= 2\textcolor{blue}{[1, 3, 0]} - \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \\ &= [2, 6, 0] - \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \\ &= [2, 8, -4] \end{aligned} \]

3. Finn punktet E Vi kaller punktet \( E(x, y, z)\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet gir \( \overrightarrow{AE}\text{:} \) \[ [x - 1,\ y - 1,\ z - 0] = [2, 8, -4] \]

Da er: \[ \begin{aligned} x &= 3 \\ y &= 9 \\ z &= -4 \end{aligned} \]

I en aritmetisk følge er hvert ledd det forrige leddet pluss \( d\text{.} \) Samtidig må \( n \) telle hvilket ledd vi er kommet til.

1. Fyll inn boksene I en aritmetisk følge er differansen mellom to ledd alltid \( \textcolor{blue}{d}\text{,} \) som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ a_{\textcolor{red}{n + 1}} = a_n + \textcolor{blue}{d} \]

Linje 6 skal derfor legge til \( \textcolor{blue}{\texttt{d}}\text{,} \) og linje 7 skal øke \( \textcolor{red}{\texttt{n}} \) med \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\texttt{an = an + } \textcolor{blue}{\texttt{d}} \\ &\texttt{n = } \textcolor{red}{\texttt{n + 1}} \end{aligned} \]

2. Forklar løkken Vi tenker som datamaskinen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi starter med første ledd, \( {\texttt{an} = a_1} \) og \( {\texttt{n} = 1}\text{.} \)

Linje 5 sjekker om \( {\texttt{an} < 200}\text{.} \) Så lenge det stemmer, regner linje 6 ut neste ledd, og linje 7 øker \( \texttt{n} \) med \( 1\text{.} \) Da er \( \texttt{an} \) hele tiden \( a_n \) for den \( \texttt{n} \) vi står på.

Første gang \( {\texttt{an} \geq 200} \) stopper løkken, og linje 8 skriver ut \( \texttt{n} \) og \( \texttt{an}\text{.} \) Dette er den minste \( n \) som gir \( {a_n \geq 200}\text{.} \)

Programmet stopper ved den minste \( n \) der \( {a_n \geq 200}\text{,} \) så vi løser den ulikheten med formelen for det \( n \)-te leddet.

1. Sett opp formelen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{blue}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{3}} \]

2. Løs ulikheten Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + (n - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5}{3}} \geq 200 \]

Vi ganger med \( 3 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} 1 + 5(n - 1) &\geq 600 \\ 5n - 4 &\geq 600 \\ n &\geq \dfrac{604}{5} = 120{,}8 \end{aligned} \]

3. Finn den minste n \( n \) må være et helt tall, så den minste verdien er \( 121\text{.} \) Vi kontrollerer på hver side av \( 120{,}8\text{:} \) \[ \begin{aligned} a_{120} &= \dfrac{1}{3} + 119 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{596}{3} < 200 \\ a_{121} &= \dfrac{1}{3} + 120 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{601}{3} > 200 \end{aligned} \]

Hele gjerdet skal brukes, så omkretsen av kvadratet pluss omkretsen av sirkelen er \( 100\text{.} \)

1. Sett opp omkretsene Kvadratet har fire like sider, og omkretsen til en sirkel er \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O_{\text{kvadrat}}} &= \textcolor{blue}{4x} \\ \textcolor{red}{O_{\text{sirkel}}} &= \textcolor{red}{2\pi r} \end{aligned} \]

2. Løs for x Til sammen er omkretsene \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{2\pi r} &= 100 \\ 4x &= 100 - 2\pi r \\ x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi r \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket \( {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \) står i oppgaveteksten.

Vi skriver det samlede arealet som en funksjon av \( r \) og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp arealet Optimering gjør vi som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Arealet av kvadratet er \( x^2\text{,} \) og arealet av sirkelen er \( \pi r^2\text{.} \) Vi setter inn uttrykket for \( x\text{:} \) \[ A(r) = \left(25 - \dfrac{1}{2}\pi r\right)^2 + \pi r^2 \]

2. Deriver arealet Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^2\right)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og deriverer \( \pi r^2 \) med potensregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(r) &= 2\left(\textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\right) \\ &\quad \cdot \left(\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi}\right) + 2\pi r \\ &= -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {A'(r) = 0}\text{:} \) \[ -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r = 0 \]

Vi deler på \( \pi\text{,} \) løser for \( r \) og utvider til slutt brøken med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -25 + \dfrac{1}{2}\pi r + 2r &= 0 \\ r\left(\dfrac{1}{2}\pi + 2\right) &= 25 \\ r &= \dfrac{25}{\dfrac{1}{2}\pi + 2} \\ r &= \dfrac{50}{\pi + 4} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi deriverer \( A'(r) \) en gang til. Den dobbeltderiverte er positiv for alle \( r\text{:} \) \[ A''(r) = \dfrac{1}{2}\pi^2 + 2\pi > 0 \]Grafen krummer altså oppover hele veien, så dette er det minste arealet.

5. Finn x Plugger vi inn \( r\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi \cdot \dfrac{50}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{25(\pi + 4) - 25\pi}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{100}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Vi finner de to arealene når hele gjerdet går til én figur, og regner ut endringen i prosent.

1. Finn arealet av sirkelen Hele gjerdet er omkretsen. Sirkelen får radius: \[ \begin{aligned} 2\pi r &= 100 \\ r &= \dfrac{50}{\pi} \end{aligned} \]

Arealet blir: \[ \textcolor{red}{A_{\text{sirkel}}} = \pi \left(\dfrac{50}{\pi}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} \]

2. Finn arealet av kvadratet Hver side er en firedel av gjerdet: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{100}{4} = 25 \\ \textcolor{blue}{A_{\text{kvadrat}}} &= 25^2 = \textcolor{blue}{625} \end{aligned} \]

3. Regn ut prosenten Hvor mange prosent noe er større, finner vi slik, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]

Her er kvadratet det vi sammenligner med. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} - \textcolor{blue}{625}}{\textcolor{blue}{625}} \cdot 100\,\% \\ &= \left(\dfrac{4}{\pi} - 1\right) \cdot 100\,\% \\ &\approx 27{,}3\,\% \end{aligned} \]Vi runder av til én desimal.

Vi ser at uttrykket består av potenser av \( a \) og \( b\text{.} \) Vi løser derfor opp parentesene og samler hver bokstav for seg.

1. Løs opp parentesene Regnereglene for potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Her er \( p \) og \( q \) grunntall, og \( n \) og \( m \) eksponenter. Se videoen Flere regneregler med Potenser hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{a^2})^2 &= \textcolor{blue}{a^4} \\ \left(\textcolor{red}{b^{-\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a}\right)^3 &= \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \end{aligned} \]

2. Samle hver bokstav for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ p^n \cdot p^m = p^{n + m} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{a^{-3}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{b^2} \\ &= \textcolor{blue}{a^{4 - 3 + 3}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2} + 2}} \\ &= \textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Eksponenten \( \dfrac{1}{2} \) er det samme som kvadratrot, som i videoen Potenser og røtter: \[ \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} = \sqrt{\textcolor{red}{b}} \]

Vi ser at nevneren til høyre er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det, så vi finner fellesnevneren.

1. Faktoriser nevneren Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 5x + 6} \) med abc-formelen. Den forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-5}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-5})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{5 \pm 1}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Med nullpunktene kan vi skrive uttrykket som faktorer, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

2. Skriv alt på felles brøkstrek Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{,} \) så vi utvider den første brøken med \( {\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 3)}} - \dfrac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{2x - 6 - (x - 4)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} \end{aligned} \]

Faktoren \( {(x - 2)} \) står både i telleren og nevneren, så vi forkorter den for \( {x \neq 2}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \dfrac{\cancel{x - 2}}{\cancel{(x - 2)}(x - 3)} = \dfrac{1}{x - 3} \]

Vi ser fire logaritmer av potenser av \( x\text{.} \) Vi skriver dem derfor om til tall ganget med \( \lg x \) og trekker sammen.

1. Flytt ned eksponentene Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg p^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{red}{n} \cdot \lg p \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker. Her må \( {x > 0}\text{.} \)

Først skriver vi brøken og roten som potenser. En negativ eksponent betyr én delt på potensen, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^3} &= x^{\textcolor{red}{-3}} \\ \sqrt{x} &= x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lg x + \lg x^{\textcolor{red}{-2}} - \lg x^{\textcolor{red}{-3}} - \lg x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \\ &= \lg x + (\textcolor{red}{-2}) \lg x \\ &\quad - (\textcolor{red}{-3}) \lg x - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \lg x \end{aligned} \]

2. Trekk sammen Alle leddene er tall ganget med \( \lg x\text{,} \) så vi legger sammen tallene: \[ \begin{aligned} &\left(1 - 2 + 3 - \dfrac{1}{2}\right) \lg x \\ &= \dfrac{3}{2} \lg x \end{aligned} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi bruker nullpunktssetningen: vi setter inn tallet som gjør faktoren lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P \) nøyaktig når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= \textcolor{blue}{1}^3 + 2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 - 7 \cdot \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &= 1 + 2 - 7 + 4 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor i \( P\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( {(x - 1)} \) er en faktor, står i oppgaveteksten i a).

Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon. Da står vi igjen med et andregradsuttrykk, som vi faktoriserer videre.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 + x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 4\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 1) &= 3x^2 - 3x \\ -(3x^2 - 3x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-7x + 3x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4\text{.} \) Linja \( {-4x + 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 1) &= -4x + 4 \\ -(-4x + 4) &= \textcolor{blue}{4x - 4} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 4 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 4} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {4 - 4 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 7x + 4 \\ &= (x - 1)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på faktoriseringen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 1} \) og \( {x = -4}\text{,} \) så: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

3. Sett faktorene sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(x - 1)(x + 4) \\ &= (x - 1)^2(x + 4) \end{aligned} \]

I trekant \( ABD \) kjenner vi to vinkler og siden \( AB\text{.} \) Da kan vi bruke sinussetningen.

1. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekant \( ABD \) forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} = \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} \]Hver side står over sinus til vinkelen rett overfor seg. Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{120^\circ}, & \sin \textcolor{blue}{120^\circ} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{30^\circ}, & \sin \textcolor{red}{30^\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{7} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{blue}{BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} &= \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\dfrac{1}{2}} = 14 \\ \textcolor{blue}{BD} &= 14 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Omkretsen er summen av de fire sidene. Vi mangler \( AD \) og \( CD\text{,} \) og begge får vi fordi trekantene er spesielle.

1. Finn siden AD Vinkelsummen i trekant \( ABD \) gir vinkelen ved \( B\text{:} \) \[ \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]

Vinklene ved \( B \) og \( D \) er like, så trekanten er likebeint. Det betyr at sidene overfor dem er like lange, som i videoen Oppgave 3A (Trigonometri + Pytagoras): \[ \textcolor{blue}{AD} = AB = \textcolor{blue}{7} \]

2. Finn siden CD I trekant \( BCD \) er to av sidene like lange. \( BD \) har vi fra a), og \( BC \) fra figuren: \[ BD = BC = 7\sqrt{3} \]

Vinkelen mellom dem er \( 60^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene er også like store: \[ \begin{aligned} \angle BCD = \angle BDC &= \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet: \[ \textcolor{red}{CD} = BC = \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \]

3. Legg sammen sidene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O &= AB + BC + \textcolor{red}{CD} + \textcolor{blue}{AD} \\ &= 7 + 7\sqrt{3} + \textcolor{red}{7\sqrt{3}} + \textcolor{blue}{7} \\ &= 14 + 14\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i to trekanter. I hver av dem kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]der \( \textcolor{green}{v} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{.} \) Se videoen Arealsetningen hvis du er usikker.

2. Regn ut trekantene I trekant \( ABD \) er vinkelen ved \( A \) mellom \( {AB = 7} \) og \( {AD = 7}\text{,} \) der \( {AD = AB} \) fordi vinklene ved \( B \) og \( D \) begge er \( 30^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{7} \cdot \sin \textcolor{green}{120^\circ} \\ &= \dfrac{49}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{49\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

I trekant \( BCD \) er vinkelen ved \( B \) mellom \( {BC = 7\sqrt{3}} \) og \( {BD = 7\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= \dfrac{147}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABD} + T_{BCD} &= \dfrac{49\sqrt{3}}{4} + \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{196\sqrt{3}}{4} \\ &= 49\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi finner vektorene mellom punktene, og så regner vi ut lengdene deres.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 3,\ 4 - 0,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 3,\ 0 - 0,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden til en vektor forteller oss at: \[ \left| [x,\ y,\ z] \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Videoen Lengden til en Vektor viser dette med to koordinater, og den tredje kommer bare med under roten.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-3})^2 + \textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{0}^2} \\ &= \sqrt{25} = 5 \\ \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 + \textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2} \\ &= \sqrt{13} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Arealet får vi fra vektorproduktet av de to vektorene ut fra \( A\text{,} \) og vinkelen fra skalarproduktet deres.

1. Regn ut vektorproduktet I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\quad \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3},\ \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= [\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0},\ \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\quad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-3})] \\ &= \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \right| \]

Plugger vi inn vektorproduktet, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \right| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{64 + 36 + 144} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos \angle A = \dfrac{\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}{\left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| \cdot \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right|} \]Se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 hvis du er usikker.

Skalarproduktet får vi ved å gange koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= (\textcolor{blue}{-3})(\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= 9 \end{aligned} \]

Plugger vi inn lengdene fra a), \( 5 \) og \( \sqrt{13}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle A &= \dfrac{9}{5\sqrt{13}} \\ \angle A &= \cos^{-1}\left(\dfrac{9}{5\sqrt{13}}\right) \\ &\approx 60{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker arealet av trekanten fra b).

I et parallellogram er motstående sider like vektorer. Diagonalen \( AC \) deler det i to like trekanter.

1. Finn punktet D Motstående sider i \( ABCD \) er parallelle og like lange, så: \[ \overrightarrow{AD} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \]

Vektoren \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \) er sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 4,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ -4,\ 2]} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går langs denne vektoren, som når vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= (3 + \textcolor{blue}{0},\ 0 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 0 + \textcolor{blue}{2}) \\ &= (3,\ -4,\ 2) \end{aligned} \]

2. Finn arealet Diagonalen \( AC \) deler parallellogrammet i to like store trekanter. I b) fant vi at \( \Delta ABC \) har arealet \( {T = \sqrt{61}}\text{.} \) Arealet \( G \) av parallellogrammet er to ganger det: \[ G = 2 \cdot T = 2 \cdot \sqrt{61} = 2\sqrt{61} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b), som står vinkelrett på grunnflata, og arealet fra c).

Vi setter opp volumet med vektorproduktet og vektoren fra \( A \) til toppunktet, og setter det lik \( 10\text{.} \) Volumet er positivt, så vi får to mulige fortegn.

1. Skriv opp volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]Videoen Volum og Overflate viser at volumet til et prisme er grunnflate ganger høyde. Pyramiden har en tredjedel av det.

I b) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{n}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]}}\text{,} \) som står vinkelrett på grunnflata. Lengden er \( {\sqrt{244} = 2\sqrt{61}}\text{,} \) det samme som arealet i c): \[ G = \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right| \]

Høyden er avstanden fra \( T \) til grunnflata. Det er lengden av projeksjonen av \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \) på \( \textcolor{green}{\vec{n}}\text{:} \) \[ h = \dfrac{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right|}{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \]

Ganger vi dem sammen, stryker \( {\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \) seg: \[ V = \dfrac{1}{3} \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right| \]

2. Plugg inn punktet T Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{red}{[t - 3,\ t,\ t]} \\ \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{green}{8}(\textcolor{red}{t - 3}) + \textcolor{green}{6}\textcolor{red}{t} + \textcolor{green}{12}\textcolor{red}{t} \\ &= 26t - 24 \end{aligned} \]

3. Løs for t Volumet skal være \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \left| 26t - 24 \right| &= 10 \\ \left| 26t - 24 \right| &= 30 \end{aligned} \]

Uttrykket inni kan være \( 30\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= 30 \\ 26t &= 54 \\ t &= \dfrac{27}{13} \end{aligned} \]

Det kan også være \( {-30}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= -30 \\ 26t &= -6 \\ t &= -\dfrac{3}{13} \end{aligned} \]

De to verdiene gir hvert sitt toppunkt, ett på hver side av grunnflata.