Forkurseksamen etter tema

Vi sammenligner funksjonen med den generelle sinusfunksjonen og leser av delene.

1. Les av delene Den generelle sinusfunksjonen forteller oss at: \[ f(x) = \textcolor{blue}{A} \sin(\textcolor{red}{c}x + \varphi) + \textcolor{green}{d} \]Amplituden er \( |\textcolor{blue}{A}|\text{,} \) likevektslinja er \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{2}} = \pi \\ y &= \textcolor{green}{1} \\ |\textcolor{blue}{A}| &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) får sinus alene og finner begge vinklene på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi setter \( {f(x) = 0} \) og kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{2} \sin \textcolor{green}{u} + 1 &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn begge vinklene Vi vet at \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så: \[ \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Sinus er også lik for \( {\pi - \textcolor{green}{u}}\text{:} \) \[ \sin(\pi - \textcolor{green}{u}) = \sin \textcolor{green}{u} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir altså denne sinusverdien, og vi kommer tilbake til dem etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \lor \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \]der \( k \) er et helt tall.

3. Løs for x Vi setter inn \( \textcolor{green}{u} \) igjen. Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= \pi + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{2} + \pi k \end{aligned} \]

Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Grafen har derfor toppunkt der sinus er \( 1 \) og bunnpunkt der sinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Finn toppunktene Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{:} \) \[ -1 \le \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) \le 1 \]

Siden \( \sqrt{2} \) er positiv, er \( f \) størst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Vi legger til \( 2\pi k \) fordi vinkelen kommer tilbake etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot \textcolor{blue}{1} + 1 = 1 + \sqrt{2} \]

2. Finn bunnpunktene På samme måte er \( f \) minst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{5\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + 1 = 1 - \sqrt{2} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{e^{-x}}{1} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

2. Bruk konvergenskravet Kravet for konvergens forteller oss at: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \]Se videoen Geometrisk rekke test hvis du er usikker.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ |\textcolor{blue}{e^{-x}}| < 1 \]

Siden \( {e^{-x}} \) alltid er positiv, trenger vi bare at den er mindre enn \( {1 = e^0}\text{.} \) Funksjonen \( e^u \) er voksende, så vi kan sammenligne eksponentene: \[ \begin{aligned} e^{-x} &< e^0 \\ -x &< 0 \\ x &> 0 \end{aligned} \]

Vi bruker kvotienten og konvergenskravet fra a).

Vi setter summen av den uendelige rekken lik \( 3 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Sett opp summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er, med kvotienten fra a): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

Plugger vi dette inn og setter summen lik \( 3\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1}}{1 - \textcolor{blue}{e^{-x}}} = 3 \]

2. Løs for x Ganger vi begge sider med nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} 1 &= 3 - 3e^{-x} \\ 3e^{-x} &= 2 \\ e^{-x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} -x &= \ln \dfrac{2}{3} \\ x &= -\ln \dfrac{2}{3} = \ln \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\dfrac{3}{2} > 1} \) er \( {x > 0}\text{,} \) så rekken konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \)

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon. Etterpå integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 - 4} \) på \( {(x + 5)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 5) &= x^2 + 5x \\ -(x^2 + 5x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & -5x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {0x - 5x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {-5x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-5} \\ \textcolor{magenta}{-5} \cdot (x + 5) &= -5x - 25 \\ -(-5x - 25) &= \textcolor{magenta}{5x + 25} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 25} \\ \hline & & 21 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-4 + 25 = 21}\text{.} \) Tallet 21 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 21 er restleddet.

Svaret pluss restleddet delt på nevneren gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} + \dfrac{21}{x + 5} \]

2. Integrer ledd for ledd Integrasjonsreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \ n \neq -1 \\ \int \dfrac{a}{x + b}\,dx &= a \ln|x + b| + C \end{aligned} \]Se videoen Basic integrasjonsregler/​formler hvis du er usikker.

\( x \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}}}\text{.} \)

\( {-5} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{magenta}{-5x}}}\text{.} \)

\( {\dfrac{21}{x + 5}} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|}}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}} \textcolor{magenta}{{}- 5x} \\ &\quad + \textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|} + C \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a).

Området strekker seg fra \( {x = 0} \) til nullpunktet på den positive \( {x\text{-aksen.}} \) Vi finner nullpunktet og sjekker om grafen ligger over eller under aksen.

1. Finn grensene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4 &= 0 \\ x &= \pm 2 \end{aligned} \]

Det positive nullpunktet er \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) så området går fra \( {x = \textcolor{red}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{.} \)

2. Sett opp integralet Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = -\dfrac{4}{5} \]

Grafen krysser ikke aksen mellom \( 0 \) og \( 2\text{,} \) så der ligger den under \( {x\text{-aksen,}} \) og integralet blir negativt. Arealet er derfor minus integralet, med sammenhengen fra videoen Hva er integrasjon: \[ T = -\int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} f(x)\,dx \]

3. Regn ut integralet I a) fant vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \dfrac{x^2}{2} - 5x \\ &\quad + 21 \ln|x + 5| + C \end{aligned} \]

Plugger vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= -\left[ \dfrac{x^2}{2} - 5x + 21 \ln|x + 5| \right]_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} \\ &= -\left( 2 - 10 + 21 \ln 7 - 21 \ln 5 \right) \\ &= 8 - 21 \ln 7 + 21 \ln 5 \end{aligned} \]

Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln \dfrac{p}{q} \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ T = 8 - 21 \ln \dfrac{7}{5} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: omskrivingen av \( f(x) \) står i oppgaveteksten i a).

Vi trenger punktet og stigningstallet der. Vi deriverer \( f \) ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Formelen for tangenten forteller oss at: \[ y = \textcolor{green}{f'(a)}(x - \textcolor{darkorange}{a}) + \textcolor{magenta}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{darkorange}{a} \) \( {x\text{-koordinaten}} \) til punktet, \( \textcolor{magenta}{f(a)} \) funksjonsverdien der og \( \textcolor{green}{f'(a)} \) stigningstallet. Se videoen Tangentlinje hvis du er usikker.

2. Deriver funksjonen Fra a) har vi: \[ f(x) = x - 5 + \dfrac{21}{x + 5} \]

\( x \) derivert blir \( \underline{1}\text{,} \) og \( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

For å derivere \( {\dfrac{21}{x + 5}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{21} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 5} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{21}{x + 5}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x + 5}) - \textcolor{red}{21} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 5})^2} \\ &= \underline{-\dfrac{21}{(x + 5)^2}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 1 - \dfrac{21}{(x + 5)^2} \]

3. Plugg inn punktet Her er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{0}}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{f(0)} &= \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}} \\ \textcolor{green}{f'(0)} &= 1 - \dfrac{21}{5^2} = \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}}(x - \textcolor{darkorange}{0}) + \left(\textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}}\right) \\ &= \dfrac{4}{25}x - \dfrac{4}{5} \end{aligned} \]

Vi ser at vi får et andregradsuttrykk når vi ganger ut parentesene. Da bruker vi abc-formelen.

1. Gang ut parentesene 0:39 Vi ganger hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} (x - 2)(x + 3) &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 1:04 Vi setter dette inn i likningen og flytter alle leddene over på venstre side: \[ \begin{aligned} x^2 + x - 6 &= 6 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 2:12 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \\ x_2 &= \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \end{aligned} \]

Vi isolerer tangens og bruker tangens invers. Siden tangens gjentar seg, må vi til slutt sjekke hvilke løsninger som ligger i intervallet.

1. Isoler tangens 0:18 Vi deler begge sider på \( 5\text{:} \) \[ \tan x = -\dfrac{3}{5} \]

2. Bruk tangens invers 0:36 Tangens gjentar seg for hver halve runde på enhetssirkelen. Med et helt tall \( k \) er derfor løsningene av en slik likning: \[ \begin{aligned} \tan x &= \textcolor{blue}{a} \\ x &= \arctan \textcolor{blue}{a} + \pi k \end{aligned} \]Knappen for tangens invers på kalkulatoren finner du i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \arctan\left(\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}}\right) + \pi k \\ &= -\arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) + \pi k \\ &\approx -0{,}54 + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k 2:56 Svarene skal ligge mellom \( {-\pi \approx -3{,}14} \) og \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Vi tester verdier av \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = -1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 - 3{,}14 = -3{,}68 \\ k = 0\text{:}\ x &\approx -0{,}54 \\ k = 1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 3{,}14 = 2{,}60 \\ k = 2\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 6{,}28 = 5{,}74 \end{aligned} \]

Bare \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) gir verdier i intervallet, så likningen har to løsninger.

Vi ser at \( {e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\text{.} \) Fjerner vi brøken, får vi en andregradslikning i \( e^x\text{.} \)

1. Fjern brøken 0:18 Vi skriver om \( {e^{-x}} \) og flytter \( 2 \) over på høyre side: \[ \begin{aligned} 2 + \dfrac{3}{e^x} &= e^x \\ \dfrac{3}{e^x} &= e^x - 2 \end{aligned} \]

Så ganger vi begge sider med \( e^x\text{,} \) og flytter \( 3 \) over: \[ \begin{aligned} 3 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x \\ 0 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x - 3 \end{aligned} \]

2. Skift variabel 2:36 Skifter vi ut \( e^x \) med \( u\text{,} \) får vi en vanlig andregradslikning: \[ u^2 - 2u - 3 = 0 \]

3. Bruk abc-formelen 3:06 abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u_1 = 3 \quad \vee \quad u_2 = -1 \]

4. Gå tilbake til x 5:00 Vi satte \( {u = e^x}\text{,} \) så vi må løse: \[ e^x = 3 \quad \vee \quad e^x = -1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {e^x = -1} \) har ingen løsning: \[ e^x > 0 \quad \text{for alle } x \]

På \( {e^x = 3} \) tar vi \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{magenta}{b}}\right) = \textcolor{magenta}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^{\textcolor{magenta}{x}}\right) &= \ln 3 \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot \ln e &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer uttrykket. Så leser vi av et fortegnsskjema hvor det er større enn eller lik \( 0\text{.} \)

1. Finn nullpunktene 0:19 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-9}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\textcolor{red}{9} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \dfrac{9 \pm 11}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = 10 \quad \vee \quad x_2 = -1 \]

2. Faktoriser uttrykket 2:04 Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 10} \) og \( {x_2 = -1}\text{,} \) blir ulikheten: \[ (\textcolor{darkorange}{x - 10})(\textcolor{magenta}{x + 1}) \geq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema 2:33 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 10], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 10}", "expr": "x - 10"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "(x - 10)(x + 1)", "expr": "(x - 10)(x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 6:07 Produktet skal være positivt eller \( 0\text{.} \) Det er det fra og med \( {x = 10} \) og oppover, og fra og med \( {x = -1} \) og nedover: \[ x \leq -1 \quad \vee \quad x \geq 10 \]

Vi setter \( {u = \cos t} \) og løser ulikheten for \( u \) med et fortegnsskjema. Så går vi tilbake til \( t \) med enhetssirkelen.

1. Skift variabel 0:50 Vi setter \( {u = \cos t}\text{,} \) og siden \( {\cos^2 t = (\cos t)^2} \) får vi: \[ 2u^2 + u < 0 \]

2. Finn nullpunktene 1:30 Vi faktoriserer ut \( u\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u}(\textcolor{magenta}{2u + 1}) < 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \vee \quad \textcolor{magenta}{2u + 1} = 0 \]

Løser vi den andre for \( u\text{,} \) får vi: \[ u = 0 \quad \vee \quad u = -\dfrac{1}{2} \]

3. Tegn fortegnsskjema 3:02 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{u}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2u + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "u(2u + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom de to strekene: \[ -\dfrac{1}{2} < u < 0 \]

4. Gå tilbake til cosinus 5:55 Vi satte \( {u = \cos t}\text{,} \) så vi må finne vinklene der: \[ -\dfrac{1}{2} < \cos t < 0 \]

På enhetssirkelen er \( \cos t \) førstekoordinaten til punktet på sirkelen. Vi trenger altså punktene i det skraverte feltet:

5. Finn det første intervallet 9:11 Feltet treffer sirkelen i én bue øverst og én nederst. Den øverste buen starter der \( {\cos t = 0}\text{:} \) \[ t = \dfrac{\pi}{2} \]

Den slutter der \( {\cos t = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) som vi finner med cosinus invers: \[ t = \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{\pi}{2} < t < \dfrac{2\pi}{3} \]

6. Finn det andre intervallet 10:47 Den nederste buen er speilbildet av den øverste om førsteaksen. Vinkelen med samme cosinusverdi finner vi ved å trekke fra en hel runde: \[ t = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Buen slutter der \( {\cos t = 0} \) igjen, etter tre kvarte runder: \[ t = \dfrac{3\pi}{2} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{4\pi}{3} < t < \dfrac{3\pi}{2} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

Nullpunktene finner vi der telleren er \( 0\text{.} \) Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er \( 0\text{,} \) og den horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Finn nullpunktet 0:07 For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= 0 \\ x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

2. Finn den vertikale asymptoten 1:54 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Dele på null. Nevneren er \( 0 \) når: \[ \begin{aligned} x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \end{aligned} \]

Telleren er ikke \( 0 \) der, så vi får en vertikal asymptote: \[ x - 2 = -3 - 2 = -5 \neq 0 \]

3. Finn den horisontale asymptoten 3:08 Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi får formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{.} \)

Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T(x)}}{\textcolor{blue}{N(x)}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T'(x)}}{\textcolor{blue}{N'(x)}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{T'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{N} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{N'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{x - 2}}{\textcolor{blue}{x + 3}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{1}} = 1 \]

Det samme skjer når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonsverdien går altså mot \( 1\text{,} \) så asymptoten er linja \( {y = 1}\text{.} \)

Alternativ metode: Del på x 4:37 Vi kan også dele både telleren og nevneren på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}} \\ &= \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \end{aligned} \]Denne metoden lønner seg når du ikke har lært L'Hôpitals regel.

Vi finner først hvilke \( {x\text{-verdier}} \) som gir stigningstall \( 5\text{,} \) ved å sette \( {f'(x) = 5}\text{.} \) Så setter vi opp en tangent for hver av dem.

1. Deriver med kvotientregelen 0:32 Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x + 3}) - (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 3})^2} \\ &= \dfrac{x + 3 - x + 2}{(x + 3)^2} = \dfrac{5}{(x + 3)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik 5 3:00 Vi setter \( {f'(x) = 5}\text{,} \) ganger begge sider med nevneren og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{5}{(x + 3)^2} &= 5 \\ 1 &= (x + 3)^2 \\ 1 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 6x + 8 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 4:35 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{8}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-6 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -2 \quad \vee \quad x_2 = -4 \]

4. Finn den første tangenten 6:36 En tangent er en rett linje, som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{darkorange}{a}x + \textcolor{magenta}{b} \]Stigningstallet er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{5}}\text{,} \) så vi må finne \( \textcolor{magenta}{b}\text{.} \)

Vi starter med \( {x = -2} \) og regner ut \( {y\text{-verdien}} \) i punktet: \[ f(-2) = \dfrac{-2 - 2}{-2 + 3} = \dfrac{-4}{1} = -4 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} -4 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-2) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 6 \end{aligned} \]

5. Finn den andre tangenten 8:33 Vi gjør det samme med \( {x = -4}\text{:} \) \[ f(-4) = \dfrac{-4 - 2}{-4 + 3} = \dfrac{-6}{-1} = 6 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 6 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-4) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 26 \end{aligned} \]

Vi finner først hvor grafen og linja skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter uttrykkene like, ganger med \( {x + 3} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= x - 2 \\ x - 2 &= (x - 2)(x + 3) \\ 0 &= (x - 2)(x + 3) - (x - 2) \\ 0 &= (x - 2)(x + 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = -2 \quad \vee \quad x = 2 \]

2. Finn ut hvem som ligger øverst Mellom \( {x = -2} \) og \( {x = 2} \) skjærer de ikke hverandre, og begge er sammenhengende der. Da holder det å teste én verdi: \[ \textcolor{red}{f(0) = -\dfrac{2}{3}}, \qquad \textcolor{blue}{y = 0 - 2 = -2} \]Siden \( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}} > \textcolor{blue}{-2}} \) ligger grafen til \( \textcolor{red}{f} \) over \( \textcolor{blue}{\text{linja}} \) i hele området.

3. Sett opp integralet Vi skriver om brøken, siden \( {x - 2 = (x + 3) - 5}\text{:} \) \[ \dfrac{x - 2}{x + 3} = \dfrac{(x + 3) - 5}{x + 3} = 1 - \dfrac{5}{x + 3} \]

Arealet er den øverste minus den nederste, integrert mellom skjæringspunktene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ \begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2} \left( \textcolor{red}{1 - \dfrac{5}{x + 3}} - (\textcolor{blue}{x - 2}) \right) dx \\ &= \int_{-2}^{2} \left( 3 - x - \dfrac{5}{x + 3} \right) dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, og den siste brøken gir \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( {x + 3 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverditegn: \[ A = \left[ 3x - \dfrac{1}{2}x^2 - 5\ln(x + 3) \right]_{-2}^{2} \]

Vi setter inn grensene hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{øvre: } &6 - 2 - 5\ln 5 = 4 - 5\ln 5 \\ \text{nedre: } &-6 - 2 - 5\ln 1 = -8 \end{aligned} \]

Trekker vi den nedre fra den øvre, får vi: \[ A = 4 - 5\ln 5 - (-8) = 12 - 5\ln 5 \]

Tallene foran \( t \) forteller hvor mye flyet flytter seg per minutt. Farten er lengden av denne vektoren, og den regner vi om til km/h til slutt.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonen, som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat: \[ \vec{v} = [\textcolor{blue}{-8},\ \textcolor{red}{6},\ \textcolor{green}{0{,}2}] \]Tallene er målt i km per minutt.

2. Regn ut lengden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-8}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-8})^2 + \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{green}{0{,}2}^2} \\ &= \sqrt{100{,}04} \end{aligned} \]Det er farten i km per minutt.

3. Regn om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ 60 \cdot \sqrt{100{,}04} \approx 600 \]

Flyet er over punktet når \( {x = 0} \) og \( {y = 20}\text{.} \) Høyden er \( {z\text{-koordinaten}} \) i det samme øyeblikket.

1. Finn tidspunktet Parameterframstillingen gir flyets koordinater for hver \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{40 - 8t} &= 0 \\ t &= 5 \end{aligned} \]

Vi sjekker at \( \textcolor{red}{y} \) stemmer for samme \( t\text{:} \) \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{red}{6 \cdot 5 - 10} = 20 \]

2. Finn høyden Vi setter \( {t = 5} \) inn i uttrykket for \( \textcolor{green}{z}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z} = \textcolor{green}{2 + 0{,}2 \cdot 5} = 3 \]

Vi setter opp vektoren mellom flyene ved samme \( t\text{.} \) Avstanden er minst der kvadratet av lengden er minst, så vi deriverer det og setter lik \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren mellom flyene Vi trekker koordinatene til det andre flyet fra koordinatene til det første, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\Delta x} &= 40 - 8t - 6t = \textcolor{blue}{40 - 14t} \\ \textcolor{red}{\Delta y} &= 6t - 10 - 5t = \textcolor{red}{t - 10} \\ \textcolor{green}{\Delta z} &= 2 + 0{,}2t - (3 - 0{,}5t) \\ &= \textcolor{green}{0{,}7t - 1} \end{aligned} \]

2. Finn kvadratet av avstanden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at avstanden \( d \) er gitt ved: \[ d^2 = \textcolor{blue}{\Delta x}^2 + \textcolor{red}{\Delta y}^2 + \textcolor{green}{\Delta z}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Avstanden er positiv, så den er minst der \( {g(t) = d^2} \) er minst. Vi ganger ut med kvadratsetningene, som i videoen Kvadratsetningene: \[ \begin{aligned} g(t) &= (\textcolor{blue}{40 - 14t})^2 + (\textcolor{red}{t - 10})^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{0{,}7t - 1})^2 \\ &= \textcolor{blue}{1600 - 1120t + 196t^2} \\ &\quad + \textcolor{red}{t^2 - 20t + 100} \\ &\quad + \textcolor{green}{0{,}49t^2 - 1{,}4t + 1} \\ &= 197{,}49t^2 - 1141{,}4t + 1701 \end{aligned} \]

3. Finn minimum Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 394{,}98t - 1141{,}4 = 0 \\ t &= \dfrac{1141{,}4}{394{,}98} \approx 2{,}89 \end{aligned} \]

\( g \) er en andregradsfunksjon der tallet foran \( t^2 \) er positivt, så grafen er en smilende parabel og punktet er et bunnpunkt: \[ 197{,}49 > 0 \]Verdien ligger også i intervallet \( [0, 5]\text{.} \)

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Siden \( {e^{2x} = e^x \cdot e^x} \) kan vi faktorisere ut \( e^x\text{.} \)

1. Faktoriser funksjonsuttrykket Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ e^{2x} - 2e^x = \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 2}) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Vi står igjen med: \[ \textcolor{blue}{e^x - 2} = 0 \]

2. Løs likningen med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{x}} &= 2 \\ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) &= \ln 2 \\ \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 2 \\ x &= \ln 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer, setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte på hver side av punktet.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet trenger kjerneregelen, som forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{g}}\right)' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{2x}, \quad \textcolor{green}{g'} = \textcolor{green}{2} \]

\( e^{2x} \) derivert blir da \( \underline{2e^{2x}}\text{,} \) og \( {-2e^x} \) derivert blir \( {\underline{-2e^x}}\text{.} \) Slår vi dette sammen og faktoriserer, får vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{e^x - 1}) \]

2. Sett den deriverte lik null \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) i punktet: \[ f(0) = e^0 - 2e^0 = 1 - 2 = -1 \]

3. Avgjør hva slags punkt det er Vi tegner fortegnslinja til \( f'(x)\text{,} \) som vi gjør i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{e^x - 1}", "expr": "e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {(0, -1)} \) er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet den deriverte er \( 0\text{,} \) så funksjonen har ingen toppunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Et vendepunkt er der den andrederiverte bytter fortegn. Vi deriverer derfor en gang til og setter \( {f''(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x \]

Vi deriverer ledd for ledd, med kjerneregelen på det første leddet, og faktoriserer ut \( 2e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(x) &= 4e^{2x} - 2e^x \\ &= \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{2e^x - 1}) \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Vendepunktene ligger der \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{2e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) med \( {e^x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {e^{2x} = \left(e^x\right)^2 = \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ f(-\ln 2) = \dfrac{1}{4} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Vi tegner fortegnslinja til \( f''(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f''(x)", "expr": "2e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) går fra minus til pluss i \( {x = -\ln 2}\text{,} \) så grafen vender der.

Vi bruker punktene fra a), b) og c).

Vi samler punktene vi har funnet, og regner ut funksjonsverdiene i endene av intervallet. Så tegner vi grafen gjennom dem.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{Nullpunkt: } &\textcolor{blue}{(\ln 2,\ 0)} \\ \text{Bunnpunkt: } &\textcolor{red}{(0,\ -1)} \\ \text{Vendepunkt: } &\textcolor{green}{\left(-\ln 2,\ -\dfrac{3}{4}\right)} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene i endene Med kalkulator får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-2) &= e^{-4} - 2e^{-2} \approx -0{,}25 \\ f(1) &= e^2 - 2e \approx 1{,}95 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Fra b) vet vi at grafen synker fram til \( {x = 0} \) og så stiger. Fra c) vet vi at den vender i \( {x = -\ln 2}\text{.} \) Da kan vi tegne den. Sammenhengen mellom en graf og fortegnslinjene ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025:

Vi kjenner arealet av \( \Delta SBC \) og vinkelen mellom to sider som begge er radier. Da setter vi opp arealsetningen og løser for radien.

1. Sett opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.

Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SB \) og \( SC \) går fra sentrum ut til sirkelen, så begge er lik radien \( r\text{.} \) Arealet er \( {A = 3\sqrt{2}}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{45^\circ} \]

2. Løs for radien Vi bruker den eksakte verdien \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ 3\sqrt{2} &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} r^2 \\ r^2 &= 12 \end{aligned} \]

En radius er positiv, og vi forenkler roten med \( {12 = 4 \cdot 3}\text{:} \) \[ r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Vi bruker radien fra a).

Linja \( SC \) deler \( \Delta ABC \) i to trekanter. Vi kjenner arealet av den ene, og finner arealet av den andre med arealsetningen.

1. Finn vinkelen ved S \( AB \) er en rett linje, så vinklene ved \( S \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ASC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]

2. Finn arealet av den andre trekanten Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.

Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SA \) og \( SC \) er også radier. I a) fant vi \( {r^2 = 12}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{135^\circ} \]

Vi bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{:} \) \[ \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ASC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi de to trekantene sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ABC} &= A_{SBC} + A_{ASC} \\ &= 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{aligned} \]