Forkurseksamen etter tema

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]

Vi ser at funksjonen er en brøk. Den er ikke definert der nevneren er \( 0\text{,} \) og den er \( 0 \) der telleren er \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren \( \textcolor{blue}{x} \) må være forskjellig fra \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} \neq 0 \]

Alle andre tall går fint, så: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

2. Finn nullpunktene For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren \( {\textcolor{red}{4x^2 + 1}} \) er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x^2 + 1} &= 0 \\ x^2 &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Et kvadrat kan aldri bli negativt, så likningen har ingen løsning. Funksjonen har ingen nullpunkter.

Vi bruker fra a) at nevneren er \( 0 \) for \( {x = 0}\text{.} \)

Vi sjekker hva som skjer der nevneren er \( 0\text{,} \) og deler så opp brøken for å se hva grafen nærmer seg når \( x \) blir stor.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). For \( {x = 0} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Nevner:} \quad & x = 0 \\ \text{Teller:} \quad & 4 \cdot 0^2 + 1 = 1 \end{aligned} \]

Dermed har \( f \) den vertikale asymptoten: \[ x = 0 \]

2. Del opp brøken Vi deler hvert ledd i telleren på \( x\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{4x^2}{x} + \dfrac{1}{x} = \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \]

3. Finn den skrå asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Da går \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \) mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \big( f(x) - \textcolor{blue}{4x} \big) = \lim_{x \to \pm\infty} \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} = 0 \]

Grafen nærmer seg altså linja \( {y = \textcolor{blue}{4x}}\text{.} \) Dette kalles en skrå asymptote. \( |f(x)| \) vokser uten grense når \( {x \to \pm\infty}\text{,} \) så funksjonen har ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk med \( x \) i både teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{4x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{8x^2 - 4x^2 - 1}{x^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og faktoriserer telleren. Et fortegnsskjema viser så hvor \( f \) stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Fra c) vet vi at: \[ f'(x) = \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \]

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{.} \) Konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene, gir oss: \[ \begin{aligned} 4x^2 - 1 &= (\textcolor{darkorange}{2x + 1})(\textcolor{magenta}{2x - 1}) = 0 \\ x &= -\dfrac{1}{2} \ \text{ eller } \ x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0, 0.5], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0", "\\dfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "x^2", "expr": "x^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2x + 1)(2x - 1)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så her har vi et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så her har vi et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{2}} = 4 \end{aligned} \]

Skjemaet viser at grafen stiger for \( {x \le -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x \ge \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og synker mellom disse, bortsett fra i \( {x = 0}\text{,} \) der \( f \) ikke er definert.

Vi bruker asymptotene fra b) og topp- og bunnpunktet fra d).

Vi tegner asymptotene først og setter av punktene. Verdimengden leser vi av på hver side av \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skisser grafen Fra b) og d) vet vi: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \quad & x = 0, \quad y = 4x \\ \textcolor{blue}{\text{Toppunkt:}} \quad & \textcolor{blue}{\left(-\dfrac{1}{2},\, -4\right)} \\ \textcolor{red}{\text{Bunnpunkt:}} \quad & \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2},\, 4\right)} \end{aligned} \]

Vi regner også ut ett punkt til på hver side, så grafen blir riktig: \[ f(2) = \dfrac{17}{2}, \quad f(-2) = -\dfrac{17}{2} \]

Grafen har to deler. Hver del følger \( {x = 0} \) nær \( {y\text{-aksen}} \) og \( {y = 4x} \) langt ute. Hva en asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x):

2. Finn verdimengden Når \( {x > 0} \) er \( \textcolor{red}{4} \) den minste verdien, og \( f \) vokser mot uendelig på begge sider av bunnpunktet. Når \( {x < 0} \) er \( {\textcolor{blue}{-4}} \) den største verdien, og \( f \) går mot minus uendelig på begge sider av toppunktet. Det gir oss: \[ \begin{aligned} x > 0: \quad & f(x) \ge \textcolor{red}{4} \\ x < 0: \quad & f(x) \le \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på én side og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Vi løser den, og bruker \( {y(0) = 10} \) til å finne konstanten.

1. Separer variablene Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{x} \) på hver sin side, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= (1 - x)y \\ \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \int \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \\ \ln|y| &= x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {y(0) = 10 > 0}\text{,} \) er \( y \) positiv, så \( {|y| = y}\text{.} \) Vi skriver \( {\textcolor{green}{K} = e^{C}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |y| &= e^{x - \tfrac{1}{2}x^2 + C} \\ y &= e^{C} \cdot e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \\ y &= \textcolor{green}{K} e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \end{aligned} \]

4. Finn konstanten Vi setter inn \( {y(0) = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10 &= \textcolor{green}{K} e^{0} \\ \textcolor{green}{K} &= \textcolor{green}{10} \end{aligned} \]

Det gir oss løsningen vi skulle vise: \[ y(x) = \textcolor{green}{10}e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

For å finne den høyeste temperaturen setter vi \( {y'(x) = 0}\text{.} \) Den deriverte står allerede i differensiallikningen.

1. Sett den deriverte lik null For å finne et toppunkt setter vi den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Differensiallikningen gir: \[ y'(x) = (\textcolor{darkorange}{1 - x}) \cdot \textcolor{magenta}{y(x)} \]

\( {\textcolor{magenta}{y(x)} = 10e^{x - \tfrac{1}{2}x^2}} \) er alltid positiv, siden \( e \) opphøyd i noe aldri blir \( 0 \) eller negativ. Dermed må: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1 - x} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Vis at det er et toppunkt Siden \( \textcolor{magenta}{y(x)} \) er positiv, har \( y'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{darkorange}{1 - x}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le x < 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} > 0, \ \ y'(x) > 0 \\ x > 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} < 0, \ \ y'(x) < 0 \end{aligned} \]

Temperaturen stiger helt fram til \( {x = 1} \) og synker hele tiden etterpå. Da er \( {x = 1} \) det høyeste punktet på hele intervallet.

3. Regn ut temperaturen Vi setter \( {x = 1} \) inn i \( y(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} y(1) &= 10e^{1 - \tfrac{1}{2} \cdot 1^2} \\ &= 10e^{\tfrac{1}{2}} = 10\sqrt{e} \approx 16{,}5 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi lar \( x \) bli stor og ser hva som skjer med eksponenten i \( y(x)\text{.} \)

1. Se på eksponenten Vi lar \( x \) gå mot uendelig, som når vi leter etter en horisontal asymptote i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer eksponenten: \[ \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} = x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) \]

Når \( x \) blir stor, går \( x \) mot uendelig og parentesen mot minus uendelig. Dermed vet vi at: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} \right) = -\infty \]

2. Finn grenseverdien \( e \) opphøyd i et stort negativt tall er nesten \( 0\text{,} \) siden det er det samme som \( 1 \) delt på et stort tall. Det gir oss: \[ \lim_{x \to \infty} 10e^{\textcolor{blue}{x - \tfrac{1}{2}x^2}} = 10 \cdot 0 = 0 \]

Temperaturen er hele tiden over \( 0\,^\circ\text{C}\text{,} \) men kommer så nær vi vil etter hvert.

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4}(\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til a).

Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er null. Med en fortegnslinje ser vi hva slags punkter det er.

1. Sett den deriverte lik null I a) viste vi at: \[ f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \]

Vi setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Nevneren er aldri \( 0\text{,} \) så telleren må være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -4x^2 + 4 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1 \quad \text{eller} \quad x = 1 \end{aligned} \]

2. Lag en fortegnslinje Vi faktoriserer telleren som \( {\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}} \) ganger \( {\textcolor{magenta}{x - 1}}\text{.} \) Nevneren er alltid positiv, så fortegnet til \( f'(x) \) finner vi ved å gange fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}", "expr": "-4*(x + 1)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(-4*x^2 + 4)/(x^2 + 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{4 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = -2 \\ f(1) &= \dfrac{4 \cdot 1}{1^2 + 1} = 2 \end{aligned} \]

Vi bruker topp- og bunnpunktet fra b).

En vertikal asymptote krever at nevneren blir null, og en horisontal får vi ved å la \( x \) vokse. Skissen tegner vi fra asymptoten og noen punkter.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan bare være der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Men nevneren blir aldri \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 1 \ge 1 \]

Funksjonen har derfor ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi deler på \( \textcolor{blue}{x^2}\text{,} \) med samme metode som i videoen: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4x}{\textcolor{blue}{x^2}}}{\tfrac{x^2 + 1}{\textcolor{blue}{x^2}}} \\ &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4}{x}}{1 + \tfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0}{1} = 0 \end{aligned} \]

Dermed er \( {y = 0} \) en horisontal asymptote.

3. Skisser grafen I b) fant vi toppunktet \( (1, 2) \) og bunnpunktet \( {(-1, -2)}\text{.} \) Noen flere verdier: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(5) &= \dfrac{10}{13} \\ f(-5) &= -\dfrac{10}{13} \end{aligned} \]

Det gir denne skissen, der grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) på begge sider:

Vi bruker \( f'(x) \) fra a).

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen, som i videoen Tangentlinje, forteller oss at: \[ y = \textcolor{blue}{f'(a)}(x - \textcolor{green}{a}) + \textcolor{red}{f(a)} \]

Her er \( {\textcolor{green}{a} = 0{,}40 = \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Funksjonsverdien er: \[ \textcolor{red}{f\left(\dfrac{2}{5}\right)} = \dfrac{\tfrac{8}{5}}{\tfrac{4}{25} + 1} = \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{25}{29} = \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \]

I a) viste vi at \( {f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}}\text{.} \) Det gir stigningstallet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f'\left(\dfrac{2}{5}\right)} &= \dfrac{-\tfrac{16}{25} + 4}{\left(\tfrac{29}{25}\right)^2} \\ &= \dfrac{84}{25} \cdot \dfrac{625}{841} = \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}}\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}\right) + \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \\ &= \dfrac{2100}{841}x - \dfrac{840}{841} + \dfrac{1160}{841} \\ &= \dfrac{2100}{841}x + \dfrac{320}{841} \end{aligned} \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene like: \[ \dfrac{4x}{x^2 + 1} = \dfrac{4}{5}x \]

\( {x = 0} \) er én løsning. For \( {x \neq 0} \) deler vi på \( 4x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^2 + 1} &= \dfrac{1}{5} \\ x^2 + 1 &= 5 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

I første kvadrant er \( {x > 0}\text{,} \) så vi bruker ikke \( {x = -2}\text{.} \) Mellom skjæringspunktene ligger \( f \) øverst: \[ f(1) = 2 > \dfrac{4}{5} = g(1) \]

2. Sett opp integralet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_0^2 \left(\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}} - \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x}\right) dx \]

3. Integrer ledd for ledd \( {\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}}}\text{:} \) Vi bruker substitusjon med \( {u = x^2 + 1} \) og \( {du = 2x\,dx}\text{:} \) \[ \int \dfrac{2}{u}\,du = 2\ln u = \underline{\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \left[\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)} - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}\right]_0^2 \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} - (2\ln 1 - 0) \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

Vi skriver volumet uttrykt med \( x \) og \( h\text{,} \) og setter det lik \( 200\text{.} \) Så løser vi for \( h\text{.} \)

1. Sett opp volumet Volumet av et prisme, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ V = G \cdot h = \textcolor{red}{l} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot h \]

Her er: \[ \textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}, \quad V = 200 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( h\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot h &= 200 \\ 4x^2 h &= 200 \\ h &= \dfrac{200}{4x^2} = \dfrac{50}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( h \) står i oppgaveteksten til a).

Vi legger sammen de seks sideflatene, og setter inn uttrykket for \( h\text{.} \)

1. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ O = 2(\textcolor{red}{l}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{red}{l}h + \textcolor{blue}{b}h) \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} O &= 2(\textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{4x}h + \textcolor{blue}{x}h) \\ &= 8x^2 + 10xh \end{aligned} \]

2. Sett inn høyden I a) viste vi at \( {h = \dfrac{50}{x^2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O(x) &= 8x^2 + 10x \cdot \dfrac{50}{x^2} \\ &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( O(x) \) står i oppgaveteksten til b).

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null. En fortegnslinje viser at punktet gir den minste overflaten.

1. Deriver overflaten I b) viste vi at \( {O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2}\text{.} \) Vi skriver \( {\dfrac{500}{x} = 500x^{-1}} \) og bruker regelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^n\right)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -500x^{-2} + 16x \\ &= -\dfrac{500}{x^2} + \dfrac{16x^3}{x^2} \\ &= \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2} \end{aligned} \]

2. Finn hvor den deriverte er null Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16x^3 &= 500 \\ x^3 &= \dfrac{125}{4} \\ x &= \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \end{aligned} \]

Fortegnslinjen setter vi opp som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Nevneren \( x^2 \) er positiv for \( {x > 0}\text{,} \) så fortegnet følger telleren: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [3.149802624737183], "labels": ["\\dfrac{5}{\\sqrt[3]{4}}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-500 + 16x^3}", "expr": "-500 + 16*x^3"}, {"label": "O'(x)", "expr": "(-500 + 16*x^3)/x^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( O'(x) \) går fra minus til pluss: overflaten synker og så stiger, så her er den minst.

3. Regn ut målene Bredden er \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}}\text{.} \) Det gir oss lengden og høyden: \[ \begin{aligned} l &= 4x = \dfrac{20}{\sqrt[3]{4}} \approx 12{,}60 \\ b &= x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \approx 3{,}15 \\ h &= \dfrac{50}{x^2} = 2\sqrt[3]{16} \approx 5{,}04 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter inn \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}} \) og \( {x^2 = \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \\ &= 500 \cdot \dfrac{\sqrt[3]{4}}{5} + 8 \cdot \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}} \\ &= 100\sqrt[3]{4} + \dfrac{200}{\sqrt[3]{16}} \end{aligned} \]

Siden \( {\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} = 4}\text{,} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O &= 100\sqrt[3]{4} + 50\sqrt[3]{4} \\ &= 150\sqrt[3]{4} \approx 238{,}1 \end{aligned} \]

Vi ser at uttrykket består av røtter. Vi skriver derfor røttene som potenser og samler like grunntall.

1. Skriv røttene som potenser Reglene for røtter og potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sqrt[n]{p} &= p^{\tfrac{1}{n}} \\ (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Hvis du er usikker, kan du se videoene Potenser og røtter og Flere regneregler med Potenser.

Plugger vi dette inn, får vi hver rot for seg, der \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) har hver sin farge: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4)^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \\ \sqrt[3]{(\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^6} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^{\tfrac{6}{3}} = \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2 \\ \sqrt[4]{\textcolor{blue}{a}^{10}} &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{10}{4}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \end{aligned} \]

2. Samle like grunntall Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene. Når vi deler, trekker vi dem fra: \[ \begin{aligned} p^n \cdot p^m &= p^{n + m} \\ \dfrac{p^n}{p^m} &= p^{n - m} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \cdot \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2}{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^2} \\ &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2} + 2 - \tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^{2 - 2} \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{blue}{a}^0 \cdot \textcolor{red}{b}^0 \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{green}{c}^2 \end{aligned} \]

Den siste overgangen bruker at et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ p^0 = 1 \]

Vi ser at det ene leddet har et tall foran \( \ln\text{.} \) Vi flytter det inn som eksponent med logaritmeregelen.

1. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{u} = \ln\left( \textcolor{red}{u}^{\textcolor{blue}{n}} \right) \]Se videoen Naturlige Logaritmer hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2a} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{2} \ln(\textcolor{red}{2a}) = \ln\left( (\textcolor{red}{2a})^{\textcolor{blue}{2}} \right) = \ln(4a^2) \]

2. Trekk sammen Begge leddene er det samme, så de går opp i hverandre: \[ \ln(4a^2) - \ln(4a^2) = 0 \]

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og \( \cos(3x) \) med kjerneregelen. Hvert ledd har sin farge.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( 3x^4 \) derivert blir: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 4x^3 = \underline{12x^3}} \]

2. Deriver det andre leddet \( \cos(3x) \) har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{u})' = -\sin \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{3x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{(\cos(3x))'} &\textcolor{red}{{}= -\sin(3x) \cdot 3} \\ &\textcolor{red}{{}= \underline{-3\sin(3x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det siste leddet Derivasjonsregelen for \( \ln x \) forteller oss at: \[ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( {-5\ln x} \) derivert blir: \[ \textcolor{darkorange}{-5 \cdot \dfrac{1}{x} = \underline{-\dfrac{5}{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{12x^3} \textcolor{red}{{}- 3\sin(3x)} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{5}{x}} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Med kjerneregelen er \( {(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}}\text{,} \) får vi: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \left( 2\ln x + \dfrac{1}{x} \right) \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Se videoen Kvotientregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x} (x^2 - 2x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \]

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd, og hvert ledd har sin farge.

1. Integrer ledd for ledd \( x^4\text{:} \) Regelen forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir: \[ \textcolor{blue}{\int x^4 \, dx = \underline{\dfrac{x^5}{5}}} \]

\( \sin(3x)\text{:} \) Regelen fra samme video, Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \sin(nx) \, dx = -\dfrac{\cos(nx)}{n} + C \]Med \( {n = 3} \) får vi: \[ \textcolor{red}{\int \sin(3x) \, dx = \underline{-\dfrac{\cos(3x)}{3}}} \]

\( e^{2x}\text{:} \) Regelen fra Basic integrasjonsregler/​formler forteller oss at: \[ \int e^{nx} \, dx = \dfrac{e^{nx}}{n} + C \]Med \( {n = 2} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\int e^{2x} \, dx = \underline{\dfrac{e^{2x}}{2}}} \]

Slår vi dette sammen, og tar med én konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{x^5}{5}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{\cos(3x)}{3}} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{e^{2x}}{2}} + C \]

Vi ser at \( x^6 \) nesten er den deriverte av eksponenten \( x^7\text{.} \) Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjon Substitusjon med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{g(x)}} \) forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot g'(x) \, dx = \int f(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^7} \\ du &= 7x^6 \, dx \\ x^6 \, dx &= \dfrac{1}{7} \, du \end{aligned} \]

2. Integrer og bytt tilbake Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int x^6 e^{x^7} \, dx &= \int e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{7} \, du \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{x^7}} + C \end{aligned} \]

For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 1}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

\( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^x} > 0 \]

Da må den andre faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Så setter vi den deriverte lik \( 0 \) og ser på fortegnet rundt punktet.

1. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 1}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x (1 + x - 1) \\ &= x e^x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{magenta}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ x = 0 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene:

:::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "x*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så her er et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = 0} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(0) = (0 - 1) \cdot e^0 = -1 \]

Den deriverte er bare \( 0 \) i dette ene punktet, så funksjonen har ingen toppunkt.

Vi bruker den deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0 \) og skifter fortegn. Vi deriverer derfor \( f'(x) \) én gang til.

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = x e^x \]

Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= (x + 1)e^x \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ (\textcolor{magenta}{x + 1}) \cdot \textcolor{darkorange}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ x = -1 \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene:

:::fortegnsskjema {"points": [-1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(x + 1)*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f''(x) \) fra minus til pluss, så her er et vendepunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = -1} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(-1) = (-1 - 1) \cdot e^{-1} = -\dfrac{2}{e} \]

Vi bruker den deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

For å skrive opp tangenten trenger vi funksjonsverdien og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \)

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = f'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + f(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje.

I b) fant vi \( {f'(x) = x e^x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{1} \\ f(\textcolor{green}{1}) &= (1 - 1) \cdot e^1 = \textcolor{red}{0} \\ f'(\textcolor{green}{1}) &= 1 \cdot e^1 = \textcolor{blue}{e} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{e}(x - \textcolor{green}{1}) + \textcolor{red}{0} \\ &= ex - e \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), b) og c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi samler punktene vi har funnet, finner hva grafen gjør til venstre og til høyre, og tegner kurven gjennom punktene.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{nullpunkt: } & (1, 0) \\ \text{bunnpunkt: } & (0, -1) \\ \text{vendepunkt: } & \left( -1, -\dfrac{2}{e} \right) \end{aligned} \]

Vi regner ut to punkter til, ett på hver side, som i videoen Grenseverdier, der vi setter inn verdier for å se hva grafen gjør: \[ \begin{aligned} f(2) &= (2 - 1) \cdot e^2 \\ &= e^2 \approx 7{,}4 \\ f(-3) &= (-3 - 1) \cdot e^{-3} \\ &= -\dfrac{4}{e^3} \approx -0{,}2 \end{aligned} \]

2. Finn formen til grafen Vi lar \( x \) bli stor og negativ. Da går \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) mot minus uendelig og \( \textcolor{blue}{e^x} \) mot \( 0\text{,} \) så det kan vi ikke avgjøre med en gang.

\( \textcolor{blue}{e^x} \) går mot \( 0 \) mye raskere enn \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) vokser. \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) er negativ, så grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) nedenfra: \[ \lim_{x \to -\infty} (\textcolor{red}{x - 1})\textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Når \( x \) blir stor, vokser begge faktorene: \[ \lim_{x \to \infty} (\textcolor{red}{x - 1})\textcolor{blue}{e^x} = \infty \]

3. Tegn grafen Grafen synker ned til bunnpunktet og stiger så gjennom nullpunktet:

Fra \( {x = 1} \) til \( {x = 2} \) ligger grafen over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( f\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Sett opp integralet For \( {x \geq 1} \) er begge faktorene ikke-negative: \[ (x - 1) \geq 0, \qquad e^x > 0 \]

Arealet under grafen er derfor integralet fra \( 1 \) til \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 (x - 1)e^x \, dx \]

2. Skriv opp delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v'} \, dx = \Big[ \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v} \Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'} \textcolor{blue}{v} \, dx \]Se videoen Delvis integrasjon hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \Big[ (\textcolor{red}{x - 1}) \textcolor{blue}{e^x} \Big]_1^2 - \int_1^2 \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \, dx \\ &= \Big[ (x - 1)e^x \Big]_1^2 - \Big[ e^x \Big]_1^2 \\ &= (e^2 - 0) - (e^2 - e) \\ &= e \end{aligned} \]

Lengden av hver del er omkretsen til figuren. Fra omkretsen finner vi siden i kvadratet og radien i sirkelen, og så arealene.

1. Finn arealet av kvadratet Delen med lengde \( x \) er omkretsen til kvadratet. Et kvadrat har fire like sider, så hver side er: \[ \textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \]

Et kvadrat er et rektangel med like sider, som har arealet lengde ganger bredde i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{s}^2 = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 \]

2. Finn arealet av sirkelen Resten av strengen er \( {1 - x}\text{,} \) og det er omkretsen til sirkelen. Omkretsen av en sirkel er: \[ O = 2\pi \textcolor{red}{r} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2\pi \textcolor{red}{r} &= 1 - x \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \end{aligned} \]

Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{:} \) \[ \pi \textcolor{red}{r}^2 = \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 + \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

Delen \( x \) er en del av en streng på \( 1 \) meter, så den er mellom \( 0 \) og \( 1\text{:} \) \[ x \in [0, 1] \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(x) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Den andrederiverte viser at det er et minimum.

1. Forenkle og deriver Vi skriver om det andre leddet, slik at det blir enklere å derivere: \[ \begin{aligned} \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2 &= \pi \cdot \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi^2} \\ &= \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(\textcolor{green}{1 - x})^2}{4\pi} \]

Det andre leddet har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{u}^2)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{2x}{16} + \dfrac{2(\textcolor{green}{1 - x}) \cdot (\textcolor{green}{-1})}{4\pi} \\ &= \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( 8\pi \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} &= 0 \\ \pi x - 4(1 - x) &= 0 \\ \pi x + 4x &= 4 \\ x(\pi + 4) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Dette er en verdi i intervallet \( [0, 1]\text{.} \)

3. Vis at det er et minimum Den andrederiverte er: \[ A''(x) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2\pi} > 0 \]

Den er positiv for alle \( x\text{,} \) så grafen vender hele tiden den hule siden opp. Punktet er derfor det laveste på hele intervallet.

4. Regn ut arealet Vi setter inn \( {x = \dfrac{4}{\pi + 4}}\text{.} \) Vi trenger: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{4} &= \dfrac{1}{\pi + 4} \\ 1 - x &= 1 - \dfrac{4}{\pi + 4} = \dfrac{\pi}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formen fra første steg, \( {A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi^2}{4\pi(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{4 + \pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{4(\pi + 4)} \end{aligned} \]