Forkurseksamen etter tema

Buen møter vannet der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Bredden er avstanden mellom de to punktene.

1. Sett funksjonen lik null Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}09x^2 + 9 &= 0 \\ 0{,}09x^2 &= 9 \\ x^2 &= 100 \end{aligned} \]

Vi tar kvadratroten på begge sider, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?, og får to løsninger: \[ x = \textcolor{blue}{-10} \quad \text{eller} \quad x = \textcolor{red}{10} \]

2. Regn ut bredden Bredden er avstanden mellom punktene: \[ \text{Bredde} = \textcolor{red}{10} - (\textcolor{blue}{-10}) = 20 \]

Vi bruker fra a) at buen treffer vannet i \( {x = -10} \) og \( {x = 10}\text{.} \)

Sideflaten er et rektangel der vi tar bort arealet under buen. Rektangelet er \( 20\,\text{m} \) bredt og \( 11\,\text{m} \) høyt.

1. Regn ut rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganget med bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{A_{\text{rektangel}}} = 20 \cdot 11 = \textcolor{blue}{220} \]

2. Regn ut arealet under buen Arealet under grafen er integralet mellom nullpunktene, som i videoen Hva er integrasjon. Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A_{\text{bue}}} &= \int_{-10}^{10} (-0{,}09x^2 + 9)\,dx \\ &= \left[ -0{,}03x^3 + 9x \right]_{-10}^{10} \\ &= (-30 + 90) - (30 - 90) \\ &= 60 + 60 = \textcolor{red}{120} \end{aligned} \]

3. Trekk fra Sideflaten er rektangelet minus arealet under buen: \[ A = \textcolor{blue}{220} - \textcolor{red}{120} = 100 \]

Lekteren er \( 12\,\text{m} \) bred, så midt i elva går hjørnene i \( {x = -6} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Vi ser om buen er høyere enn lekteren der.

1. Regn ut høyden ved hjørnene Brua er symmetrisk, så det holder å se på \( {\textcolor{blue}{x = 6}}\text{.} \) Der er buen: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{6}) &= -0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 9 \\ &= -3{,}24 + 9 \\ &= \textcolor{red}{5{,}76} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med lekteren Buen er høyere enn lekteren ved hjørnene: \[ \textcolor{red}{5{,}76} > 5{,}5 \]Lengre inn mot midten er buen enda høyere, så lekteren kan passere midt i elva, med \( 0{,}26\,\text{m} \) klaring.

Vi lar hjørnene øverst følge buen. Arealet er da bredden ganget med høyden, begge uttrykt med \( x\text{.} \)

1. Sett opp bredde og høyde Rektangelet står midt under brua, med hjørner i \( {-x} \) og \( x\text{,} \) der \( {0 < x < 10}\text{.} \) Det blir høyest mulig når de øverste hjørnene treffer buen:

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= \textcolor{blue}{2x} \\ \textcolor{red}{\text{høyde}} &= \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9} \end{aligned} \]

2. Gang sammen Arealet av et rektangel er bredden ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A(x) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot (\textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9}) \\ &= -0{,}18x^3 + 18x \\ &= 18x - 0{,}18x^3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til d), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten, og bredden er \( 2x\text{.} \)

Arealet er størst der den deriverte er \( 0 \) og går fra pluss til minus. Vi finner \( x \) der, og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} (18x)' &= 18 \\ (0{,}18x^3)' &= 0{,}54x^2 \\ A'(x) &= 18 - 0{,}54x^2 \end{aligned} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 18 - 0{,}54x^2 &= 0 \\ x^2 &= \dfrac{18}{0{,}54} = \dfrac{100}{3} \\ x &= \pm\dfrac{10}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

Bare den positive løsningen gir mening, siden \( {0 < x < 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} \approx 5{,}77 \]

2. Sjekk at det er et toppunkt Vi ser på fortegnet til \( A'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A'(5) &= 18 - 13{,}5 = 4{,}5 > 0 \\ A'(6) &= 18 - 19{,}44 = -1{,}44 < 0 \end{aligned} \]Den deriverte går fra pluss til minus, så arealet er størst i \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{10}{\sqrt{3}}}}\text{.} \)

3. Regn ut bredden Bredden er \( 2x\text{:} \) \[ \text{Bredde} = 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \]

Grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( F(x) \) fra \( {-1} \) til \( 1\text{.} \)

1. Sett opp integralet Arealet under grafen er integralet mellom grensene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{2} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx} \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 1} \) i det første leddet og \( {n = -1} \) i det andre: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{e^x}\,dx &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \int \textcolor{red}{e^{-x}}\,dx &= \textcolor{red}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \left[ \textcolor{blue}{e^x} \textcolor{red}{- e^{-x}} \right]_{-1}^{1} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( (e - e^{-1}) - (e^{-1} - e) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 2e - 2e^{-1} \right) \\ &= e - \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Vi bruker volumformelen for et omdreiningslegeme. Vi må først kvadrere \( F(x)\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme om \( {x\text{-aksen}} \) er: \[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} F(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på volumformelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse. Her er grensene \( {x_1 = -1} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)

2. Kvadrer funksjonen Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Den står i videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{e^{-x}} \\ \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} &= e^{x - x} = 1 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} F(x)^2 &= \dfrac{1}{4} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right)^2 \\ &= \dfrac{1}{4} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, med regelen \( {\int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx}} \) fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \int_{-1}^{1} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) dx \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left[ \dfrac{1}{2} e^{2x} + 2x - \dfrac{1}{2} e^{-2x} \right]_{-1}^{1} \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, først \( 1 \) og så \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^2 + 2 - \dfrac{1}{2} e^{-2} \right) \\ &\quad - \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^{-2} - 2 - \dfrac{1}{2} e^2 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left( e^2 - e^{-2} + 4 \right) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\sin x} \\ du &= \cos x\,dx \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = \dfrac{\pi}{2} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \\ x = \dfrac{2\pi}{3} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som du finner i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{2\pi}{3}} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx &= \int_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \Big[\ln|\textcolor{green}{u}|\Big]_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \ln 1 \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler først med polynomdivisjon. Så integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {4x^2 + 4x + 2} \) på \( {2x - 1} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^2} + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (2x - 1) &= 4x^2 - 2x \\ -(4x^2 - 2x) &= \textcolor{red}{-4x^2 + 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & 6x & {}+ 2 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {4x + 2x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2\text{.} \) Linja \( {6x + 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{magenta}{3} \cdot (2x - 1) &= 6x - 3 \\ -(6x - 3) &= \textcolor{magenta}{-6x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}+ 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-6x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3} \\ \hline & & 5 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {2 + 3 = 5}\text{.} \) Tallet 5 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 5 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x^2 + 4x + 2}{2x - 1} = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} + \dfrac{5}{2x - 1} \]

2. Integrer ledd for ledd De to første leddene integrerer vi som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int (\textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3})\,dx = x^2 + 3x \]

Det siste leddet løser vi med substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{2x - 1} \\ du &= 2\,dx \\ dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Siden \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{5}{\textcolor{blue}{2x - 1}}\,dx &= \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,du \\ &= \dfrac{5}{2}\ln|\textcolor{blue}{2x - 1}| + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ x^2 + 3x + \dfrac{5}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre: \[ \begin{aligned} 2x^2 - 2x + 3 &= -x^2 + 4x + 3 \\ 3x^2 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( 3x\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 3x(x - 2) &= 0 \\ x = \textcolor{blue}{0} \quad &\text{eller} \quad x = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn hvilken graf som er øverst Vi tester \( {x = 1} \) mellom skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 2 - 2 + 3 = 3 \\ g(1) &= -1 + 4 + 3 = 6 \end{aligned} \]

Så \( g \) ligger øverst.

3. Regn ut integralet Arealet under en graf er et integral, som i videoen Hva er integrasjon. Mellom to grafer tar vi den øverste minus den nederste. Grensene \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{2} \) er skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \left(g(x) - f(x)\right)dx \\ &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} (-3x^2 + 6x)\,dx \\ &= \Big[-x^3 + 3x^2\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (-8 + 12) - 0 = 4 \end{aligned} \]

Vi starter med formelen for \( \cos 2x\text{,} \) og bruker enhetsformelen til å få bort \( \cos^2 x\text{.} \)

1. Skriv opp de to formlene Formelen for dobbel vinkel og enhetsformelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{\cos^2 x} - \sin^2 x \\ \textcolor{red}{\cos^2 x} &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} \end{aligned} \]Enhetsformelen er Pytagoras på katetene i enhetssirkelen, som du ser i videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Sett inn og løs for sinus Plugger vi den andre inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} - \sin^2 x \\ \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \end{aligned} \]

Vi løser for \( \sin^2 x \) og får: \[ \begin{aligned} 2\sin^2 x &= 1 - \cos 2x \\ \sin^2 x &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( f \) om til en vanlig cosinusfunksjon. Da kan vi lese av alle de tre størrelsene.

1. Skriv om funksjonen Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\cos(\textcolor{blue}{2}x) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Les av størrelsene En cosinusfunksjon på formen \( {\textcolor{red}{A}\cos(\textcolor{blue}{k}x) + \textcolor{green}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= |\textcolor{red}{A}| \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{d} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{k}} \end{aligned} \]At sinus og cosinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= \left|\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right| = \dfrac{1}{2} \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{2}} = \pi \end{aligned} \]

Vi bruker amplituden \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) likevektslinjen \( {y = \dfrac{1}{2}} \) og perioden \( \pi \) fra b).

Vi regner ut funksjonsverdien der grafen snur, og tegner en bølge gjennom punktene.

1. Regn ut punktene Grafen svinger \( \dfrac{1}{2} \) opp og ned fra \( {y = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) altså mellom \( 0 \) og \( 1\text{.} \) Perioden er \( \pi\text{,} \) så den snur for hver \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Sinusverdiene står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \sin^2 0 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(\pi)} &= \sin^2 \pi = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{3\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(2\pi)} &= \sin^2 2\pi = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Tegn grafen Vi tegner en jevn bølge gjennom punktene, med to hele perioder på intervallet:

Verdimengden er alle verdiene funksjonen kan få. Vi starter med hva vi vet om sinus.

1. Finn største og minste verdi Sinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da er \( \sin^2 x \) høyst \( 1\text{,} \) og et kvadrat er aldri negativt: \[ \begin{aligned} |\sin x| \leq 1 \ &\Rightarrow \ \sin^2 x \leq 1 \\ \sin^2 x &\geq 0 \end{aligned} \]

Begge endene blir nådd, og \( f \) er kontinuerlig, så den får også alle verdiene imellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( \sin^2 x \) om til to ledd som er enkle å integrere. Vi tar dem ledd for ledd.

1. Skriv om integralet Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \sin^2 x \, dx \\ &= \int \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{2}\cos 2x}\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x}}\text{.} \)

For det andre leddet forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \cos(nx)\,dx = \dfrac{1}{n}\sin(nx) + C \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\cos 2x}\,dx \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2x + C \\ &= \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}\sin 2x}} + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{4}\sin 2x} + C \]

I e) fant vi at \[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C \]

Vi skriver \( \sin^2 x \) som et produkt. Da dukker det opprinnelige integralet opp igjen, og vi kan løse for det som i en likning.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I &= \int \sin^2 x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\sin x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\cos x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x})\,dx \\ &= -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx \end{aligned} \]

2. Løs for integralet Enhetsformelen gir \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x}\text{.} \) Da kommer \( \textcolor{darkorange}{I} \) tilbake på høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2 x)dx \\ &= -\sin x \cos x + \int 1\,dx - \textcolor{darkorange}{I} \\ \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + x - \textcolor{darkorange}{I} \end{aligned} \]

Vi legger \( \textcolor{darkorange}{I} \) til på begge sider, deler på \( 2 \) og tar med konstanten: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{I} &= x - \sin x \cos x + C_1 \\ \textcolor{darkorange}{I} &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\sin x \cos x + C \end{aligned} \]

3. Sammenlign med e) Resultatet ser annerledes ut enn i e). Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi denne inn i svaret fra e), får vi: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{4}\sin 2x &= -\dfrac{1}{4} \cdot 2\sin x \cos x \\ &= -\dfrac{1}{2}\sin x \cos x \end{aligned} \]

De to svarene er altså det samme uttrykket, skrevet på to måter.

Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene. Merk at \( e^2 \) bare er en konstant.

1. Integrer ledd for ledd Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn hvert ledd, og integrerer \( \textcolor{green}{e^2} \) som en konstant, får vi: \[ F(x) = x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + 3x^2 + \textcolor{green}{e^2}x \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er gitt ved: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {a = -2} \) og \( {b = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(2)} &= \textcolor{blue}{16 - \dfrac{16}{3} + 12 + 2\textcolor{green}{e^2}} \\ \textcolor{red}{F(-2)} &= \textcolor{red}{16 + \dfrac{16}{3} + 12 - 2\textcolor{green}{e^2}} \end{aligned} \]

Trekker vi fra, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{F(2)} - \textcolor{red}{F(-2)} \\ &= -\dfrac{16}{3} - \dfrac{16}{3} + 2\textcolor{green}{e^2} + 2\textcolor{green}{e^2} \\ &= 4\textcolor{green}{e^2} - \dfrac{32}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Da passer substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter, som i videoen Substitusjon: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x} \]

Deriverer vi begge sider og løser for \( dx\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= \cos x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, stryker \( \cos x \) mot \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{\sin^2 x}}\,dx &= \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{u}^2} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Potensregelen for integraler, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int u^n\,du = \dfrac{1}{n + 1}u^{n + 1} + C \]

Her er \( {n = -2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} = -\textcolor{green}{u}^{-1} + C = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} + C \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{\sin x}} + C \]

Et rotasjonslegeme kalles også et omdreiningslegeme. Vi bruker formelen for volumet om \( {x\text{-aksen,}} \) der radien er funksjonsverdien.

1. Sett opp integralet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er gitt ved: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \textcolor{green}{f(x)}^2\,dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \textcolor{green}{f(x)} = \textcolor{green}{e^x}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} (\textcolor{green}{e^x})^2\,dx = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} e^{2x}\,dx \]

2. Regn ut integralet Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n}e^{nx} + C \]Du finner regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} \\ &= \pi\left(\dfrac{1}{2}e^{2} - \dfrac{1}{2}e^{0}\right) \\ &= \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1) \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Faktoren \( {y + 1} \) kan vi forkorte bort først.

1. Separer likningen Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = y} \) og \( {b = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ (y - 1)\textcolor{darkorange}{(y + 1)}y' = 3\textcolor{darkorange}{(y + 1)} \]

Vi starter i \( {y = 2}\text{,} \) så \( {y + 1 \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på \( {\textcolor{darkorange}{(y + 1)}}\text{.} \) Så skriver vi \( {y' = \dfrac{dy}{dx}} \) og separerer, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} (y - 1)\dfrac{dy}{dx} &= 3 \\ (y - 1)\,dy &= 3\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider \[ \begin{aligned} \int (y - 1)\,dy &= \int 3\,dx \\ \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x + \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]

3. Bruk initialverdien Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 &= 3 \cdot 1 + \textcolor{green}{C} \\ 0 &= 3 + \textcolor{green}{C} \\ \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{-3} \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi setter inn \( \textcolor{green}{C} \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x \textcolor{green}{{}- 3} \\ y^2 - 2y &= 6x - 6 \\ y^2 - 2y + 6 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Dette er en andregradslikning i \( y\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at: \[ y = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}c}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad c = 6 - 6x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (6 - 6x)}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{24x - 20}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{6x - 5} \end{aligned} \]

5. Velg riktig fortegn Vi setter inn \( {x = 1} \) i begge og sammenligner med \( {y(1) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 2 \\ 1 - \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 0 \end{aligned} \]

Bare plusstegnet passer. Løsningen gjelder for \( {x > \dfrac{5}{6}}\text{,} \) der roten er positiv.

Vi ser et produkt av \( x \) og \( e^x\text{.} \) \( x \) blir enklere når den deriveres, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'} \, dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^x \, dx &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{blue}{e^x} \cdot \textcolor{red}{1} \, dx \\ &= x e^x - e^x + C \\ &= (x - 1)e^x + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2\pi x \) er den deriverte av det som står inni sinus. Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjonen Vi setter det som står inni sinus lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x^2 + 1} \\ \dfrac{du}{dx} &= \textcolor{blue}{2\pi x} \\ du &= \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx \end{aligned} \]

2. Integrer og sett tilbake Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx = \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Sinus integrert er minus cosinus, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du = -\cos(\textcolor{green}{u}) + C \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x^2 + 1}}\text{,} \) får vi: \[ -\cos(\textcolor{green}{\pi x^2 + 1}) + C \]

Nevneren er allerede faktorisert, så vi deler brøken opp med delbrøksoppspalting. Da kan vi integrere hver del for seg.

1. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 3} \]

Ganger vi med \( {(x + 1)(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x - 3) + \textcolor{blue}{B}(x + 1) \\ x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x - 3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Leddene med \( x \) og konstantleddene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 1 \\ -3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{red}{A} &= 2 \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{blue}{B} &= 1 - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Integrer delbrøkene Regelen for brøken, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{x + n} \, dx = \ln|x + n| + C \]

Nevnerne er ikke \( 0 \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så integralet finnes. En konstant foran brøken blir stående. Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{red}{1/2}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{x - 3}\right) dx \\ &= \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln|x + 1| + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln|x - 3|\right]_0^1 \end{aligned} \]

4. Sett inn grensene Med \( {x = 1} \) og \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} x = 1 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 = \ln 2 \\ x = 0 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 1 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln 3 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, og bruker logaritmereglene, får vi: \[ \begin{aligned} \ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 3 &= \dfrac{1}{2}(\ln 4 - \ln 3) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]

Vi setter \( {x = 0} \) for \( {y\text{-aksen}} \) og \( {f(x) = 0} \) for \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn skjæringspunktene Med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{0}) = \dfrac{\textcolor{blue}{0}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{0} - 1} = 0 \]

Med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Nevneren er \( {-1} \) for \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{,} \) så brøken finnes der. Begge gir samme punkt, origo.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon for å finne en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Telleren er \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 0} \) der, så \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 + 0x} \) på \( {(2x - 1)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \cdot (2x - 1) &= x^2 - \dfrac{1}{2}x \\ -(x^2 - \dfrac{1}{2}x) &= \textcolor{red}{-x^2 + \dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \dfrac{1}{2}x & \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) og \( {0x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}x}\text{.} \) Linja \( \dfrac{1}{2}x \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \cdot (2x - 1) &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \\ -(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}) &= \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{\dfrac{1}{2}x}} & \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-\dfrac{1}{2}x}} & \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \\ \hline & & \dfrac{1}{4} \end{array} \end{array} \]\( \dfrac{1}{2}x \) strykes mot \( {-\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) og \( {0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}}\text{.} \) Tallet \( \dfrac{1}{4} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( \dfrac{1}{4} \) er restleddet.

3. Les av den skrå asymptoten Restleddet delt på nevneren legges til svaret: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} + \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \]

Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, blir nevneren i den siste brøken stor i tallverdi, og brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \to 0 \]

Da nærmer grafen seg linja \( {y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}}\text{,} \) og det er den skrå asymptoten. Siden \( |f(x)| \) vokser uten grense, har grafen ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{2x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2x}(\textcolor{blue}{2x - 1}) - \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{2}}{(\textcolor{blue}{2x - 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x(x - 1)}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn ekstremalpunktene For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 1)} &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 0.5, 1], "labels": ["0", "\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "(2x - 1)^2", "expr": "(2x - 1)^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "2x(x - 1)/(2x - 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor \( f'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-verdiene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{0^2}{2 \cdot 0 - 1} = 0 \\ f(1) &= \dfrac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = 1 \end{aligned} \]

Vi bruker polynomdivisjonen fra b), som gir oss \( f(x) \) skrevet som ledd vi kan integrere.

Arealet under grafen er et bestemt integral. Vi integrerer ledd for ledd.

1. Sett opp integralet For \( x \) mellom \( 1 \) og \( 2 \) er både telleren og nevneren positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor integralet, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 f(x) \, dx \]

I b) fant vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2x - 1}} \]

2. Integrer ledd for ledd Reglene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Den gjelder også konstanten, siden \( {\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}x^0}\text{.} \)

Brøken følger regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, med en faktor \( \dfrac{1}{2} \) fordi kjernen \( {2x - 1} \) har derivert \( 2\text{:} \) \[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Her er \( {2x - 1 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdien. Leddene gir: \[ A = \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}x^2} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)}\right]_1^2 \]

3. Sett inn grensene Vi setter inn øvre og nedre grense, med \( {\ln 1 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\textcolor{red}{1} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln 3}\right) \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{0}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3 \end{aligned} \]

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi ganger opp nevneren og får en andregradslikning.

1. Sett funksjonene like Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og ganger med nevneren, som ikke er \( 0 \) for \( {x \neq \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{2x - 1} &= x \\ x^2 &= x(2x - 1) \\ x^2 &= 2x^2 - x \\ 0 &= x^2 - x \end{aligned} \]

2. Faktoriser og finn punktene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor som felles faktor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x}(x - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

\( {y\text{-verdien}} \) finner vi i \( {g(x) = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(0) &= 0 \\ g(1) &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]