Forkurseksamen etter tema

Koeffisienten \( k \) er et ledd delt på leddet foran. Vi regner ut begge kvotientene og viser at begge blir \( 2\cos\dfrac{x}{2}\text{.} \)

1. Skriv opp leddene Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{red}{a_2} &= \textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{green}{a_3} &= \textcolor{green}{\sin x} \end{aligned} \]Vi regner for de \( x \) der leddene finnes og ikke er \( 0\text{.} \)

2. Del andre ledd på første Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_2}}{\textcolor{blue}{a_1}} &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}}} \\ &= \sin\dfrac{x}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]

3. Del tredje ledd på andre Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2u) = 2\sin u \cos u \]

Her er \( {u = \dfrac{x}{2}}\text{,} \) så \( {2u = x}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\sin x} = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{green}{a_3}}{\textcolor{red}{a_2}} &= \dfrac{\textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}} \\ &= \dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]

Begge kvotientene blir det samme, så \( k \) er den samme mellom \( a_1 \) og \( a_2\text{,} \) og mellom \( a_2 \) og \( a_3\text{.} \)

Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a).

En geometrisk rekke konvergerer når \( k \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi setter inn \( k \) og finner hvilke \( x \) det gir.

1. Skriv opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \Leftrightarrow -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{k = 2\cos\dfrac{x}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 &< \textcolor{blue}{2\cos\dfrac{x}{2}} < 1 \\ -\dfrac{1}{2} &< \cos\dfrac{x}{2} < \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Vi setter \( {\textcolor{red}{u} = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Siden \( {0 \le x < 4\pi}\text{,} \) er \( {0 \le \textcolor{red}{u} < 2\pi}\text{.} \) Der er: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{red}{u} = \dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \\ \cos \textcolor{red}{u} = -\dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3} \end{aligned} \]Tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser hvordan cosinus går fra \( 1 \) ned til \( {-1} \) og opp igjen.

Cosinus synker fra \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{3} \) til \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{2\pi}{3}\text{,} \) og stiger igjen fra \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{4\pi}{3} \) til \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{5\pi}{3}\text{.} \) Enhetssirkelen brukes til dette i videoen Oppgave 2B - Løs ulikheten. Cosinus ligger altså mellom \( {-\dfrac{1}{2}} \) og \( \dfrac{1}{2} \) for: \[ \dfrac{\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{2\pi}{3} \quad \text{eller} \quad \dfrac{4\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{5\pi}{3} \]

3. Gå tilbake til x Vi ganger med \( 2\text{,} \) siden \( {x = 2\textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3} \quad \text{eller} \\ &\dfrac{8\pi}{3} < x < \dfrac{10\pi}{3} \end{aligned} \]

I første ledd står \( \tan\dfrac{x}{2}\text{,} \) som ikke finnes når \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2}} \) eller \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{3\pi}{2}}\text{.} \) Disse to verdiene må vi derfor ta ut: \[ x \ne \pi, \quad x \ne 3\pi \]

Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a) og konvergensområdet fra b).

Vi sjekker først at rekka konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \) Så setter vi første ledd og \( k \) inn i sumformelen.

1. Sjekk at rekka konvergerer I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3}} \) med \( x \ne \pi\text{.} \) Her er: \[ \dfrac{4\pi}{6} < \dfrac{5\pi}{6} < \dfrac{6\pi}{6} = \pi \]

2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer, er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{5\pi}{12}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og ganger med \( 2 \) oppe og nede, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}}}{1 - \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}}} \\ &= \dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{12}}{2 - 4\cos\dfrac{5\pi}{12}} \\ &\approx 3{,}87 \end{aligned} \]Tallet er avrundet til to desimaler, med kalkulatoren stilt på radianer.

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet. Da får vi to likninger med \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp to likninger Formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn d og a1 Vi trekker den første likningen fra den andre, så \( \textcolor{blue}{a_1} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

Vi setter dette inn i den første likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Finn summen Sumformelen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} n &= 40 \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2} = 1 - \dfrac{2}{x^2} \]

Rekken er bare definert for \( {x \neq 0}\text{,} \) siden \( x^2 \) står i nevneren.

2. Sett opp kravet Konvergenskravet forteller oss at: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]Du ser det i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) får vi: \[ -1 < \textcolor{blue}{1 - \dfrac{2}{x^2}} < 1 \]

3. Løs de to ulikhetene Den høyre ulikheten holder alltid, siden \( {\dfrac{2}{x^2} > 0} \) for \( {x \neq 0}\text{:} \) \[ 1 - \dfrac{2}{x^2} < 1 \]

Den venstre gir, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{2}{x^2} \\ \dfrac{2}{x^2} &< 2 \\ 2 &< 2x^2 \\ 1 &< x^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 1 \]

Forskjellen mellom leddene er alltid \( 2\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekka har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{2}, \quad a_n = 129 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 129 &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{2} \\ 124 &= 2(n - 1) \\ 62 &= n - 1 \\ n &= 63 \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en aritmetisk rekke, som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel, er gitt ved: \[ S_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + a_n) \cdot n}{2} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{63} &= \dfrac{(\textcolor{blue}{5} + 129) \cdot 63}{2} \\ &= 67 \cdot 63 = 4221 \end{aligned} \]

Etter det første fallet går ballen hver høyde to ganger, opp og ned. Høydene er en uendelig geometrisk rekke, så vi bruker summen av den.

1. Sett opp distansen Høyden blir ganget med \( \textcolor{red}{0{,}8} \) for hvert sprett. Høydene etter sprettene er: \[ \textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + 1{,}024 + \cdots \]

Ballen faller \( 2 \) meter først, og går så hver av disse høydene to ganger: \[ s = 2 + 2\left(\textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + \cdots\right) \]

2. Summer den uendelige rekka En geometrisk rekke konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test. Da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}6}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}6}}{1 - \textcolor{red}{0{,}8}} = \dfrac{1{,}6}{0{,}2} = 8 \]

3. Regn ut totalen \[ s = 2 + 2 \cdot 8 = 18 \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten har absoluttverdi mindre enn \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{1}{x + 1} \]Her må \( {x \neq -1}\text{,} \) ellers finnes ikke brøken.

2. Bruk konvergenskravet Rekka konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ \left|\textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 1}}\right| < 1 \]

Ganger vi med \( {|x + 1|}\text{,} \) som er positiv, får vi: \[ 1 < |x + 1| \]

3. Løs ulikheten Absoluttverdien er større enn \( 1 \) når \( {x + 1} \) er større enn \( 1 \) eller mindre enn \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 1 > 1 \ &\Rightarrow \ x > 0 \\ x + 1 < -1 \ &\Rightarrow \ x < -2 \end{aligned} \]

Vi kjenner sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden, og det er en betinget sannsynlighet. Vi ganger den med sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden.

1. Skriv opp det vi vet Vi kaller hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) (motorsykkelen er i orden) og \( \textcolor{red}{G} \) (god dagsform). Oppgaveteksten gir: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) &= 0{,}30 \\ P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}25 \\ P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) &= 0{,}40 \end{aligned} \]

\( P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \) betyr sannsynligheten for \( \textcolor{red}{G} \) når vi vet at \( \textcolor{blue}{M} \) har skjedd, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

2. Bruk produktsetningen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}30 \cdot 0{,}40 = 0{,}12 \]

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene hver for seg. Vi sjekker om det stemmer her.

1. Sjekk kravet Hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) og \( \textcolor{red}{G} \) er uavhengige hvis og bare hvis: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) \]

Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}30 \cdot 0{,}25 = 0{,}075 \\ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) &= 0{,}12 \end{aligned} \]

De to er ulike: \[ 0{,}12 \neq 0{,}075 \]

Det å vite at motorsykkelen er i orden endrer altså sannsynligheten for god dagsform, fra \( 0{,}25 \) til \( 0{,}40\text{.} \) At en betingelse kan endre sannsynligheten, ser du i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

Nå vet vi at \( G \) har skjedd, så vi bruker formelen for betinget sannsynlighet andre veien.

1. Bruk formelen Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G})}{P(\textcolor{red}{G})} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Eks 2.

Her er: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}12, \quad P(\textcolor{red}{G}) = 0{,}25 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{0{,}12}{0{,}25} = 0{,}48 \]

Vi følger én tablett om gangen og ser hvor mye som er igjen av den etter hvert døgn. Mengden i kroppen er summen av det som er igjen av alle tablettene.

1. Følg én tablett Bryter kroppen ned \( 20\,\% \text{,} \) er \( 80\,\% \) igjen. Etter hvert døgn ganger vi derfor med \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{ny} &: \ 1{,}5 \\ \text{etter 1 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \text{etter 2 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^2 \end{aligned} \]

2. Legg sammen alle tablettene Like etter at Emma har tatt en tablett, har hun den nye, den fra i går, den fra i forgårs og så videre i kroppen. Hvert ledd i rekka er det som er igjen av én tablett. Etter \( n \) tabletter er mengden derfor summen av de \( n \) første leddene: \[ 1{,}5 + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} + \ldots + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^{n - 1} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{,} \) så rekka er geometrisk, som i videoen Geometriske rekker intro. Fortsetter kuren, får vi flere og flere ledd i rekka.

Vi leser av første ledd og kvotienten. Så bruker vi formelen for ledd nummer \( n \) og formelen for summen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}80}{1{,}5} = \textcolor{blue}{0{,}80} \]

Første ledd er \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1{,}5}}\text{.} \)

2. Finn ledd nummer seks Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{k}^{\,n - 1} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometriske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ a_6 = \textcolor{red}{1{,}5} \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^5 = 0{,}49152 \]

3. Finn summen Formelen for summen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^n\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_6 &= \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}\left(1 - \textcolor{blue}{0{,}80}^6\right)}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} \\ &= \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}737856}{0{,}20} \\ &= 5{,}53392 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {a_1 = 1{,}5} \) og \( {k = 0{,}80} \) fra e).

Fortsetter kuren for lenge, blir rekka uendelig. Vi sjekker om den konvergerer, og sammenligner summen med grensen.

1. Sjekk at rekka konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| = \textcolor{blue}{0{,}80} < 1 \]

2. Regn ut den uendelige summen Summen av en uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} = 7{,}5 \]

Alle leddene er positive, så mengden vokser mot \( 7{,}5 \) mg uten å nå dit: \[ S_n < 7{,}5 < 10 \]

Emma overskrider derfor ikke grensen på \( 10 \) mg, uansett hvor lenge kuren varer.

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd. Spillet fortsetter bare så lenge begge bommer.

1. Finn sannsynligheten for bom \( a \) enten treffer eller bommer, og det samme gjelder \( b\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(\bar{A})} &= 1 - \dfrac{1}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{blue}{P(\bar{B})} &= 1 - \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Gang sannsynlighetene for hvert skudd For uavhengige begivenheter ganger vi sannsynlighetene: \[ P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y) \]

Det gir oss: \[ P(\bar{A} \cap B) = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \]

Når \( a \) vinner på skudd tre, bommer først \( a \) og så \( b\text{,} \) og så treffer \( a\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9} \]

Når \( a \) vinner på skudd fem, bommer begge to ganger før \( a \) treffer: \[ \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{27} \]

3. Legg sammen Vinner \( a \) på første skudd, er sannsynligheten \( {P(A) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \) De tre utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger dem sammen. Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, altså en kvotient på \( \dfrac{1}{3}\text{:} \) \[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{9 + 3 + 1}{27} = \dfrac{13}{27} \]

Vi bruker mønsteret fra a).

\( a \) kan vinne på skudd en, tre, fem og så videre. Det gir en uendelig geometrisk rekke, som vi kan summere.

1. Finn rekken I a) fant vi leddene \( \dfrac{1}{3}\text{,} \) \( \dfrac{1}{9} \) og \( \dfrac{1}{27}\text{.} \) For hver runde der begge bommer, ganges sannsynligheten med: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \]

Sannsynligheten for at \( a \) vinner er derfor en uendelig geometrisk rekke: \[ P = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \cdots \]

2. Summer rekken Siden \( {\left|\textcolor{blue}{k}\right| < 1}\text{,} \) er rekken konvergent. Summen av en uendelig geometrisk rekke, som i videoen Geometrisk rekke test, er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{1}{3}}}{1 - \textcolor{blue}{\tfrac{1}{3}}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{2} \]

Vi får roten alene og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi setter prøve til slutt.

1. Få roten alene Vi trekker fra \( 1 \) på begge sider og kvadrerer: \[ \begin{aligned} \sqrt{2x + 1} &= x - 1 \\ 2x + 1 &= (x - 1)^2 \end{aligned} \]

2. Gang ut høyre side Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1}^2 \\ &= x^2 - 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs likningen Vi samler alt på én side og setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} 2x + 1 &= x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 - 4x \\ 0 &= \textcolor{darkorange}{x}(x - 4) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 4 \]

4. Sett prøve Vi setter begge inn i den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} x = 0&: \quad \sqrt{1} + 1 = 2 \neq 0 \\ x = 4&: \quad \sqrt{9} + 1 = 4 \end{aligned} \]

Bare \( {x = 4} \) stemmer.

Vi finner først alle vinklene \( 3x \) med riktig sinusverdi. Så deler vi på \( 3 \) og tester hvilke \( x \) som ligger i intervallet.

1. Finn vinklene Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir samme sinusverdi, og vi kan legge til hele omganger. Når \( {\sin \textcolor{green}{u} = \sin v}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= v + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - v + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]Se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025 hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {v = \dfrac{\pi}{4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x} &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{3x} &= \pi - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]

2. Del på tre Vi deler alle leddene på \( \textcolor{green}{3}\text{,} \) og gir de to gruppene hver sin farge: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \\ x &= \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi setter inn \( {k = 0, 1, 2}\text{.} \) Med \( {\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{12}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{9\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{17\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{3\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{11\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{19\pi}{12}} \end{aligned} \]

Med \( {k = 3} \) blir begge større enn \( {2\pi = \dfrac{24\pi}{12}}\text{:} \) \[ \dfrac{25\pi}{12} > 2\pi, \qquad \dfrac{27\pi}{12} > 2\pi \]

Med \( {k = -1} \) blir begge negative. Vi har altså seks løsninger.

Vi forkorter de to som kan forkortes: \[ \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{4}, \qquad \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} \]

Vi flytter alt over på én side og skriver det som én brøk. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema.

1. Skriv som én brøk Vi flytter alt over på venstre side, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \dfrac{x + 3}{x - 2} - \dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 3}\text{.} \)

Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &\leq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut telleren for seg: \[ \begin{aligned} &(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2) \\ &= x^2 - 9 - (x^2 - x - 2) \\ &= x - 7 \end{aligned} \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{\textcolor{magenta}{x - 7}}{(\textcolor{darkorange}{x - 2})(\textcolor{green}{x - 3})} \leq 0 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

:::fortegnsskjema {"points": [2, 3, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 3}", "expr": "x - 3", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 7}{(x - 2)(x - 3)}", "expr": "(x - 7)/((x - 2)(x - 3))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ til venstre for \( 2 \) og mellom \( 3 \) og \( 7\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = 7}\text{,} \) så det punktet er med. Den er ikke definert i \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x < 2 \quad \text{eller} \quad 3 < x \leq 7 \]

Vi finner kvotienten \( k\text{.} \) Rekken konvergerer når \( {|k| < 1}\text{,} \) og da bruker vi sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = \dfrac{25x}{5} &= \textcolor{red}{5x} \\ \dfrac{125x^2}{25x} &= 5x \end{aligned} \]

Det første leddet er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Finn når rekken konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{red}{5x}| &< 1 \\ -\dfrac{1}{5} < x &< \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Finn summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{1 - \textcolor{red}{5x}} \]