Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( \sin x \) derivert er \( \cos x\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2 \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2 \cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2 \cos x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{2 \sin x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{2x^2 \cos x - 4x \sin x}{x^4} \end{aligned} \]

Begge leddene i telleren har faktoren \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) som vi stryker mot en \( \textcolor{darkorange}{x} \) i nevneren: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(2x \cos x - 4 \sin x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} \\ &= \dfrac{2x \cos x - 4 \sin x}{x^3} \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det et uttrykk, så vi bruker kjerneregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og Kjerneregelen forklarer hvorfor.

Kjernen deriverer vi med potensregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{2x^2 - 2x^4} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{4x - 8x^3} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Faktoren \( \dfrac{1}{2} \) blir stående. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{2x^2 - 2x^4}} \cdot (\textcolor{green}{4x - 8x^3}) \\ &= \dfrac{2x - 4x^3}{2x^2 - 2x^4} \end{aligned} \]

Faktoriserer vi telleren og nevneren, kan vi stryke \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}(1 - 2x^2)}{\textcolor{darkorange}{2x} \cdot x(1 - x^2)} \\ &= \dfrac{1 - 2x^2}{x(1 - x^2)} \end{aligned} \]

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i \( {x = e}\text{,} \) og det siste finner vi med produktregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = h'(\textcolor{magenta}{a})(x - \textcolor{magenta}{a}) + h(\textcolor{magenta}{a}) \]Den står i videoen Tangentlinje. Her er \( {\textcolor{magenta}{a} = \textcolor{magenta}{e}}\text{.} \)

2. Finn funksjonsverdien Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{:} \) \[ h(\textcolor{magenta}{e}) = e \cdot \ln e = e \cdot 1 = \underline{e} \]

3. Finn stigningstallet Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \\ &= 1 + \ln x \end{aligned} \]

I punktet \( {x = \textcolor{magenta}{e}} \) er stigningstallet: \[ h'(\textcolor{magenta}{e}) = 1 + \ln e = 1 + 1 = \underline{2} \]

4. Sett inn i tangentformelen Plugger vi inn \( {h(\textcolor{magenta}{e}) = e} \) og \( {h'(\textcolor{magenta}{e}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= 2(x - \textcolor{magenta}{e}) + e \\ &= 2x - 2e + e \\ &= 2x - e \end{aligned} \]

Alt står allerede på én side. Vi faktoriserer venstresiden og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Faktoriser venstresiden abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -3}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi faktorene \( {\textcolor{magenta}{x + 3}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ x^2 + x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 3})(\textcolor{darkorange}{x - 2}) \]

2. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "(x + 3)(x - 2)", "expr": "(x + 3)(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi vil ha produktet negativt eller \( 0\text{.} \) Det er det mellom strekene, og i strekene også: \[ -3 \leq x \leq 2 \]

Vi ser at \( 5^x \) går igjen. Setter vi \( {u = 5^x}\text{,} \) får vi en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{5^x}}\text{:} \) \[ \dfrac{18 - \textcolor{darkorange}{u}}{\textcolor{darkorange}{u}} = \textcolor{darkorange}{u} + 2 \]

\( 5^x \) er alltid positiv, så vi kan gange begge sider med \( \textcolor{darkorange}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 18 - u &= u^2 + 2u \\ 0 &= u^2 + 3u - 18 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-18} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-18})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 9}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 3} \) og \( {u = -6}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( 5^x \) er alltid positiv, så \( {5^x = -6} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med: \[ 5^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for en potens, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}}) &= \ln 3 \\ \textcolor{red}{x} \ln \textcolor{blue}{5} &= \ln 3 \\ x &= \dfrac{\ln 3}{\ln 5} \end{aligned} \]

Vi får \( \sin(2\pi x) \) alene og finner vinklene som passer. Intervallet for \( x \) forteller hvilke vinkler vi skal se på.

1. Få sinus alene Vi flytter \( 2 \) over: \[ \dfrac{\sqrt{3}}{\sin(2\pi x)} = 2 \]

Vi ganger med \( \sin(2\pi x)\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{,} \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{3} &= 2 \sin(2\pi x) \\ \sin(2\pi x) &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går vinkelen fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{:} \) \[ 0 \leq \textcolor{blue}{2\pi x} \leq 2\pi \]

Vi kjenner eksaktverdien: \[ \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Det forteller oss at: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\pi x} &= \dfrac{\pi}{3} \\ \text{eller} \quad \textcolor{blue}{2\pi x} &= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ x = \dfrac{1}{6} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{1}{3} \]Begge ligger i \( [0, 1]\text{,} \) og nevneren er ikke \( 0 \) for noen av dem.

Vi ser at \( 3 \) er en felles faktor i \( f(x)\text{.} \) Da gir enhetsformelen at funksjonen er konstant, og integralet blir enkelt.

1. Forenkle funksjonen Vi setter \( \textcolor{blue}{3} \) utenfor: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3}\left(\sin^2 x + \cos^2 x\right) \]

Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \cdot 1 = \textcolor{blue}{3} \]

2. Regn ut integralet Regelen for integralet av en konstant forteller oss at: \[ \int k\, dx = kx + C \]Det er regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler med \( {n = 0}\text{.} \)

Plugger vi inn \( {k = \textcolor{blue}{3}} \) og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{13}} \textcolor{blue}{3}\, dx &= \Big[\textcolor{blue}{3}x\Big]_0^{\textcolor{red}{13}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{13} - \textcolor{blue}{3} \cdot 0 \\ &= 39 \end{aligned} \]

Dette er nettopp \( {\textcolor{red}{13} \cdot \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) integralet er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{red}{13} \) og høyde \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Robotens omvei gir derfor rett svar.

Vi ganger inn \( 3 \) og integrerer ledd for ledd.

1. Gang inn i parentesen \[ 3(x^2 + 4x + 4) = \textcolor{blue}{3x^2} + \textcolor{red}{12x} + \textcolor{green}{12} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a x^n\, dx = \dfrac{a}{n + 1} x^{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{3x^2} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{x^3}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{12x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{6x^2}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{12} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{green}{12x}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 3(x^2 + 4x + 4)\, dx \\ &= \textcolor{blue}{x^3} + \textcolor{red}{6x^2} + \textcolor{green}{12x} + C \end{aligned} \]

Nevneren er et fullstendig kvadrat. Når vi skriver den slik, kan vi bruke substitusjon.

1. Faktoriser nevneren Første kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ x^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 = (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})^2 \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{(x + 2)^2}\, dx \]

2. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 1 \\ dx &= d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2}\, d\textcolor{green}{u} \]

3. Integrer En brøk med \( \textcolor{green}{u}^2 \) i nevneren skriver vi som en negativ potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2} = 3\textcolor{green}{u}^{-2} \]

Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a u^n\, du = \dfrac{a}{n + 1} u^{n + 1} + C \]

Her er \( {a = 3} \) og \( {n = -2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int 3\textcolor{green}{u}^{-2}\, d\textcolor{green}{u} &= \dfrac{3}{-1} \textcolor{green}{u}^{-1} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{x + 2}} + C \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er halvparten av den deriverte til nevneren. Da bruker vi substitusjon med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 + 4x}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x + 4 = 2(x + 2) \\ (x + 2)\, dx &= \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

2. Integrer Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u}\, du = \ln|u| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn substitusjonen, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x}\, dx &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{x^2 + 4x}| + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Nevneren \( {x(x + 4)} \) er \( 0 \) bare i \( {x = 0} \) og \( {x = -4}\text{,} \) og ingen av dem ligger mellom grensene. Da kan vi sette inn: \[ \begin{aligned} &\left[\dfrac{1}{2} \ln|x^2 + 4x|\right]_{-3}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|1 - 4| - \dfrac{1}{2} \ln|9 - 12| \\ &= \dfrac{1}{2} \ln 3 - \dfrac{1}{2} \ln 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{e^{-x}}{1} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

2. Bruk konvergenskravet Kravet for konvergens forteller oss at: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \]Se videoen Geometrisk rekke test hvis du er usikker.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ |\textcolor{blue}{e^{-x}}| < 1 \]

Siden \( {e^{-x}} \) alltid er positiv, trenger vi bare at den er mindre enn \( {1 = e^0}\text{.} \) Funksjonen \( e^u \) er voksende, så vi kan sammenligne eksponentene: \[ \begin{aligned} e^{-x} &< e^0 \\ -x &< 0 \\ x &> 0 \end{aligned} \]

Vi bruker kvotienten og konvergenskravet fra a).

Vi setter summen av den uendelige rekken lik \( 3 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Sett opp summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er, med kvotienten fra a): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

Plugger vi dette inn og setter summen lik \( 3\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1}}{1 - \textcolor{blue}{e^{-x}}} = 3 \]

2. Løs for x Ganger vi begge sider med nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} 1 &= 3 - 3e^{-x} \\ 3e^{-x} &= 2 \\ e^{-x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} -x &= \ln \dfrac{2}{3} \\ x &= -\ln \dfrac{2}{3} = \ln \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\dfrac{3}{2} > 1} \) er \( {x > 0}\text{,} \) så rekken konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \)

Vi ser at vi får et andregradsuttrykk når vi ganger ut parentesene. Da bruker vi abc-formelen.

1. Gang ut parentesene 0:39 Vi ganger hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} (x - 2)(x + 3) &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 1:04 Vi setter dette inn i likningen og flytter alle leddene over på venstre side: \[ \begin{aligned} x^2 + x - 6 &= 6 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 2:12 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \\ x_2 &= \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \end{aligned} \]

Vi isolerer tangens og bruker tangens invers. Siden tangens gjentar seg, må vi til slutt sjekke hvilke løsninger som ligger i intervallet.

1. Isoler tangens 0:18 Vi deler begge sider på \( 5\text{:} \) \[ \tan x = -\dfrac{3}{5} \]

2. Bruk tangens invers 0:36 Tangens gjentar seg for hver halve runde på enhetssirkelen. Med et helt tall \( k \) er derfor løsningene av en slik likning: \[ \begin{aligned} \tan x &= \textcolor{blue}{a} \\ x &= \arctan \textcolor{blue}{a} + \pi k \end{aligned} \]Knappen for tangens invers på kalkulatoren finner du i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \arctan\left(\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}}\right) + \pi k \\ &= -\arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) + \pi k \\ &\approx -0{,}54 + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k 2:56 Svarene skal ligge mellom \( {-\pi \approx -3{,}14} \) og \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Vi tester verdier av \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = -1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 - 3{,}14 = -3{,}68 \\ k = 0\text{:}\ x &\approx -0{,}54 \\ k = 1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 3{,}14 = 2{,}60 \\ k = 2\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 6{,}28 = 5{,}74 \end{aligned} \]

Bare \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) gir verdier i intervallet, så likningen har to løsninger.

Vi ser at \( {e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\text{.} \) Fjerner vi brøken, får vi en andregradslikning i \( e^x\text{.} \)

1. Fjern brøken 0:18 Vi skriver om \( {e^{-x}} \) og flytter \( 2 \) over på høyre side: \[ \begin{aligned} 2 + \dfrac{3}{e^x} &= e^x \\ \dfrac{3}{e^x} &= e^x - 2 \end{aligned} \]

Så ganger vi begge sider med \( e^x\text{,} \) og flytter \( 3 \) over: \[ \begin{aligned} 3 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x \\ 0 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x - 3 \end{aligned} \]

2. Skift variabel 2:36 Skifter vi ut \( e^x \) med \( u\text{,} \) får vi en vanlig andregradslikning: \[ u^2 - 2u - 3 = 0 \]

3. Bruk abc-formelen 3:06 abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u_1 = 3 \quad \vee \quad u_2 = -1 \]

4. Gå tilbake til x 5:00 Vi satte \( {u = e^x}\text{,} \) så vi må løse: \[ e^x = 3 \quad \vee \quad e^x = -1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {e^x = -1} \) har ingen løsning: \[ e^x > 0 \quad \text{for alle } x \]

På \( {e^x = 3} \) tar vi \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{magenta}{b}}\right) = \textcolor{magenta}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^{\textcolor{magenta}{x}}\right) &= \ln 3 \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot \ln e &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

Vi deriverer, finner nullpunktet til den deriverte og bruker fortegnet til å se hvor funksjonen stiger og synker.

1. Deriver ledd for ledd \( (\ln x)^2 \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(g(\textcolor{green}{u})\right)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er, med \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= \textcolor{green}{u}^2 & g'(\textcolor{green}{u}) &= 2\textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\ln x} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left((\ln x)^2\right)' = 2\textcolor{green}{\ln x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} = \underline{\dfrac{2\ln x}{x}} \]

\( 6\ln x \) derivert blir \( \underline{\dfrac{6}{x}}\text{,} \) og \( 1 \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2\ln x + 6}}{\textcolor{magenta}{x}} \]

2. Finn nullpunktet til den deriverte Nevneren er aldri \( 0 \) for \( {x > 0}\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2\ln x + 6} &= 0 \\ \ln x &= -3 \\ x &= e^{-3} \end{aligned} \]Det siste steget er definisjonen av \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

3. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.049787068367863944], "labels": ["e^{-3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2\\ln x + 6}", "expr": "2ln(x) + 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2ln(x) + 6)/x"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = e^{-3}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

4. Regn ut bunnpunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-3}) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-3}) &= (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 1 \\ &= 9 - 18 + 1 = -8 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra a).

Krumningen er gitt av fortegnet til \( f''(x)\text{,} \) så vi deriverer én gang til og lager et fortegnsskjema.

1. Finn den andrederiverte I a) fant vi: \[ f'(x) = \dfrac{2\ln x + 6}{x} \]

Det er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2\ln x + 6} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{2\ln x + 6}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{2 - 2\ln x - 6}{x^2} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4}}{\textcolor{magenta}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktet til den andrederiverte Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4} &= 0 \\ \ln x &= -2 \\ x &= e^{-2} \end{aligned} \]

3. Lag et fortegnsskjema Nevneren \( \textcolor{magenta}{x^2} \) er alltid positiv for \( {x > 0}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.1353352832366127], "labels": ["e^{-2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-2\\ln x - 4}", "expr": "-2ln(x) - 4"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x^2}", "expr": "x^2"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(-2ln(x) - 4)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

For \( {x < e^{-2}} \) er \( {f''(x) > 0}\text{,} \) så grafen krummer oppover. For \( {x > e^{-2}} \) er \( {f''(x) < 0}\text{,} \) så grafen krummer nedover. Krumningen skifter i \( {x = e^{-2}}\text{,} \) så der er et vendepunkt.

4. Regn ut vendepunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-2}) = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-2}) &= (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 1 \\ &= 4 - 12 + 1 = -7 \end{aligned} \]

Vi skal bruke derivasjon, så vi deriverer høyre side. Blir det \( f(x)\text{,} \) stemmer integralet.

1. Skriv om det første leddet Her står kvadratet inni logaritmen, \( {\ln\left((x + 3)^2\right)}\text{.} \) Siden \( {x + 3 > 0}\text{,} \) forteller logaritmeregelen for potenser oss at: \[ \ln(x + 3)^2 = 2\ln(x + 3) \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Deriver ledd for ledd Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 3}} \) i det første leddet og \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}} \) i det andre, med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}} \) i begge.

\( {2\ln(\textcolor{green}{x + 3})} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}}} \]

\( {-\ln(\textcolor{green}{x + 2})} \) derivert blir: \[ \underline{-\dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}}} \]

\( C \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

3. Sett på felles brøkstrek Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}} - \dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}} \\ &= \dfrac{2(x + 2) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} \\ &= \dfrac{x + 1}{x^2 + 5x + 6} = f(x) \end{aligned} \]

Den deriverte av høyre side er \( f(x)\text{,} \) så integralet stemmer.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: integralet står i oppgaveteksten til a).

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 2 \) er både teller og nevner positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor det bestemte integralet fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \)

1. Sett opp integralet Fra a) vet vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx = \ &\ln(x + 3)^2 \\ &- \ln(x + 2) + C \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} f(x)\,dx \\ &= \Big[\ln(x + 3)^2 - \ln(x + 2)\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (\textcolor{red}{\ln 25 - \ln 4}) - (\textcolor{blue}{\ln 9 - \ln 2}) \end{aligned} \]

2. Slå sammen logaritmene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln a + \ln b &= \ln(ab) \\ \ln a - \ln b &= \ln \dfrac{a}{b} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmereglene, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Bruker vi dem, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln 25} + \textcolor{blue}{\ln 2} \textcolor{red}{- \ln 4} \textcolor{blue}{- \ln 9} \\ &= \ln \dfrac{\textcolor{red}{25} \cdot \textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{9}} \\ &= \ln \dfrac{25}{18} \end{aligned} \]

Vi ser etter vertikale asymptoter der nevneren er \( 0\text{,} \) og horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer nevneren: \[ \textcolor{blue}{x^2 + 5x + 6} = \textcolor{blue}{(x + 2)(x + 3)} \]

Den er \( 0 \) for \( {x = -2} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Begge ligger utenfor definisjonsmengden \( [0, \to\rangle\text{,} \) så \( f \) har ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i \( \textcolor{red}{\text{telleren}} \) og \( \textcolor{blue}{\text{nevneren}} \) hver for seg. Begge vokser over alle grenser, så vi deler teller og nevner på den høyeste potensen, \( x^2\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\textcolor{blue}{1 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^2}}} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{0 + 0}}{\textcolor{blue}{1 + 0 + 0}} = 0 \end{aligned} \]

Grafen nærmer seg derfor linjen \( {y = 0}\text{.} \)

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Integralet av \( 2x\ln x \) tar vi med delvis integrasjon.

1. Separer likningen Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( y \) og \( x \) hver for seg, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x\ln x}{y} \\ y\,dy &= 2x\ln x\,dx \end{aligned} \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \int y\,dy = \int 2x\ln x\,dx \]

Venstre side blir: \[ \underline{\dfrac{1}{2}y^2} \]

2. Integrer høyre side Høyre side er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Den forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= \underline{x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K} \end{aligned} \]

3. Løs for y Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{1}{2}y^2 = x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K \]

Vi ganger med \( 2 \) og kaller konstanten \( 2K \) for \( C\text{:} \) \[ y^2 = 2x^2\ln x - x^2 + C \]

Siden \( {y > 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + C} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den generelle løsningen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter punktet inn i den generelle løsningen og løser for konstanten \( C\text{.} \)

1. Finn konstanten Vi setter inn \( {y = \textcolor{red}{2}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) i den generelle løsningen, som i videoen Differensialligning oppgave 3: \[ \textcolor{red}{2} = \sqrt{2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \ln \textcolor{blue}{1} - \textcolor{blue}{1}^2 + C} \]

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \) Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 4 &= -1 + C \\ C &= 5 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i den generelle løsningen, får vi: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + 5} \]