Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \tan x \) derivert er \( \dfrac{1}{\cos^2 x}\text{,} \) som videoen Koblede hastigheter 1 viser ved å skrive \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\tan x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\tan x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} \\ &= \tan x + \dfrac{x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

Vi har en funksjon inni en annen: eksponenten er kjernen. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoene Kjerneregelen og Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{t^3 + 2t} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3t^2 + 2} \end{aligned} \]

Konstanten \( 5 \) blir stående som en faktor. Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(t) &= 5e^{\textcolor{green}{t^3 + 2t}} \cdot (\textcolor{green}{3t^2 + 2}) \\ &= (15t^2 + 10)e^{t^3 + 2t} \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( \ln x \) derivert er \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og \( \sqrt{x} \) derivert er \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ h'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{x}} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}{(\textcolor{blue}{\sqrt{x}})^2} \]

2. Trekk sammen I telleren er \( {\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{,} \) og nevneren er \( x\text{.} \) Vi samler telleren på én brøkstrek: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \dfrac{\dfrac{2 - \ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må: \[ \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

2. Løs for x Sinus er \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi\text{,} \) \( 2\pi \) og så videre, som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \pi x &= k\pi \\ x &= k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{:} \) \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3 \]

Begge er et produkt av \( e^x \) og et trigonometrisk uttrykk, så vi bruker produktregelen to ganger. Konstanten \( \dfrac{1}{10} \) blir stående foran.

1. Finn den deriverte Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \sin(\pi x) \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{10}\big(\textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin \pi x} \\ &\qquad + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x}\big) \\ &= \dfrac{1}{10}e^x(\sin \pi x + \pi \cos \pi x) \end{aligned} \]

2. Finn den andrederiverte Vi bruker produktregelen en gang til, nå på det vi nettopp fant. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &f''(x) = \dfrac{1}{10}\Big( \\ &\textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) \\ &+ \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x})\Big) \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x \) og samler leddene med \( \sin \pi x \) og \( \cos \pi x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) = \dfrac{1}{10}e^x\big(&(1 - \pi^2)\sin(\pi x) \\ &+ 2\pi\cos(\pi x)\big) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null Når den deriverte er \( 0\text{,} \) kan vi ha et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}(\textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} &= 0 \\ \dfrac{\sin \pi x}{\cos \pi x} &= -\pi \\ \tan \pi x &= -\pi \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}(-\pi) + \pi k \\ x &= k - \dfrac{\tan^{-1}(\pi)}{\pi} \\ x &\approx k - 0{,}402 \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = 2} \) og \( {k = 3}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}598,\ \ x \approx 1{,}598,\ \ x \approx 2{,}598 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot \pi > 0 \\ f'(1) &= -\dfrac{e\pi}{10} < 0 \\ f'(2) &= \dfrac{e^2\pi}{10} > 0 \\ f'(3) &= -\dfrac{e^3\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{,} \) tegnet som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0.598, 1.598, 2.598], "labels": ["0{,}598", "1{,}598", "2{,}598"], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x - 0.598)(x - 1.598)(x - 2.598)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den deriverte går fra pluss til minus i \( {x \approx 0{,}598} \) og \( {x \approx 2{,}598}\text{,} \) så der har vi toppunkter. Den går fra minus til pluss i \( {x \approx 1{,}598}\text{,} \) så der har vi et bunnpunkt. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx -0{,}471 \\ f(2{,}598) &\approx 1{,}281 \end{aligned} \]

Grafen stiger fra \( {x = 0} \) og synker inn mot \( {x = 3}\text{,} \) så endepunktene er også lokale bunnpunkter. Nullpunktene fra a) gir: \[ f(0) = 0, \quad f(3) = 0 \]

Det gir oss monotoniegenskapene: \[ \begin{aligned} \text{Stigende: } & 0 \le x \le 0{,}598 \\ & 1{,}598 \le x \le 2{,}598 \\ \text{Synkende: } & 0{,}598 \le x \le 1{,}598 \\ & 2{,}598 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f''(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f''(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen krummer oppover og nedover.

1. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}\big(&\textcolor{green}{(1 - \pi^2)\sin \pi x} \\ &\textcolor{green}{{}+ 2\pi\cos \pi x}\big) = 0 \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Vi flytter leddet med \( \sin \pi x \) over på høyre side, der fortegnet snur. Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x \) og på \( {\pi^2 - 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi\cos \pi x &= (\pi^2 - 1)\sin \pi x \\ \tan \pi x &= \dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1} \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}\left(\dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1}\right) + \pi k \\ x &\approx 0{,}196 + k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 0}\text{,} \) \( {k = 1} \) og \( {k = 2}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}196,\ \ x \approx 1{,}196,\ \ x \approx 2{,}196 \]

3. Finn fortegnet til den andrederiverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot 2\pi > 0 \\ f''(1) &= -\dfrac{e \cdot 2\pi}{10} < 0 \\ f''(2) &= \dfrac{e^2 \cdot 2\pi}{10} > 0 \\ f''(3) &= -\dfrac{e^3 \cdot 2\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.196, 1.196, 2.196], "labels": ["0{,}196", "1{,}196", "2{,}196"], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-(x - 0.196)(x - 1.196)(x - 2.196)"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den andrederiverte skifter fortegn i alle tre, så alle er vendepunkter. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}196) &\approx 0{,}070 \\ f(1{,}196) &\approx -0{,}191 \\ f(2{,}196) &\approx 0{,}520 \end{aligned} \]

Der \( {f''(x) > 0} \) krummer grafen oppover, og der \( {f''(x) < 0} \) krummer den nedover: \[ \begin{aligned} \text{Oppover: } & 0 \le x \le 0{,}196 \\ & 1{,}196 \le x \le 2{,}196 \\ \text{Nedover: } & 0{,}196 \le x \le 1{,}196 \\ & 2{,}196 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), c) og d).

Vi merker av nullpunktene, ekstremalpunktene og vendepunktene, og trekker en kurve gjennom dem med riktig krumning.

1. Merk av punktene I a) fant vi nullpunktene, i c) topp- og bunnpunktene og i d) vendepunktene: \[ \begin{aligned} \text{Null: } & x = 0,\ 1,\ 2,\ 3 \\ \text{Topp: } & (0{,}598;\ 0{,}173) \\ & (2{,}598;\ 1{,}281) \\ \text{Bunn: } & (1{,}598;\ -0{,}471) \\ \text{Vende: } & (0{,}196;\ 0{,}070) \\ & (1{,}196;\ -0{,}191) \\ & (2{,}196;\ 0{,}520) \end{aligned} \]

2. Tegn kurven Topp- og bunnpunktene ligger der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Grafen svinger mellom positive og negative verdier, og utslagene blir større med \( x\text{,} \) siden faktoren \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) vokser. Den krummer som vi fant i d):

Vi bruker verdiene fra c).

Grafen er sammenhengende på \( [0, 3]\text{,} \) så verdimengden går fra den minste til den største verdien funksjonen har.

1. Sammenlign verdiene Den største og den minste verdien må ligge i et ekstremalpunkt. I c) fant vi: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}471} \\ f(2{,}598) &\approx \textcolor{red}{1{,}281} \\ f(3) &= 0 \end{aligned} \]

Den minste verdien er \( {\textcolor{blue}{-0{,}471}} \) og den største er \( \textcolor{red}{1{,}281}\text{,} \) og grafen er sammenhengende, så den tar alle verdiene imellom: \[ V_f \approx [\textcolor{blue}{-0{,}471},\ \textcolor{red}{1{,}281}] \]

Vil du repetere hva sammenhengende betyr, kan du se videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]Disse deriverte står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} \end{aligned} \]

2. Forkort brøken Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{x} \) i telleren, kan vi forkorte: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(1 - 2\ln x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den andre faktoren deriverer vi med kjerneregelen.

1. Deriver den andre faktoren Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{k}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{k}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x + 3}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{1}, \quad n = 3 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x + 3})^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{x + 3})^2 \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= 3(x + 3)^2 \end{aligned} \]

2. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x + 3)^3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{(x + 3)^3} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \]

3. Faktoriser svaret Faktoriserer vi ut \( {\textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}\left((x + 3) + 3x\right) \\ &= (x + 3)^2(4x + 3) \end{aligned} \]

Vi kan samle alt med \( y \) på én side og alt med \( x \) på den andre. Likningen er altså separabel.

1. Separer likningen Vi ganger begge sider med \( 2x \) og med \( e^{y}\text{,} \) og bruker at \( {e^{y} \cdot e^{-y} = 1}\text{:} \) \[ e^{y} \cdot y' = 2x \]

En separabel likning løser vi ved at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{g(y)} \cdot y' = \textcolor{red}{h(x)} \\ &\Rightarrow \ \int \textcolor{blue}{g(y)}\,dy = \int \textcolor{red}{h(x)}\,dx \end{aligned} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Seperable diff-ligninger.

Her er \( {\textcolor{blue}{g(y)} = \textcolor{blue}{e^{y}}} \) og \( {\textcolor{red}{h(x)} = \textcolor{red}{2x}}\text{:} \) \[ \int \textcolor{blue}{e^{y}}\,dy = \int \textcolor{red}{2x}\,dx \]

2. Integrer begge sider Integrerer vi begge sider, får vi resultatet under. Reglene står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler for \( 2x\text{,} \) og fra 3:08 for \( e^{y}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{y}} = \textcolor{red}{x^2} + C \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{1} &= 0^2 + C \\ C &= e \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} e^{y} &= x^2 + e \\ y &= \ln(x^2 + e) \end{aligned} \]

En asymptote er en linje som grafen kommer stadig nærmere. Her viser de stiplede linjene oss hvor de er, så vi leser av likningene.

1. Finn de loddrette asymptotene Grafen går mot pluss eller minus uendelig på begge sider av de loddrette linjene, som asymptotene i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Linjene står i: \[ x = -1 \quad \text{og} \quad x = 3 \]

2. Finn den skrå asymptoten Grafen nærmer seg den skrå linja når \( x \) går mot pluss og minus uendelig. En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]

Vi leser av to punkter på linja, \( {(-6, 0)} \) og \( (0, 3)\text{.} \) Den skjærer \( {y\text{-aksen}} \) i \( 3\text{,} \) og stigningstallet blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{a} &= \dfrac{3 - 0}{0 - (-6)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}x + \textcolor{blue}{3} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen stiger og synker, og hvilken vei den krummer.

1. Les av fortegnet til den deriverte \( f'(x) \) er positiv der grafen stiger, negativ der den synker og \( 0 \) i topp- og bunnpunktene, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren ligger disse punktene nær: \[ f'(x) = 0 \text{ for } \textcolor{darkorange}{x \approx 1{,}7} \text{ og } \textcolor{darkorange}{x \approx 4{,}4} \]

Grafen stiger til venstre for \( {x = -1}\text{,} \) og fra \( {x = -1} \) til toppunktet. Den synker fra toppunktet mot \( {x = 3}\text{.} \) Til høyre for \( {x = 3} \) synker den fra uendelig ned til bunnpunktet, og etter det stiger den igjen. I \( {x = -1} \) og \( {x = 3} \) er \( f \) ikke definert. Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1.7, 3, 4.4], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "(x - 1.7)*(x - 4.4)/((x + 1)^2*(x - 3)^2)"}]}

En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{,} \) og × hvor den ikke er definert.

2. Les av fortegnet til den andrederiverte \( f''(x) \) er positiv der grafen krummer oppover, som en skål, og negativ der den krummer nedover, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren har vi: \[ \begin{aligned} x < -1 &: \ \text{krummer oppover} \\ -1 < x < 3 &: \ \text{krummer nedover} \\ x > 3 &: \ \text{krummer oppover} \end{aligned} \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "1/((x + 1)*(x - 3))"}]}

Vi bruker fortegnslinjene fra b).

Fortegnslinjene forteller oss hvor grafen snur og hvor den skifter krumning. Koordinatene leser vi av i figuren.

1. Finn toppunktet I \( {x = 1{,}7} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus. Grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{red}{f(1{,}7)} \approx \textcolor{red}{2{,}9} \]

2. Finn bunnpunktet I \( {x = 4{,}4} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss. Grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{blue}{f(4{,}4)} \approx \textcolor{blue}{5{,}8} \]

3. Se etter vendepunkter I et vendepunkt skifter \( f''(x) \) fortegn, som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Fortegnet til \( f''(x) \) skifter bare i asymptotene, der \( f \) ikke er definert: \[ f(-1) \text{ og } f(3) \text{ finnes ikke} \]

Grafen har derfor ingen vendepunkter i figuren.

Vi skriver begge leddene som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen.

1. Skriv leddene som potenser En brøk med \( x \) i nevneren har negativ eksponent, og en rot kan skrives som en potens, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{3}{x}} &= \textcolor{red}{3x^{-1}} \\ \textcolor{blue}{4x^2\sqrt{x}} &= 4x^2 \cdot x^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {\textcolor{red}{3x^{-1}}} \) derivert blir: \[ 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}}} \]

\( \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \) derivert blir: \[ 4 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x^{\tfrac{3}{2}} = 10x^{\tfrac{3}{2}} = \underline{\textcolor{blue}{10x\sqrt{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}} - \textcolor{blue}{10x\sqrt{x}} \]

Nevneren er bare tallet \( 5\text{,} \) så vi trenger ikke kvotientregelen. Vi deriverer telleren og deler på \( 5\text{,} \) og leddet \( 2x^3 \cos x \) er et produkt.

1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{1}{5} \) utenfor en parentes: \[ g(x) = \dfrac{1}{5}\left(2x^3 \cos x + 1\right) \]

Konstanten \( 1 \) derivert blir \( 0\text{,} \) så vi står igjen med å derivere produktet.

2. Deriver produktet Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi bruker at \( \cos x \) derivert blir \( {-\sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x^2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(2x^3 \cos x)' \\ &= \textcolor{red}{6x^2} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{2x^3} \cdot (\textcolor{blue}{-\sin x}) \\ &= 6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x \end{aligned} \]

3. Sett sammen Vi deler på \( 5 \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x}{5} \]

Vi ser en brøk og potenser inni \( \ln\text{.} \) Med logaritmereglene blir uttrykket mye enklere å derivere, så vi skriver det om først.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) &= \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln(a^b) &= b \cdot \ln a \end{aligned} \]Du finner dem i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x^3}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \]

Plugger vi dette inn og bruker at \( {\ln e = 1}\text{,} \) får vi for \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k(x) &= \ln \textcolor{red}{x^3} - \ln \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \\ &= 3\ln x - (2x - 1) \cdot \ln e \\ &= 3\ln x - 2x + 1 \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( \ln x \) derivert blir \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Da får vi: \[ (3\ln x)' = \underline{\dfrac{3}{x}} \]

\( {-2x + 1} \) derivert blir: \[ (-2x + 1)' = \underline{-2} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ k'(x) = \dfrac{3}{x} - 2 \]

Volumet binder høyden til radien, så overflaten kan skrives med bare én variabel. Så finner vi bunnpunktet med den deriverte.

1. Uttrykk høyden med radien Vi regner i desimeter, siden \( 1 \) liter er \( 1\,\text{dm}^3\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = \pi r^2 \textcolor{green}{h} \]

Her er \( {V = 1}\text{.} \) Løser vi for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \pi r^2 \textcolor{green}{h} &= 1 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Sylinderen har bunn, men ikke lokk. Sideflaten rullet ut er et rektangel med bredde \( 2\pi r \) og høyde \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Overflaten er derfor: \[ O = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{green}{h} \]

Plugger vi inn høyden, får vi: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2}{r} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, med \( {\dfrac{2}{r} = 2r^{-1}}\text{:} \) \[ O'(r) = 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} &= 0 \\ 2\pi r^3 &= 2 \\ \textcolor{blue}{r^3} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(r) = \dfrac{2\pi r^3 - 2}{r^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} r^3 < \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) < 0 \\ r^3 > \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og den er derfor minst i dette punktet.

5. Finn forholdet Vi deler høyden på radien og setter inn \( \textcolor{blue}{r^3}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{h}}{r} = \dfrac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{\pi r^2} \cdot r} = \dfrac{1}{\pi \textcolor{blue}{r^3}} = \dfrac{1}{\pi \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}}} = 1 \]

Høyden må altså være like stor som radien.

Funksjonen er en brøk med \( x \) både i teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( e^x \) derivert er \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 - x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{(\textcolor{red}{2x - 1})\textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{x^2 - x})\textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

2. Forenkle Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, og bruker at \( {(e^x)^2 = e^x \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\left(2x - 1 - x^2 + x\right)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \\ &= \dfrac{-x^2 + 3x - 1}{e^x} \end{aligned} \]

Vi ser en logaritme av en brøk. Vi skriver den derfor om med logaritmereglene først, så blir derivasjonen enkel.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{a}{b} &= \ln a - \ln b \\ \ln e^{c} &= c \cdot \ln e = c \end{aligned} \]Du ser reglene i videoene Regneregler med Logaritmer og Naturlige Logaritmer.

Plugger vi inn, får vi, for \( {x > -\dfrac{1}{2}} \) der logaritmen finnes: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln(2x + 1) - \ln e^{2x} \\ &= \ln(2x + 1) - 2x \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\ln(\textcolor{green}{2x + 1})} \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + 1}}\text{,} \) med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Det gir oss: \[ \underline{\left(\ln(\textcolor{green}{2x + 1})\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{2x + 1}}} \]

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

3. Forenkle Slår vi dette sammen, får vi, med \( {2x + 1} \) som fellesnevner: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{2x + 1}} - 2 \\ &= \dfrac{2 - 2(2x + 1)}{2x + 1} \\ &= \dfrac{-4x}{2x + 1} \end{aligned} \]

På \( x \)-aksen er \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så en av faktorene må være \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{blue}{e^x}(\textcolor{red}{e^x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^x} > 0 \ \text{ for alle } x \]

Vi står igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= 0 \end{aligned} \]Her bruker vi at et tall opphøyd i null er \( 1\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser.

Funksjonsverdien der er: \[ f(0) = 1 \cdot (1 - 1) = 0 \]

Vi deriverer med produktregelen og setter \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Fortegnet til \( f'(x) \) forteller oss om punktet er et toppunkt eller et bunnpunkt.

1. Deriver funksjonen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, og faktoriserer ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 1}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(2e^x - 1) \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Siden \( {e^x > 0} \) for alle \( x\text{,} \) står vi igjen med: \[ \begin{aligned} 2e^x - 1 &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\dfrac{1}{2} \\ x &= \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2 \end{aligned} \]

3. Finn fortegnet til den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -\ln 2} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( f'(x) \) skifter fortegn, så funksjonen har ikke noe toppunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = -\ln 2} \) inn i funksjonen: \[ \begin{aligned} e^{-\ln 2} &= \dfrac{1}{e^{\ln 2}} = \dfrac{1}{2} \\ f(-\ln 2) &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b).

Vi bruker tangentformelen, så vi trenger funksjonsverdien og den deriverte i \( {x = \ln 2}\text{.} \)

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) \( x \)-koordinaten til punktet. Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

2. Finn verdiene i punktet I b) fant vi: \[ f'(x) = e^x(2e^x - 1) \]

Vi setter inn \( {x = \ln 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{\ln 2} \\ e^{\ln 2} &= 2 \\ \textcolor{green}{f(a)} &= 2(2 - 1) = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{red}{f'(a)} &= 2(2 \cdot 2 - 1) = \textcolor{red}{6} \end{aligned} \]

3. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{6}(x - \textcolor{blue}{\ln 2}) + \textcolor{green}{2} \\ y &= 6x + 2 - 6\ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]

Vi setter \( {x = 0} \) for \( {y\text{-aksen}} \) og \( {f(x) = 0} \) for \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn skjæringspunktene Med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{0}) = \dfrac{\textcolor{blue}{0}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{0} - 1} = 0 \]

Med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Nevneren er \( {-1} \) for \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{,} \) så brøken finnes der. Begge gir samme punkt, origo.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon for å finne en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Telleren er \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 0} \) der, så \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 + 0x} \) på \( {(2x - 1)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \cdot (2x - 1) &= x^2 - \dfrac{1}{2}x \\ -(x^2 - \dfrac{1}{2}x) &= \textcolor{red}{-x^2 + \dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \dfrac{1}{2}x & \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) og \( {0x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}x}\text{.} \) Linja \( \dfrac{1}{2}x \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \cdot (2x - 1) &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \\ -(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}) &= \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{\dfrac{1}{2}x}} & \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-\dfrac{1}{2}x}} & \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \\ \hline & & \dfrac{1}{4} \end{array} \end{array} \]\( \dfrac{1}{2}x \) strykes mot \( {-\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) og \( {0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}}\text{.} \) Tallet \( \dfrac{1}{4} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( \dfrac{1}{4} \) er restleddet.

3. Les av den skrå asymptoten Restleddet delt på nevneren legges til svaret: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} + \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \]

Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, blir nevneren i den siste brøken stor i tallverdi, og brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \to 0 \]

Da nærmer grafen seg linja \( {y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}}\text{,} \) og det er den skrå asymptoten. Siden \( |f(x)| \) vokser uten grense, har grafen ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{2x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2x}(\textcolor{blue}{2x - 1}) - \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{2}}{(\textcolor{blue}{2x - 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x(x - 1)}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn ekstremalpunktene For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 1)} &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 0.5, 1], "labels": ["0", "\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "(2x - 1)^2", "expr": "(2x - 1)^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "2x(x - 1)/(2x - 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor \( f'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-verdiene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{0^2}{2 \cdot 0 - 1} = 0 \\ f(1) &= \dfrac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = 1 \end{aligned} \]

Vi bruker polynomdivisjonen fra b), som gir oss \( f(x) \) skrevet som ledd vi kan integrere.

Arealet under grafen er et bestemt integral. Vi integrerer ledd for ledd.

1. Sett opp integralet For \( x \) mellom \( 1 \) og \( 2 \) er både telleren og nevneren positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor integralet, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 f(x) \, dx \]

I b) fant vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2x - 1}} \]

2. Integrer ledd for ledd Reglene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Den gjelder også konstanten, siden \( {\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}x^0}\text{.} \)

Brøken følger regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, med en faktor \( \dfrac{1}{2} \) fordi kjernen \( {2x - 1} \) har derivert \( 2\text{:} \) \[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Her er \( {2x - 1 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdien. Leddene gir: \[ A = \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}x^2} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)}\right]_1^2 \]

3. Sett inn grensene Vi setter inn øvre og nedre grense, med \( {\ln 1 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\textcolor{red}{1} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln 3}\right) \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{0}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3 \end{aligned} \]

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi ganger opp nevneren og får en andregradslikning.

1. Sett funksjonene like Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og ganger med nevneren, som ikke er \( 0 \) for \( {x \neq \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{2x - 1} &= x \\ x^2 &= x(2x - 1) \\ x^2 &= 2x^2 - x \\ 0 &= x^2 - x \end{aligned} \]

2. Faktoriser og finn punktene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor som felles faktor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x}(x - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

\( {y\text{-verdien}} \) finner vi i \( {g(x) = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(0) &= 0 \\ g(1) &= 1 \end{aligned} \]