Forkurseksamen etter tema

På \( x \)-aksen er \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så en av faktorene må være \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{blue}{e^x}(\textcolor{red}{e^x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^x} > 0 \ \text{ for alle } x \]

Vi står igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= 0 \end{aligned} \]Her bruker vi at et tall opphøyd i null er \( 1\text{,} \) som i videoen Regneregler med Potenser.

Funksjonsverdien der er: \[ f(0) = 1 \cdot (1 - 1) = 0 \]

Vi deriverer med produktregelen og setter \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Fortegnet til \( f'(x) \) forteller oss om punktet er et toppunkt eller et bunnpunkt.

1. Deriver funksjonen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, og faktoriserer ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 1}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(2e^x - 1) \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null Siden \( {e^x > 0} \) for alle \( x\text{,} \) står vi igjen med: \[ \begin{aligned} 2e^x - 1 &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\dfrac{1}{2} \\ x &= \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2 \end{aligned} \]

3. Finn fortegnet til den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -\ln 2} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( f'(x) \) skifter fortegn, så funksjonen har ikke noe toppunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = -\ln 2} \) inn i funksjonen: \[ \begin{aligned} e^{-\ln 2} &= \dfrac{1}{e^{\ln 2}} = \dfrac{1}{2} \\ f(-\ln 2) &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b).

Vi bruker tangentformelen, så vi trenger funksjonsverdien og den deriverte i \( {x = \ln 2}\text{.} \)

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) \( x \)-koordinaten til punktet. Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

2. Finn verdiene i punktet I b) fant vi: \[ f'(x) = e^x(2e^x - 1) \]

Vi setter inn \( {x = \ln 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{\ln 2} \\ e^{\ln 2} &= 2 \\ \textcolor{green}{f(a)} &= 2(2 - 1) = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{red}{f'(a)} &= 2(2 \cdot 2 - 1) = \textcolor{red}{6} \end{aligned} \]

3. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{6}(x - \textcolor{blue}{\ln 2}) + \textcolor{green}{2} \\ y &= 6x + 2 - 6\ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]

Vi ser at uttrykket består av røtter. Vi skriver derfor røttene som potenser og samler like grunntall.

1. Skriv røttene som potenser Reglene for røtter og potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sqrt[n]{p} &= p^{\tfrac{1}{n}} \\ (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Hvis du er usikker, kan du se videoene Potenser og røtter og Flere regneregler med Potenser.

Plugger vi dette inn, får vi hver rot for seg, der \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) har hver sin farge: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4)^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \\ \sqrt[3]{(\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^6} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^{\tfrac{6}{3}} = \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2 \\ \sqrt[4]{\textcolor{blue}{a}^{10}} &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{10}{4}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \end{aligned} \]

2. Samle like grunntall Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene. Når vi deler, trekker vi dem fra: \[ \begin{aligned} p^n \cdot p^m &= p^{n + m} \\ \dfrac{p^n}{p^m} &= p^{n - m} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \cdot \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2}{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^2} \\ &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2} + 2 - \tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^{2 - 2} \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{blue}{a}^0 \cdot \textcolor{red}{b}^0 \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{green}{c}^2 \end{aligned} \]

Den siste overgangen bruker at et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ p^0 = 1 \]

Vi ser at det ene leddet har et tall foran \( \ln\text{.} \) Vi flytter det inn som eksponent med logaritmeregelen.

1. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{u} = \ln\left( \textcolor{red}{u}^{\textcolor{blue}{n}} \right) \]Se videoen Naturlige Logaritmer hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2a} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{2} \ln(\textcolor{red}{2a}) = \ln\left( (\textcolor{red}{2a})^{\textcolor{blue}{2}} \right) = \ln(4a^2) \]

2. Trekk sammen Begge leddene er det samme, så de går opp i hverandre: \[ \ln(4a^2) - \ln(4a^2) = 0 \]

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og \( \cos(3x) \) med kjerneregelen. Hvert ledd har sin farge.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( 3x^4 \) derivert blir: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 4x^3 = \underline{12x^3}} \]

2. Deriver det andre leddet \( \cos(3x) \) har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{u})' = -\sin \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{3x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{(\cos(3x))'} &\textcolor{red}{{}= -\sin(3x) \cdot 3} \\ &\textcolor{red}{{}= \underline{-3\sin(3x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det siste leddet Derivasjonsregelen for \( \ln x \) forteller oss at: \[ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( {-5\ln x} \) derivert blir: \[ \textcolor{darkorange}{-5 \cdot \dfrac{1}{x} = \underline{-\dfrac{5}{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{12x^3} \textcolor{red}{{}- 3\sin(3x)} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{5}{x}} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Med kjerneregelen er \( {(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}}\text{,} \) får vi: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \left( 2\ln x + \dfrac{1}{x} \right) \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Se videoen Kvotientregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x} (x^2 - 2x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \]

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd, og hvert ledd har sin farge.

1. Integrer ledd for ledd \( x^4\text{:} \) Regelen forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir: \[ \textcolor{blue}{\int x^4 \, dx = \underline{\dfrac{x^5}{5}}} \]

\( \sin(3x)\text{:} \) Regelen fra samme video, Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \sin(nx) \, dx = -\dfrac{\cos(nx)}{n} + C \]Med \( {n = 3} \) får vi: \[ \textcolor{red}{\int \sin(3x) \, dx = \underline{-\dfrac{\cos(3x)}{3}}} \]

\( e^{2x}\text{:} \) Regelen fra Basic integrasjonsregler/​formler forteller oss at: \[ \int e^{nx} \, dx = \dfrac{e^{nx}}{n} + C \]Med \( {n = 2} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\int e^{2x} \, dx = \underline{\dfrac{e^{2x}}{2}}} \]

Slår vi dette sammen, og tar med én konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{x^5}{5}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{\cos(3x)}{3}} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{e^{2x}}{2}} + C \]

Vi ser at \( x^6 \) nesten er den deriverte av eksponenten \( x^7\text{.} \) Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjon Substitusjon med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{g(x)}} \) forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot g'(x) \, dx = \int f(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^7} \\ du &= 7x^6 \, dx \\ x^6 \, dx &= \dfrac{1}{7} \, du \end{aligned} \]

2. Integrer og bytt tilbake Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int x^6 e^{x^7} \, dx &= \int e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{7} \, du \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{x^7}} + C \end{aligned} \]

For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 1}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

\( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^x} > 0 \]

Da må den andre faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Så setter vi den deriverte lik \( 0 \) og ser på fortegnet rundt punktet.

1. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 1}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x (1 + x - 1) \\ &= x e^x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{magenta}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ x = 0 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene:

:::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "x*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så her er et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = 0} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(0) = (0 - 1) \cdot e^0 = -1 \]

Den deriverte er bare \( 0 \) i dette ene punktet, så funksjonen har ingen toppunkt.

Vi bruker den deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0 \) og skifter fortegn. Vi deriverer derfor \( f'(x) \) én gang til.

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = x e^x \]

Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= (x + 1)e^x \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ (\textcolor{magenta}{x + 1}) \cdot \textcolor{darkorange}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ x = -1 \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene:

:::fortegnsskjema {"points": [-1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(x + 1)*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f''(x) \) fra minus til pluss, så her er et vendepunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = -1} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(-1) = (-1 - 1) \cdot e^{-1} = -\dfrac{2}{e} \]

Vi bruker den deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

For å skrive opp tangenten trenger vi funksjonsverdien og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \)

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = f'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + f(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje.

I b) fant vi \( {f'(x) = x e^x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{1} \\ f(\textcolor{green}{1}) &= (1 - 1) \cdot e^1 = \textcolor{red}{0} \\ f'(\textcolor{green}{1}) &= 1 \cdot e^1 = \textcolor{blue}{e} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{e}(x - \textcolor{green}{1}) + \textcolor{red}{0} \\ &= ex - e \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), b) og c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi samler punktene vi har funnet, finner hva grafen gjør til venstre og til høyre, og tegner kurven gjennom punktene.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{nullpunkt: } & (1, 0) \\ \text{bunnpunkt: } & (0, -1) \\ \text{vendepunkt: } & \left( -1, -\dfrac{2}{e} \right) \end{aligned} \]

Vi regner ut to punkter til, ett på hver side, som i videoen Grenseverdier, der vi setter inn verdier for å se hva grafen gjør: \[ \begin{aligned} f(2) &= (2 - 1) \cdot e^2 \\ &= e^2 \approx 7{,}4 \\ f(-3) &= (-3 - 1) \cdot e^{-3} \\ &= -\dfrac{4}{e^3} \approx -0{,}2 \end{aligned} \]

2. Finn formen til grafen Vi lar \( x \) bli stor og negativ. Da går \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) mot minus uendelig og \( \textcolor{blue}{e^x} \) mot \( 0\text{,} \) så det kan vi ikke avgjøre med en gang.

\( \textcolor{blue}{e^x} \) går mot \( 0 \) mye raskere enn \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) vokser. \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) er negativ, så grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) nedenfra: \[ \lim_{x \to -\infty} (\textcolor{red}{x - 1})\textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Når \( x \) blir stor, vokser begge faktorene: \[ \lim_{x \to \infty} (\textcolor{red}{x - 1})\textcolor{blue}{e^x} = \infty \]

3. Tegn grafen Grafen synker ned til bunnpunktet og stiger så gjennom nullpunktet:

Fra \( {x = 1} \) til \( {x = 2} \) ligger grafen over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( f\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Sett opp integralet For \( {x \geq 1} \) er begge faktorene ikke-negative: \[ (x - 1) \geq 0, \qquad e^x > 0 \]

Arealet under grafen er derfor integralet fra \( 1 \) til \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 (x - 1)e^x \, dx \]

2. Skriv opp delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v'} \, dx = \Big[ \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v} \Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'} \textcolor{blue}{v} \, dx \]Se videoen Delvis integrasjon hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \Big[ (\textcolor{red}{x - 1}) \textcolor{blue}{e^x} \Big]_1^2 - \int_1^2 \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \, dx \\ &= \Big[ (x - 1)e^x \Big]_1^2 - \Big[ e^x \Big]_1^2 \\ &= (e^2 - 0) - (e^2 - e) \\ &= e \end{aligned} \]