Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er en brøk med \( x \) både i teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( e^x \) derivert er \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 - x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{(\textcolor{red}{2x - 1})\textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{x^2 - x})\textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

2. Forenkle Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, og bruker at \( {(e^x)^2 = e^x \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\left(2x - 1 - x^2 + x\right)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \\ &= \dfrac{-x^2 + 3x - 1}{e^x} \end{aligned} \]

Vi ser en logaritme av en brøk. Vi skriver den derfor om med logaritmereglene først, så blir derivasjonen enkel.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{a}{b} &= \ln a - \ln b \\ \ln e^{c} &= c \cdot \ln e = c \end{aligned} \]Du ser reglene i videoene Regneregler med Logaritmer og Naturlige Logaritmer.

Plugger vi inn, får vi, for \( {x > -\dfrac{1}{2}} \) der logaritmen finnes: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln(2x + 1) - \ln e^{2x} \\ &= \ln(2x + 1) - 2x \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\ln(\textcolor{green}{2x + 1})} \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + 1}}\text{,} \) med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Det gir oss: \[ \underline{\left(\ln(\textcolor{green}{2x + 1})\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{2x + 1}}} \]

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

3. Forenkle Slår vi dette sammen, får vi, med \( {2x + 1} \) som fellesnevner: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{2x + 1}} - 2 \\ &= \dfrac{2 - 2(2x + 1)}{2x + 1} \\ &= \dfrac{-4x}{2x + 1} \end{aligned} \]

Vi setter \( {x = 0} \) for \( {y\text{-aksen}} \) og \( {f(x) = 0} \) for \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn skjæringspunktene Med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{0}) = \dfrac{\textcolor{blue}{0}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{0} - 1} = 0 \]

Med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Nevneren er \( {-1} \) for \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{,} \) så brøken finnes der. Begge gir samme punkt, origo.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon for å finne en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Telleren er \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 0} \) der, så \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 + 0x} \) på \( {(2x - 1)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \cdot (2x - 1) &= x^2 - \dfrac{1}{2}x \\ -(x^2 - \dfrac{1}{2}x) &= \textcolor{red}{-x^2 + \dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \dfrac{1}{2}x & \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) og \( {0x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}x}\text{.} \) Linja \( \dfrac{1}{2}x \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \cdot (2x - 1) &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \\ -(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}) &= \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{\dfrac{1}{2}x}} & \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-\dfrac{1}{2}x}} & \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \\ \hline & & \dfrac{1}{4} \end{array} \end{array} \]\( \dfrac{1}{2}x \) strykes mot \( {-\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) og \( {0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}}\text{.} \) Tallet \( \dfrac{1}{4} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( \dfrac{1}{4} \) er restleddet.

3. Les av den skrå asymptoten Restleddet delt på nevneren legges til svaret: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} + \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \]

Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, blir nevneren i den siste brøken stor i tallverdi, og brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \to 0 \]

Da nærmer grafen seg linja \( {y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}}\text{,} \) og det er den skrå asymptoten. Siden \( |f(x)| \) vokser uten grense, har grafen ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{2x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2x}(\textcolor{blue}{2x - 1}) - \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{2}}{(\textcolor{blue}{2x - 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x(x - 1)}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn ekstremalpunktene For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 1)} &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 0.5, 1], "labels": ["0", "\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "(2x - 1)^2", "expr": "(2x - 1)^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "2x(x - 1)/(2x - 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor \( f'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-verdiene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{0^2}{2 \cdot 0 - 1} = 0 \\ f(1) &= \dfrac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = 1 \end{aligned} \]

Vi bruker polynomdivisjonen fra b), som gir oss \( f(x) \) skrevet som ledd vi kan integrere.

Arealet under grafen er et bestemt integral. Vi integrerer ledd for ledd.

1. Sett opp integralet For \( x \) mellom \( 1 \) og \( 2 \) er både telleren og nevneren positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor integralet, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 f(x) \, dx \]

I b) fant vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2x - 1}} \]

2. Integrer ledd for ledd Reglene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Den gjelder også konstanten, siden \( {\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}x^0}\text{.} \)

Brøken følger regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, med en faktor \( \dfrac{1}{2} \) fordi kjernen \( {2x - 1} \) har derivert \( 2\text{:} \) \[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Her er \( {2x - 1 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdien. Leddene gir: \[ A = \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}x^2} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)}\right]_1^2 \]

3. Sett inn grensene Vi setter inn øvre og nedre grense, med \( {\ln 1 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\textcolor{red}{1} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln 3}\right) \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{0}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3 \end{aligned} \]

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi ganger opp nevneren og får en andregradslikning.

1. Sett funksjonene like Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og ganger med nevneren, som ikke er \( 0 \) for \( {x \neq \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{2x - 1} &= x \\ x^2 &= x(2x - 1) \\ x^2 &= 2x^2 - x \\ 0 &= x^2 - x \end{aligned} \]

2. Faktoriser og finn punktene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor som felles faktor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x}(x - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

\( {y\text{-verdien}} \) finner vi i \( {g(x) = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(0) &= 0 \\ g(1) &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser at funksjonen er en brøk. Den er ikke definert der nevneren er \( 0\text{,} \) og den er \( 0 \) der telleren er \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren \( \textcolor{blue}{x} \) må være forskjellig fra \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} \neq 0 \]

Alle andre tall går fint, så: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

2. Finn nullpunktene For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren \( {\textcolor{red}{4x^2 + 1}} \) er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x^2 + 1} &= 0 \\ x^2 &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Et kvadrat kan aldri bli negativt, så likningen har ingen løsning. Funksjonen har ingen nullpunkter.

Vi bruker fra a) at nevneren er \( 0 \) for \( {x = 0}\text{.} \)

Vi sjekker hva som skjer der nevneren er \( 0\text{,} \) og deler så opp brøken for å se hva grafen nærmer seg når \( x \) blir stor.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). For \( {x = 0} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Nevner:} \quad & x = 0 \\ \text{Teller:} \quad & 4 \cdot 0^2 + 1 = 1 \end{aligned} \]

Dermed har \( f \) den vertikale asymptoten: \[ x = 0 \]

2. Del opp brøken Vi deler hvert ledd i telleren på \( x\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{4x^2}{x} + \dfrac{1}{x} = \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \]

3. Finn den skrå asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Da går \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \) mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \big( f(x) - \textcolor{blue}{4x} \big) = \lim_{x \to \pm\infty} \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} = 0 \]

Grafen nærmer seg altså linja \( {y = \textcolor{blue}{4x}}\text{.} \) Dette kalles en skrå asymptote. \( |f(x)| \) vokser uten grense når \( {x \to \pm\infty}\text{,} \) så funksjonen har ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk med \( x \) i både teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{4x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{8x^2 - 4x^2 - 1}{x^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og faktoriserer telleren. Et fortegnsskjema viser så hvor \( f \) stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Fra c) vet vi at: \[ f'(x) = \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \]

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{.} \) Konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene, gir oss: \[ \begin{aligned} 4x^2 - 1 &= (\textcolor{darkorange}{2x + 1})(\textcolor{magenta}{2x - 1}) = 0 \\ x &= -\dfrac{1}{2} \ \text{ eller } \ x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0, 0.5], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0", "\\dfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "x^2", "expr": "x^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2x + 1)(2x - 1)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så her har vi et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så her har vi et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{2}} = 4 \end{aligned} \]

Skjemaet viser at grafen stiger for \( {x \le -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x \ge \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og synker mellom disse, bortsett fra i \( {x = 0}\text{,} \) der \( f \) ikke er definert.

Vi bruker asymptotene fra b) og topp- og bunnpunktet fra d).

Vi tegner asymptotene først og setter av punktene. Verdimengden leser vi av på hver side av \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skisser grafen Fra b) og d) vet vi: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \quad & x = 0, \quad y = 4x \\ \textcolor{blue}{\text{Toppunkt:}} \quad & \textcolor{blue}{\left(-\dfrac{1}{2},\, -4\right)} \\ \textcolor{red}{\text{Bunnpunkt:}} \quad & \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2},\, 4\right)} \end{aligned} \]

Vi regner også ut ett punkt til på hver side, så grafen blir riktig: \[ f(2) = \dfrac{17}{2}, \quad f(-2) = -\dfrac{17}{2} \]

Grafen har to deler. Hver del følger \( {x = 0} \) nær \( {y\text{-aksen}} \) og \( {y = 4x} \) langt ute. Hva en asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x):

2. Finn verdimengden Når \( {x > 0} \) er \( \textcolor{red}{4} \) den minste verdien, og \( f \) vokser mot uendelig på begge sider av bunnpunktet. Når \( {x < 0} \) er \( {\textcolor{blue}{-4}} \) den største verdien, og \( f \) går mot minus uendelig på begge sider av toppunktet. Det gir oss: \[ \begin{aligned} x > 0: \quad & f(x) \ge \textcolor{red}{4} \\ x < 0: \quad & f(x) \le \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4}(\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til a).

Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er null. Med en fortegnslinje ser vi hva slags punkter det er.

1. Sett den deriverte lik null I a) viste vi at: \[ f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \]

Vi setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Nevneren er aldri \( 0\text{,} \) så telleren må være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -4x^2 + 4 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1 \quad \text{eller} \quad x = 1 \end{aligned} \]

2. Lag en fortegnslinje Vi faktoriserer telleren som \( {\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}} \) ganger \( {\textcolor{magenta}{x - 1}}\text{.} \) Nevneren er alltid positiv, så fortegnet til \( f'(x) \) finner vi ved å gange fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}", "expr": "-4*(x + 1)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(-4*x^2 + 4)/(x^2 + 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{4 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = -2 \\ f(1) &= \dfrac{4 \cdot 1}{1^2 + 1} = 2 \end{aligned} \]

Vi bruker topp- og bunnpunktet fra b).

En vertikal asymptote krever at nevneren blir null, og en horisontal får vi ved å la \( x \) vokse. Skissen tegner vi fra asymptoten og noen punkter.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan bare være der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Men nevneren blir aldri \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 1 \ge 1 \]

Funksjonen har derfor ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi deler på \( \textcolor{blue}{x^2}\text{,} \) med samme metode som i videoen: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4x}{\textcolor{blue}{x^2}}}{\tfrac{x^2 + 1}{\textcolor{blue}{x^2}}} \\ &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4}{x}}{1 + \tfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0}{1} = 0 \end{aligned} \]

Dermed er \( {y = 0} \) en horisontal asymptote.

3. Skisser grafen I b) fant vi toppunktet \( (1, 2) \) og bunnpunktet \( {(-1, -2)}\text{.} \) Noen flere verdier: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(5) &= \dfrac{10}{13} \\ f(-5) &= -\dfrac{10}{13} \end{aligned} \]

Det gir denne skissen, der grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) på begge sider:

Vi bruker \( f'(x) \) fra a).

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen, som i videoen Tangentlinje, forteller oss at: \[ y = \textcolor{blue}{f'(a)}(x - \textcolor{green}{a}) + \textcolor{red}{f(a)} \]

Her er \( {\textcolor{green}{a} = 0{,}40 = \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Funksjonsverdien er: \[ \textcolor{red}{f\left(\dfrac{2}{5}\right)} = \dfrac{\tfrac{8}{5}}{\tfrac{4}{25} + 1} = \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{25}{29} = \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \]

I a) viste vi at \( {f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}}\text{.} \) Det gir stigningstallet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f'\left(\dfrac{2}{5}\right)} &= \dfrac{-\tfrac{16}{25} + 4}{\left(\tfrac{29}{25}\right)^2} \\ &= \dfrac{84}{25} \cdot \dfrac{625}{841} = \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}}\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}\right) + \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \\ &= \dfrac{2100}{841}x - \dfrac{840}{841} + \dfrac{1160}{841} \\ &= \dfrac{2100}{841}x + \dfrac{320}{841} \end{aligned} \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene like: \[ \dfrac{4x}{x^2 + 1} = \dfrac{4}{5}x \]

\( {x = 0} \) er én løsning. For \( {x \neq 0} \) deler vi på \( 4x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^2 + 1} &= \dfrac{1}{5} \\ x^2 + 1 &= 5 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

I første kvadrant er \( {x > 0}\text{,} \) så vi bruker ikke \( {x = -2}\text{.} \) Mellom skjæringspunktene ligger \( f \) øverst: \[ f(1) = 2 > \dfrac{4}{5} = g(1) \]

2. Sett opp integralet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_0^2 \left(\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}} - \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x}\right) dx \]

3. Integrer ledd for ledd \( {\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}}}\text{:} \) Vi bruker substitusjon med \( {u = x^2 + 1} \) og \( {du = 2x\,dx}\text{:} \) \[ \int \dfrac{2}{u}\,du = 2\ln u = \underline{\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \left[\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)} - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}\right]_0^2 \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} - (2\ln 1 - 0) \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

Vi ser at uttrykket består av røtter. Vi skriver derfor røttene som potenser og samler like grunntall.

1. Skriv røttene som potenser Reglene for røtter og potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sqrt[n]{p} &= p^{\tfrac{1}{n}} \\ (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Hvis du er usikker, kan du se videoene Potenser og røtter og Flere regneregler med Potenser.

Plugger vi dette inn, får vi hver rot for seg, der \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) har hver sin farge: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4)^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \\ \sqrt[3]{(\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^6} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^{\tfrac{6}{3}} = \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2 \\ \sqrt[4]{\textcolor{blue}{a}^{10}} &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{10}{4}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \end{aligned} \]

2. Samle like grunntall Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene. Når vi deler, trekker vi dem fra: \[ \begin{aligned} p^n \cdot p^m &= p^{n + m} \\ \dfrac{p^n}{p^m} &= p^{n - m} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \cdot \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2}{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^2} \\ &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2} + 2 - \tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^{2 - 2} \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{blue}{a}^0 \cdot \textcolor{red}{b}^0 \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{green}{c}^2 \end{aligned} \]

Den siste overgangen bruker at et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ p^0 = 1 \]

Vi ser at det ene leddet har et tall foran \( \ln\text{.} \) Vi flytter det inn som eksponent med logaritmeregelen.

1. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{u} = \ln\left( \textcolor{red}{u}^{\textcolor{blue}{n}} \right) \]Se videoen Naturlige Logaritmer hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2a} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{2} \ln(\textcolor{red}{2a}) = \ln\left( (\textcolor{red}{2a})^{\textcolor{blue}{2}} \right) = \ln(4a^2) \]

2. Trekk sammen Begge leddene er det samme, så de går opp i hverandre: \[ \ln(4a^2) - \ln(4a^2) = 0 \]

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og \( \cos(3x) \) med kjerneregelen. Hvert ledd har sin farge.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( 3x^4 \) derivert blir: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 4x^3 = \underline{12x^3}} \]

2. Deriver det andre leddet \( \cos(3x) \) har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{u})' = -\sin \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{3x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{(\cos(3x))'} &\textcolor{red}{{}= -\sin(3x) \cdot 3} \\ &\textcolor{red}{{}= \underline{-3\sin(3x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det siste leddet Derivasjonsregelen for \( \ln x \) forteller oss at: \[ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( {-5\ln x} \) derivert blir: \[ \textcolor{darkorange}{-5 \cdot \dfrac{1}{x} = \underline{-\dfrac{5}{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{12x^3} \textcolor{red}{{}- 3\sin(3x)} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{5}{x}} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Med kjerneregelen er \( {(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}}\text{,} \) får vi: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \left( 2\ln x + \dfrac{1}{x} \right) \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Se videoen Kvotientregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x} (x^2 - 2x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \]

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd, og hvert ledd har sin farge.

1. Integrer ledd for ledd \( x^4\text{:} \) Regelen forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir: \[ \textcolor{blue}{\int x^4 \, dx = \underline{\dfrac{x^5}{5}}} \]

\( \sin(3x)\text{:} \) Regelen fra samme video, Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \sin(nx) \, dx = -\dfrac{\cos(nx)}{n} + C \]Med \( {n = 3} \) får vi: \[ \textcolor{red}{\int \sin(3x) \, dx = \underline{-\dfrac{\cos(3x)}{3}}} \]

\( e^{2x}\text{:} \) Regelen fra Basic integrasjonsregler/​formler forteller oss at: \[ \int e^{nx} \, dx = \dfrac{e^{nx}}{n} + C \]Med \( {n = 2} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\int e^{2x} \, dx = \underline{\dfrac{e^{2x}}{2}}} \]

Slår vi dette sammen, og tar med én konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{x^5}{5}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{\cos(3x)}{3}} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{e^{2x}}{2}} + C \]

Vi ser at \( x^6 \) nesten er den deriverte av eksponenten \( x^7\text{.} \) Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjon Substitusjon med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{g(x)}} \) forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot g'(x) \, dx = \int f(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^7} \\ du &= 7x^6 \, dx \\ x^6 \, dx &= \dfrac{1}{7} \, du \end{aligned} \]

2. Integrer og bytt tilbake Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int x^6 e^{x^7} \, dx &= \int e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{7} \, du \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{x^7}} + C \end{aligned} \]