Forkurseksamen etter tema

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon. Etterpå integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 - 4} \) på \( {(x + 5)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 5) &= x^2 + 5x \\ -(x^2 + 5x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & -5x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {0x - 5x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {-5x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-5} \\ \textcolor{magenta}{-5} \cdot (x + 5) &= -5x - 25 \\ -(-5x - 25) &= \textcolor{magenta}{5x + 25} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 25} \\ \hline & & 21 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-4 + 25 = 21}\text{.} \) Tallet 21 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 21 er restleddet.

Svaret pluss restleddet delt på nevneren gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} + \dfrac{21}{x + 5} \]

2. Integrer ledd for ledd Integrasjonsreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \ n \neq -1 \\ \int \dfrac{a}{x + b}\,dx &= a \ln|x + b| + C \end{aligned} \]Se videoen Basic integrasjonsregler/​formler hvis du er usikker.

\( x \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}}}\text{.} \)

\( {-5} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{magenta}{-5x}}}\text{.} \)

\( {\dfrac{21}{x + 5}} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|}}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}} \textcolor{magenta}{{}- 5x} \\ &\quad + \textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|} + C \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a).

Området strekker seg fra \( {x = 0} \) til nullpunktet på den positive \( {x\text{-aksen.}} \) Vi finner nullpunktet og sjekker om grafen ligger over eller under aksen.

1. Finn grensene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4 &= 0 \\ x &= \pm 2 \end{aligned} \]

Det positive nullpunktet er \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) så området går fra \( {x = \textcolor{red}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{.} \)

2. Sett opp integralet Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = -\dfrac{4}{5} \]

Grafen krysser ikke aksen mellom \( 0 \) og \( 2\text{,} \) så der ligger den under \( {x\text{-aksen,}} \) og integralet blir negativt. Arealet er derfor minus integralet, med sammenhengen fra videoen Hva er integrasjon: \[ T = -\int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} f(x)\,dx \]

3. Regn ut integralet I a) fant vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \dfrac{x^2}{2} - 5x \\ &\quad + 21 \ln|x + 5| + C \end{aligned} \]

Plugger vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= -\left[ \dfrac{x^2}{2} - 5x + 21 \ln|x + 5| \right]_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} \\ &= -\left( 2 - 10 + 21 \ln 7 - 21 \ln 5 \right) \\ &= 8 - 21 \ln 7 + 21 \ln 5 \end{aligned} \]

Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln \dfrac{p}{q} \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ T = 8 - 21 \ln \dfrac{7}{5} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: omskrivingen av \( f(x) \) står i oppgaveteksten i a).

Vi trenger punktet og stigningstallet der. Vi deriverer \( f \) ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Formelen for tangenten forteller oss at: \[ y = \textcolor{green}{f'(a)}(x - \textcolor{darkorange}{a}) + \textcolor{magenta}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{darkorange}{a} \) \( {x\text{-koordinaten}} \) til punktet, \( \textcolor{magenta}{f(a)} \) funksjonsverdien der og \( \textcolor{green}{f'(a)} \) stigningstallet. Se videoen Tangentlinje hvis du er usikker.

2. Deriver funksjonen Fra a) har vi: \[ f(x) = x - 5 + \dfrac{21}{x + 5} \]

\( x \) derivert blir \( \underline{1}\text{,} \) og \( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

For å derivere \( {\dfrac{21}{x + 5}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{21} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 5} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{21}{x + 5}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x + 5}) - \textcolor{red}{21} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 5})^2} \\ &= \underline{-\dfrac{21}{(x + 5)^2}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 1 - \dfrac{21}{(x + 5)^2} \]

3. Plugg inn punktet Her er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{0}}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{f(0)} &= \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}} \\ \textcolor{green}{f'(0)} &= 1 - \dfrac{21}{5^2} = \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}}(x - \textcolor{darkorange}{0}) + \left(\textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}}\right) \\ &= \dfrac{4}{25}x - \dfrac{4}{5} \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

Nullpunktene finner vi der telleren er \( 0\text{.} \) Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er \( 0\text{,} \) og den horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Finn nullpunktet 0:07 For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= 0 \\ x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

2. Finn den vertikale asymptoten 1:54 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Dele på null. Nevneren er \( 0 \) når: \[ \begin{aligned} x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \end{aligned} \]

Telleren er ikke \( 0 \) der, så vi får en vertikal asymptote: \[ x - 2 = -3 - 2 = -5 \neq 0 \]

3. Finn den horisontale asymptoten 3:08 Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi får formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{.} \)

Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T(x)}}{\textcolor{blue}{N(x)}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T'(x)}}{\textcolor{blue}{N'(x)}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{T'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{N} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{N'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{x - 2}}{\textcolor{blue}{x + 3}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{1}} = 1 \]

Det samme skjer når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonsverdien går altså mot \( 1\text{,} \) så asymptoten er linja \( {y = 1}\text{.} \)

Alternativ metode: Del på x 4:37 Vi kan også dele både telleren og nevneren på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}} \\ &= \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \end{aligned} \]Denne metoden lønner seg når du ikke har lært L'Hôpitals regel.

Vi finner først hvilke \( {x\text{-verdier}} \) som gir stigningstall \( 5\text{,} \) ved å sette \( {f'(x) = 5}\text{.} \) Så setter vi opp en tangent for hver av dem.

1. Deriver med kvotientregelen 0:32 Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x + 3}) - (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 3})^2} \\ &= \dfrac{x + 3 - x + 2}{(x + 3)^2} = \dfrac{5}{(x + 3)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik 5 3:00 Vi setter \( {f'(x) = 5}\text{,} \) ganger begge sider med nevneren og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{5}{(x + 3)^2} &= 5 \\ 1 &= (x + 3)^2 \\ 1 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 6x + 8 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 4:35 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{8}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-6 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -2 \quad \vee \quad x_2 = -4 \]

4. Finn den første tangenten 6:36 En tangent er en rett linje, som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{darkorange}{a}x + \textcolor{magenta}{b} \]Stigningstallet er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{5}}\text{,} \) så vi må finne \( \textcolor{magenta}{b}\text{.} \)

Vi starter med \( {x = -2} \) og regner ut \( {y\text{-verdien}} \) i punktet: \[ f(-2) = \dfrac{-2 - 2}{-2 + 3} = \dfrac{-4}{1} = -4 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} -4 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-2) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 6 \end{aligned} \]

5. Finn den andre tangenten 8:33 Vi gjør det samme med \( {x = -4}\text{:} \) \[ f(-4) = \dfrac{-4 - 2}{-4 + 3} = \dfrac{-6}{-1} = 6 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 6 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-4) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 26 \end{aligned} \]

Vi finner først hvor grafen og linja skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter uttrykkene like, ganger med \( {x + 3} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= x - 2 \\ x - 2 &= (x - 2)(x + 3) \\ 0 &= (x - 2)(x + 3) - (x - 2) \\ 0 &= (x - 2)(x + 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = -2 \quad \vee \quad x = 2 \]

2. Finn ut hvem som ligger øverst Mellom \( {x = -2} \) og \( {x = 2} \) skjærer de ikke hverandre, og begge er sammenhengende der. Da holder det å teste én verdi: \[ \textcolor{red}{f(0) = -\dfrac{2}{3}}, \qquad \textcolor{blue}{y = 0 - 2 = -2} \]Siden \( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}} > \textcolor{blue}{-2}} \) ligger grafen til \( \textcolor{red}{f} \) over \( \textcolor{blue}{\text{linja}} \) i hele området.

3. Sett opp integralet Vi skriver om brøken, siden \( {x - 2 = (x + 3) - 5}\text{:} \) \[ \dfrac{x - 2}{x + 3} = \dfrac{(x + 3) - 5}{x + 3} = 1 - \dfrac{5}{x + 3} \]

Arealet er den øverste minus den nederste, integrert mellom skjæringspunktene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ \begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2} \left( \textcolor{red}{1 - \dfrac{5}{x + 3}} - (\textcolor{blue}{x - 2}) \right) dx \\ &= \int_{-2}^{2} \left( 3 - x - \dfrac{5}{x + 3} \right) dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, og den siste brøken gir \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( {x + 3 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverditegn: \[ A = \left[ 3x - \dfrac{1}{2}x^2 - 5\ln(x + 3) \right]_{-2}^{2} \]

Vi setter inn grensene hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{øvre: } &6 - 2 - 5\ln 5 = 4 - 5\ln 5 \\ \text{nedre: } &-6 - 2 - 5\ln 1 = -8 \end{aligned} \]

Trekker vi den nedre fra den øvre, får vi: \[ A = 4 - 5\ln 5 - (-8) = 12 - 5\ln 5 \]

Vi vet hvor den deriverte er \( 0\text{,} \) så vi setter opp den deriverte først og integrerer den.

1. Sett opp den deriverte I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En andregradsfunksjon med nullpunktene \( {-2} \) og \( 1 \) er: \[ f'(x) = \textcolor{green}{k}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) slik at alle koeffisientene i \( f(x) \) blir hele tall: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{green}{6}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \\ &= 6(x^2 + x - 2) \\ &= 6x^2 + 6x - 12 \end{aligned} \]

2. Integrer den deriverte Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Regelen forteller oss at: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad n \neq -1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int (6x^2 + 6x - 12)\, dx \\ &= 6 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 6 \cdot \dfrac{x^2}{2} - 12x + C \\ &= 2x^3 + 3x^2 - 12x + C \end{aligned} \]

Vi velger \( {C = 0}\text{.} \)

3. Sjekk at punktene er ekstremalpunkter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "6(x + 2)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -2} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

Andre svar er også riktige: alle valg av \( {k \neq 0} \) og \( C \) gir en slik funksjon, for eksempel \( {f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5}\text{.} \)

Vi tar linja \( {y = x - 2} \) og legger til en brøk som går mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, og som har nevneren \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Sett opp funksjonen Brøken \( {\dfrac{1}{x + 2}} \) er den enkleste som har de to egenskapene, så vi velger: \[ h(x) = \textcolor{blue}{x - 2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \]

2. Sjekk skråasymptoten Avstanden mellom grafen og linja er brøken, og den går mot \( 0 \) når \( x \) går mot pluss eller minus uendelig: \[ h(x) - (\textcolor{blue}{x - 2}) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \to 0 \]

Altså er \( {y = x - 2} \) en skråasymptote.

3. Sjekk den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Telleren i brøken er \( 1\text{,} \) så \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {h(x) = x - 2 + \dfrac{5}{x + 2}}\text{.} \)

Vi skal bruke derivasjon, så vi deriverer høyre side. Blir det \( f(x)\text{,} \) stemmer integralet.

1. Skriv om det første leddet Her står kvadratet inni logaritmen, \( {\ln\left((x + 3)^2\right)}\text{.} \) Siden \( {x + 3 > 0}\text{,} \) forteller logaritmeregelen for potenser oss at: \[ \ln(x + 3)^2 = 2\ln(x + 3) \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Deriver ledd for ledd Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 3}} \) i det første leddet og \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}} \) i det andre, med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}} \) i begge.

\( {2\ln(\textcolor{green}{x + 3})} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}}} \]

\( {-\ln(\textcolor{green}{x + 2})} \) derivert blir: \[ \underline{-\dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}}} \]

\( C \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

3. Sett på felles brøkstrek Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}} - \dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}} \\ &= \dfrac{2(x + 2) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} \\ &= \dfrac{x + 1}{x^2 + 5x + 6} = f(x) \end{aligned} \]

Den deriverte av høyre side er \( f(x)\text{,} \) så integralet stemmer.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: integralet står i oppgaveteksten til a).

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 2 \) er både teller og nevner positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor det bestemte integralet fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \)

1. Sett opp integralet Fra a) vet vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx = \ &\ln(x + 3)^2 \\ &- \ln(x + 2) + C \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} f(x)\,dx \\ &= \Big[\ln(x + 3)^2 - \ln(x + 2)\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (\textcolor{red}{\ln 25 - \ln 4}) - (\textcolor{blue}{\ln 9 - \ln 2}) \end{aligned} \]

2. Slå sammen logaritmene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln a + \ln b &= \ln(ab) \\ \ln a - \ln b &= \ln \dfrac{a}{b} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmereglene, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Bruker vi dem, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln 25} + \textcolor{blue}{\ln 2} \textcolor{red}{- \ln 4} \textcolor{blue}{- \ln 9} \\ &= \ln \dfrac{\textcolor{red}{25} \cdot \textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{9}} \\ &= \ln \dfrac{25}{18} \end{aligned} \]

Vi ser etter vertikale asymptoter der nevneren er \( 0\text{,} \) og horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer nevneren: \[ \textcolor{blue}{x^2 + 5x + 6} = \textcolor{blue}{(x + 2)(x + 3)} \]

Den er \( 0 \) for \( {x = -2} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Begge ligger utenfor definisjonsmengden \( [0, \to\rangle\text{,} \) så \( f \) har ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i \( \textcolor{red}{\text{telleren}} \) og \( \textcolor{blue}{\text{nevneren}} \) hver for seg. Begge vokser over alle grenser, så vi deler teller og nevner på den høyeste potensen, \( x^2\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\textcolor{blue}{1 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^2}}} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{0 + 0}}{\textcolor{blue}{1 + 0 + 0}} = 0 \end{aligned} \]

Grafen nærmer seg derfor linjen \( {y = 0}\text{.} \)

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Integralet av \( 2x\ln x \) tar vi med delvis integrasjon.

1. Separer likningen Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( y \) og \( x \) hver for seg, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x\ln x}{y} \\ y\,dy &= 2x\ln x\,dx \end{aligned} \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \int y\,dy = \int 2x\ln x\,dx \]

Venstre side blir: \[ \underline{\dfrac{1}{2}y^2} \]

2. Integrer høyre side Høyre side er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Den forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= \underline{x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K} \end{aligned} \]

3. Løs for y Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{1}{2}y^2 = x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K \]

Vi ganger med \( 2 \) og kaller konstanten \( 2K \) for \( C\text{:} \) \[ y^2 = 2x^2\ln x - x^2 + C \]

Siden \( {y > 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + C} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den generelle løsningen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter punktet inn i den generelle løsningen og løser for konstanten \( C\text{.} \)

1. Finn konstanten Vi setter inn \( {y = \textcolor{red}{2}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) i den generelle løsningen, som i videoen Differensialligning oppgave 3: \[ \textcolor{red}{2} = \sqrt{2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \ln \textcolor{blue}{1} - \textcolor{blue}{1}^2 + C} \]

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \) Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 4 &= -1 + C \\ C &= 5 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i den generelle løsningen, får vi: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + 5} \]

En tangent er en rett linje, så vi trenger et punkt og et stigningstall. Stigningstallet får vi fra den deriverte.

1. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 4} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(4) &= 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 16 - 16 + 2 = 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ f'(4) &= 2 \cdot 4 - 4 = 4 \end{aligned} \]

2. Sett inn i tangentformelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y - f(\textcolor{blue}{a}) = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad f(\textcolor{blue}{4}) = 2, \quad \textcolor{red}{f'(4)} = \textcolor{red}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - 2 &= \textcolor{red}{4} \cdot (x - \textcolor{blue}{4}) \\ y - 2 &= 4x - 16 \\ y &= 4x - 14 \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn ett tall i \( f(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } f(x) \\ &\iff f(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Sett inn tallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{5}) &= 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {f(5) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 5)} \) en faktor.

Vi bruker fra b) at \( {(x - 5)} \) er en faktor i telleren.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 5}\text{,} \) men der er også telleren \( 0\text{.} \) Vi deler derfor først, og ser hva som står igjen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Se etter vertikal asymptote En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er det bare \( {x = 5}\text{.} \)

Vi forkorter brøken for \( {x \neq 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{\cancel{(x - 5)}}(x^2 + 3x - 4)}{\textcolor{darkorange}{\cancel{x - 5}}} \\ &= x^2 + 3x - 4 \end{aligned} \]

Når \( x \) går mot \( 5\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 5} f(x) &= 5^2 + 3 \cdot 5 - 4 \\ &= 36 \end{aligned} \]

Funksjonen går mot et tall og vokser ikke over alle grenser. Så \( {x = 5} \) er bare et hull i grafen, ikke en vertikal asymptote.

3. Se etter horisontal asymptote En horisontal asymptote får vi hvis \( f(x) \) går mot et tall når \( x \) blir veldig stor, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er leddet \( x^2 \) størst: \[ \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 + 3x - 4) = \infty \]

Grafen er en parabel med et hull, så den har heller ingen skrå asymptote.

Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Differansen blir enkel, og den integrerer vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Vi regner ut differansen: \[ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= (x + 1)e^{x^2} - e^{x^2} \\ &= x e^{x^2} \end{aligned} \]

På \( [0, 1] \) er \( {x \geq 0} \) og \( {e^{x^2} > 0}\text{,} \) så \( {f(x) \geq g(x)}\text{.} \) Grafen til \( f \) ligger altså øverst.

Arealet mellom grafene er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \int_0^1 (f(x) - g(x))\,dx \\ &= \int_0^1 x e^{x^2}\,dx \end{aligned} \]Arealet som et bestemt integral ser du i videoen Hva er integrasjon.

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 0 \\ x = 1 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 1 \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Integralet av \( e^u \) er \( e^u\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 \\ &= \dfrac{1}{2} (e^1 - e^0) = \dfrac{e - 1}{2} \end{aligned} \]