Forkurseksamen etter tema

En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke startpunktet fra sluttpunktet, koordinat for koordinat. Det siste uttrykket regner vi også koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene fra A Vektoren fra \( A \) til \( B \) er gitt ved, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{2 - 1},\ \textcolor{red}{1 - 2},\ \textcolor{green}{0 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{4 - 1},\ \textcolor{red}{3 - 2},\ \textcolor{green}{6 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Vektoren \( \overrightarrow{CA} \) går motsatt vei av \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \]

Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} 3\overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-3}] \\ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} &= \left[\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}}\right] \end{aligned} \]

Så trekker vi vektorene fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\left[\textcolor{blue}{3 + \dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-3 + \dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-3 + \dfrac{5}{2}}\right] \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{9}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}}\right] \end{aligned} \]

Vinkel \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Vi bruker derfor skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot \cos C \]Hvis du er usikker på skalarproduktet, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{2 - 4},\ \textcolor{red}{1 - 3},\ \textcolor{green}{0 - 6}] \\ &= [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{-6}] \end{aligned} \]

2. Regn ut produktet og lengdene Skalarproduktet ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \\ &= \textcolor{blue}{(-3)(-2)} + \textcolor{red}{(-1)(-2)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(-5)(-6)} \\ &= \textcolor{blue}{6} + \textcolor{red}{2} + \textcolor{green}{30} = 38 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{4 + 4 + 36} = 2\sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos C &= \dfrac{38}{\sqrt{35} \cdot 2\sqrt{11}} \\ &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]

Vinkelen finner vi med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren: \[ C = \cos^{-1}\left(\dfrac{19}{\sqrt{385}}\right) \approx 14{,}5^\circ \]

Vi bruker sidene og \( \cos C \) fra b).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor arealsetningen, med \( \sin C \) regnet ut eksakt.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{\sin C} \]Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er, fra b): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= |\overrightarrow{CB}| = \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \\ \textcolor{red}{b} &= |\overrightarrow{CA}| = \textcolor{red}{\sqrt{35}} \\ \cos C &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]

2. Finn sinus til vinkelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \]

Siden \( C \) ligger mellom \( 0^\circ \) og \( 180^\circ\text{,} \) er \( \sin C \) positiv: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin C} &= \sqrt{1 - \dfrac{361}{385}} \\ &= \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Plugger vi dette inn, og bruker at \( {2\sqrt{11} \cdot \sqrt{35} = 2\sqrt{385}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{35}} \cdot \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \\ &= \sqrt{385} \cdot \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{385}} \\ &= \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

For å skrive opp planet trenger vi et punkt og en normalvektor. Normalvektoren får vi som vektorproduktet av to vektorer i planet.

1. Finn en normalvektor Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \times \vec{v} = [\,&u_2v_3 - u_3v_2, \\ &u_3v_1 - u_1v_3, \\ &u_1v_2 - u_2v_1\,] \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \vec{v} &= \overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{-1} \cdot \textcolor{green}{5} - (\textcolor{green}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1}, \\ &\quad\ \ \textcolor{green}{-1} \cdot \textcolor{blue}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{5}, \\ &\quad\ \ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{blue}{3}] \\ &= [-4,\ -8,\ 4] \end{aligned} \]

Vi kan dele en normalvektor på et tall, for den står fortsatt vinkelrett på planet. Deler vi på \( {-4}\text{,} \) får vi en enklere normalvektor: \[ \vec{n} = [1,\ 2,\ -1] \]

2. Sett opp planet Formelen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} {[a, b, c]} &= [1, 2, -1] \\ (x_0, y_0, z_0) &= (1, 2, 1) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 1(x - 1) + 2(y - 2) - (z - 1) &= 0 \\ x - 1 + 2y - 4 - z + 1 &= 0 \\ x + 2y - z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) gir \( {2 + 2 - 0 - 4 = 0} \) og \( C \) gir \( {4 + 6 - 6 - 4 = 0}\text{.} \)

Vi bruker \( {\overrightarrow{AB} = [1, -1, -1]} \) fra a).

Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) så vi setter det lik \( 0 \) og løser.

1. Skriv opp vektoren Vi kaller punktet \( D(0, 0, t)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= [\textcolor{blue}{0 - 1},\ \textcolor{red}{0 - 2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{(-1) \cdot 1} + \textcolor{red}{(-2)(-1)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(t - 1)(-1)} = 0 \\ &-1 + 2 - t + 1 = 0 \\ &2 - t = 0 \\ &t = 2 \end{aligned} \]

Vi finner hver vektor ved å ta sluttpunkt minus startpunkt. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra, koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 0 - 1,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 1,\ 3 - 1,\ 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} &= [0 - (-1),\ 0 - 3,\ 2 - 3] \\ &= \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Når vi ganger med et tall, ganger vi hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?. Når vi trekker fra, gjør vi det koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &2\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} - \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} \\ &= 2 \cdot \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-4, 4, 8] - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-5, 7, 9] \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Vinkel \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} \\ &= 2 - 2 + 12 = 12 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + \textcolor{blue}{3}^2} = \sqrt{11} \\ |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(A) &= \dfrac{12}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{24}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{264}} \approx 0{,}7385 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A = \cos^{-1}\left(\dfrac{12}{\sqrt{264}}\right) \approx 42{,}4^\circ \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} = -10 \\ y &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} = -2 \\ z &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -4 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-10, -2, -4] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{30} = \sqrt{30} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene i planet, så det er en normalvektor. Med en normalvektor og et punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-10, -2, -4] \\ &= -2 \cdot [5, 1, 2] \end{aligned} \]

Vektoren \( [5, 1, 2] \) er parallell med denne, så den er også en normalvektor, og den er enklere å regne med.

2. Sett inn i likningen for planet Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[5, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(1, 1, -1)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{5}(x - \textcolor{red}{1}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(z - (\textcolor{red}{-1})) = 0 \\ &5x - 5 + y - 1 + 2z + 2 = 0 \\ &5x + y + 2z = 4 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan som er parallelt med \( \alpha \) har de samme retningene. Vi bruker derfor \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) men starter i \( E\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= E = \textcolor{green}{(2, 3, 4)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 1}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 1}s + \textcolor{red}{2}t \\ z &= \textcolor{green}{4} + \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{4}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( {[-1, 1, 2]} \) i stedet for \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Vi skriver \( D \) med en ukjent \( {y\text{-koordinat}} \) og setter volumet lik \( 20\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I c) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \]

Et punkt på \( {y\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {z = 0}\text{,} \) så \( {D = (0, y, 0)}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 1,\ y - 1,\ 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \cdot \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \\ &= (\textcolor{blue}{-10}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{y - 1}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 10 - 2y + 2 - 4 \\ &= 8 - 2y \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi setter volumet lik \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6} |8 - 2y| &= 20 \\ |8 - 2y| &= 120 \end{aligned} \]

Tallverdien er \( 120 \) når uttrykket er \( 120 \) eller \( {-120}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8 - 2y = 120 &\Rightarrow y = -56 \\ 8 - 2y = -120 &\Rightarrow y = 64 \end{aligned} \]

Vi leser fortegnene av topp- og bunnpunktet og vendepunktet. Den deriverte sier om grafen stiger eller synker, og den dobbeltderiverte hvilken vei den krummer.

1. Tegn fortegnslinja til den deriverte Fortegnet til \( g'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. I topp- og bunnpunktet er den \( 0\text{:} \) \[ g'(\textcolor{blue}{0}) = 0, \quad g'(\textcolor{blue}{3}) = 0 \]

Grafen stiger fram til \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) synker fra \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) og stiger så igjen. Det gir oss denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "g'(x)", "expr": "x*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( g'(x) \) er \( 0\text{.} \)

2. Tegn fortegnslinja til den dobbeltderiverte Fortegnet til \( g''(x) \) sier hvilken vei grafen krummer, og i vendepunktet er den \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ g''\left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right) = 0 \]

Rundt toppunktet i \( {x = 0} \) krummer grafen nedover, så \( g''(x) \) er negativ før \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Rundt bunnpunktet i \( {x = 3} \) krummer den oppover, så \( g''(x) \) er positiv etter: :::fortegnsskjema {"points": [1.5], "labels": ["\\dfrac{3}{2}"], "rows": [{"label": "g''(x)", "expr": "2*x - 3"}]} En strek viser hvor \( g''(x) \) er \( 0\text{.} \) Hvordan vi tenker fram disse linjene, ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025.

En tredjegradsfunksjon har fire ukjente koeffisienter. Topp- og bunnpunktet gir oss fire likninger, og vendepunktet kan vi bruke til å sjekke svaret.

1. Skriv opp funksjonen og den deriverte En tredjegradsfunksjon kan skrives slik: \[ g(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + \textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{d} \]

Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ g'(x) = 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} \]

2. Bruk toppunktet Toppunktet \( (0, 6) \) ligger på grafen, og der er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(0) = 6 &\Rightarrow \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{6} \\ g'(0) = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

3. Bruk bunnpunktet Det samme gjelder bunnpunktet \( {(3, -21)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(3) = -21 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 9\textcolor{red}{b} + 6 = -21 \\ g'(3) = 0 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 6\textcolor{red}{b} = 0 \end{aligned} \]

Det er et likningssett med to ukjente, som i videoen Likningssett. Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{red}{b} + 6 &= -21 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-9} \end{aligned} \]

Setter vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 27\textcolor{blue}{a} + 6 \cdot (\textcolor{red}{-9}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

4. Sjekk med vendepunktet Funksjonen er nå \( {g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er \( {g''(x) = 12x - 18}\text{.} \) Vendepunktet stemmer: \[ \begin{aligned} g''\left(\dfrac{3}{2}\right) &= 18 - 18 = 0 \\ g\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{27}{4} - \dfrac{81}{4} + 6 = -\dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Fortegnet til den deriverte sier hvor \( f \) vokser og synker. Vi deriverer, finner nullpunktene og tegner fortegnslinja.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi løser \( {f'(x) = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-1})} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \dfrac{-2 \pm 4}{-2} \end{aligned} \]

Det gir oss \( {x = -1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) og dermed: \[ f'(x) = -(x + 1)(x - 3) \]

3. Tegn fortegnslinja Fortegnet til \( f'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x + 1)*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er det et bunnpunkt. I \( {x = 3} \) går den fra pluss til minus, så der er det et toppunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{1}{3} + 1 - 3 = -\dfrac{5}{3} \\ f(3) &= -9 + 9 + 9 = 9 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra c).

Fortegnet til den dobbeltderiverte sier hvilken vei grafen krummer. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

1. Finn den dobbeltderiverte I c) fant vi: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Deriverer vi en gang til, får vi: \[ f''(x) = -2x + 2 \]

2. Tegn fortegnslinja Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} -2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Fortegnslinja blir: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-2*x + 2"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \)

\( f''(x) \) er positiv før \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der krummer grafen opp. Den er negativ etter, så der krummer grafen ned. Den skifter fortegn i \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der er det et vendepunkt.

3. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{1}) = -\dfrac{1}{3} + 1 + 3 = \dfrac{11}{3} \]

Vi kaller punktet på \( l \) nærmest \( P \) for \( F\text{.} \) Avstandskravet gjør at \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på planet, så den er normalvektoren vi trenger.

1. Finn normalvektoren ut fra kravet Avstanden fra \( P \) til \( l \) er \( |\overrightarrow{PF}|\text{.} \) Siden \( l \) er parallell med planet, er avstanden fra \( l \) til planet det samme som avstanden fra \( F \) til planet. Kravet er altså: \[ |\overrightarrow{PF}| = \text{avstanden fra } F \text{ til } \alpha \]

Avstanden fra \( F \) til planet er den korteste veien dit. \( P \) ligger i planet, så \( \overrightarrow{PF} \) er en vei fra planet til \( F\text{.} \) Den er bare den korteste hvis den står vinkelrett på planet: \[ \overrightarrow{PF} \perp \alpha \]

2. Finn punktet F Et vilkårlig punkt på \( l \) er: \[ F = (2 - 3t,\ -1 + 4t,\ 1 + 2t) \]

Vektoren fra \( P \) er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} = [&2 - 3t - 1, \\ &-1 + 4t - 4, \\ &1 + 2t - 4] \\ = [&\textcolor{red}{1 - 3t,\ -5 + 4t,\ -3 + 2t}] \end{aligned} \]

\( F \) er punktet nærmest \( P\text{,} \) så \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på retningsvektoren til \( l\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{[-3, 4, 2]}}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{-3}(\textcolor{red}{1 - 3t}) + \textcolor{blue}{4}(\textcolor{red}{-5 + 4t}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(\textcolor{red}{-3 + 2t}) = 0 \\ &-3 + 9t - 20 + 16t - 6 + 4t = 0 \\ &29t - 29 = 0 \\ &t = 1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &= (-1, 3, 3) \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} &= \textcolor{red}{[-2, -1, -1]} \end{aligned} \]

3. Sett inn i likningen for planet Vektoren \( [2, 1, 1] \) er parallell med \( \overrightarrow{PF}\text{,} \) så vi bruker den som normalvektor. Den står vinkelrett på \( l\text{,} \) slik at \( l \) er parallell med planet: \[ [2, 1, 1] \cdot \textcolor{blue}{[-3, 4, 2]} = -6 + 4 + 2 = 0 \]

Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{[a, b, c]} &= \textcolor{green}{[2, 1, 1]} \\ (x_0, y_0, z_0) &= P = (1, 4, 4) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 4) \\ &+ \textcolor{green}{1}(z - 4) = 0 \\ &2x - 2 + y - 4 + z - 4 = 0 \\ &2x + y + z = 10 \end{aligned} \]

Vi finner vektorene ved å trekke fra koordinatene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet.

1. Finn vektorene Vektoren fra \( C \) til et punkt er koordinatene til punktet minus koordinatene til \( C\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -4, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} = |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| \cdot |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Her er \( \textcolor{green}{v} \) vinkelen mellom vektorene. Regelen står i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi ganger koordinat for koordinat og legger sammen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} \\ &= -2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\ &= -2 + 12 = 10 \end{aligned} \]

3. Regn ut lengdene Lengden finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{20} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| &= \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{10} \end{aligned} \]

4. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker lengdene og vinkelen fra a).

Volumet er en tredel av grunnflaten ganger høyden. Grunnflaten finner vi med arealsetningen, og høyden kan vi lese av \( {z\text{-koordinatene.}} \)

1. Regn ut grunnflaten Arealsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{G} = \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C \]Her er \( CA \) og \( CB \) to sider, og \( C \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{20} \\ CB &= \sqrt{10} \\ \angle C &= 45^\circ \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{G} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

2. Finn høyden \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) har alle \( {z = 0}\text{,} \) så grunnflaten ligger i \( {xy\text{-planet.}} \) Høyden er derfor \( {z\text{-koordinaten}} \) til \( T\text{:} \) \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{5} \]

3. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser hvorfor \( {V = G \cdot h} \) ikke gjelder for en pyramide.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{25}{3} \]

Vi setter opp kryssproduktet som en determinant. Lengden av kryssproduktet er arealet av et parallellogram, og trekanten er halvparten.

1. Finn vektorene Siden \( A \) er origo, er vektorene de samme tallene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{blue}{[1, 2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten med enhetsvektorene i første rad. Det vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, et eksempel om curl, der kryssproduktet regnes slik: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \end{vmatrix} \]

Vi regner ut hver komponent: \[ \begin{aligned} \vec{i}: \quad & 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \\ \vec{j}: \quad & -(1 \cdot 0 - 5 \cdot 3) = 15 \\ \vec{k}: \quad & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{green}{[-5, 15, -5]} \]

3. Regn ut arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot |\textcolor{green}{[-5, 15, -5]}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{25 + 225 + 25} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{275} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker kryssproduktet fra c) som normalvektor.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet. Det er derfor en normalvektor, og \( A \) er et punkt i planet.

1. Finn normalvektoren I c) fant vi \( {\overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} = [-5, 15, -5]}\text{.} \) Vi kan dele på \( {-5} \) og få en enklere vektor med samme retning: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \]

2. Sett opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \\ (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{1}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x - 3y + z &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B(3, 1, 0) \) gir \( {3 - 3 + 0 = 0}\text{,} \) og \( T(1, 2, 5) \) gir \( {1 - 6 + 5 = 0}\text{.} \)

Vi finner vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner videre koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 3 - 1,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ 2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?, og vektorer trekkes fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &3\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} \\ &= 3\textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{[0, -3, 1]} \\ &= [-3, 6, 3] - \left[0, -\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \\ &= \left[-3,\ \dfrac{15}{2},\ \dfrac{5}{2}\right] \end{aligned} \]

Vinkelen i \( B \) er vinkelen mellom de to vektorene som går ut fra \( B\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Her er \( v \) vinkelen mellom vektorene. Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Begge vektorene må starte i \( B\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[1, -2, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0 + 6 - 1 = 5 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \\ |\textcolor{red}{\vec{w}}| &= \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \cos \angle B = \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{60}} \]

Vi tar \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren og runder av til én desimal: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{60}}\right) \approx 49{,}8^\circ \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor Vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [n_1, n_2, n_3]} \) står vinkelrett på begge vektorene. Koordinatene er: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ n_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ n_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]Videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet regner kryssproduktet som en determinant, i et eksempel om curl.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-1, -1, 2]} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 5 \\ n_2 &= \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 1 \\ n_3 &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 3 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{green}{[5, 1, 3]} \]

2. Skriv opp likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{green}{a}, \textcolor{green}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Vi bruker punktet \( A(1, 1, 0)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{5}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 1) + \textcolor{green}{3}(z - 0) &= 0 \\ 5x - 5 + y - 1 + 3z &= 0 \\ 5x + y + 3z &= 6 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) og \( C \) skal også passe: \( {0 + 3 + 3 = 6} \) og \( {0 + 0 + 6 = 6}\text{.} \)

Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) Vi krever at skalarproduktet er \( 0 \) og løser for \( z\text{.} \)

1. Skriv opp vektorene Vi skriver \( D(0, 0, z)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ z - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, z - 1]} \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= 0 \\ (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{z - 1}) &= 0 \\ -6 + z - 1 &= 0 \\ z &= 7 \end{aligned} \]

Tre vektorer fra origo utspenner pyramiden. Volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp formelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left| (\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{t}} \right| \]Videoen Determinanter 3x3 matrise viser volumet tre vektorer utspenner. Pyramiden er en sjettedel av det.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{[1, 1, 0]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{OB} = \textcolor{red}{[0, 3, 1]} \\ \textcolor{green}{\vec{t}} &= \overrightarrow{OC} = \textcolor{green}{[0, 0, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [p_1, p_2, p_3]} \) er: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ p_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ p_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 1 \\ p_2 &= \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = -1 \\ p_3 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} = 3 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [1, -1, 3] \]

3. Regn ut volumet Vi ganger med den tredje vektoren: \[ \begin{aligned} [1, -1, 3] \cdot \textcolor{green}{[0, 0, 2]} &= 0 + 0 + 6 = 6 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |6| = 1 \]

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vektoren fra \( A \) til \( D \) må derfor være lik vektoren fra \( B \) til \( C\text{.} \)

1. Finn vektoren fra B til C En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [-2 - 2,\ 2 - 3,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Finn punktet D Vi starter i \( A \) og legger til vektoren. Vektorer legger vi sammen koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= A + \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \\ &= (4 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 1 + (\textcolor{blue}{-1}),\ -1 + \textcolor{blue}{1}) \\ &= (0, 0, 0) \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Arealet av et parallellogram er lengden av kryssproduktet til to vektorer langs sidene.

1. Sett opp vektorene Vi tar de to sidene som går ut fra \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 4,\ 3 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{blue}{[-2,\ 2,\ 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 4,\ 0 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{red}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Arealet er gitt ved: \[ T = \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\ &\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3}, \\ &\textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}\ ] \end{aligned} \]Kryssproduktet som determinant vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) &= 3 \\ \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= -2 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) &= 10 \end{aligned} \]

Det gir oss kryssproduktet, i grønt: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \]

3. Finn lengden Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av koordinatene opphøyd i andre, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \sqrt{\textcolor{green}{3}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 + \textcolor{green}{10}^2} \\ &= \sqrt{113} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a), og kryssproduktet \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Kryssproduktet står vinkelrett på grunnflata. Høyden er derfor hvor langt vektoren fra \( D \) til \( T \) rekker i retningen til denne vektoren.

1. Sett opp formelen Med en normalvektor \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og et punkt \( D \) i planet forteller avstandsformelen oss at: \[ h = \dfrac{\left|\textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}\right|}{\left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right|} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\vec{n}} &= \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \\ \left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right| &= \sqrt{113} \end{aligned} \]

2. Plugg inn Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram? Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{green}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{green}{10} \cdot \textcolor{red}{4}|}{\sqrt{113}} \\ &= \dfrac{41}{\sqrt{113}} \approx 3{,}86 \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Et plan er bestemt av en normalvektor og ett punkt. Normalvektoren har vi, og punktet kan vi velge.

1. Skriv opp likningen Likningen til et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{blue}{b},\ \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[3,\ -2,\ 10]} \\ (\textcolor{red}{x_0},\ \textcolor{red}{y_0},\ \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(4,\ 1,\ -1)} \end{aligned} \]

2. Plugg inn punktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{3}(x - \textcolor{red}{4}) \textcolor{blue}{{}- 2}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{10}(z + \textcolor{red}{1}) = 0 \\ &3x - 12 - 2y + 2 + 10z + 10 = 0 \\ &3x - 2y + 10z = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Vinkelen ligger i \( D\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet til de to vektorene som går ut fra \( D\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Siden \( D \) er origo, er vektorene de samme som koordinatene til punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} &= \textcolor{blue}{[2,\ 3,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \end{aligned} \]

2. Bruk skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Regelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 5 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}}| &= \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}| &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \theta\text{,} \) får vi, avrundet til én desimal: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}}\right) \\ \theta &\approx 70{,}9^\circ \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat.

1. Regn ut vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [-3 - 0,\ 2 - (-1),\ -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[-3, 3, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 0,\ 2 - (-1),\ -3 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[1, 3, -5]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen, og lengden av vektorproduktet gir arealet.

1. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Du ser det regnet ut i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3, 3, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -5]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-5}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{3}, \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-5}), \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1}] \\ &= [-6, -18, -12] \end{aligned} \]

2. Finn likningen for planet Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi deler på \( {-6} \) og velger den enkleste: \[ \textcolor{darkorange}{\vec{n}} = \textcolor{darkorange}{[1, 3, 2]} \]

Et plan med normalvektor \( [\textcolor{darkorange}{a}, \textcolor{darkorange}{b}, \textcolor{darkorange}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{green}{x_0}, \textcolor{green}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{a}(x - \textcolor{green}{x_0}) + \textcolor{darkorange}{b}(y - \textcolor{green}{y_0}) \\ &+ \textcolor{darkorange}{c}(z - \textcolor{green}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{darkorange}{a}, \textcolor{darkorange}{b}, \textcolor{darkorange}{c}] &= [\textcolor{darkorange}{1}, \textcolor{darkorange}{3}, \textcolor{darkorange}{2}] \\ (\textcolor{green}{x_0}, \textcolor{green}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) &= (\textcolor{green}{0}, \textcolor{green}{-1}, \textcolor{green}{2}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1}(x - \textcolor{green}{0}) + \textcolor{darkorange}{3}(y + \textcolor{green}{1}) + \textcolor{darkorange}{2}(z - \textcolor{green}{2}) &= 0 \\ x + 3y + 3 + 2z - 4 &= 0 \\ x + 3y + 2z - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[v_1, v_2, v_3]\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + (-18)^2 + (-12)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{504} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} \\ &= 3\sqrt{14} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

Den korteste veien fra et punkt til et plan går vinkelrett på planet. Vi lager derfor en linje gjennom \( E \) med normalvektoren som retning, og finner hvor den treffer planet.

1. Sett opp linja gjennom punktet Av likningen \( {x + 3y + 2z - 1 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{darkorange}{\vec{n}} = \textcolor{darkorange}{[1, 3, 2]}}\text{.} \) Den står vinkelrett på planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Linja gjennom \( E(1, 1, 2) \) med denne retningen er: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{darkorange}{1} \cdot \textcolor{green}{t} \\ y &= 1 + \textcolor{darkorange}{3} \cdot \textcolor{green}{t} \\ z &= 2 + \textcolor{darkorange}{2} \cdot \textcolor{green}{t} \end{aligned} \]

2. Finn hvor linja treffer planet Vi setter koordinatene inn i likningen for planet og løser for \( \textcolor{green}{t}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(1 + \textcolor{green}{t}) + 3(1 + 3\textcolor{green}{t}) \\ &\quad + 2(2 + 2\textcolor{green}{t}) - 1 = 0 \\ &14\textcolor{green}{t} + 7 = 0 \\ &\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Regn ut koordinatene Plugger vi \( \textcolor{green}{t} \) inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{2} \\ y &= 1 + 3 \cdot \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = -\dfrac{1}{2} \\ z &= 2 + 2 \cdot \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = 1 \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner så koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [3 - (-2),\ 1 - 1,\ 1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [1 - 3,\ 3 - 1,\ -2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektoren Vi regner koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer, og et tall ganger hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} \vec{a} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} - 2\textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \\ &= [5 + 4,\ 0 - 4,\ -1 + 6] \\ &= [9, -4, 5] \end{aligned} \]

Vinkelen mellom to vektorer finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp vektorene Siden \( O \) er origo, har vektorene de samme koordinatene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarprodukt og lengder Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Du ser regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( \theta \) vinkelen mellom vektorene. Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor, med en tredje koordinat: \[ |\textcolor{blue}{\vec{u}}| = \sqrt{\textcolor{blue}{u_1}^2 + \textcolor{blue}{u_2}^2 + \textcolor{blue}{u_3}^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= -6 + 1 + 2 = -3 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}}| &= \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{OB}}| &= \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{-3}{3\sqrt{11}} = -\dfrac{1}{\sqrt{11}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right) \\ \theta &\approx 107{,}5^\circ \end{aligned} \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi sette opp likningen for planet.

1. Finn to vektorer i planet Vi tar sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - (-2),\ 3 - 1,\ -2 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[3, 2, -4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \) er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Det er det samme som å ta en determinant, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 2 \\ y &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 17 \\ z &= \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 10 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{green}{[2, 17, 10]} \]

3. Sett opp likningen Et plan med normalvektor \( \textcolor{green}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn punktet \( {A(-2, 1, 2)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x + 2) + \textcolor{green}{17}(y - 1) \\ &+ \textcolor{green}{10}(z - 2) = 0 \\ &2x + 4 + 17y - 17 + 10z - 20 = 0 \\ &2x + 17y + 10z - 33 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tetraederet er utspent av tre vektorer fra \( A\text{,} \) så vi bruker volumformelen med vektorproduktet og skalarproduktet.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer er gitt ved: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{w}}\right| \]Volum som grunnflate ganger høyde ser du i videoen Volum og Overflate.

Her er, med vektorproduktet fra c): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [2, 17, 10] \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{AO}} &= \textcolor{green}{[2, -1, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6} \left|2 \cdot \textcolor{green}{2} + 17(\textcolor{green}{-1}) + 10(\textcolor{green}{-2})\right| \\ &= \dfrac{1}{6} \left|4 - 17 - 20\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren til \( \alpha \) fra c).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Planet inneholder \( \overrightarrow{OB}\text{,} \) og siden det står normalt på \( \alpha\text{,} \) inneholder det også normalvektoren til \( \alpha\text{.} \)

1. Finn punktet og retningene \( \overrightarrow{OB} \) ligger i \( \beta\text{,} \) så origo ligger i planet, og én retning er: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} = \overrightarrow{OB} = \textcolor{blue}{[3, 1, 1]} \]

\( \beta \) står normalt på \( \alpha\text{,} \) så normalvektoren til \( \alpha \) er parallell med \( \beta\text{.} \) Normalvektoren kan vi lese av likningen fra c), og den er den andre retningen: \[ \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{[2, 17, 10]} \]

Koordinatene er ikke proporsjonale, så vektorene er ikke parallelle, og de utspenner et plan: \[ \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{17}{1} \]

2. Skriv parameterframstillingen Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningene \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{v}} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} x &= x_0 + s\textcolor{blue}{u_1} + t\textcolor{red}{v_1} \\ y &= y_0 + s\textcolor{blue}{u_2} + t\textcolor{red}{v_2} \\ z &= z_0 + s\textcolor{blue}{u_3} + t\textcolor{red}{v_3} \end{aligned} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn origo og de to retningene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{2}t \\ y &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{17}t \\ z &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{10}t \end{aligned} \]

Andre framstillinger av samme plan er også riktige, for eksempel med punktet \( B \) i stedet for origo.

Vi finner vektorene og lengdene først. Vinkelen får vi så fra skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [6 - 3, 1 - 2, -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 3, 4 - 2, 0 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn lengdene Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-3})^2} \\ &= \sqrt{19} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}| &= \sqrt{\textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\ &= 0 - 2 + 6 = 4 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{4}{\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{38}} \\ v &= \arccos \dfrac{2}{\sqrt{38}} \approx 71{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) fra a).

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vi setter derfor \( {\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}} \) og løser for \( C\text{.} \)

1. Sett opp vektorene I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \]

Vi kaller \( {C = (x, y, z)}\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?, gir: \[ \overrightarrow{DC} = [x - 3, y - 4, z - 0] \]

2. Løs for koordinatene \( ABCD \) er et parallellogram når \( {\overrightarrow{DC} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vi setter koordinatene like hver for seg: \[ \begin{aligned} x - 3 &= \textcolor{blue}{3} & &\Rightarrow & x &= 6 \\ y - 4 &= \textcolor{blue}{-1} & &\Rightarrow & y &= 3 \\ z &= \textcolor{blue}{-3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AD} \) fra a).

Arealet av et parallellogram utspent av to vektorer er lengden av kryssproduktet. Vi regner ut kryssproduktet og tar lengden.

1. Regn ut kryssproduktet Arealet av parallellogrammet utspent av \( \textcolor{blue}{\vec{a}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{b}} \) er: \[ G = |\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}| \]

Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Hvis du vil se kryssproduktet regnet som determinant, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2} = 8 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) = 6 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} = 6 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] \]

2. Finn lengden Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} G &= \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} \\ &= 2\sqrt{34} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går \( t \) ganger retningsvektoren \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Finn retningsvektoren Med \( A(3, 2, 2) \) og \( {C(6, 3, -3)} \) fra b) gir sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [6 - 3, 3 - 2, -3 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, 1, -5]} \end{aligned} \]

2. Sett opp parameterframstillingen Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi starter i \( \textcolor{red}{A} \) og går \( t \) ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{3}t \\ y &= \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1}t \\ z &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{{}- 5}t \end{aligned} \]

Vi regner ut midtpunktet til hvert av de to punktparene og ser at de er like.

1. Finn begge midtpunktene Midtpunktet mellom to punkter er gjennomsnittet av koordinatene: \[ M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}, \dfrac{z_1 + z_2}{2}\right) \]Vi legger sammen koordinatene hver for seg og deler på \( 2\text{,} \) slik vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

Med \( \textcolor{blue}{A(3, 2, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{C(6, 3, -3)}} \) får vi: \[ \begin{aligned} M &= \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3 + 6}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 - 3}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{B(6, 1, -1)}} \) og \( \textcolor{red}{D(3, 4, 0)} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{\textcolor{red}{6 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{1 + 4}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{-1 + 0}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Punktene er like, så \( M \) er også midtpunktet mellom \( B \) og \( D\text{.} \)

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \) fra c).

Høyden er avstanden fra \( T \) til planet grunnflaten ligger i. Vi finner likningen til planet, og bruker avstandsformelen.

1. Finn likningen til planet Kryssproduktet står vinkelrett på begge vektorene i grunnflaten, så det er en normalvektor. I c) fant vi: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] = 2 \cdot \textcolor{blue}{[4, 3, 3]} \]

Planet gjennom et punkt med en normalvektor har likningen, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her er normalvektoren den enkleste, og punktet er \( A\text{:} \) \[ [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] = \textcolor{blue}{[4, 3, 3]}, \quad A = (\textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}) \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4}(x - \textcolor{red}{3}) + \textcolor{blue}{3}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{blue}{3}y + \textcolor{blue}{3}z - 24 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk avstandsformelen Avstanden fra et punkt \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{blue}{b}y + \textcolor{blue}{c}z + d = 0} \) er: \[ h = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{c}\textcolor{red}{z_0} + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{blue}{c}^2}} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{4}, \ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{3}, \ \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{3}, \ d = -24 \\ T &= (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{5}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} - 24|}{\sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{3}^2}} \\ &= \dfrac{|16 + 6 + 15 - 24|}{\sqrt{34}} \\ &= \dfrac{13}{\sqrt{34}} \end{aligned} \]

Begge regnes ut fra koordinatene. Skalarproduktet gir et tall, og vektorproduktet gir en ny vektor.

1. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet (prikkproduktet) får vi ved å gange koordinatene parvis og legge sammen: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_1} + \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_2} + \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_3} \]Videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram bruker at det er \( 0 \) for vinkelrette vektorer.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{(-2)} \\ &\quad + \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= -2 - 2 - 3 = -7 \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{(-2)} = 1 \\ y &= \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{3} = 5 \\ z &= \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{(-2)} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = 3 \end{aligned} \]

Vi bruker skalarproduktet fra a).

Skalarproduktet henger sammen med vinkelen, så vi finner lengdene og løser for \( \cos\theta\text{.} \)

1. Skriv opp regelen og finn lengdene Skalarproduktet med vinkel forteller oss at: \[ \textcolor{green}{\vec{u} \cdot \vec{v}} = \textcolor{blue}{|\vec{u}|} \cdot \textcolor{red}{|\vec{v}|} \cdot \cos\theta \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengden til en vektor finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{|\vec{u}|} &= \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{6}} \\ \textcolor{red}{|\vec{v}|} &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \textcolor{red}{\sqrt{14}} \end{aligned} \]

I a) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{u} \cdot \vec{v} = -7}}\text{.} \)

2. Løs for vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-7} &= \textcolor{blue}{\sqrt{6}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{14}} \cdot \cos\theta \\ \cos\theta &= \dfrac{-7}{\sqrt{84}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{-7}{\sqrt{84}}\right) \\ \theta &\approx 139{,}8^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a).

Vektorproduktet står vinkelrett på både \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{,} \) så det er en normalvektor til planet.

1. Finn normalvektoren I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \vec{u} \times \vec{v} = \textcolor{blue}{[1, 5, 3]} \]

2. Sett opp likningen Likningen til et plan med normalvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[1, 5, 3]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{5}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x + 5y + 3z &= 0 \end{aligned} \]

Et parallelt plan spennes ut av de samme vektorene. Vi starter derfor i \( P \) og går langs \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{.} \)

1. Sett opp framstillingen Vi kommer til alle punktene i \( \beta \) ved å starte i \( \textcolor{green}{P} \) og legge til en del av \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og en del av \( \textcolor{red}{\vec{v}}\text{:} \) \[ (x, y, z) = \textcolor{green}{P} + \textcolor{blue}{s \cdot \vec{u}} + \textcolor{red}{t \cdot \vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en framstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{(2, 3, -2)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{red}{[1, -2, 3]} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi én likning per koordinat: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 2s} \textcolor{red}{{}+ t} \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}+ s} \textcolor{red}{{}- 2t} \\ z &= \textcolor{green}{-2} \textcolor{blue}{{}- s} \textcolor{red}{{}+ 3t} \end{aligned} \]

Andre svar er også riktige. Vi kan for eksempel bruke et annet punkt i planet enn \( P\text{.} \)

Vi bruker punktet \( P \) fra d).

Linja går gjennom både \( P \) og \( Q\text{,} \) så \( \overrightarrow{PQ} \) er en retningsvektor for den.

1. Finn retningsvektoren En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{PQ}} &= [4 - 2,\ 1 - 3,\ -3 - (-2)] \\ &= \textcolor{blue}{[2, -2, -1]} \end{aligned} \]

2. Sett opp framstillingen Vi starter i \( \textcolor{green}{P} \) og går en del \( t \) av retningsvektoren, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ (x, y, z) = \textcolor{green}{P} + t \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{PQ}} \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{green}{P(2, 3, -2)}} \) og \( {\textcolor{blue}{[2, -2, -1]}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} + \textcolor{blue}{2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 2}t \\ z &= \textcolor{green}{-2} \textcolor{blue}{{}- 1}t \end{aligned} \]

Andre svar er også riktige. Vi kan for eksempel starte i \( Q\text{.} \)