Forkurseksamen etter tema

Vi skisserer trapeset. Da ser vi at diagonalen \( BD \) gir en rettvinklet trekant, der vi finner den øverste siden og høyden med sinus og cosinus.

1. Skisser trapeset Siden \( {\angle ABC = 90^\circ} \) og \( AD \) er parallell med \( BC\text{,} \) er også vinkelen i \( A \) rett. Parallelle sider gir at \( {\angle ADB = \angle DBC = \beta}\text{:} \)

2. Finn høyden og den øverste siden Trekant \( ABD \) er rettvinklet. Sinus og cosinus forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\text{hypotenus}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\text{hypotenus}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på sinus og cosinus, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er hypotenusen \( {BD = 2}\text{:} \) \[ \sin \beta = \dfrac{\textcolor{red}{h}}{2}, \quad \cos \beta = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{2} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h} \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{2\sin \beta}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2\cos \beta} \]

3. Regn ut arealet Formelen for arealet av et trapes forteller oss at: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + b) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på formelen for arealet av et trapes, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er \( {b = BC = 4}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A(\beta) &= \dfrac{(\textcolor{blue}{2\cos \beta} + 4) \cdot \textcolor{red}{2\sin \beta}}{2} \\ &= (2\cos \beta + 4)\sin \beta \\ &= 4\sin \beta + 2\sin \beta \cos \beta \end{aligned} \]

Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2\beta) = 2\sin \beta \cos \beta \]

Det gir oss: \[ A(\beta) = 4\sin(\beta) + \sin(2\beta) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(\beta) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(\beta) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Med formelen for dobbel vinkel blir dette en andregradslikning i \( \cos \beta\text{.} \)

1. Deriver arealet Vi deriverer med \( \beta \) i radianer og gjør om til grader til slutt. \( 4\sin \beta \) derivert blir \( \underline{4\cos \beta}\text{.} \)

For \( \sin(2\beta) \) bruker vi kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2\beta}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi \( \underline{2\cos(2\beta)}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ A'(\beta) = 4\cos \beta + 2\cos(2\beta) \]

2. Sett den deriverte lik null Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos(2\beta) = 2\cos^2 \beta - 1 \]

Setter vi inn og setter \( {A'(\beta) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4\cos \beta + 2(2\cos^2 \beta - 1) &= 0 \\ 2\cos^2 \beta + 2\cos \beta - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Vi setter \( {t = \cos \beta}\text{.} \) Da får likningen formen \( {\textcolor{blue}{a}t^2 + \textcolor{red}{b}t + \textcolor{green}{c} = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{2}t^2 + \textcolor{red}{2}t \textcolor{green}{- 1} = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

For \( \beta \in \langle 0^\circ, 90^\circ \rangle \) ligger \( \cos \beta \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så bare plusstegnet gir en løsning: \[ \begin{aligned} \cos \beta &= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ \beta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \approx 68{,}5^\circ \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er størst areal Vi setter inn en vinkel på hver side: \[ \begin{aligned} A'(60^\circ) &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 1 > 0 \\ A'(80^\circ) &\approx -1{,}18 < 0 \end{aligned} \]

\( A'(\beta) \) går fra pluss til minus, så arealet stiger og så synker. Dermed gir denne vinkelen størst areal.

Vi ser at likningen har brøker. Vi løser opp parentesen og ganger med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Løs opp parentesen Vi ganger \( {-\dfrac{1}{3}} \) inn i parentesen: \[ \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}x - 3 - \dfrac{1}{5} \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren til \( 3 \) og \( 5 \) er \( \textcolor{darkorange}{15}\text{.} \) Hvis du er usikker på fellesnevner, kan du se videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter. Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{2}{3}x + \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= -\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{3}x - \textcolor{darkorange}{15} \cdot 3 - \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ 10x + 12 = -5x - 45 - 3 \]

3. Løs for x Vi samler \( x \) på venstre side og tallene på høyre: \[ \begin{aligned} 10x + 5x &= -45 - 3 - 12 \\ 15x &= -60 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Den første likningen gir \( h \) med en gang. Vi setter den inn i den andre og får en andregradslikning i \( t\text{.} \)

1. Finn h Vi løser den første likningen for \( h\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{h} = \textcolor{darkorange}{-40} \]

2. Sett inn i den andre likningen Vi setter dette inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \textcolor{darkorange}{-40} = 10t - 5t^2 \]

Vi flytter alt over på én side og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 10t - 40 &= 0 \\ t^2 - 2t - 8 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ t = 4 \quad \text{eller} \quad t = -2 \]

Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Isoler roten Vi flytter \( x \) over på høyre side: \[ 2\sqrt{x + 2} = -3 - x \]

2. Kvadrer begge sider Roten er det samme som å opphøye i en halv, som i videoen Potenser og røtter, så den forsvinner når vi kvadrerer. Siden \( {(-3 - x)^2 = (x + 3)^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (2\sqrt{x + 2})^2 &= (x + 3)^2 \\ 4(x + 2) &= (x + 3)^2 \end{aligned} \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 4x + 8 &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 4x + 8 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Her er høyresiden første kvadratsetning baklengs, med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1})^2 &= 0 \\ x &= -1 \end{aligned} \]

4. Sett prøve Vi setter \( {x = -1} \) inn i venstresiden av den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} V &= -1 + 2\sqrt{-1 + 2} \\ &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Høyresiden er: \[ H = -3 \]

Siden \( {1 \neq -3}\text{,} \) stemmer ikke \( {x = -1}\text{.} \) Det var den eneste mulige løsningen, så likningen har ingen løsning.

Vi bruker definisjonen av logaritmen til å få bort \( \lg\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av lg Definisjonen av logaritmen forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b} \quad \Leftrightarrow \quad 10^{\textcolor{red}{b}} = \textcolor{blue}{a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2x + 7}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 10^{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{blue}{2x + 7} \]

2. Løs for x \[ \begin{aligned} 1000 &= 2x + 7 \\ 2x &= 993 \\ x &= \dfrac{993}{2} \end{aligned} \]

Her er \( {2x + 7 = 1000}\text{,} \) som er positivt, så logaritmen finnes.

Vi isolerer potensen med \( e \) og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Isoler potensen Vi deler på \( 7\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{-x-3}} = \dfrac{5}{7} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{-x-3}}\right) = \ln\dfrac{5}{7} \]

Logaritmereglene forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x-3}}\text{,} \) så vi får: \[ \textcolor{green}{-x-3} = \ln\dfrac{5}{7} \]

3. Løs for x Vi legger til \( 3 \) på begge sider og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ x = -3 - \ln\dfrac{5}{7} \]

Siden \( {-\ln\dfrac{5}{7} = \ln\dfrac{7}{5}}\text{,} \) kan vi også skrive: \[ x = \ln\dfrac{7}{5} - 3 \]

Vi isolerer sinus og finner de to vinklene som gir denne sinusverdien. Så løser vi for \( x \) og tester hvilke \( x \) som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} 2\sin \textcolor{green}{v} + \sqrt{3} &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi vet at \( \dfrac{\pi}{3} \) er \( 60^\circ\text{,} \) som står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Sinus er negativ, så vi bytter fortegn på vinkelen: \[ \begin{aligned} \sin\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Den ene vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_1} = -\dfrac{\pi}{3} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \sin v = \sin(\pi - v) \]

Den andre vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_2} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} \]

Sinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \\ \textcolor{green}{v} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi setter inn for \( \textcolor{green}{v}\text{,} \) legger til \( \dfrac{\pi}{6} \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{4}{\pi}\text{.} \) Den første gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{2}{3} + 8k \end{aligned} \]

Den andre gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 6 + 8k \end{aligned} \]

4. Test hvilke x som er med Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -1 &: \quad x = -\dfrac{26}{3} \quad \text{utenfor} \\ k = 0 &: \quad x = -\dfrac{2}{3} \\ k = 1 &: \quad x = \dfrac{22}{3} \\ k = 2 &: \quad x = \dfrac{46}{3} \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -2 &: \quad x = -10 \quad \text{utenfor} \\ k = -1 &: \quad x = -2 \\ k = 0 &: \quad x = 6 \\ k = 1 &: \quad x = 14 \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor med fellesnevneren, så brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Gang med fellesnevneren Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{2x(x - 2)}}\text{.} \) Hvert ledd ganget med den blir: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 2} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= 2x \\ \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= 2(x - 2) \\ \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= x(x - 2) \end{aligned} \]

Likningen blir da: \[ \begin{aligned} 2x - 2(x - 2) &= x(x - 2) \\ 2x - 2x + 4 &= x^2 - 2x \\ 0 &= x^2 - 2x - 4 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{5} \end{aligned} \]

Ingen av disse er \( 0 \) eller \( 2\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen, akkurat som \( x \) i en andregradslikning. Vi bytter den derfor ut med en ny bokstav.

1. Bytt ut logaritmen Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) der \( {x > 0}\text{.} \) Det samme grepet, med \( e^x \) i stedet, ser du i videoen Oppgave 1C - Løs likningen. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u}^2 + 2\textcolor{darkorange}{u} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{u}^2 + 2\textcolor{darkorange}{u} - 8 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs for den nye bokstaven abc-formelen forteller oss at: \[ \textcolor{darkorange}{u} = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 6}{2} \\ \textcolor{darkorange}{u} &= 2 \ \text{ eller } \ \textcolor{darkorange}{u} = -4 \end{aligned} \]

3. Finn x Fra definisjonen av den naturlige logaritmen, som i videoen Naturlige Logaritmer, vet vi at: \[ \ln x = k \ \Leftrightarrow \ x = e^k \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \ &\Rightarrow \ x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -4 \ &\Rightarrow \ x = e^{-4} \end{aligned} \]

Begge er positive, så begge er løsninger.

Vi ser at vi har både sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler derfor på \( \cos x\text{,} \) så får vi en likning med bare tangens.

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da blir venstre side: \[ \pm 1 + \sqrt{3} \cdot 0 = \pm 1 \neq 0 \]

Altså er \( {\cos x \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på den. Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3}\cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Vi kjenner eksaktverdiene for vinkelen \( \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \\ \tan\left(-\textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right) &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

Hvordan vi leser av en vinkel på enhetssirkelen, ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der gjelder \( {\tan(-x) = -\tan x}\text{,} \) som gir raden over, og tangens har periode \( \pi\text{.} \) Alle løsningene er derfor: \[ x = -\textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}} + \textcolor{red}{k} \cdot \pi \]

3. Velg vinkelen i intervallet Vi prøver heltall for \( \textcolor{red}{k}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = 1 &: \ x = \dfrac{2\pi}{3} < \pi \\ \textcolor{red}{k} = 2 &: \ x = \dfrac{5\pi}{3} \in [\pi, 2\pi\rangle \\ \textcolor{red}{k} = 3 &: \ x = \dfrac{8\pi}{3} > 2\pi \end{aligned} \]

Bare \( {\textcolor{red}{k} = 2} \) gir en vinkel i intervallet.