Forkurseksamen etter tema

Vi finner \( \cos x \) med enhetsformelen. Så bruker vi formlene for dobbel vinkel, og tangens er sinus delt på cosinus.

1. Finn cosinus Enhetsformelen forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 x} + \textcolor{blue}{\cos^2 x} = 1 \]

Vinkelen ligger i første kvadrant, så \( \textcolor{blue}{\cos x} \) er positiv. Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\cos x} &= \sqrt{1 - \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{24}{25}} = \textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \end{aligned} \]

2. Bruk formlene for dobbel vinkel Formlene for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin 2x &= 2\textcolor{red}{\sin x}\textcolor{blue}{\cos x} \\ \cos 2x &= 1 - 2\textcolor{red}{\sin^2 x} \end{aligned} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 2x &= 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{25} \\ \cos 2x &= 1 - 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{25}} = \dfrac{23}{25} \end{aligned} \]

3. Finn tangens Tangens er sinus delt på cosinus, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \tan 2x = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} = \dfrac{\dfrac{4\sqrt{6}}{25}}{\dfrac{23}{25}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{23} \]

Vi bruker \( {\cos x = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \) fra a).

Et punkt på enhetssirkelen har \( \cos \) som førstekoordinat og \( \sin \) som andrekoordinat. Hver av de nye vinklene er speilingen av vinkelen \( x\text{,} \) så vi leser av koordinatene.

1. Tegn enhetssirkelen Punktet for vinkelen \( x \) har koordinatene \( (\textcolor{blue}{\cos x}, \textcolor{red}{\sin x})\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B - Løs ulikheten: \[ (\textcolor{blue}{\cos x}, \textcolor{red}{\sin x}) = \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}}, \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right) \]

Vi tegner dette punktet og de tre andre vinklene:

2. Les av verdiene \( {\sin(-x)}\text{:} \) Vinkelen \( {-x} \) er speilet om \( {x\text{-aksen,}} \) så andrekoordinaten bytter fortegn: \[ \sin(-x) = -\textcolor{red}{\sin x} = -\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}} \]

\( {\cos(\pi - x)}\text{:} \) Vinkelen \( {\pi - x} \) er speilet om \( {y\text{-aksen,}} \) så førstekoordinaten bytter fortegn: \[ \cos(\pi - x) = -\textcolor{blue}{\cos x} = -\textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \]

\( {\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}\text{:} \) Vinkelen \( {\dfrac{\pi}{2} - x} \) er speilet om linjen \( {y = x}\text{,} \) så koordinatene bytter plass: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}} \]

Linja \( AB \) og linja mellom sentrene deler hverandre på midten og står vinkelrett. Da får vi en rettvinklet trekant, og vi kan bruke Pytagoras.

1. Finn den rettvinklede trekanten \( A \) og \( B \) ligger på begge sirklene, så begge er like langt fra \( S_1 \) og \( S_2\text{:} \) \[ AS_1 = AS_2 = BS_1 = BS_2 = 1 \]

\( AB \) står derfor vinkelrett på \( S_1S_2 \) midt mellom sentrene. Vi kaller punktet der de krysser for \( M\text{.} \) \( S_1 \) og \( S_2 \) er også like langt fra \( A \) og \( B\text{,} \) så \( S_1S_2 \) halverer \( AB\text{.} \) Sentrum i den ene sirkelen ligger på buen til den andre, så \( {S_1S_2 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \]

2. Bruk Pytagoras Trekanten \( AMS_1 \) er rettvinklet i \( M\text{.} \) Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\text{hypotenus}}^2 = \textcolor{blue}{\text{katet}_1}^2 + \text{katet}_2^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oppgave 3B (Pytagoras).

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{\text{katet}_1} &= \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{katet}_2 &= AM \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1}^2 &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + AM^2 \\ AM^2 &= \dfrac{3}{4} \\ AM &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

3. Doble lengden \( M \) ligger midt på \( AB\text{,} \) så: \[ AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

Vi bruker den rettvinklede trekanten fra a).

Vi ser på trekanten \( ABS_1\text{.} \) Den rettvinklede trekanten \( AMS_1 \) gir oss vinkelen i \( A\text{,} \) og resten følger av symmetri og vinkelsummen.

1. Finn vinkelen i A I a) fant vi at trekanten \( AMS_1 \) er rettvinklet i \( M\text{,} \) med: \[ \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \]

Sinus er motstående katet delt på hypotenusen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \sin(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{mot}}}{\textcolor{red}{\text{hyp}}} \]

Sett fra \( A \) er \( \textcolor{blue}{S_1M} \) motstående katet, så vi får: \[ \begin{aligned} \sin(\angle A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{\textcolor{red}{1}} = \dfrac{1}{2} \\ \angle A &= 30^\circ \end{aligned} \]

2. Finn de to andre vinklene Trekanten \( ABS_1 \) er likebeint, siden \( {AS_1 = BS_1 = 1}\text{.} \) Vinklene ved grunnlinja er derfor like store: \[ \angle B = \angle A = 30^\circ \]

Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 3C (Enkel trigonometri): \[ \angle S_1 = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \]

Vi feller ned høyden fra \( C \) og får en rettvinklet trekant. Der finner vi vinkelen med sinus, og vinkel \( B \) er den som står igjen på den rette linja.

1. Tegn en skisse Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) lander normalen fra \( C \) utenfor \( AB\text{,} \) i punktet \( E\text{:} \)

2. Finn vinkelen i trekanten Trekanten \( BEC \) er rettvinklet, og sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{motstående}} &= \textcolor{red}{CE} = \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{green}{v} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

3. Finn vinkel B Vinkel \( B \) og \( \textcolor{green}{v} \) ligger på samme rette linje, så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle B = 180^\circ - \textcolor{green}{45^\circ} = 135^\circ \]

Vi bruker \( {\angle B = 135^\circ} \) fra a).

I trekanten \( BCD \) kjenner vi to sider. Vinkelen mellom dem finner vi fra vinkel \( B\text{,} \) og så bruker vi cosinussetningen.

1. Finn vinkel C \( AB \) og \( CD \) er parallelle, så vinkel \( B \) og vinkel \( C \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\angle C} = 180^\circ - 135^\circ = \textcolor{green}{45^\circ} \]

2. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{BC}^2 + \textcolor{red}{CD}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \textcolor{red}{CD} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \\ \textcolor{red}{CD} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{\angle C} &= \textcolor{green}{45^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= (\textcolor{blue}{2\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{6}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos \textcolor{green}{45^\circ} \\ &= 8 + 36 - 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 44 - 24 = 20 \\ BD &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]

Arealet gir oss siden \( AB\text{.} \) Så feller vi ned høyden fra \( D \) og får en rettvinklet trekant med vinkel \( A\text{.} \)

1. Finn siden AB Arealet av et trapes er gjennomsnittet av de parallelle sidene ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A_{\text{trapes}} = \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + CD}{2} \cdot h \]

Plugger vi inn \( {A_{\text{trapes}} = 15}\text{,} \) \( {CD = 6} \) og \( {h = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 15 &= \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + 6}{2} \cdot 2 \\ 15 &= \textcolor{magenta}{AB} + 6 \\ \textcolor{magenta}{AB} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn siden AF Vi feller ned normalen fra \( D \) til punktet \( F \) og normalen fra \( C \) til punktet \( E\text{.} \) Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) ligger \( E \) til høyre for \( B\text{:} \)

Pytagoras i trekanten \( BEC \) gir oss \( BE\text{:} \) \[ \begin{aligned} BE^2 + CE^2 &= BC^2 \\ BE &= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \sqrt{8 - 4} = 2 \end{aligned} \]

Avstanden \( FE \) er like lang som \( CD\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AF} &= \textcolor{magenta}{AB} + BE - FE \\ &= \textcolor{magenta}{9} + 2 - 6 = \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Tangens forteller oss at: \[ \tan \textcolor{green}{A} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri. Den samme videoen viser hvordan vi finner vinkelen baklengs.

Her er \( {\textcolor{red}{DF = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{AF = 5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{green}{A} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{5}} \\ \textcolor{green}{A} &= \arctan \dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ \end{aligned} \]

Trekanten er rettvinklet, så vi kan bruke cosinus. Vi kjenner den hosliggende kateten og skal finne hypotenusen.

1. Bruk cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos A = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sett fra \( A \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen gir \( \angle D\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) kan vi bruke sinussetningen.

1. Finn vinkel D Vinkelsummen i en firkant er \( 360^\circ\text{.} \) Vinkel \( B \) er fortsatt \( 90^\circ\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \angle D &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD Figuren viser firkanten med diagonalen \( AC\text{.} \)

Diagonalen deler vinklene i \( A \) og \( C\text{.} \) Vinkelsummen i trekant \( ABC \) gir oss vinkelen i \( C\text{:} \) \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Det gir oss vinklene i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle DAC &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \textcolor{red}{\angle ACD} &= 140^\circ - 60^\circ = \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{\alpha}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{\beta}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( AD \) rett overfor \( \angle ACD\text{,} \) og \( AC \) rett overfor \( \angle D\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{\alpha} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{\beta} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle DAC = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver av dem med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn arealet av trekant ABC Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ABC \) er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AB}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ &= \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trekant ACD Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AD}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen og runder av til to desimaler, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

Vi tegner høyden fra \( C \) ned på \( AB\text{.} \) Da får vi to rettvinklede trekanter med vinkler der sinus og tangens har eksakte verdier.

1. Finn den siste vinkelen Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som vises i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen). Det gir oss: \[ \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

2. Finn høyden Vi kaller fotpunktet til høyden for \( F\text{:} \)

Tangens er gitt ved, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} \]

I de to rettvinklede trekantene gir det: \[ \begin{aligned} \tan 45^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{red}{AF}} = 1 \\ \textcolor{red}{AF} &= \textcolor{blue}{h} \\ \tan 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{green}{FB}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{FB} &= \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} \end{aligned} \]

Sammen er de to delene lik \( AB\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AF} + \textcolor{green}{FB} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} + \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120}{\sqrt{3} + 1} \end{aligned} \]

Vi utvider med \( {\sqrt{3} - 1} \) for å få bort roten i nevneren: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\ &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{2} = 60(\sqrt{3} - 1) \end{aligned} \]

3. Finn sidene Sinus er gitt ved: \[ \sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} \]

Hypotenusene er \( AC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} AC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2}\,\textcolor{blue}{h} \\ &= 60(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 62{,}1 \\ BC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 30^\circ} = 2\textcolor{blue}{h} \\ &= 120(\sqrt{3} - 1) \approx 87{,}8 \end{aligned} \]

Alternativ metode: Sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{BC}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 30^\circ} = \dfrac{120}{\sin 105^\circ} \]

Det gir oss direkte: \[ \begin{aligned} BC &= \dfrac{120 \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 87{,}8 \\ AC &= \dfrac{120 \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 62{,}1 \end{aligned} \]

Dette går raskest med kalkulator, men eksakte verdier krever formelen for sinus til en sum.

Vi bruker siden \( AC \) fra a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen, som i videoen Arealsetningen, forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]

Her er, med \( AC \) fra a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{120} \\ \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \\ \sin \textcolor{green}{A} &= \sin 45^\circ = \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{120} \cdot \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 1800\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \\ &= 1800(\sqrt{12} - 2) \\ &= 3600(\sqrt{3} - 1) \approx 2635{,}4 \end{aligned} \]

Trekantene \( ADC \) og \( ABC \) har samme vinkel i \( A \) og samme side \( AC\text{.} \) Arealsetningen viser da at forholdet mellom arealene er forholdet mellom \( AD \) og \( AB\text{.} \)

1. Sett opp de to arealene Arealsetningen gir oss begge arealene: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AD} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \\ T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \end{aligned} \]

2. Bruk kravet til arealet Arealet av \( ADC \) skal være en tredjedel av hele arealet. Alt annet enn \( \textcolor{red}{AD} \) og \( \textcolor{blue}{AB} \) er likt og kan forkortes bort: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{3}T_{ABC} \\ \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{AB} \\ &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{120} = 40 \end{aligned} \]