Forkurseksamen etter tema

Alle personene er like sannsynlige å velge. Sannsynligheten er derfor antall gunstige delt på antall mulige.

1. Tell de mulige Regelen forteller oss at: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]Starten av videoen Betinget sannsynlighet Del1 sier det samme.

De mulige er alle på arbeidsplassen: \[ \textcolor{blue}{13 + 15 = 28} \]

2. Finn sannsynlighetene Det er \( \textcolor{red}{15} \) gutter: \[ P(\text{gutt}) = \dfrac{\textcolor{red}{15}}{\textcolor{blue}{28}} \]

Antall som drikker kaffe er seks jenter og ti gutter: \[ \textcolor{red}{6 + 10 = 16} \]

Det gir oss: \[ P(\text{kaffe}) = \dfrac{\textcolor{red}{16}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{4}{7} \]

I det første spørsmålet velger vi blant alle de 28. I det andre vet vi at det er en jente, så da velger vi bare blant jentene.

1. Finn jente som drikker kaffe Det er \( \textcolor{red}{6} \) jenter som drikker kaffe, av \( \textcolor{blue}{28} \) personer: \[ P(\text{jente og kaffe}) = \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{3}{14} \]

2. Finn betinget sannsynlighet Når vi vet at personen er en jente, er de mulige bare de \( \textcolor{blue}{13} \) jentene, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(\text{kaffe} \mid \text{jente}) = \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{13}} \]

Det samme får vi med formelen for betinget sannsynlighet: \[ \begin{aligned} &P(\text{kaffe} \mid \text{jente}) \\ &= \dfrac{P(\text{jente og kaffe})}{P(\text{jente})} \\ &= \dfrac{6/28}{13/28} = \dfrac{6}{13} \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Vinkelen finner vi med skalarproduktet og lengdene.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 2,\ -1 - 1,\ 0 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 2,\ 10 - 1,\ 3 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[-3, 9, 1]} \end{aligned} \]

2. Skriv opp vinkelformelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Sammenhengen mellom skalarproduktet og vinkelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{w}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \cdot [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{x_2} + \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{y_2} + \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{z_2} \end{aligned} \]

Plugger vi inn vektorene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 6 - 18 - 2 \\ &= -14 \end{aligned} \]

Lengden til en vektor er, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{9 + 81 + 1} = \sqrt{91} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle BAC &= \dfrac{-14}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{91}} = \dfrac{-14}{\sqrt{1092}} \\ \angle BAC &= \cos^{-1}\left( \dfrac{-14}{\sqrt{1092}} \right) \\ &\approx 115{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet vektorene utspenner. Trekanten er halvparten av det.

1. Skriv opp arealformelen Arealet av en trekant utspent av to vektorer er: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| \]

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3, 9, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \times [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= [\textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{y_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{z_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{x_2}] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, forklares det underveis i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{y_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{z_1} &= \textcolor{blue}{-2} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{red}{9} & \textcolor{red}{z_2} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} &= 16 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= 8 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) &= -24 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [16, 8, -24] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektoren er: \[ \begin{aligned} \left| [16, 8, -24] \right| &= \sqrt{256 + 64 + 576} \\ &= \sqrt{896} = 8\sqrt{14} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i arealformelen, får vi: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{14} = 4\sqrt{14} \approx 15{,}0 \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En normalvektor står vinkelrett på to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi viser derfor at skalarproduktet med begge er \( 0\text{.} \)

1. Regn ut skalarproduktene Skalarproduktet er \( 0 \) for vinkelrette vektorer, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?: \[ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \]

Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [2, 1, -3]}\text{.} \) Fra a) har vi \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-3, 9, 1]}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \\ &= 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) + 1 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -4 - 2 + 6 = 0 \\ &\vec{n} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= 2 \cdot (\textcolor{red}{-3}) + 1 \cdot \textcolor{red}{9} - 3 \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= -6 + 9 - 3 = 0 \end{aligned} \]

2. Trekk konklusjonen \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) ligger i planet og er ikke parallelle, siden vinkelen mellom dem er \( 115{,}1^\circ\text{.} \) Dermed står \( {[2, 1, -3]} \) vinkelrett på planet.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: normalvektoren står i oppgaveteksten til c).

Med en normalvektor og et punkt i planet kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Oppgaven i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ? gjør det samme.

Her er \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] \) normalvektoren fra c), og \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{c} &= \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{red}{x_0} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{y_0} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{z_0} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}(x - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \textcolor{blue}{{}- 3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ 2x - 4 + y - 1 - 3z + 6 &= 0 \\ 2x + y - 3z + 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sjekk de andre punktene \( B \) og \( C \) skal også passe i likningen: \[ \begin{aligned} B&: \quad 2 \cdot 0 + (-1) - 3 \cdot 0 + 1 = 0 \\ C&: \quad 2 \cdot (-1) + 10 - 3 \cdot 3 + 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker planet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet må ligge på linja. Vi finner derfor \( t \) fra \( {x\text{-koordinaten}} \) og \( k \) fra \( {z\text{-koordinaten.}} \)

1. Finn parameteren En parameterframstilling skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. I punktet er \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + t &= 2 \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{1}} \) stemmer også \( {y\text{-koordinaten:}} \) \[ y = 3 - 8 \cdot \textcolor{blue}{1} = -5 \]

2. Finn k I punktet er \( {z = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + k \cdot \textcolor{blue}{1} &= 0 \\ k &= -1 \end{aligned} \]

3. Sjekk at punktet er i planet Planet fra d) har likningen \( {2x + y - 3z + 1 = 0}\text{.} \) Vi setter inn punktet: \[ 2 \cdot 2 + (-5) - 3 \cdot 0 + 1 = 0 \]

Punktet ligger i planet.

Lengden av hver del er omkretsen til figuren. Fra omkretsen finner vi siden i kvadratet og radien i sirkelen, og så arealene.

1. Finn arealet av kvadratet Delen med lengde \( x \) er omkretsen til kvadratet. Et kvadrat har fire like sider, så hver side er: \[ \textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \]

Et kvadrat er et rektangel med like sider, som har arealet lengde ganger bredde i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{s}^2 = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 \]

2. Finn arealet av sirkelen Resten av strengen er \( {1 - x}\text{,} \) og det er omkretsen til sirkelen. Omkretsen av en sirkel er: \[ O = 2\pi \textcolor{red}{r} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{r}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2\pi \textcolor{red}{r} &= 1 - x \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \end{aligned} \]

Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{:} \) \[ \pi \textcolor{red}{r}^2 = \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 + \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]

Delen \( x \) er en del av en streng på \( 1 \) meter, så den er mellom \( 0 \) og \( 1\text{:} \) \[ x \in [0, 1] \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(x) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Den andrederiverte viser at det er et minimum.

1. Forenkle og deriver Vi skriver om det andre leddet, slik at det blir enklere å derivere: \[ \begin{aligned} \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2 &= \pi \cdot \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi^2} \\ &= \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(\textcolor{green}{1 - x})^2}{4\pi} \]

Det andre leddet har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{u}^2)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{2x}{16} + \dfrac{2(\textcolor{green}{1 - x}) \cdot (\textcolor{green}{-1})}{4\pi} \\ &= \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( 8\pi \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} &= 0 \\ \pi x - 4(1 - x) &= 0 \\ \pi x + 4x &= 4 \\ x(\pi + 4) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Dette er en verdi i intervallet \( [0, 1]\text{.} \)

3. Vis at det er et minimum Den andrederiverte er: \[ A''(x) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2\pi} > 0 \]

Den er positiv for alle \( x\text{,} \) så grafen vender hele tiden den hule siden opp. Punktet er derfor det laveste på hele intervallet.

4. Regn ut arealet Vi setter inn \( {x = \dfrac{4}{\pi + 4}}\text{.} \) Vi trenger: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{4} &= \dfrac{1}{\pi + 4} \\ 1 - x &= 1 - \dfrac{4}{\pi + 4} = \dfrac{\pi}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formen fra første steg, \( {A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi^2}{4\pi(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{4 + \pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{4(\pi + 4)} \end{aligned} \]