Eksamensoppgaver etter tema

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)

Begge metodene deler området i \( 100 \) rektangler med bredde \( dx\text{.} \) Vi ser på hvilken kant av rektanglene som bestemmer høyden, og bruker at \( f \) er voksende.

1. Se hvilken høyde rektanglene får Begge funksjonene legger sammen høyde ganger bredde, \( {f(x) \cdot dx}\text{,} \) for \( 100 \) rektangler (linje 14 og 21).

I \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 0 \) til \( 99 \) i linje 12, så \( x \) i linje 13 er \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) av hvert rektangel. Rektangelet går til høyre derfra.

I \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 1 \) til \( 100 \) i linje 19, så \( x \) i linje 20 er \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \) Rektangelet går til venstre derfra.

2. Bruk at funksjonen vokser \( {f(x) = 3^{2x} = 9^x} \) er voksende, fordi grunntallet \( 9 \) er større enn \( 1\text{.} \) På hvert lite intervall er grafen derfor lavest i \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og høyest i \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \)

Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) ligger da under grafen og gir en litt for lav verdi. Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) stikker over grafen og gir en litt for høy verdi. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Riemann sum.

Kontroll: Programmet skriver ut \( 35{,}62 \) og \( 37{,}22\text{,} \) og det eksakte arealet er \( {\int_0^2 9^x\,dx = \dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}41}\text{.} \)

Vi bruker rektanglene fra a), der den ene metoden ga for lite og den andre for mye.

Vi beholder de \( 100 \) delene, men bruker trapeser i stedet for rektangler. Et trapes følger grafen fra venstre kant til høyre kant, så det ligger mye nærmere arealet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å forklare hvorfor trapeser gir et bedre svar enn rektangler.

1. Bruk trapeser i stedet for rektangler Et trapes med bredde \( dx \) og høyder \( \textcolor{blue}{f(x)} \) og \( {\textcolor{red}{f(x + dx)}} \) har arealet: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x)} + \textcolor{red}{f(x + dx)}}{2} \cdot dx \]Hvis du er usikker på trapesmetoden, kan du se videoen Trapesmetoden.

Det er gjennomsnittet av rektangelet med \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og rektangelet med \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}} \) fra a). Den ene ga for lite og den andre for mye, så gjennomsnittet ligger mye nærmere.

2. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 12 og 13 går gjennom de samme venstre kantene som \( \texttt{areal\_til\_hoyre}\text{,} \) og linje 14 legger til arealet av ett trapes for hver \( x\text{.} \) Linje 15 og 17 er som i koden fra oppgaven, så linjenumrene stemmer.

3. Kjør programmet Programmet skriver ut \( 36{,}415\,428\dots\text{,} \) mens det eksakte arealet er \( {\dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}409\,57}\text{.} \) Feilen er omtrent \( 0{,}006\text{,} \) mot omtrent \( 0{,}8 \) med rektanglene i a).

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Fra koden i a) ser vi hvordan et ledd lages av det forrige. Med den sammenhengen viser vi at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den stemmer for \( {n = k + 1} \) hvis den stemmer for \( {n = k}\text{.} \)

1. Finn sammenhengen mellom leddene I runde nummer \( n \) gjør linje 5 i den første koden ledd nummer \( n \) om til ledd nummer \( {n + 1}\text{:} \) \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n + 2} \]For eksempel er \( {a_2 = 2 + \textcolor{red}{3} = 5}\text{.} \)

2. Sjekk det første tilfellet For \( {n = 1} \) gir formelen: \[ a_1 = \dfrac{1 \cdot (1 + 3)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]Det er det første leddet, så formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

3. Vis neste tilfelle Vi antar at formelen stemmer for \( {n = k}\text{,} \) der \( {k \ge 1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{a_k} = \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} \]

Bytter vi ut \( \textcolor{blue}{a_k} \) med antakelsen i sammenhengen mellom leddene, får vi: \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= \textcolor{blue}{a_k} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \dfrac{k^2 + 3k + 2k + 4}{2} \\ &= \dfrac{k^2 + 5k + 4}{2} \\ &= \dfrac{(k + 1)(k + 4)}{2} \end{aligned} \]Dette er formelen med \( {n = k + 1}\text{,} \) fordi \( {(k + 1) + 3 = k + 4}\text{.} \)

Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og hver gang den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Den stemmer derfor for alle \( {n \ge 1}\text{.} \)

Vi ser på differansen mellom to ledd som kommer etter hverandre. Den viser hvordan vi kommer fra ett ledd til det neste.

1. Se på differansene Vi trekker hvert ledd fra det neste: \[ \begin{aligned} 2 - 1 &= 1 = \textcolor{red}{1^2} \\ 6 - 2 &= 4 = \textcolor{red}{2^2} \\ 15 - 6 &= 9 = \textcolor{red}{3^2} \\ 31 - 15 &= 16 = \textcolor{red}{4^2} \\ 56 - 31 &= 25 = \textcolor{red}{5^2} \end{aligned} \]Differansene er kvadrattallene.

2. Skriv opp formelen Fra ledd nummer \( n \) til ledd nummer \( {n + 1} \) legger vi til \( \textcolor{red}{n^2}\text{.} \) Med det første leddet \( {a_1 = 1} \) blir den rekursive formelen: \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n^2} \]For eksempel er \( {a_3 = a_2 + 2^2 = 2 + 4 = 6}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive formelen fra a), \( {a_1 = 1} \) og \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \)

Vi lar en løkke gå \( 30 \) ganger. Hver gang legger vi leddet til summen, og regner så ut neste ledd med formelen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 setter det første leddet \( {a = 1} \) og summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Løkka i linje 3 går for \( {n = 1, 2, \dots, 30}\text{.} \) Linje 4 legger ledd nummer \( n \) til summen, og linje 5 regner ut neste ledd med formelen fra a), \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene I de tre første rundene legges \( 1\text{,} \) \( 2 \) og \( 6 \) til summen, så \( {S = 9}\text{,} \) og \( a \) blir \( 15\text{,} \) det fjerde leddet. Programmet skriver ut \( 67\,455\text{,} \) som er summen av de \( 30 \) første leddene.

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.

1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]

Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.

2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \)

Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)

1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]

2. Finn når summen passerer 200 Med \( {n = 10} \) er \( {S = 2 \cdot 10^2 = 200}\text{.} \) Det er ikke større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{,} \) og løkka stopper.

Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.

1. Den rekursive sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]

2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.

3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)

Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.

2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Vi beviser formelen fra a), \( {S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2}\text{,} \) og bruker \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)

Et induksjonsbevis har to steg. Vi viser at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \) Så viser vi at hvis den stemmer for \( {n = k}\text{,} \) stemmer den også for \( {n = k + 1}\text{.} \)

1. Sjekk for n = 1 Venstre side er \( {S_1 = 1^3 = 1}\text{,} \) og formelen gir: \[ \left(\dfrac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1 \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

2. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{S_k = \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} \]Vi skal vise at da er \( {S_{k+1} = \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}}\text{.} \)

3. Vis steget til k + 1 Med den rekursive sammenhengen og antakelsen får vi: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \textcolor{blue}{S_k} + \textcolor{red}{(k + 1)^3} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{4(k + 1)^3}{4}} \end{aligned} \]

Vi setter \( {(k + 1)^2} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \dfrac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} \end{aligned} \]der vi brukte første kvadratsetning, \( {k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2}\text{.} \)

Det er formelen med \( {n = k + 1}\text{.} \) Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet. Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a).

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

3. Legg sammen \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.

1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]

2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter med \( n \) kuler gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det blir \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \)

Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

Vi bruker \( {P_1 = 1} \) og \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)} \) fra a).

\( P_n \) er \( 1 \) pluss \( 5 \) ganger summen \( {1 + 2 + \dots + (n - 1)}\text{.} \) Den summen har en kjent formel. Så viser vi formelen med induksjon.

1. Finn formelen Vi legger sammen alle differansene fra a): \[ \begin{aligned} P_n &= 1 + 5\left(1 + 2 + \dots + (n - 1)\right) \\ &= 1 + 5 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} \\ &= \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2} \end{aligned} \]der vi brukte at \( {1 + 2 + \dots + m} \) er \( {\dfrac{m(m + 1)}{2}}\text{,} \) som i videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

2. Sjekk for n = 1 Formelen gir \( {P_1 = \dfrac{5 - 5 + 2}{2} = 1}\text{,} \) som stemmer.

3. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{P_k = \dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} \]Vi skal vise at da er: \[ P_{k+1} = \dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \]

4. Vis steget til k + 1 Den rekursive sammenhengen med \( {n = k + 1} \) gir \( {P_{k+1} = \textcolor{blue}{P_k} + \textcolor{red}{5k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P_{k+1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} + \textcolor{red}{\dfrac{10k}{2}} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]

Formelen med \( {n = k + 1} \) gir det samme: \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 10k + 5 - 5k - 5 + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)

Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.

1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]

2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene. Det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{,} \) så summen er: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \)

Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]