R2 eksamen våren 2024 – løsningsforslag

Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi bruker den på hvert ledd: \[ F(x) = -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{3x^2}{2} \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \)

Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.

1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 1 \) er begge faktorene positive, så grafen ligger over \( x \)-aksen. For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 0 \) er \( x \) negativ, så grafen ligger under. Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Regn ut de to delene Fra a) er integralet fra \( {-1} \) til \( 0 \) lik \( {-\dfrac{5}{4}}\text{,} \) så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) aksen er \( \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Fra \( 0 \) til \( 1 \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx &= -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \end{aligned} \]Det er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}} \) aksen.

Det samlede arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.

1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]

Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.

2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \)

Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)

1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]

2. Finn når summen passerer 200 Med \( {n = 10} \) er \( {S = 2 \cdot 10^2 = 200}\text{.} \) Det er ikke større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{,} \) og løkka stopper.

Arealet av en trekant er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3, 0, 1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{1, -1, -1}] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 1 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 4 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} = -3 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [1, 4, -3]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[1, 4, -3]\right| = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]Arealet er halvparten av dette, \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Vi bruker arealet fra a), \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Avstanden fra \( C \) til linja er høyden i trekanten når \( AB \) er grunnlinja. Vi bruker arealformelen baklengs.

1. Bruk arealet Arealet av en trekant er grunnlinja ganger høyden, delt på \( 2\text{:} \) \[ \text{Areal} = \dfrac{\textcolor{blue}{|AB|} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]

Grunnlinja er: \[ \textcolor{blue}{|AB|} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{10}} \]

Med arealet fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{10}} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} &= \dfrac{\sqrt{26}}{2} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{13}{5}} = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 1{,}61\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra a), \( {[1, 4, -3]}\text{.} \)

En linje som står vinkelrett på et plan, har en normalvektor til planet som retningsvektor. Vektorproduktet fra a) står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så det er en normalvektor til \( \alpha\text{.} \)

1. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \ell\text{:} \ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn \( {P(-2, 1, 4)} \) og \( {[\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{-3}]}\text{,} \) får vi svaret.

Vi bruker normalvektoren \( {\vec{n} = [1, 4, -3]} \) fra c).

\( D \) ligger på \( z \)-aksen, så \( {D = (0, 0, d)}\text{.} \) Linja \( m \) er parallell med planet, så \( \overrightarrow{PD} \) står vinkelrett på normalvektoren. Da er skalarproduktet \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren PD Med \( {D = (0, 0, d)} \) og \( {P(-2, 1, 4)} \) er: \[ \overrightarrow{PD} = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{d - 4}] \]

2. Sett skalarproduktet lik 0 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot 1 + (\textcolor{red}{-1}) \cdot 4 & \\ + (\textcolor{green}{d - 4}) \cdot (-3) &= 0 \\ 10 - 3d &= 0 \\ d &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]

Vi får sinus alene på den ene siden, og kaller det som står inni sinus for \( u\text{.} \) Vinklene med sinus \( \dfrac{1}{2} \) finner vi på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi legger til \( 1 \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \sin\left(\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}\right) = \dfrac{1}{2} \]

2. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

3. Løs for x Vi legger til \( \dfrac{\pi}{3} \) og ganger med \( \dfrac{6}{\pi}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 3 + 12k \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= 7 + 12k \end{aligned} \]

I \( \langle 0, 20 \rangle \) gir \( {k = 0} \) løsningene \( 3 \) og \( 7\text{,} \) og \( {k = 1} \) gir \( 15 \) og \( 19\text{.} \) \( {k = -1} \) gir negative \( x\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( x \) over \( 20\text{.} \)

Vi sammenligner med den generelle formen \( {A\sin(c(x - x_0)) + d}\text{,} \) og leser av hver størrelse.

1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{\pi}{6} \) utenfor en parentes inni sinus: \[ f(x) = \textcolor{red}{2}\sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{6}}(x - \textcolor{darkorange}{2})\right) \textcolor{blue}{- 1} \]

2. Les av størrelsene En sinusfunksjon \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}(x - \textcolor{darkorange}{x_0})) + \textcolor{blue}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude}&\text{:} \quad \textcolor{red}{A} \\ \text{likevektslinje}&\text{:} \quad y = \textcolor{blue}{d} \\ \text{periode}&\text{:} \quad \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \\ \text{forskyvning}&\text{:} \quad \textcolor{darkorange}{x_0} \end{aligned} \]

Her er perioden \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{\pi/6}} = 12}\text{,} \) og grafen er forskjøvet \( \textcolor{darkorange}{2} \) mot høyre langs likevektslinja.