Eksamensoppgaver etter tema

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni sinus. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)

1. Bytt variabel Vi setter det som står inni sinus, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\sin(\textcolor{green}{\ln x})}{x}\,dx &= \int \dfrac{\sin \textcolor{green}{u}}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \sin \textcolor{green}{u}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= -\cos \textcolor{green}{u} + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( {-\cos u} \) er en antiderivert til \( \sin u\text{,} \) fordi \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \)

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\sin(\ln x)}{x}\,dx = -\cos(\textcolor{green}{\ln x}) + C \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\sin(\ln x) \cdot \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.

1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]

2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]

Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]

Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)

2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]

En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]

Vi finner \( \sin v \) med enhetsformelen og velger fortegnet ut fra kvadranten. Så regner vi ut \( \tan v \) som sinus delt på cosinus.

1. Finn sinus med enhetsformelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{\cos v} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sin^2 v} &= 1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \\ \textcolor{red}{\sin v} &= \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3} \end{aligned} \]

I 4. kvadrant ligger punktet på enhetssirkelen under førsteaksen, så \( \sin v \) er negativ: \[ \textcolor{red}{\sin v} = \textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Regn ut tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \]

Vi får cosinus alene og finner vinklene der cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \) Så legger vi til hele omganger og velger løsningene i intervallet.

1. Få cosinus alene Vi deler begge sider med \( 2\text{:} \) \[ \cos\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Finn alle vinklene Cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) for vinkelen \( \dfrac{\pi}{6}\text{,} \) og siden \( {\cos(-v) = \cos v}\text{,} \) også for \( {-\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \)

Legger vi til hele omganger \( {n \cdot 2\pi}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x} = \pm\dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \]Hvis du er usikker på hvorfor det blir to vinkler og hele omganger, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

3. Finn løsningene i intervallet Vi ganger begge sider med \( \dfrac{3}{\pi}\text{:} \) \[ x = \pm\dfrac{1}{2} + n \cdot 6 \]

Vi setter inn hele tall for \( n \) og beholder løsningene mellom \( 0 \) og \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} n = 0&: \quad x = \dfrac{1}{2} \\ n = 1&: \quad x = \dfrac{11}{2} \ \text{ og } \ x = \dfrac{13}{2} \end{aligned} \]For \( {n = 0} \) er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) mindre enn \( 0\text{,} \) og for \( {n = 2} \) er begge løsningene større enn \( 10\text{.} \)

Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.

1. Sett opp rekken I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]

Summen av sidelengdene i meter er rekken: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]

2. Finn det største antallet plater Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]

Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er: \[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]

Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.

1. Finn kvotienten Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med: \[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]

Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke: \[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]

2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.

Et punkt ligger i planet når koordinatene passer i likningen. Vi setter derfor koordinatene til \( D \) inn i venstre side.

1. Sett inn punktet i likningen Vi setter inn \( {\textcolor{blue}{x = 3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y = 1}} \) og \( {\textcolor{green}{z = -1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} & 2 \cdot \textcolor{blue}{3} - 5 \cdot \textcolor{red}{1} + 4 \cdot (\textcolor{green}{-1}) \\ &= 6 - 5 - 4 = -3 \end{aligned} \]Venstre side blir \( {-3}\text{,} \) ikke \( {-4}\text{.} \) Koordinatene passer ikke i likningen, så \( D \) ligger ikke i planet. Hvis du er usikker på likningen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på begge, og dermed på planet. Vi regner ut \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) og sammenligner med \( {[2, -5, 4]}\text{.} \)

1. Finn to vektorer i planet Vi lager to vektorer mellom punktene i planet: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - 1,\ 0 - 2,\ -2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{-3}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1 - 1,\ 2 - 2,\ 2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{-2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{1}] \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet For \( {\vec{a} = [\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{red}{a_2}, \textcolor{green}{a_3}]} \) og \( {\vec{b} = [\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{green}{b_3}]} \) er kryssproduktet: \[ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} = [\, &\textcolor{red}{a_2}\textcolor{green}{b_3} - \textcolor{green}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{green}{a_3}\textcolor{blue}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{green}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_1}\,] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

Plugger vi inn \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [\, &(\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{green}{1} - (\textcolor{green}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0}, \\ &(\textcolor{green}{-3}) \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}, \\ &\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} - (\textcolor{red}{-2}) \cdot (\textcolor{blue}{-2})\,] \end{aligned} \]

3. Sammenlign med vektoren Regner vi ut koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-2, 5, -4] \\ &= -1 \cdot [2, -5, 4] \end{aligned} \]Kryssproduktet står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og dermed på planet. \( {[2, -5, 4]} \) er parallell med kryssproduktet, så den står også vinkelrett på planet og er en normalvektor.

Vi fullfører kvadratene i \( y \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til en kuleflate, der vi kan lese av sentrum.

1. Skriv opp formen til en kuleflate En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen: \[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]

2. Fullfør kvadratene Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs: \[ \begin{aligned} y^2 - 18y &= (y - \textcolor{red}{9})^2 - 81 \\ z^2 + 2z &= (z + \textcolor{green}{1})^2 - 1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å fullføre kvadratet, kan du se videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?.

Plugger vi dette inn i likningen og flytter tallene over på høyre side, får vi: \[ x^2 + (y - \textcolor{red}{9})^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 82 - k \]

3. Les av sentrum Vi skriver \( {x^2 = (x - \textcolor{blue}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Da har likningen formen over, med sentrum: \[ (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{red}{9}, \textcolor{green}{-1}) \]

Selv om du ikke fikk til b) og c), kan du løse denne: normalvektoren og sentrum står i oppgaveteksten.

Kulen tangerer planet i \( P\text{,} \) så radien fra sentrum til \( P \) står vinkelrett på planet. Linjen har derfor normalvektoren som retningsvektor.

1. Finn en retningsvektor Når en kule tangerer et plan, står radien til tangeringspunktet vinkelrett på planet. Linjen gjennom sentrum og \( P \) er derfor parallell med normalvektoren fra b): \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-5}, \textcolor{green}{4}] \]

2. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.

Vi bruker sentrum \( {(0, 9, -1)} \) fra c) og plugger inn: \[ \begin{cases} x = \textcolor{blue}{2}t \\ y = 9 \textcolor{red}{- 5}t \\ z = -1 + \textcolor{green}{4}t \end{cases} \]

Vi bruker likningen fra c) og linjen fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tangeringspunktet \( P \) ligger både på linjen og i planet. Vi finner \( P\text{,} \) så radien, og da kan vi bestemme \( k\text{.} \)

1. Finn tangeringspunktet I d) fant vi linjen gjennom sentrum og \( P\text{:} \) \[ \begin{cases} x = 2t \\ y = 9 - 5t \\ z = -1 + 4t \end{cases} \]

Vi setter den inn i venstre side av likningen for planet: \[ \begin{aligned} & 2 \cdot 2t - 5(9 - 5t) + 4(-1 + 4t) \\ &= 4t - 45 + 25t - 4 + 16t \\ &= 45t - 49 \end{aligned} \]

Planet har \( {-4} \) på høyre side: \[ \begin{aligned} 45t - 49 &= -4 \\ 45t &= 45 \\ t &= 1 \end{aligned} \]

Det gir punktet: \[ \begin{aligned} P &= (2 \cdot 1,\ 9 - 5 \cdot 1,\ -1 + 4 \cdot 1) \\ &= (\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{3}) \end{aligned} \]

2. Regn ut radien Radien er lengden av vektoren fra sentrum \( {(0, 9, -1)} \) til \( P(2, 4, 3)\text{.} \) Lengden finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}, \textcolor{green}{z}]|^2 = \textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2 \]Hvis du er usikker på lengden av en vektor, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} r^2 &= (\textcolor{blue}{2} - 0)^2 + (\textcolor{red}{4} - 9)^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{3} - (-1))^2 \\ &= \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{25} + \textcolor{green}{16} = 45 \end{aligned} \]

3. Finn konstanten I c) fant vi at kuleflaten har likningen: \[ x^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 82 - k \]

Høyre side er \( r^2\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} 82 - k &= 45 \\ k &= 37 \end{aligned} \]

Kontroll: Setter vi \( P(2, 4, 3) \) og \( {k = 37} \) inn i likningen fra oppgaven, blir venstre side \( {4 + 16 + 9 - 72 + 6 + 37}\text{,} \) som er \( 0\text{.} \)

Påstanden gjelder alle par av ortogonale vektorer, så vi ser på hva eleven faktisk har vist.

1. Se hva eleven har vist Eleven har valgt to bestemte vektorer, \( \textcolor{blue}{[4, 0, 0]} \) og \( \textcolor{red}{[0, 0, 3]}\text{,} \) og vist at likheten stemmer for dem. Det er et eksempel.

Påstanden sier at likheten stemmer for «alle» ortogonale vektorer \( \textcolor{blue}{\vec{p}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{q}}\text{.} \) Ett eksempel viser ikke at den stemmer for alle de andre parene. Et eksempel kan bare vise at en slik påstand er usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.

Et bevis må gjelde for vilkårlige vektorer der vi bare vet at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)

Vi skriver lengden i andre som skalarproduktet av vektoren med seg selv, ganger ut og bruker at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)

1. Skriv lengden som et skalarprodukt For en vektor \( \vec{v} \) er lengden i andre lik skalarproduktet med seg selv: \[ |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \]To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Gang ut parentesene Vi lar \( \vec{p} \) og \( \vec{q} \) være vilkårlige ortogonale vektorer, så \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \) Vi ganger ut parentesene som i vanlig algebra: \[ \begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^2 &= (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q}) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 2\,\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned} \]I den tredje linjen brukte vi at \( {\vec{q} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{q}}\text{,} \) og i den siste at \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \)

Datatrafikken går opp og ned gjennom døgnet, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) til d) med modellen \( D \) fra oppgaven, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi regner klokkeslettene om til timer etter midnatt, så klokken 22:00 blir \( {t = 22}\text{.} \) Vi skriver tiden i kolonne A og datatrafikken i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ S(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) = RegSin(l1)

3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{37\,213{,}66}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{0{,}2426}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-2{,}9556}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{63\,196{,}61}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 25{,}9} \) timer, nær et døgn, og grafen går nær alle punktene. Modellen passer derfor godt med at trafikken følger døgnet.

Vi skal finne når \( {D(t) > 90\,000}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner vinklene der sinus er større enn tallet på høyre side.

1. Få sinus alene Vi trekker fra \( 63\,000 \) på begge sider av \( {D(t) > 90\,000} \) og deler med \( 37\,000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 37\,000\sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> 27\,000 \\ \sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> \dfrac{27}{37} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene på enhetssirkelen Vi kaller det som står inni sinus, \( \textcolor{green}{u}\text{.} \) Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( \dfrac{27}{37}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}\left(\dfrac{27}{37}\right) \approx 0{,}8179 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3237 \]Mellom \( u_1 \) og \( u_2 \) er sinus større enn \( \dfrac{27}{37}\text{,} \) fordi sinus har toppen sin i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) mellom dem.

3. Regn om til klokkeslett Løser vi \( {0{,}24t - 3{,}0 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 3{,}0}{0{,}24}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{0{,}8179 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 15{,}908 \\ t_2 &= \dfrac{2{,}3237 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 22{,}182 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går \( u \) fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) så dette er det eneste tidsrommet i døgnet.

\( 0{,}908 \) timer er \( {0{,}908 \cdot 60 \approx 54} \) minutter, og \( 0{,}182 \) timer er omtrent \( 11 \) minutter. Datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

1. Finn skjæringspunktene med linja Vi skriver inn modellen og linja \( {y = 90\,000}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) g: y = 90000

Skjæringspunktene er \( {A \approx (15{,}908,\ 90\,000)} \) og \( {B \approx (22{,}1819,\ 90\,000)}\text{.} \) Grafen ligger over linja mellom dem, så datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.

Økningen er den deriverte, så vi finner når \( D'(t) \) er størst. Vi deriverer sinusfunksjonen med kjerneregelen.

1. Deriver modellen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sin \textcolor{green}{u}\right)' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{0{,}24}}\text{.} \) Konstanten \( 63\,000 \) har derivert \( 0\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} D'(t) &= 37\,000 \cdot \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{0{,}24} \\ &= 8880\cos(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) \end{aligned} \]

2. Finn når den deriverte er størst Cosinus er størst, lik \( 1\text{,} \) når det som står inni, er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}24t - 3{,}0 &= 0 \\ t &= 12{,}5 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går det som står inni, fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) og der er cosinus lik \( 1 \) bare når det er \( 0\text{.} \) Det er derfor det eneste toppunktet i døgnet.

Ved \( {t = 12{,}5} \) er økningen: \[ D'(12{,}5) = 8880 \cdot \cos 0 = 8880 \]\( {t = 12{,}5} \) er klokken 12:30. Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

1. Finn toppunktet på den deriverte Vi skriver inn modellen, deriverer den og finner toppunktet på grafen til \( D' \) mellom \( 0 \) og \( 24 \) med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3) D'(x) = Derivert(D) E = Ekstremalpunkt(D', 0, 24)

Toppunktet er \( {E = (12{,}5,\ 8880)}\text{.} \) Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.

Datamengden er integralet av datatrafikken. Vi deler integralet fra 8 til 16 på integralet over hele døgnet.

1. Sett opp andelen Datatrafikken er gigabit per time, så datamengden i et tidsrom er integralet av \( D(t)\text{.} \) Andelen er: \[ \text{Andel} = \dfrac{\int_8^{16} D(t)\,dt}{\int_0^{24} D(t)\,dt} \]

2. Finn en antiderivert For sinus med kjernen \( {\textcolor{green}{k}t + b} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \begin{aligned} & \int \sin(\textcolor{green}{k}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}\cos(\textcolor{green}{k}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}24}} \) får vi antideriverten: \[ \begin{aligned} F(t) &= 63\,000t \\ &\quad - \dfrac{37\,000}{\textcolor{green}{0{,}24}}\cos(\textcolor{green}{0{,}24}t - 3{,}0) \end{aligned} \]

3. Regn ut integralene og andelen Med kalkulatoren i radianer får vi: \[ \begin{aligned} F(16) &\approx 905\,099{,}5 \\ F(8) &\approx 431\,336{,}9 \\ F(24) &\approx 1\,655\,077{,}9 \\ F(0) &\approx 152\,623{,}8 \end{aligned} \]Datamengdene i gigabit er da: \[ \begin{aligned} \int_8^{16} D(t)\,dt &= F(16) - F(8) \\ &\approx 473\,763 \\ \int_0^{24} D(t)\,dt &= F(24) - F(0) \\ &\approx 1\,502\,454 \end{aligned} \]

Andelen er da: \[ \text{Andel} \approx \dfrac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315 \]Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

1. Regn ut integralene i CAS Vi definerer modellen og regner ut de to integralene og forholdet mellom dem med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: D(t) := 63000 + 37000*sin(0.24t - 3) Integral(D(t), t, 8, 16) Integral(D(t), t, 0, 24) Integral(D(t), t, 8, 16) / Integral(D(t), t, 0, 24)

Rad 2 og 3 gir datamengdene omtrent \( 473\,762{,}6 \) og \( 1\,502\,454{,}0 \) gigabit, og rad 4 gir forholdet omtrent \( 0{,}3153\text{.} \) Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.

Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.

Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen: \[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.

2. Kjør programmet Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)

En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.

1. Sjekk om leddene går mot null For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.

Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden: \[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]

2. Se hva som kommer etter null Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste: \[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.

Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)