R2 eksamen våren 2026 – løsningsforslag
Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.
Prøveeksamen
Ta R2 vår 2026 som prøveeksamen
Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 3 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 2 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave. Settet har 49 poeng: 30 i Del 1 og 19 i Del 2.
Del 1
Uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 30 poeng
Oppgave 1
4 poeng
Bestem integralene
Oppgave 1a)
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 1a
Svar
Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.
1. Finn en antiderivert ledd for ledd
Når eksponenten er \( kx\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at:
\[ \int e^{\textcolor{green}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.
\( \textcolor{blue}{e^{2x}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}}\text{,} \) fordi \( {\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)' = x}\text{.} \)
2. Sett inn grensene
Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \)
\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]
Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi:
\[ \begin{aligned} & \int_0^2 \left(e^{2x} + x\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^2}\right]_0^2 \\ &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{4}} + \textcolor{red}{2}\right) - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= \dfrac{e^4 + 3}{2} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)
Oppgave 1b)
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 1b
Svar
Vi ser at \( \dfrac{1}{x} \) er den deriverte av \( \ln x\text{,} \) som står inni sinus. Vi bruker derfor variabelskifte med \( {u = \ln x}\text{.} \)
1. Bytt variabel
Vi setter det som står inni sinus, lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) og deriverer:
\[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = \dfrac{1}{x} \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = x\,d\textcolor{green}{u}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer med den nye variabelen
Plugger vi dette inn i integralet, får vi:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{\sin(\textcolor{green}{\ln x})}{x}\,dx &= \int \dfrac{\sin \textcolor{green}{u}}{x} \cdot x\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \int \sin \textcolor{green}{u}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= -\cos \textcolor{green}{u} + C \end{aligned} \]\( x \) forkortes bort, og \( {-\cos u} \) er en antiderivert til \( \sin u\text{,} \) fordi \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \)
3. Bytt tilbake til den gamle variabelen
Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) tilbake:
\[ \int \dfrac{\sin(\ln x)}{x}\,dx = -\cos(\textcolor{green}{\ln x}) + C \]
Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\sin(\ln x) \cdot \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er det vi integrerte.
Oppgave 2
4 poeng
- Flere oppgaver om andregradslikninger,
- Flere oppgaver om areal under graf,
- Flere oppgaver om integrasjon
Du får vite dette om en funksjon
• Funksjonen er definert for
•
• Grafen til går gjennom punktet
Oppgave 2a)
Bestem
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 2a
Svar
Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.
1. Integrer den deriverte
Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \)
\[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.
Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi:
\[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]
2. Finn konstanten med punktet
Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \)
\[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]
Det gir oss:
\[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]
To andre funksjoner, og er gitt ved og for
Oppgave 2b)
Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til og
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 2b
Svar
Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.
1. Finn skjæringspunktene
Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \)
\[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]
Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene:
\[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Plugger vi dette inn, får vi:
\[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)
2. Finn grafen som ligger øverst
Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene:
\[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
3. Regn ut arealet
Arealet er integralet av den øverste minus den nederste:
\[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]
En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/formler. Det gir oss:
\[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)
Slår vi dette sammen, får vi:
\[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]
Oppgave 3
4 poeng
Oppgave 3a)
Bestem og når og er en vinkel i 4. kvadrant.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 3a
Svar
Vi finner \( \sin v \) med enhetsformelen og velger fortegnet ut fra kvadranten. Så regner vi ut \( \tan v \) som sinus delt på cosinus.
1. Finn sinus med enhetsformelen
Enhetsformelen forteller oss at:
\[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]
Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{\cos v} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}}\text{,} \) får vi:
\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sin^2 v} &= 1 - \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \\ \textcolor{red}{\sin v} &= \pm\dfrac{\sqrt{5}}{3} \end{aligned} \]
I 4. kvadrant ligger punktet på enhetssirkelen under førsteaksen, så \( \sin v \) er negativ:
\[ \textcolor{red}{\sin v} = \textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
2. Regn ut tangens
Tangens er sinus delt på cosinus:
\[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} \]
Plugger vi inn, får vi:
\[ \tan v = \dfrac{\textcolor{red}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = -\dfrac{\sqrt{5}}{2} \]
Oppgave 3b)
Løs likningen
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 3b
Svar
Vi får cosinus alene og finner vinklene der cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \) Så legger vi til hele omganger og velger løsningene i intervallet.
1. Få cosinus alene
Vi deler begge sider med \( 2\text{:} \)
\[ \cos\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
2. Finn alle vinklene
Cosinus er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) for vinkelen \( \dfrac{\pi}{6}\text{,} \) og siden \( {\cos(-v) = \cos v}\text{,} \) også for \( {-\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \)
Legger vi til hele omganger \( {n \cdot 2\pi}\text{,} \) får vi:
\[ \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{3}x} = \pm\dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \]Hvis du er usikker på hvorfor det blir to vinkler og hele omganger, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
3. Finn løsningene i intervallet
Vi ganger begge sider med \( \dfrac{3}{\pi}\text{:} \)
\[ x = \pm\dfrac{1}{2} + n \cdot 6 \]
Vi setter inn hele tall for \( n \) og beholder løsningene mellom \( 0 \) og \( 10\text{:} \)
\[ \begin{aligned} n = 0&: \quad x = \dfrac{1}{2} \\ n = 1&: \quad x = \dfrac{11}{2} \ \text{ og } \ x = \dfrac{13}{2} \end{aligned} \]For \( {n = 0} \) er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) mindre enn \( 0\text{,} \) og for \( {n = 2} \) er begge løsningene større enn \( 10\text{.} \)
Oppgave 4
2 poeng
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon
Bestem et mulig funksjonsuttrykk
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 4
Svar
Ett mulig uttrykk er:
Vi leser av likevektslinja, amplituden og perioden på grafen. Så velger vi faseforskyvningen slik at et toppunkt kommer på riktig plass.
1. Les av likevektslinja og amplituden
Vi bruker den generelle sinusfunksjonen:
\[ f(x) = \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]
Grafen svinger mellom \( 1 \) og \( {-3}\text{.} \) Likevektslinja ligger midt mellom:
\[ \textcolor{blue}{d} = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \textcolor{blue}{-1} \]
Amplituden er avstanden fra likevektslinja til et toppunkt:
\[ \textcolor{red}{A} = 1 - (\textcolor{blue}{-1}) = \textcolor{red}{2} \]
2. Finn perioden
Grafen har toppunkter i \( {x = \dfrac{\pi}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3\pi}{2}}\text{,} \) så perioden er \( {p = \pi}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er:
\[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \quad\Rightarrow\quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{\pi} = \textcolor{green}{2} \]
3. Finn faseforskyvningen
Sinus har toppunkt når det som står inni, er \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Grafen har et toppunkt i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så:
\[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} + \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \end{aligned} \]
Plugger vi alt inn i formen, får vi:
\[ f(x) = \textcolor{red}{2}\sin\left(\textcolor{green}{2}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) \textcolor{blue}{- 1} \]Andre uttrykk er også riktige, for eksempel \( {f(x) = -2\cos(2x) - 1}\text{.} \)
Kontroll: I \( {x = 0} \) gir uttrykket \( {2\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) - 1 = -3}\text{,} \) som er bunnpunktet på grafen.
Oppgave 5
2 poeng
I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen gitt ved
Et omdreiningslegeme framkommer ved at grafen til fra til dreies rundt førsteaksen.
Regn ut volumet til omdreiningslegemet.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 5
Svar
Grafen dreies rundt førsteaksen, så vi bruker volumformelen for omdreiningslegemer med grensene \( 1 \) og \( 3\text{.} \)
1. Skriv opp volumformelen
Volumet av et omdreiningslegeme rundt førsteaksen er:
\[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {f(x) = 2x - 1}\text{:} \)
\[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{1}}^{\textcolor{red}{3}} (2x - 1)^2\,dx \]
2. Regn ut integralet
Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1}\text{,} \) og integrerer ledd for ledd:
\[ \begin{aligned} V &= \pi \int_1^3 \left(4x^2 - 4x + 1\right) dx \\ &= \pi \left[\dfrac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x\right]_1^3 \end{aligned} \]
Vi setter inn grensene i parentesen:
\[ \begin{aligned} x = 3\text{:} \quad & \dfrac{4}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 3 = 21 \\ x = 1\text{:} \quad & \dfrac{4}{3} - 2 + 1 = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]
Det gir oss:
\[ V = \pi \left(21 - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{62\pi}{3} \]
Oppgave 6
4 poeng
I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde
Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være kortere enn sidelengden til treplaten under.
Oppgave 6a)
Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 6a
Svar
Rekken og det største antallet treplater:
Sidelengdene minker med \( 0{,}1\,\text{m} \) for hver plate, så summen av dem er en aritmetisk rekke. Det største antallet plater finner vi ved at sidelengden må være positiv.
1. Sett opp rekken
I en aritmetisk rekke er ledd nummer \( n\text{:} \)
\[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}1}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi:
\[ \begin{aligned} a_n &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot (\textcolor{red}{-0{,}1}) \\ &= 5{,}1 - 0{,}1n \end{aligned} \]
Summen av sidelengdene i meter er rekken:
\[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + (5{,}1 - 0{,}1n) \]
2. Finn det største antallet plater
Hver treplate må ha en sidelengde større enn \( 0\text{:} \)
\[ \begin{aligned} 5{,}1 - 0{,}1n &> 0 \\ n &< 51 \end{aligned} \]
Det største antallet er altså \( {n = 50}\text{.} \) Da er den øverste platen \( {a_{50} = 5{,}1 - 5 = 0{,}1\,\text{m}}\text{,} \) og rekken er:
\[ 5 + 4{,}9 + 4{,}8 + \dots + 0{,}2 + 0{,}1 \]
Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal
Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være kortere enn sidelengden til treplaten under.
Oppgave 6b)
Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 6b
Svar
Det samlede arealet kan komme så nær vi vil, men aldri over:
Arealet blir ganget med det samme tallet for hver ny plate, så arealene danner en geometrisk rekke. Det samlede arealet kan ikke bli større enn summen av den uendelige rekken.
1. Finn kvotienten
Når sidelengden blir \( 10\,\% \) kortere, blir den ganget med \( 0{,}9\text{.} \) Arealet er sidelengden i andre, så arealet blir ganget med:
\[ \textcolor{red}{k} = 0{,}9^2 = \textcolor{red}{0{,}81} \]
Arealene i kvadratmeter danner derfor en geometrisk rekke:
\[ \textcolor{blue}{19} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81} + \textcolor{blue}{19} \cdot \textcolor{red}{0{,}81}^2 + \dots \]
2. Regn ut den uendelige summen
En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen:
\[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{19}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}81}}\text{.} \) Siden \( {-1 < 0{,}81 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi dette inn, får vi:
\[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{19}}{1 - \textcolor{red}{0{,}81}} = \dfrac{19}{0{,}19} = 100 \]Med uendelig mange plater blir arealet \( 100\,\text{m}^2\text{.} \) Et tårn har endelig mange plater, så arealet blir litt mindre, men kan komme så nær \( 100\,\text{m}^2 \) vi vil.
Oppgave 7
7 poeng
- Flere oppgaver om parameterframstilling,
- Flere oppgaver om plan,
- Flere oppgaver om vektorer,
- Flere oppgaver om vektorprodukt
Et plan er gitt ved likningen
Punktene og ligger i planet.
Oppgave 7a)
Avgjør om punktet ligger i planet
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 7a
Svar
Venstre side blir i stedet for
Et punkt ligger i planet når koordinatene passer i likningen. Vi setter derfor koordinatene til \( D \) inn i venstre side.
1. Sett inn punktet i likningen
Vi setter inn \( {\textcolor{blue}{x = 3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y = 1}} \) og \( {\textcolor{green}{z = -1}}\text{:} \)
\[ \begin{aligned} & 2 \cdot \textcolor{blue}{3} - 5 \cdot \textcolor{red}{1} + 4 \cdot (\textcolor{green}{-1}) \\ &= 6 - 5 - 4 = -3 \end{aligned} \]Venstre side blir \( {-3}\text{,} \) ikke \( {-4}\text{.} \) Koordinatene passer ikke i likningen, så \( D \) ligger ikke i planet. Hvis du er usikker på likningen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.
Oppgave 7b)
Bruk kryssprodukt til å vise at er en normalvektor til planet.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 7b
Svar
Siden er
Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på begge, og dermed på planet. Vi regner ut \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) og sammenligner med \( {[2, -5, 4]}\text{.} \)
1. Finn to vektorer i planet
Vi lager to vektorer mellom punktene i planet:
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [2 - 1,\ 0 - 2,\ -2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{-3}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1 - 1,\ 2 - 2,\ 2 - 1] \\ &= [\textcolor{blue}{-2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{1}] \end{aligned} \]
2. Regn ut kryssproduktet
For \( {\vec{a} = [\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{red}{a_2}, \textcolor{green}{a_3}]} \) og \( {\vec{b} = [\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{green}{b_3}]} \) er kryssproduktet:
\[ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} = [\, &\textcolor{red}{a_2}\textcolor{green}{b_3} - \textcolor{green}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{green}{a_3}\textcolor{blue}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{green}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_1}\,] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.
Plugger vi inn \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) får vi:
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [\, &(\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{green}{1} - (\textcolor{green}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0}, \\ &(\textcolor{green}{-3}) \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{1}, \\ &\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} - (\textcolor{red}{-2}) \cdot (\textcolor{blue}{-2})\,] \end{aligned} \]
3. Sammenlign med vektoren
Regner vi ut koordinatene, får vi:
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-2, 5, -4] \\ &= -1 \cdot [2, -5, 4] \end{aligned} \]Kryssproduktet står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og dermed på planet. \( {[2, -5, 4]} \) er parallell med kryssproduktet, så den står også vinkelrett på planet og er en normalvektor.
En kule tangerer planet i et punkt
Kuleflaten er gitt ved likningen
Oppgave 7c)
Vis at punktet er sentrum i kulen.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 7c
Svar
Når vi fullfører kvadratene, får kulen sentrum i:
Vi fullfører kvadratene i \( y \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til en kuleflate, der vi kan lese av sentrum.
1. Skriv opp formen til en kuleflate
En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen:
\[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]
2. Fullfør kvadratene
Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs:
\[ \begin{aligned} y^2 - 18y &= (y - \textcolor{red}{9})^2 - 81 \\ z^2 + 2z &= (z + \textcolor{green}{1})^2 - 1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å fullføre kvadratet, kan du se videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?.
Plugger vi dette inn i likningen og flytter tallene over på høyre side, får vi:
\[ x^2 + (y - \textcolor{red}{9})^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 82 - k \]
3. Les av sentrum
Vi skriver \( {x^2 = (x - \textcolor{blue}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Da har likningen formen over, med sentrum:
\[ (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{red}{9}, \textcolor{green}{-1}) \]
Oppgave 7d)
Bestem en parameterframstilling for linjen som går gjennom sentrum i kulen og punktet
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 7d
Svar
Selv om du ikke fikk til b) og c), kan du løse denne: normalvektoren og sentrum står i oppgaveteksten.
Kulen tangerer planet i \( P\text{,} \) så radien fra sentrum til \( P \) står vinkelrett på planet. Linjen har derfor normalvektoren som retningsvektor.
1. Finn en retningsvektor
Når en kule tangerer et plan, står radien til tangeringspunktet vinkelrett på planet. Linjen gjennom sentrum og \( P \) er derfor parallell med normalvektoren fra b):
\[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-5}, \textcolor{green}{4}] \]
2. Sett opp parameterframstillingen
En linje gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen:
\[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.
Vi bruker sentrum \( {(0, 9, -1)} \) fra c) og plugger inn:
\[ \begin{cases} x = \textcolor{blue}{2}t \\ y = 9 \textcolor{red}{- 5}t \\ z = -1 + \textcolor{green}{4}t \end{cases} \]
Oppgave 7e)
Bestem konstanten i likningen for kuleflaten.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 7e
Svar
Vi bruker likningen fra c) og linjen fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Tangeringspunktet \( P \) ligger både på linjen og i planet. Vi finner \( P\text{,} \) så radien, og da kan vi bestemme \( k\text{.} \)
1. Finn tangeringspunktet
I d) fant vi linjen gjennom sentrum og \( P\text{:} \)
\[ \begin{cases} x = 2t \\ y = 9 - 5t \\ z = -1 + 4t \end{cases} \]
Vi setter den inn i venstre side av likningen for planet:
\[ \begin{aligned} & 2 \cdot 2t - 5(9 - 5t) + 4(-1 + 4t) \\ &= 4t - 45 + 25t - 4 + 16t \\ &= 45t - 49 \end{aligned} \]
Planet har \( {-4} \) på høyre side:
\[ \begin{aligned} 45t - 49 &= -4 \\ 45t &= 45 \\ t &= 1 \end{aligned} \]
Det gir punktet:
\[ \begin{aligned} P &= (2 \cdot 1,\ 9 - 5 \cdot 1,\ -1 + 4 \cdot 1) \\ &= (\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{3}) \end{aligned} \]
2. Regn ut radien
Radien er lengden av vektoren fra sentrum \( {(0, 9, -1)} \) til \( P(2, 4, 3)\text{.} \) Lengden finner vi med Pythagoras:
\[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}, \textcolor{green}{z}]|^2 = \textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2 \]Hvis du er usikker på lengden av en vektor, kan du se videoen Lengden til en Vektor.
Plugger vi inn, får vi:
\[ \begin{aligned} r^2 &= (\textcolor{blue}{2} - 0)^2 + (\textcolor{red}{4} - 9)^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{3} - (-1))^2 \\ &= \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{25} + \textcolor{green}{16} = 45 \end{aligned} \]
3. Finn konstanten
I c) fant vi at kuleflaten har likningen:
\[ x^2 + (y - 9)^2 + (z + 1)^2 = 82 - k \]
Høyre side er \( r^2\text{,} \) så:
\[ \begin{aligned} 82 - k &= 45 \\ k &= 37 \end{aligned} \]
Kontroll: Setter vi \( P(2, 4, 3) \) og \( {k = 37} \) inn i likningen fra oppgaven, blir venstre side \( {4 + 16 + 9 - 72 + 6 + 37}\text{,} \) som er \( 0\text{.} \)
Oppgave 8
3 poeng
Påstand
Dersom to vektorer og er ortogonale, er
En elev prøver å bevise påstanden ovenfor.
Elevens bevis
Da er
og
Altså er påstanden riktig.
Oppgave 8a)
Forklar hvorfor dette ikke er et gyldig matematisk bevis for påstanden.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 8a
Svar
Eleven har bare sjekket ett eksempel, og påstanden gjelder alle ortogonale vektorer:
Påstanden gjelder alle par av ortogonale vektorer, så vi ser på hva eleven faktisk har vist.
1. Se hva eleven har vist
Eleven har valgt to bestemte vektorer, \( \textcolor{blue}{[4, 0, 0]} \) og \( \textcolor{red}{[0, 0, 3]}\text{,} \) og vist at likheten stemmer for dem. Det er et eksempel.
Påstanden sier at likheten stemmer for «alle» ortogonale vektorer \( \textcolor{blue}{\vec{p}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{q}}\text{.} \) Ett eksempel viser ikke at den stemmer for alle de andre parene. Et eksempel kan bare vise at en slik påstand er usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.
Et bevis må gjelde for vilkårlige vektorer der vi bare vet at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)
Oppgave 8b)
Bevis påstanden ved hjelp av vektorregning.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 8b
Svar
For ortogonale vektorer er så
Vi skriver lengden i andre som skalarproduktet av vektoren med seg selv, ganger ut og bruker at \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{.} \)
1. Skriv lengden som et skalarprodukt
For en vektor \( \vec{v} \) er lengden i andre lik skalarproduktet med seg selv:
\[ |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \]To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
2. Gang ut parentesene
Vi lar \( \vec{p} \) og \( \vec{q} \) være vilkårlige ortogonale vektorer, så \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \) Vi ganger ut parentesene som i vanlig algebra:
\[ \begin{aligned} |\vec{p} + \vec{q}|^2 &= (\vec{p} + \vec{q}) \cdot (\vec{p} + \vec{q}) \\ &= \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{p} + \vec{q} \cdot \vec{q} \\ &= |\vec{p}|^2 + 2\,\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} + |\vec{q}|^2 \\ &= |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 \end{aligned} \]I den tredje linjen brukte vi at \( {\vec{q} \cdot \vec{p} = \vec{p} \cdot \vec{q}}\text{,} \) og i den siste at \( {\textcolor{darkorange}{\vec{p} \cdot \vec{q}} = 0}\text{.} \)
Del 2
Med hjelpemidler · 4 oppgaver · 19 poeng
Oppgave 1
6 poeng
- Flere oppgaver om derivasjon,
- Flere oppgaver om integrasjon,
- Flere oppgaver om modellering,
- Flere oppgaver om regresjon,
- Flere oppgaver om trigonometriske funksjoner
Selskapet IntCom er en internettleverandør. Selskapet sørger for overføring av data mellom kundene og internett. Datatrafikken varierer gjennom døgnet.
Tabellen nedenfor viser datatrafikken (gigabit per time) et døgn i mai.
Oppgave 1a)
Lag en god modell for datatrafikken gigabit per time, timer etter midnatt dette døgnet.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til tre gjeldende sifre:
Datatrafikken går opp og ned gjennom døgnet, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) til d) med modellen \( D \) fra oppgaven, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra
Vi regner klokkeslettene om til timer etter midnatt, så klokken 22:00 blir \( {t = 22}\text{.} \) Vi skriver tiden i kolonne A og datatrafikken i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon
Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i
\[ S(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra:
S(x) = RegSin(l1)
3. Skriv opp modellen
GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{37\,213{,}66}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{0{,}2426}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-2{,}9556}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{63\,196{,}61}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 25{,}9} \) timer, nær et døgn, og grafen går nær alle punktene. Modellen passer derfor godt med at trafikken følger døgnet.
Videre i oppgaven skal du bruke modellen
for datatrafikken timer etter midnatt dette døgnet.
Oppgave 1b)
Når var datatrafikken ut fra selskapet mer enn gigabit per time ifølge modellen?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til to desimaler og til hele minutter:
Vi skal finne når \( {D(t) > 90\,000}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner vinklene der sinus er større enn tallet på høyre side.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene
Vi trekker fra \( 63\,000 \) på begge sider av \( {D(t) > 90\,000} \) og deler med \( 37\,000\text{:} \)
\[ \begin{aligned} 37\,000\sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> 27\,000 \\ \sin(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) &> \dfrac{27}{37} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene på enhetssirkelen
Vi kaller det som står inni sinus, \( \textcolor{green}{u}\text{.} \) Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( \dfrac{27}{37}\text{:} \)
\[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}\left(\dfrac{27}{37}\right) \approx 0{,}8179 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \)
\[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3237 \]Mellom \( u_1 \) og \( u_2 \) er sinus større enn \( \dfrac{27}{37}\text{,} \) fordi sinus har toppen sin i \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) mellom dem.
3. Regn om til klokkeslett
Løser vi \( {0{,}24t - 3{,}0 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 3{,}0}{0{,}24}}\text{:} \)
\[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{0{,}8179 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 15{,}908 \\ t_2 &= \dfrac{2{,}3237 + 3{,}0}{0{,}24} \approx 22{,}182 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går \( u \) fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) så dette er det eneste tidsrommet i døgnet.
\( 0{,}908 \) timer er \( {0{,}908 \cdot 60 \approx 54} \) minutter, og \( 0{,}182 \) timer er omtrent \( 11 \) minutter. Datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktene med linja
Vi skriver inn modellen og linja \( {y = 90\,000}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra:
D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3)
g: y = 90000
Skjæringspunktene er \( {A \approx (15{,}908,\ 90\,000)} \) og \( {B \approx (22{,}1819,\ 90\,000)}\text{.} \) Grafen ligger over linja mellom dem, så datatrafikken var over \( 90\,000 \) gigabit per time fra omtrent klokken 15:54 til 22:11.
Oppgave 1c)
Når økte datatrafikken raskest, og hvor stor var denne økningen ifølge modellen?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 1c
Svar
Målt i gigabit per time per time:
Økningen er den deriverte, så vi finner når \( D'(t) \) er størst. Vi deriverer sinusfunksjonen med kjerneregelen.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen
Kjerneregelen forteller oss at:
\[ \left(\sin \textcolor{green}{u}\right)' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{0{,}24}}\text{.} \) Konstanten \( 63\,000 \) har derivert \( 0\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi:
\[ \begin{aligned} D'(t) &= 37\,000 \cdot \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{0{,}24} \\ &= 8880\cos(\textcolor{green}{0{,}24t - 3{,}0}) \end{aligned} \]
2. Finn når den deriverte er størst
Cosinus er størst, lik \( 1\text{,} \) når det som står inni, er \( 0\text{:} \)
\[ \begin{aligned} 0{,}24t - 3{,}0 &= 0 \\ t &= 12{,}5 \end{aligned} \]For \( t \) fra \( 0 \) til \( 24 \) går det som står inni, fra \( {-3{,}0} \) til \( 2{,}76\text{,} \) og der er cosinus lik \( 1 \) bare når det er \( 0\text{.} \) Det er derfor det eneste toppunktet i døgnet.
Ved \( {t = 12{,}5} \) er økningen:
\[ D'(12{,}5) = 8880 \cdot \cos 0 = 8880 \]\( {t = 12{,}5} \) er klokken 12:30. Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet på den deriverte
Vi skriver inn modellen, deriverer den og finner toppunktet på grafen til \( D' \) mellom \( 0 \) og \( 24 \) med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra:
D(x) = 63000 + 37000*sin(0.24x - 3)
D'(x) = Derivert(D)
E = Ekstremalpunkt(D', 0, 24)
Toppunktet er \( {E = (12{,}5,\ 8880)}\text{.} \) Datatrafikken økte raskest klokken 12:30, med \( 8880 \) gigabit per time per time.
Oppgave 1d)
Hvor stor del av den totale datamengden som IntCom overførte dette døgnet, ble overført i løpet av arbeidsdagen, det vil si mellom klokken 8 og klokken 16, ifølge modellen?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 1d
Svar
Avrundet til én desimal:
Datamengden er integralet av datatrafikken. Vi deler integralet fra 8 til 16 på integralet over hele døgnet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp andelen
Datatrafikken er gigabit per time, så datamengden i et tidsrom er integralet av \( D(t)\text{.} \) Andelen er:
\[ \text{Andel} = \dfrac{\int_8^{16} D(t)\,dt}{\int_0^{24} D(t)\,dt} \]
2. Finn en antiderivert
For sinus med kjernen \( {\textcolor{green}{k}t + b} \) forteller integrasjonsreglene oss at:
\[ \begin{aligned} & \int \sin(\textcolor{green}{k}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}\cos(\textcolor{green}{k}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/formler.
Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}24}} \) får vi antideriverten:
\[ \begin{aligned} F(t) &= 63\,000t \\ &\quad - \dfrac{37\,000}{\textcolor{green}{0{,}24}}\cos(\textcolor{green}{0{,}24}t - 3{,}0) \end{aligned} \]
3. Regn ut integralene og andelen
Med kalkulatoren i radianer får vi:
\[ \begin{aligned} F(16) &\approx 905\,099{,}5 \\ F(8) &\approx 431\,336{,}9 \\ F(24) &\approx 1\,655\,077{,}9 \\ F(0) &\approx 152\,623{,}8 \end{aligned} \]Datamengdene i gigabit er da:
\[ \begin{aligned} \int_8^{16} D(t)\,dt &= F(16) - F(8) \\ &\approx 473\,763 \\ \int_0^{24} D(t)\,dt &= F(24) - F(0) \\ &\approx 1\,502\,454 \end{aligned} \]
Andelen er da:
\[ \text{Andel} \approx \dfrac{473\,763}{1\,502\,454} \approx 0{,}315 \]Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut integralene i CAS
Vi definerer modellen og regner ut de to integralene og forholdet mellom dem med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra:
D(t) := 63000 + 37000*sin(0.24t - 3)
Integral(D(t), t, 8, 16)
Integral(D(t), t, 0, 24)
Integral(D(t), t, 8, 16) / Integral(D(t), t, 0, 24)
Rad 2 og 3 gir datamengdene omtrent \( 473\,762{,}6 \) og \( 1\,502\,454{,}0 \) gigabit, og rad 4 gir forholdet omtrent \( 0{,}3153\text{.} \) Omtrent \( 31{,}5\,\% \) av datamengden ble overført i arbeidsdagen.
Oppgave 2
4 poeng
En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen
Oppgave 2a)
Lag et program som skriver ut de 6 første leddene i rekken dersom
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 2a
Svar
Vi starter med \( {a_1 = 5} \) og bruker den rekursive sammenhengen fem ganger i en løkke, slik at vi får ledd nummer 2 til 6.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut de første leddene for hånd, og på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje
Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( \texttt{a} \) lik det første leddet, \( {a_1 = 5}\text{,} \) og linje 2 skriver det ut.
Løkka i linje 3 går gjennom \( {n = 2, 3, 4, 5, 6}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(2, 7)} \) stopper før 7, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 bruker den rekursive sammenhengen:
\[ \textcolor{blue}{a_n} = (\textcolor{red}{a_{n-1}} - 1)^2 \]\( \textcolor{red}{\texttt{a}} \) på høyre side er det forrige leddet, og \( \textcolor{blue}{\texttt{a}} \) på venstre side blir det nye. Linje 5 skriver ut hvert nytt ledd.
2. Kjør programmet
Programmet skriver ut de seks leddene: \( 5\text{,} \) \( 16\text{,} \) \( 225\text{,} \) \( 50\,176\text{,} \) \( 2\,517\,530\,625 \) og \( 6\,337\,960\,442\,777\,829\,376\text{.} \) De første kan vi sjekke for hånd: \( {(5 - 1)^2 = 16}\text{,} \) \( {(16 - 1)^2 = 225} \) og \( {(225 - 1)^2 = 50\,176}\text{.} \)
Oppgave 2b)
Avgjør om det finnes et heltall som gjør at rekken blir konvergent.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 2b
Svar
Leddene går aldri mot så rekken divergerer for alle heltall
En uendelig rekke kan bare konvergere hvis leddene går mot \( 0\text{.} \) Vi undersøker derfor om leddene kan gå mot \( 0 \) når \( a_1 \) er et heltall.
Metode: For hånd
1. Sjekk om leddene går mot null
For at summen \( {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} \) skal konvergere, må leddene gå mot \( 0\text{:} \)
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]Går de ikke mot \( 0\text{,} \) divergerer rekken, som i videoen Konvergens & divergens intro.
Når \( a_1 \) er et heltall, blir alle leddene heltall, fordi vi bare trekker fra \( 1 \) og kvadrerer. Heltall som går mot \( 0\text{,} \) må fra et ledd av være \( 0 \) hele tiden:
\[ a_n = 0 \quad \text{for alle } n \ge N \]
2. Se hva som kommer etter null
Hvis et ledd er \( \textcolor{blue}{0}\text{,} \) blir de to neste:
\[ (\textcolor{blue}{0} - 1)^2 = \textcolor{red}{1} \qquad (\textcolor{red}{1} - 1)^2 = \textcolor{blue}{0} \]Leddene veksler da mellom \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og blir aldri \( 0 \) hele tiden. Med \( {a_1 = 1} \) blir rekken for eksempel \( {\textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{0} + \dots}\text{,} \) som vokser uten grense.
Leddene kan altså aldri gå mot \( 0\text{,} \) uansett hvilket heltall \( a_1 \) er. Da divergerer rekken for alle heltall \( a_1\text{.} \)
Oppgave 3
6 poeng
- Flere oppgaver om banefart,
- Flere oppgaver om derivasjon,
- Flere oppgaver om parameterframstilling,
- Flere oppgaver om vektorer
Banefart er lengden av fartsvektoren.
Et lite propellfly må nødlande på en motorvei. Posisjonen til flyet sekunder etter at nødlandingen har startet, er gitt ved
Motorveien ligger i -planet.
Enhetene langs aksene er meter.
Oppgave 3a)
Hvor høyt over motorveien er flyet sekunder etter at nødlandingen har startet?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 3a
Svar
Etter sekunder er flyet
Motorveien ligger i \( xy \)-planet, så høyden over veien er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 4}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sett inn tiden i høyden
\( z \)-koordinaten til \( \vec{r}(t) \) er \( {\textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2}}\text{.} \) Med \( {t = 4} \) får vi:
\[ \begin{aligned} z(4) &= \textcolor{green}{50\left(1 - \dfrac{4}{10}\right)^2} \\ &= 50 \cdot 0{,}6^2 = 18 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å lese av koordinatene i en parameterframstilling, kan du se videoen Forskjellige måter å skrive på.
Oppgave 3b)
Bestem banefarten idet flyet lander på motorveien.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til to desimaler:
Flyet lander når høyden er \( 0\text{.} \) Banefarten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.
Metode: Med kalkulator
1. Finn når flyet lander
Flyet lander når \( z \)-koordinaten er \( 0\text{:} \)
\[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= 0 \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= 0 \\ t &= 10 \end{aligned} \]
2. Finn fartsvektoren
Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. For \( y \) og \( z \) bruker vi kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen:
\[ \big(g(u)\big)' = g'(u) \cdot u' \]
Kjernen \( \dfrac{\pi}{10}t \) har derivert \( \dfrac{\pi}{10}\text{,} \) og kjernen \( {1 - \dfrac{t}{10}} \) har derivert \( {-\dfrac{1}{10}}\text{.} \) Vi deriverer hver koordinat for seg:
\[ \begin{aligned} x'(t) &= \textcolor{blue}{30 - 2t} \\ y'(t) &= 8\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right) \cdot \dfrac{\pi}{10} \\ &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)} \\ z'(t) &= 50 \cdot 2\left(1 - \dfrac{t}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right) \\ &= \textcolor{green}{t - 10} \end{aligned} \]
3. Regn ut banefarten ved landing
Vi setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Der er \( {\cos \pi = -1}\text{:} \)
\[ \vec{v}(10) = [\textcolor{blue}{10},\ \textcolor{red}{-0{,}8\pi},\ \textcolor{green}{0}] \]
Banefarten er lengden av fartsvektoren. Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor:
\[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Plugger vi inn koordinatene, får vi:
\[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{10}^2 + (\textcolor{red}{-0{,}8\pi})^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{100 + 0{,}64\pi^2} \approx 10{,}31 \end{aligned} \]Banefarten idet flyet lander, er omtrent \( 10{,}31\,\text{m/s}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut banefarten i CAS
Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra:
r(t) := (30t - t^2, 8*sin(π/10*t), 50*(1 - t/10)^2)
v(t) := Derivert(r(t), t)
Løs(50*(1 - t/10)^2 = 0, t)
Lengde(v(10))
Rad 3 viser at flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) og rad 4 gir banefarten \( {|\vec{v}(10)| \approx 10{,}311\,\text{m/s}}\text{.} \)
Oppgave 3c)
Ved hvilket tidspunkt under nødlandingen er banefarten
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 3c
Svar
Avrundet til én desimal:
Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi skal finne \( t \) når lengden av fartsvektoren er \( 14{,}3\text{.} \) Vi tegner grafen til banefarten og finner skjæringen med linja \( {y = 14{,}3}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å finne fartsvektoren og banefarten, som i b), og på å regne ut banefarten for en gitt \( t\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Skriv opp banefarten
I b) fant vi fartsvektoren. Kvadratet av banefarten er:
\[ \begin{aligned} |\vec{v}(t)|^2 = \ &(\textcolor{blue}{30 - 2t})^2 \\ &+ \left(\textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{10}t\right)}\right)^2 \\ &+ (\textcolor{green}{t - 10})^2 \end{aligned} \]Vi skal finne \( t \) mellom \( 0 \) og landingen ved \( {t = 10} \) der \( {|\vec{v}(t)| = 14{,}3}\text{.} \) Likningen blander et polynom og cosinus, så den kan ikke løses for hånd.
2. Finn skjæringen med linja
Vi tegner banefarten som en funksjon fra \( 0 \) til \( 10 \) og linja \( {y = 14{,}3}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra:
b(x) = Funksjon(sqrt((30 - 2x)^2 + (0.8π*cos(π/10*x))^2 + (x - 10)^2), 0, 10)
h: y = 14.3
Skjæringspunktet er \( {S \approx (7{,}9939,\ 14{,}3)}\text{.} \) Grafen synker hele veien fra start til landing, så banefarten er \( 14{,}3\,\text{m/s} \) bare én gang, etter omtrent \( 8{,}0 \) sekunder.
En fugl er i posisjonen idet flyet starter nødlandingen. Fuglen flyr i en rett linje og krysser banen til flyet i punktet
Fuglen holder en jevn banefart på
Oppgave 3d)
Vil fuglen treffe flyet?
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 3d
Svar
Fuglen kommer bare etter flyet, og da har flyet flyttet seg omtrent
Vi bruker fartsvektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner når flyet og fuglen er i krysningspunktet. Fuglen treffer flyet hvis flyet ikke har rukket å passere punktet når fuglen kommer dit.
Metode: Med kalkulator
1. Finn når flyet er i krysningspunktet
Flyet er i \( {\left(125, 8, \dfrac{25}{2}\right)} \) når \( z \)-koordinaten er \( \dfrac{25}{2}\text{:} \)
\[ \begin{aligned} 50\left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{25}{2} \\ \left(1 - \dfrac{t}{10}\right)^2 &= \dfrac{1}{4} \\ 1 - \dfrac{t}{10} &= \pm\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {t = 5} \) eller \( {t = 15}\text{.} \) Flyet lander ved \( {t = 10}\text{,} \) så \( {t = 5}\text{.} \)
Vi sjekker de to andre koordinatene:
\[ \begin{aligned} x(5) &= \textcolor{blue}{30 \cdot 5 - 5^2} = 125 \\ y(5) &= \textcolor{red}{8\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} = 8 \end{aligned} \]Flyet er i krysningspunktet etter \( \underline{5\,\text{s}}\text{.} \)
2. Finn tiden fuglen bruker
Fuglen flyr i en rett linje fra \( (131, 67, 23) \) til \( (125, 8, 12{,}5)\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre:
\[ \begin{aligned} 125 - 131 &= \textcolor{blue}{-6} \\ 8 - 67 &= \textcolor{red}{-59} \\ 12{,}5 - 23 &= \textcolor{green}{-10{,}5} \end{aligned} \]Vektoren mellom punktene er \( {[\textcolor{blue}{-6}, \textcolor{red}{-59}, \textcolor{green}{-10{,}5}]}\text{.} \)
Avstanden er lengden av vektoren:
\[ \begin{aligned} s &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-6})^2 + (\textcolor{red}{-59})^2 + (\textcolor{green}{-10{,}5})^2} \\ &= \sqrt{3627{,}25} \approx 60{,}227 \end{aligned} \]Tiden er strekning delt på fart, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT):
\[ t = \dfrac{s}{v} \approx \dfrac{60{,}227}{12} \approx 5{,}019 \]Fuglen er i krysningspunktet etter omtrent \( \underline{5{,}02\,\text{s}}\text{.} \)
3. Sammenlign tidene
Fuglen kommer \( {5{,}019 - 5 = 0{,}019\,\text{s}} \) etter flyet. Regnet som punkter er de ikke der samtidig, men forskjellen er svært liten.
I b) fant vi koordinatene til fartsvektoren. Med \( {t = 5} \) er de:
\[ \begin{aligned} x'(5) &= \textcolor{blue}{30 - 2 \cdot 5} = 20 \\ y'(5) &= \textcolor{red}{0{,}8\pi\cos\dfrac{\pi}{2}} = 0 \\ z'(5) &= \textcolor{green}{5 - 10} = -5 \end{aligned} \]
Banefarten til flyet er lengden av \( \vec{v}(5)\text{,} \) og strekningen det flytter seg på \( 0{,}019\,\text{s}\text{,} \) er banefart ganger tid:
\[ \begin{aligned} |\vec{v}(5)| &= \sqrt{20^2 + (-5)^2} \approx 20{,}6 \\ s_{\text{fly}} &\approx 20{,}6 \cdot 0{,}019 \approx 0{,}39 \end{aligned} \]Flyet flytter seg bare omtrent \( 0{,}4\,\text{m}\text{,} \) og et lite propellfly er flere meter langt. Flyet er altså fortsatt i krysningspunktet når fuglen kommer, så fuglen treffer flyet.
Metode: Med GeoGebra
1. Sammenlign tidene i CAS
Vi fortsetter i CAS fra b), der \( r(t) \) er definert. Rad 5 finner når flyet er i krysningspunktet, rad 6 tiden fuglen bruker, avstanden delt på farten, og rad 7 banefarten til flyet da, med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra:
Løs(r(t) = (125, 8, 25/2), t)
Lengde((125, 8, 25/2) - (131, 67, 23)) / 12
Lengde(v(5))
Flyet er i krysningspunktet ved \( {t = 5}\text{,} \) og fuglen kommer dit etter omtrent \( 5{,}0189\,\text{s}\text{.} \) Rad 7 gir banefarten \( {|\vec{v}(5)| \approx 20{,}6155\,\text{m/s}}\text{,} \) så på de \( 0{,}0189\,\text{s} \) flytter flyet seg omtrent \( {20{,}6155 \cdot 0{,}0189 \approx 0{,}39\,\text{m}}\text{.} \) Det er mye mindre enn flyet er langt, så fuglen treffer flyet.
Oppgave 4
3 poeng
- Flere oppgaver om integrasjon,
- Flere oppgaver om modellering,
- Flere oppgaver om omdreiningslegeme,
- Flere oppgaver om trigonometriske funksjoner
Du får i oppdrag å lage en vase med form som på bildet nedenfor.
Vasen skal romme omtrent vann og ha høyde
Bruk det du kan om omdreiningslegemer og trigonometri, til å lage en funksjon på formen
som ved omdreining gir en vase med denne formen.
Tegn grafen til funksjonen i et koordinatsystem der enhetene langs aksene er centimeter.
Husk å begrunne ditt valg av parameterne og og la funksjonsuttrykket komme tydelig fram i besvarelsen din.
Vis løsningSkjul løsning på oppgave 4
Svar
Et mulig funksjonsuttrykk, med og i centimeter:
Vi legger vasen ned langs førsteaksen, slik at \( f(x) \) er radien i høyden \( x\text{.} \) Formen på vasen gir \( c \) og \( \varphi\text{,} \) og volumet gir \( d\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Les av formen på vasen
Vi lar førsteaksen gå gjennom midten av vasen, med bunnen i \( {x = 0} \) og kanten i \( {x = 20}\text{.} \) Vasen er da omdreiningslegemet vi får når grafen dreies rundt førsteaksen.
Fra bunnen og opp er vasen smal, bred, smal og bred igjen ved kanten. Radien går altså fra et bunnpunkt til et toppunkt, et bunnpunkt og et toppunkt. Det er tre halve perioder på \( 20\,\text{cm}\text{,} \) så perioden er:
\[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2}{3} \cdot 20 = \dfrac{40}{3} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{2\pi}{p} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}} \end{aligned} \]
Bunnen skal være et bunnpunkt. Sinus har bunnpunkt når det som står inni, er \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og i \( {x = 0} \) står det bare \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) inni:
\[ \textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}} \]
2. Velg amplituden
Vi velger \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så radien går \( 1\,\text{cm} \) ut og inn fra middelradien \( \textcolor{blue}{d}\text{.} \)
3. Finn middelradien fra volumet
Vasen skal romme \( {1{,}5\,\text{L} = 1500\,\text{cm}^3}\text{.} \) Volumformelen forteller oss at:
\[ V = \pi \int_0^{20} \left(f(x)\right)^2 dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kaller det som står inni sinus, \( u\text{,} \) så \( {f(x) = \textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ganger ut kvadratet:
\[ \begin{aligned} & \left(\textcolor{red}{A}\sin u + \textcolor{blue}{d}\right)^2 \\ &= \textcolor{red}{A}^2\sin^2 u + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin u + \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]Fra \( {x = 0} \) til \( {x = 20} \) går \( u \) fra \( {-\dfrac{\pi}{2}} \) til \( \dfrac{5\pi}{2}\text{.} \) Med \( {\sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2}} \) får vi:
\[ \begin{aligned} \int_0^{20} \sin u\,dx &= \left[-\dfrac{\cos u}{\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 0 \\ \int_0^{20} \sin^2 u\,dx &= \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2u}{4\textcolor{green}{c}}\right]_0^{20} \\ &= 10 \end{aligned} \]Leddene med \( \cos u \) og \( \sin 2u \) er \( 0 \) i begge endene. Det gir oss:
\[ V = \pi\left(10\textcolor{red}{A}^2 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) \]
Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}} \) og \( {V = 1500} \) løser vi for \( \textcolor{blue}{d}\text{:} \)
\[ \begin{aligned} \pi\left(10 + 20\textcolor{blue}{d}^2\right) &= 1500 \\ 10 + 20\textcolor{blue}{d}^2 &= \dfrac{1500}{\pi} \approx 477{,}46 \\ 20\textcolor{blue}{d}^2 &\approx 467{,}46 \\ \textcolor{blue}{d}^2 &\approx 23{,}373 \\ \textcolor{blue}{d} &\approx \textcolor{blue}{4{,}83} \end{aligned} \]Vasen er da \( {2 \cdot (4{,}83 - 1) \approx 7{,}7\,\text{cm}} \) bred på det smaleste og \( {2 \cdot (4{,}83 + 1) \approx 11{,}7\,\text{cm}} \) på det bredeste. Det smaleste er omtrent to tredjedeler av det bredeste, som på bildet.
Kontroll: Med \( {d = 4{,}83} \) blir \( {V = \pi\left(10 + 20 \cdot 4{,}83^2\right)}\text{,} \) som er omtrent \( 1497\,\text{cm}^3 \) eller \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)
4. Tegn grafen
Funksjonen er:
\[ f(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}x \textcolor{darkorange}{- \dfrac{\pi}{2}}\right) + \textcolor{blue}{4{,}83} \]Vi tegner den for \( x \) fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med bunnpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = \dfrac{40}{3} \approx 13{,}3} \) og toppunkter i \( {x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7} \) og \( {x = 20}\text{:} \)
Den stiplede kurven er \( {y = -f(x)}\text{,} \) så vi ser hele vasen liggende. Andre valg er også riktige, for eksempel \( {A = 1{,}5}\text{,} \) som gir \( {d \approx 4{,}77}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Finn middelradien og tegn grafen
Med \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{\dfrac{3\pi}{20}}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{-\dfrac{\pi}{2}}} \) fra formen lar vi CAS regne ut volumet som en funksjon av \( \textcolor{blue}{d} \) og løse \( {V(d) = 1500} \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra:
V(d) := π*Integral((sin(3π/20*x - π/2) + d)^2, x, 0, 20)
Løs(V(d) = 1500, d)
Middelradien er positiv, så \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{4{,}83}}\text{.} \) Så tegner vi funksjonen fra \( 0 \) til \( 20\text{,} \) med speilbildet stiplet:
Skriv inn i GeoGebra:
f(x) = Funksjon(sin(3π/20 x - π/2) + 4.83, 0, 20)
g(x) = -f(x)
Funksjonen gir en vase som er \( 20\,\text{cm} \) høy og rommer omtrent \( 1{,}5\,\text{L}\text{.} \)
Oppgavene i R2 vår 2026
Temaet og poengene i hver oppgave.
Ferdig med settet? Se de andre R2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.