R2 eksamen høsten 2024 – løsningsforslag

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi regner ut integralet med \( x \) som øvre grense, og får en likning med cosinus. Den løser vi med enhetssirkelen.

1. Regn ut integralet For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Vi setter inn grensene \( x \) og \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos\left(\textcolor{blue}{\pi}t + \dfrac{\pi}{4}\right)\right]_0^x \\ &= -\dfrac{1}{\pi}\cos\left(\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{1}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

Integralet er \( 0 \) når de to leddene er like, altså når: \[ \cos\left(\textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} \]

2. Løs likningen To vinkler har samme cosinus når de er like, pluss hele runder \( 2\pi k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= 2k \end{aligned} \]

eller når de er motsatte, pluss hele runder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) får vi \( {x = 2} \) og \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) \( {k = 0} \) gir \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( {x = 4} \) og \( {x = \dfrac{7}{2}}\text{,} \) som alle ligger utenfor \( \langle 0, \pi \rangle\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Et bestemt integral er arealet over \( x \)-aksen minus arealet under. At integralet er \( 0\text{,} \) betyr at de to er like store.

1. Tolk integralet Fra \( 0 \) til \( x \) er \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) \( t \)-aksen like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \) Hvis du er usikker på integralet som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Gi et eksempel La \( {\sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)} \) være farten i m/s til en gjenstand som beveger seg fram og tilbake langs en linje. Integralet av farten er hvor langt gjenstanden har flyttet seg fra start.

At integralet er \( 0 \) for \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{,} \) betyr at gjenstanden er tilbake der den startet etter \( 1{,}5 \) og etter \( 2 \) sekunder.

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Med sumformelen fra b) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]

Bunnen er trekanten \( ABC\text{.} \) Arealet er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

\( A \) er origo, så \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{3, 1, 2}]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [\textcolor{red}{-1, 3, 1}]}\text{.} \) Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} = -5 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1} = -5 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 10 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-5, -5, 10]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \left|[-5, -5, 10]\right| &= \sqrt{25 + 25 + 100} \\ &= \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \end{aligned} \]

Arealet er halvparten av dette: \[ \text{Areal} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \]

\( T \) ligger på \( \ell\text{,} \) så \( {T = (t, t, 4t)}\text{.} \) Vi setter lengden av \( \overrightarrow{CT} \) lik \( \sqrt{17} \) og løser for \( t\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med \( {T = (t, t, 4t)} \) og \( {C(-1, 3, 1)} \) er: \[ \overrightarrow{CT} = [\textcolor{blue}{t + 1},\ \textcolor{red}{t - 3},\ \textcolor{green}{4t - 1}] \]

Lengden er \( \sqrt{17}\text{,} \) så kvadratet av lengden er \( 17\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{t + 1})^2 + (\textcolor{red}{t - 3})^2 + (\textcolor{green}{4t - 1})^2 &= 17 \\ 18t^2 - 12t + 11 &= 17 \\ 3t^2 - 2t - 1 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 3}\text{,} \) \( {b = -2} \) og \( {c = -1}\text{:} \) \[ t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \dfrac{2 \pm 4}{6} \]Det gir \( {t = 1} \) eller \( {t = -\dfrac{1}{3}}\text{.} \)

3. Velg riktig løsning \( T \) er toppen av teltet, så den ligger over \( A\text{,} \) som har \( {z = 0}\text{.} \) \( {t = -\dfrac{1}{3}} \) gir \( {z = -\dfrac{4}{3}}\text{,} \) lavere enn alle hjørnene i bunnen, så \( {t = 1}\text{,} \) og \( {T = (1, 1, 4)}\text{.} \)

Vi tegner en sirkel med sentrum i toppunktet til vinkelen. Vinkelen i radianer er buen vinkelen spenner over, delt på radien. Til omgjøringen bruker vi at en halv runde er \( {180^\circ = \pi} \) radianer.

1. Skriv opp definisjonen Vi tegner en sirkel med radius \( \textcolor{blue}{r} \) og sentrum i toppunktet til vinkelen \( v\text{.} \) Buen mellom vinkelbeina har lengden \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Det absolutte vinkelmålet er: \[ v = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{r}} \]

Vinkelen er altså \( 1 \) radian når buen er like lang som radien. En hel runde har buelengden \( 2\pi\textcolor{blue}{r}\text{,} \) så \( {360^\circ = 2\pi} \) radianer.

2. Gjør om 80 grader \( 180^\circ \) er \( \pi \) radianer, så \( 1^\circ \) er \( \dfrac{\pi}{180} \) radianer: \[ 80^\circ = 80 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{4\pi}{9} \]

Vi bruker at \( {\sin^2 v + \cos^2 v = 1}\text{,} \) og velger fortegnet til \( \cos v \) ut fra hvor vinkelen ligger.

1. Finn cosinus Punktet på enhetssirkelen har koordinatene \( (\textcolor{blue}{\cos v}, \textcolor{red}{\sin v})\text{,} \) og avstanden til origo er \( 1\text{.} \) Pythagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{\sin v = -\dfrac{1}{4}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\cos^2 v} &= 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16} \\ \textcolor{blue}{\cos v} &= \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4} \end{aligned} \]

\( v \) ligger mellom \( \pi \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{,} \) altså i tredje kvadrant. Der er \( x \)-koordinaten negativ, så \( {\textcolor{blue}{\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}}}\text{.} \)

2. Finn tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \begin{aligned} \tan v &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} = \textcolor{red}{\left(-\dfrac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\dfrac{4}{\textcolor{blue}{\sqrt{15}}}\right) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{15}}{15} \end{aligned} \]Delt på en brøk er det samme som ganget med den omvendte brøken, og til slutt ganger vi med \( \sqrt{15} \) over og under brøkstreken.

Vi leser av toppunktene og bunnpunktene på grafen. Av dem finner vi likevektslinja, amplituden og perioden, og til slutt \( \varphi \) slik at cosinus har toppunkt der grafen har det.

1. Les av grafen Grafen har toppunkter med \( {y = 1} \) og bunnpunkter med \( {y = -3}\text{.} \) Likevektslinja \( \textcolor{blue}{d} \) ligger midt mellom, og amplituden \( \textcolor{red}{A} \) er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{1 + (-3)}{2} = \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{1 - (-3)}{2} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn perioden Toppunktene ligger i \( {x = 4} \) og \( {x = 12}\text{,} \) så perioden er \( {p = 8}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \quad \Rightarrow \quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{8} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \]

3. Finn φ \( \cos u \) har toppunkt når \( {u = 0}\text{.} \) Grafen har toppunkt i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \cdot 4 + \varphi &= 0 \\ \varphi &= -\pi \end{aligned} \]

Vi bruker funksjonen fra a), \( {g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) - 1}\text{,} \) som er den samme som \( f\text{.} \)

Vi kaller det som står inni cosinus for \( u\text{,} \) og finner vinklene med cosinus \( \dfrac{1}{2} \) på enhetssirkelen. Til slutt ser vi hva likningen betyr for \( g\text{.} \)

1. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{4}x - \pi}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Cosinus har samme verdi i \( {-\dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

2. Løs for x Vi legger til \( \pi \) og ganger med \( \dfrac{4}{\pi} \) i begge likningene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{16}{3} + 8k \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{8}{3} + 8k \end{aligned} \]

\( {3\pi \approx 9{,}42}\text{.} \) Med \( {k = 0} \) får vi \( {x = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67} \) og \( {x = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33}\text{.} \) \( {k = 1} \) gir \( {\dfrac{8}{3} + 8 \approx 10{,}67}\text{,} \) som er for stort, og negative \( k \) gir negative \( x\text{.} \)

3. Finn løsningene på figuren Setter vi \( {\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g \) fra a), får vi: \[ g(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0 \]Løsningene er altså nullpunktene til \( f\text{,} \) der grafen skjærer \( x \)-aksen, før og etter toppunktet i \( {x = 4}\text{.} \)