Hopp til hovedinnholdet

R2 eksamen høsten 2023

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Prøveeksamen

Ta R2 høst 2023 som prøveeksamen

Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 2 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 3 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave.

Start prøveeksamen

Del 1

Uten hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

Regn ut integralet
∫−11(x3+2x) dx \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx
Hva forteller svaret deg?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

∫−11(x3+2x) dx=0‾‾ \underline{\underline{\int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = 0}}
Arealet mellom grafen og x x -aksen er like stort under aksen, fra −1 {-1} til 0, 0\text{,} som over, fra 0 0 til 1. 1\text{.} Det betyr ikke at arealet er 0. 0\text{.}
Vi finner en antiderivert med potensregelen, og setter inn grensene. Så ser vi på hva integralet betyr for grafen.
1. Finn en antiderivert Regelen for å integrere en potens er: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Ledd for ledd får vi: \[ \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} + x^2\right]_{-1}^{1} \]
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{1^4}{4} + 1^2\right) - \left(\dfrac{(-1)^4}{4} + (-1)^2\right) \\ &= \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) - \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) = 0 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Integralet regner arealet over \( x \)-aksen som positivt og arealet under som negativt. Hvis du er usikker på integral som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon. \( {f(x) = x^3 + 2x} \) er negativ for \( {x < 0} \) og positiv for \( {x > 0}\text{,} \) og \( {f(-x) = -f(x)}\text{,} \) så grafen er symmetrisk om origo. Området under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) er derfor like stort som området over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \)

Oppgave 2

Figuren viser grafene til funksjonene f f og g, g\text{,} der f(x)=cos⁡x {f(x) = \cos x} og g(x)=sin⁡x. {g(x) = \sin x}\text{.}
Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Grafene skjærer hverandre i x=−3π4 {x = -\dfrac{3\pi}{4}} og x=π4, {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} og arealet er ∫−3π/4π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx: {\displaystyle\int_{-3\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx}\text{:}
A=22‾‾ \underline{\underline{A = 2\sqrt{2}}}
Området ligger mellom to skjæringspunkter, med \( f \) over \( g\text{.} \) Vi finner skjæringspunktene, og integrerer \( {f(x) - g(x)} \) mellom dem.
1. Finn skjæringspunktene Grafene skjærer hverandre når \( {\cos x = \sin x}\text{,} \) altså når \( {\tan x = 1}\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]På figuren ligger det ene skjæringspunktet like til høyre for \( y \)-aksen, \( {\textcolor{red}{x = \dfrac{\pi}{4}}}\text{,} \) og det andre en halv runde til venstre, \( {\textcolor{blue}{x = -\dfrac{3\pi}{4}}}\text{.} \)
2. Sett opp integralet Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Den antideriverte til \( \sin x \) er \( {-\cos x}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, og til \( \cos x \) er den \( \sin x\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{-3\pi/4}}^{\textcolor{red}{\pi/4}} (\cos x - \sin x)\,dx \\ &= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{\textcolor{blue}{-3\pi/4}}^{\textcolor{red}{\pi/4}} \end{aligned} \]
3. Sett inn grensene Fra enhetssirkelen er \( {\sin\dfrac{\pi}{4} = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og i \( {-\dfrac{3\pi}{4}} \) er begge \( {-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\quad - \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

Oppgave 3

Oppgave 3a)

En uendelig geometrisk rekke a1+a2+a3+… {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} konvergerer mot 8. 8\text{.}
Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at a1=4. {a_1 = 4}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
k=12, {k = \dfrac{1}{2}}\text{,} så
S4=4+2+1+12=152‾‾ \underline{\underline{S_4 = 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2}}}
Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.
1. Finn kvotienten Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]
2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

I en aritmetisk rekke er a1+a4+a7=114. {a_1 + a_4 + a_7 = 114}\text{.}
Bestem a4. a_4\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
a1+a4+a7=3a4, {a_1 + a_4 + a_7 = 3a_4}\text{,} så
a4=1143=38‾‾ \underline{\underline{a_4 = \dfrac{114}{3} = 38}}
Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)
1. Skriv leddene med a₁ og d Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]
2. Løs for a₄ \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]

Oppgave 4

Et plan α \alpha er gitt ved likningen
x−2y+2z+1=0 x - 2y + 2z + 1 = 0
Vi har gitt punktet A(4,2,2). A(4, 2, 2)\text{.}

Oppgave 4a)

Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom A A som står normalt på planet α. \alpha\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
ℓ: {x=4+ty=2−2tz=2+2t‾‾ \underline{\underline{\ell\text{:} \ \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = 2 + 2t \end{cases}}}
En linje som står normalt på planet, er parallell med normalvektoren til planet. Normalvektoren kan vi lese av likningen.
1. Les av normalvektoren I planlikningen \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b}y + \textcolor{green}{c}z + d = 0} \) er \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}]} \) en normalvektor, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Her er: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{2}] \]
2. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) er: \[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Med \( A(4, 2, 2) \) og \( \vec{n} \) som retningsvektor får vi linja i svaret.

Oppgave 4b)

Bestem avstanden fra A A til α. \alpha\text{.}
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Linja treffer planet for t=−59, {t = -\dfrac{5}{9}}\text{,} og ∣n⃗∣=3, {|\vec{n}| = 3}\text{,} så avstanden er
59⋅3=53‾‾ \underline{\underline{\dfrac{5}{9} \cdot 3 = \dfrac{5}{3}}}
Vi bruker linja \( \ell \) fra a), \( {(4 + t, 2 - 2t, 2 + 2t)}\text{.} \)
Linja står normalt på planet, så avstanden fra \( A \) til planet er avstanden fra \( A \) til punktet der linja treffer planet.
1. Finn hvor linja treffer planet Vi setter koordinatene til linja inn i planlikningen: \[ \begin{aligned} (4 + t) - 2(2 - 2t) & \\ + 2(2 + 2t) + 1 &= 0 \\ 9t + 5 &= 0 \\ t &= -\dfrac{5}{9} \end{aligned} \]
2. Regn ut avstanden Fra \( A \) (der \( {t = 0} \)) til skjæringspunktet går vi \( {\textcolor{red}{t = -\dfrac{5}{9}}} \) ganger normalvektoren. Lengden av \( \vec{n} \) finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3 \]
Avstanden er da: \[ \left|\textcolor{red}{-\dfrac{5}{9}}\right| \cdot 3 = \dfrac{5}{3} \]

Oppgave 5

En elev har skrevet koden nedenfor.

Oppgave 5a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Eleven ønsker å regne ut arealet mellom grafen til f(x)=x2−1 {f(x) = x^2 - 1} og x x -aksen fra −2 {-2} til 2, 2\text{,} tilnærmet med 1000 1000 rektangler:
∫−22∣x2−1∣ dx‾‾ \underline{\underline{\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx}}
Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.
1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)
I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)
2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet. Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Oppgave 5b)

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
∫−22∣x2−1∣ dx=2(23+43)=4‾‾ \underline{\underline{\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx = 2\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}\right) = 4}}
Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a).
\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)
1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]
2. Regn ut de to integralene \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]
Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]
3. Legg sammen \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Oppgave 6

Figuren viser en rett avkortet pyramide med hjørner i punktene O(0,0,0), O(0, 0, 0)\text{,} A(4,0,0), A(4, 0, 0)\text{,} B(4,4,0), B(4, 4, 0)\text{,} C(0,4,0), C(0, 4, 0)\text{,} D(1,1,3), D(1, 1, 3)\text{,} E(3,1,3), E(3, 1, 3)\text{,} F(3,3,3) F(3, 3, 3) og G(1,3,3). G(1, 3, 3)\text{.}
Bruk vektorregning til å bestemme arealet av sideflaten BCGF. BCGF\text{.}
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Trekantene BCG BCG og BGF BGF har arealene 210 2\sqrt{10} og 10, \sqrt{10}\text{,} så
ABCGF=310‾‾ \underline{\underline{A_{BCGF} = 3\sqrt{10}}}
Vi deler sideflaten i to trekanter med diagonalen \( BG\text{.} \) Arealet av en trekant er halve lengden av vektorproduktet av to av sidene.
1. Sett opp vektorene Fra \( B(4, 4, 0) \) til de tre andre hjørnene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{blue}{[-4, 0, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BG}} &= \textcolor{red}{[-3, -1, 3]} \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{BF}} &= \textcolor{green}{[-1, -1, 3]} \end{aligned} \]
2. Regn ut vektorproduktene Arealet av en trekant utspent av \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er: \[ A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.
Koordinatene til \( \vec{u} \times \vec{v} \) er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad u_2v_3 - u_3v_2 \\ y&\text{:} \quad u_3v_1 - u_1v_3 \\ z&\text{:} \quad u_1v_2 - u_2v_1 \end{aligned} \]
For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BG}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 0 \cdot 3 - 0 \cdot (-1) = 0 \\ y&\text{:} \quad 0 \cdot (-3) - (-4) \cdot 3 = 12 \\ z&\text{:} \quad (-4)(-1) - 0 \cdot (-3) = 4 \end{aligned} \]
Og for \( \textcolor{red}{\overrightarrow{BG}} \times \textcolor{green}{\overrightarrow{BF}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad (-1) \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 0 \\ y&\text{:} \quad 3 \cdot (-1) - (-3) \cdot 3 = 6 \\ z&\text{:} \quad (-3)(-1) - (-1)(-1) = 2 \end{aligned} \]
Så \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BG}} = [0, 12, 4]} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{BG}} \times \textcolor{green}{\overrightarrow{BF}} = [0, 6, 2]}\text{.} \)
Lengdene er \( {\sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}} \) og \( {\sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}}\text{.} \)
3. Legg sammen trekantene \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{10} + \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \\ &= 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10} \end{aligned} \]

Del 2

Med hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.
Tidevann er de periodiske endringene i havnivået som oppstår som et resultat av gravitasjonskreftene som månen og solen virker på jorden med.
Antall timeretter midnattVannstand(cm)199,63119594,3760,5953,41176,01396,7151151799,91968,1 \begin{array}{r|r} \text{Antall timer} \atop \text{etter midnatt} & \text{Vannstand} \\ & \text{(cm)} \\ \hline 1 & 99{,}6 \\ 3 & 119 \\ 5 & 94{,}3 \\ 7 & 60{,}5 \\ 9 & 53{,}4 \\ 11 & 76{,}0 \\ 13 & 96{,}7 \\ 15 & 115 \\ 17 & 99{,}9 \\ 19 & 68{,}1 \end{array}
En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 90 cm.

Oppgave 1a)

Lag en modell f f som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med x x timer etter midnatt 24. april:
f(x)≈ 31,04sin⁡(0,5144x+0,1898)+83,59‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} f(x) \approx\ &31{,}04\sin(0{,}5144x \\ &+ 0{,}1898) + 83{,}59 \end{aligned}}}
Vannstanden går opp og ned med en fast periode, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med en gitt sinusmodell, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver timene i kolonne A og vannstanden i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a}\text{,} \) \( \textcolor{green}{b}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{c} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ f(x) = \textcolor{red}{a} \sin(\textcolor{green}{b}x + \textcolor{darkorange}{c}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) = RegSin(l1)
3. Vurder modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}04}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}5144}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{c} \approx \textcolor{darkorange}{0{,}1898}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{83{,}59}}\text{.} \)
Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{b}} \approx 12{,}2} \) timer, omtrent som tidevannet, som har to flo og to fjære i døgnet. Grafen går nær alle punktene. Den aktuelle perioden er 25. april, altså \( {24 \le x \le 48}\text{,} \) der \( x \) er timer etter midnatt 24. april.

Oppgave 1b)

Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Vannstanden øker raskest den 25. april omtrent
kl. 00:04 og kl. 12:17‾‾ \underline{\underline{\text{kl. 00:04 og kl. 12:17}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]
Vannstanden øker raskest der den deriverte \( f'(x) \) er størst. Den 25. april er \( {24 \le x \le 48}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04} \cdot \textcolor{green}{0{,}5144} \\ &\cdot \cos(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \end{aligned} \]
2. Finn når cosinus er 1 \( f'(x) \) er størst når cosinus er \( 1\text{,} \) altså når vinkelen er \( 2\pi k\text{:} \) \[ x = \dfrac{2\pi k - \textcolor{darkorange}{0{,}1898}}{\textcolor{green}{0{,}5144}} \]
\( {k = 2} \) og \( {k = 3} \) gir \( x \) mellom \( 24 \) og \( 48\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 2&\text{:} \quad x \approx 24{,}06 \\ k = 3&\text{:} \quad x \approx 36{,}27 \end{aligned} \]
3. Gjør om til klokkeslett \( {x = 24{,}06} \) er \( {0{,}06 \cdot 60 \approx 4} \) minutter over midnatt 25. april, og \( {x \approx 36{,}27} \) er omtrent kl. 12:16. Med alle desimalene i modellen blir det kl. 12:17, så forskjellen er bare avrunding. Da stiger vannet med \( {31{,}04 \cdot 0{,}5144 \approx 16} \) cm per time.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs f''(x) = 0 i CAS Der \( f' \) er størst, er \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi henter modellen inn i CAS og løser med NLøs og startverdier i begynnelsen og midt på dagen:
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := RegSin(l1) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 24) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 36)
Grafen i a) stiger ved begge, så det er der vannstanden øker raskest: kl. 00:04 og kl. 12:17.
Det vil ta 2 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Oppgave 1c)

Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Vannstanden synker under 90 90 cm ved x≈41,98, {x \approx 41{,}98}\text{,} så de må starte senest omtrent
kl. 15:58 den 25. april‾‾ \underline{\underline{\text{kl. 15:58 den 25. april}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]
Vannstanden må være over \( 90 \) cm i hele de \( 2 \) timene. Vi finner det siste tidspunktet den 25. april der vannstanden synker under \( 90 \) cm, og trekker fra \( 2 \) timer.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene \( {f(x) = 90} \) gir: \[ \sin(\textcolor{blue}{u}) = \dfrac{90 - 83{,}59}{31{,}04} \approx 0{,}2065 \]der \( {\textcolor{blue}{u = 0{,}5144x + 0{,}1898}}\text{.} \)
2. Når vannet synker under 90 cm Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}2065) \approx 0{,}208}\text{.} \) Vannet synker forbi \( 90 \) cm der sinus synker, i den andre vinkelen \( {\pi - 0{,}208}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den 25. april går \( \textcolor{blue}{u} \) fra \( {0{,}5144 \cdot 24 + 0{,}1898 \approx 12{,}5} \) til \( {0{,}5144 \cdot 48 + 0{,}1898 \approx 24{,}9}\text{,} \) så den siste vinkelen er tre hele runder senere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \pi - 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 21{,}783 \\ x &= \dfrac{21{,}783 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 41{,}98 \end{aligned} \]
3. Trekk fra 2 timer Vannet stiger forbi \( 90 \) cm i den første vinkelen, \( {\textcolor{blue}{u} = 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 19{,}058}\text{,} \) altså ved \( {x = \dfrac{19{,}058 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 36{,}7}\text{.} \) Vannstanden er over \( 90 \) cm fra \( {x \approx 36{,}7} \) til \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) mer enn \( 2 \) timer. De må altså starte senest ved \( {x = 41{,}98 - 2 = 39{,}98}\text{,} \) som er \( 15 \) timer og \( {0{,}98 \cdot 60 \approx 58{,}8} \) minutter etter midnatt 25. april. Det er det seneste de kan starte, så vi runder ned til kl. 15:58.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs f(x) = 90 i CAS Vi bruker modellen fra b) i CAS, og løser \( {f(x) = 90} \) med en startverdi sent på ettermiddagen:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(f(x) = 90, x = 42) ≈ 41.9807 - 2
Vannstanden synker under \( 90 \) cm ved \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) så de må starte senest ved \( {x \approx 39{,}98}\text{,} \) like før kl. 15:59. Vi runder ned til kl. 15:58.

Oppgave 2

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La Pn P_n være antall kuler i figur n. n\text{.}
De fem første figurtallene er 1, 1\text{,} 6, 6\text{,} 16, 16\text{,} 31 31 og 51. 51\text{.}

Oppgave 2a)

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom Pn P_n og Pn−1. {P_{n-1}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
P1=1,Pn=Pn−1+5(n−1)‾‾ \underline{\underline{P_1 = 1\text{,} \quad P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}}
Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.
Metode: For hånd
1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]
2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter med \( n \) kuler gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det blir \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Lag et program som regner ut P100 P_{100} ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \)
Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)
2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

Oppgave 2c)

Bestem en eksplisitt formel for Pn, P_n\text{,} og vis at formelen stemmer ved å gjennomføre et induksjonsbevis.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Pn=5n2−5n+22‾‾ \underline{\underline{P_n = \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2}}}
Formelen stemmer for n=1, {n = 1}\text{,} og hvis den stemmer for n=k, {n = k}\text{,} gir Pk+1=Pk+5k {P_{k+1} = P_k + 5k} det samme som formelen for n=k+1, {n = k + 1}\text{,} nemlig 5k2+5k+22. {\dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2}}\text{.} Ved induksjon gjelder den for alle n. n\text{.}
Vi bruker \( {P_1 = 1} \) og \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)} \) fra a).
\( P_n \) er \( 1 \) pluss \( 5 \) ganger summen \( {1 + 2 + \dots + (n - 1)}\text{.} \) Den summen har en kjent formel. Så viser vi formelen med induksjon.
Metode: For hånd
1. Finn formelen Vi legger sammen alle differansene fra a): \[ \begin{aligned} P_n &= 1 + 5\left(1 + 2 + \dots + (n - 1)\right) \\ &= 1 + 5 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} \\ &= \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2} \end{aligned} \]der vi brukte at \( {1 + 2 + \dots + m} \) er \( {\dfrac{m(m + 1)}{2}}\text{,} \) som i videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
2. Sjekk for n = 1 Formelen gir \( {P_1 = \dfrac{5 - 5 + 2}{2} = 1}\text{,} \) som stemmer.
3. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{P_k = \dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} \]Vi skal vise at da er: \[ P_{k+1} = \dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \]
4. Vis steget til k + 1 Den rekursive sammenhengen med \( {n = k + 1} \) gir \( {P_{k+1} = \textcolor{blue}{P_k} + \textcolor{red}{5k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P_{k+1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} + \textcolor{red}{\dfrac{10k}{2}} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]
Formelen med \( {n = k + 1} \) gir det samme: \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 10k + 5 - 5k - 5 + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)

Oppgave 3

En tønne er 75 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 45 cm. Den største diameteren er 52 52 cm.
Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.
Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Med siden r(x)=−145625x2+26 {r(x) = -\dfrac{14}{5625}x^2 + 26} dreid om x x -aksen fra −37,5 {-37{,}5} til 37,5 37{,}5 er
V≈145 562 cm3≈146 liter‾‾ \underline{\underline{V \approx 145\,562\,\text{cm}^3 \approx 146 \text{ liter}}}
Vi legger tønna ned langs \( x \)-aksen med midten i \( {x = 0}\text{.} \) Da er siden grafen til en parabel \( r(x)\text{,} \) og tønna er omdreiningslegemet vi får når grafen dreies om \( x \)-aksen.
Metode: Med kalkulator
1. Finn parabelen Radien er halve diameteren: \( 26 \) cm på midten og \( 22{,}5 \) cm i endene, \( 37{,}5 \) cm fra midten. Parabelen har toppunkt i \( (0, 26)\text{,} \) så: \[ r(x) = \textcolor{red}{a}x^2 + 26 \]
Med \( {r(37{,}5) = 22{,}5} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} \cdot 37{,}5^2 + 26 &= 22{,}5 \\ \textcolor{red}{a} &= -\dfrac{3{,}5}{1406{,}25} \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{14}{5625}} \end{aligned} \]
2. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er \( \pi \) ganger integralet av radien i andre, her fra den ene enden til den andre: \[ V = \pi \int_{-37{,}5}^{37{,}5} r(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi kvadrerer \( {r(x) = 26 + \textcolor{red}{a}x^2}\text{:} \) \[ r(x)^2 = 676 + 52\textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{red}{a}^2x^4 \]
3. Integrer Tønna er symmetrisk om midten, så vi integrerer fra \( 0 \) til \( 37{,}5 \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ V = 2\pi\left[676x + \dfrac{52\textcolor{red}{a}}{3}x^3 + \dfrac{\textcolor{red}{a}^2}{5}x^5\right]_0^{37{,}5} \]
Ledd for ledd med \( {x = 37{,}5} \) og \( {\textcolor{red}{a} = -\dfrac{14}{5625}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 676 \cdot 37{,}5 &= 25\,350 \\ \dfrac{52\textcolor{red}{a}}{3} \cdot 37{,}5^3 &= -2275 \\ \dfrac{\textcolor{red}{a}^2}{5} \cdot 37{,}5^5 &= 91{,}875 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V &= 2\pi(25\,350 - 2275 + 91{,}875) \\ &\approx 145\,562\,\text{cm}^3 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 146 \) liter.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut volumet i CAS Vi finner \( a \) med Løs, og regner ut integralet:
Skriv inn i GeoGebra: r(x) := a*x^2 + 26 Løs(r(37.5) = 22.5, a) r(x) := -14/5625 x^2 + 26 ≈ π*Integral(r(x)^2, -37.5, 37.5)
Rad 4 gir \( {V \approx 145\,562\,\text{cm}^3}\text{,} \) det samme som med kalkulatoren.

Oppgave 4

I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning M M kan beskrives med funksjonen
M(t)=A⋅sin⁡(ct+k)+d M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d
der t t er antall timer etter midnatt.
Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er 31,2 μg/m3, 31{,}2\,\mu\text{g/m}^3\text{,} og den minste mengden er 18,2 μg/m3. 18{,}2\,\mu\text{g/m}^3\text{.}

Oppgave 4a)

Bestem A, A\text{,} c c og d. d\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
A=6,5,d=24,7‾‾ \underline{\underline{A = 6{,}5\text{,} \quad d = 24{,}7}}
c=π12≈0,262‾‾ \underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12} \approx 0{,}262}}
Likevektslinja ligger midt mellom den største og den minste verdien, og amplituden er avstanden derfra til toppen. Perioden er ett døgn.
Metode: For hånd
1. Finn d og A \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{31{,}2 + 18{,}2}{2} = \textcolor{blue}{24{,}7} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{31{,}2 - 18{,}2}{2} = \textcolor{red}{6{,}5} \end{aligned} \]
2. Finn c Forurensningen varierer hvert døgn, så perioden er \( 24 \) timer. Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = 24 \quad\Rightarrow\quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{12}} \]
Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning 27 μg/m3. 27\,\mu\text{g/m}^3\text{.} Den første gangen er klokken 13:00.

Oppgave 4b)

Når er det andre tidspunktet?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
De to tidspunktene ligger 9,24 9{,}24 timer fra hverandre, så det andre tidspunktet er omtrent
kl. 22:14‾‾ \underline{\underline{\text{kl. 22:14}}}
Vi bruker \( {\textcolor{red}{A = 6{,}5}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c = \dfrac{\pi}{12}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d = 24{,}7}} \) fra a).
De to tidspunktene ligger like langt fra toppen av grafen, ett på vei opp og ett på vei ned. Vi finner tiden mellom dem fra de to vinklene der sinus har samme verdi.
Metode: Med kalkulator
1. Få sinus alene \( {M(t) = 27} \) gir: \[ \sin(\textcolor{darkorange}{u}) = \dfrac{27 - \textcolor{blue}{24{,}7}}{\textcolor{red}{6{,}5}} \approx 0{,}3538 \]der \( {\textcolor{darkorange}{u = ct + k}}\text{.} \)
2. Finn de to vinklene Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}3538) \approx 0{,}3617}\text{,} \) og sinus har samme verdi i \( {\pi - 0{,}3617 \approx 2{,}7799}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
Kl. 13:00 er første gang i døgnet. Hadde forurensningen vært på vei ned da, ville den vært \( 27 \) også tidligere samme dag, på vei opp. Kl. 13:00 hører altså til den første vinkelen, \( 0{,}3617\text{.} \)
3. Finn tiden mellom Vinkelen øker med \( {\textcolor{green}{c} = \dfrac{\pi}{12}} \) per time: \[ \begin{aligned} \Delta t &= \dfrac{2{,}7799 - 0{,}3617}{\textcolor{green}{\pi/12}} \\ &\approx 9{,}24 \text{ timer} \end{aligned} \]Det er \( 9 \) timer og \( {0{,}24 \cdot 60 \approx 14} \) minutter etter kl. 13:00, altså kl. 22:14.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn k og løs i CAS Vi finner \( k \) slik at \( {M(13) = 27} \) med NLøs, og løser så \( {M(t) = 27} \) med en startverdi om kvelden:
Skriv inn i GeoGebra: M(t) := 6.5 sin(π/12 t + k) + 24.7 NLøs(M(13) = 27, k = -3) M(t) := 6.5 sin(π/12 t - 3.0417) + 24.7 NLøs(M(t) = 27, t = 22)
Med \( {k \approx -3{,}0417} \) har grafen topp ved \( {t \approx 17{,}6}\text{,} \) så den stiger kl. 13:00. Rad 4 gir \( {t \approx 22{,}24}\text{,} \) kl. 22:14.

Oppgave 5

En kurve C C er grafen til vektorfunksjonen r⃗1 \vec{r}_1 gitt ved
r⃗1(t)=[sin⁡t,t,cos⁡t],0<t<2π \vec{r}_1(t) = [\sin t, t, \cos t]\text{,} \quad 0 < t < 2\pi

Oppgave 5a)

Bestem koordinatene til eventuelle punkter på C C der tangenten er parallell med xy xy -planet.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
(0,π,−1)‾‾ \underline{\underline{(0, \pi, -1)}}
Tangenten har retningen til \( \vec{r}_1\,'(t)\text{.} \) Den er parallell med \( xy \)-planet når \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}_1\,'(t) \) er \( 0\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen: \[ \vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, \textcolor{red}{-\sin t}] \]
2. Sett z-koordinaten lik 0 \[ \textcolor{red}{-\sin t} = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \pi \]siden \( {0 < t < 2\pi}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}_1(\pi) = [\sin \pi, \pi, \cos \pi] = [0, \pi, -1] \]

Oppgave 5b)

Vis at r⃗1 ′(t)⊥r⃗1 ′′(t) \vec{r}_1\,'(t) \perp \vec{r}_1\,''(t) for alle t. t\text{.}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Skalarproduktet er −cos⁡tsin⁡t+sin⁡tcos⁡t, {-\cos t \sin t + \sin t \cos t}\text{,} som er
r⃗1 ′(t)⋅r⃗1 ′′(t)=0‾‾ \underline{\underline{\vec{r}_1\,'(t) \cdot \vec{r}_1\,''(t) = 0}}
så r⃗1 ′(t)⊥r⃗1 ′′(t) \vec{r}_1\,'(t) \perp \vec{r}_1\,''(t) for alle t. t\text{.}
To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Deriver to ganger \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'(t)} &= \textcolor{blue}{[\cos t, 1, -\sin t]} \\ \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''(t)} &= \textcolor{red}{[-\sin t, 0, -\cos t]} \end{aligned} \]
2. Regn ut skalarproduktet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'} \cdot \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''} &= -\cos t \sin t + 0 \\ &\quad + \sin t \cos t \\ &= 0 \end{aligned} \]Det gjelder for alle \( t\text{.} \)
Definisjon: La r⃗ \vec{r} være posisjonsvektoren til en romkurve, der r⃗ ′(t) \vec{r}\,'(t) og r⃗ ′′(t) \vec{r}\,''(t) ikke er parallelle for noen verdier av t. t\text{.} Da kan vi til hvert punkt på kurven lage et plan som tangerer kurven i punktet, og som inneholder r⃗ ′(t) \vec{r}\,'(t) og r⃗ ′′(t). \vec{r}\,''(t)\text{.} Dette planet kaller vi for kurvens *smygplan* i punktet.

Oppgave 5c)

Vis at vinkelen mellom smygplanet og y y -aksen alltid er den samme for kurven C. C\text{.} Bestem denne vinkelen.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Normalvektoren n⃗=[−cos⁡t,1,sin⁡t] {\vec{n} = [-\cos t, 1, \sin t]} har lengde 2 \sqrt{2} og y y -koordinat 1 1 for alle t, t\text{,} så vinkelen er alltid den samme:
90∘−45∘=45∘‾‾ \underline{\underline{90^\circ - 45^\circ = 45^\circ}}
Vi bruker \( {\vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, -\sin t]} \) og \( {\vec{r}_1\,''(t) = [-\sin t, 0, -\cos t]} \) fra b).
Smygplanet inneholder \( \vec{r}_1\,' \) og \( \vec{r}_1\,''\text{,} \) så vektorproduktet av dem er en normalvektor. Vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( 90^\circ \) minus vinkelen mellom normalvektoren og \( y \)-aksen.
Metode: For hånd
1. Finn en normalvektor Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. Koordinat for koordinat er \( {\vec{n} = \vec{r}_1\,' \times \vec{r}_1\,''}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -\cos t - (-\sin t) \cdot 0 = -\cos t \\ y&\text{:} \quad \sin^2 t + \cos^2 t = \textcolor{red}{1} \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]Så \( {\vec{n} = [-\cos t, \textcolor{red}{1}, \sin t]}\text{.} \)Lengden er: \[ |\vec{n}| = \sqrt{\cos^2 t + 1 + \sin^2 t} = \sqrt{2} \]
2. Finn vinkelen med y-aksen \( y \)-aksen har retningsvektor \( [0, 1, 0]\text{.} \) Vinkelen \( v \) mellom \( \vec{n} \) og \( y \)-aksen er gitt ved: \[ \cos v = \dfrac{|\vec{n} \cdot [0, 1, 0]|}{|\vec{n}| \cdot 1} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\sqrt{2}} \]Altså er \( {v = 45^\circ}\text{,} \) uansett \( t\text{.} \)
3. Vinkelen med planet Normalvektoren står vinkelrett på planet, så vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( {90^\circ - 45^\circ = 45^\circ}\text{.} \) Den er den samme for alle \( t\text{.} \)
En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen r⃗2 \vec{r}_2 gitt ved
r⃗2(t)=[sin⁡t,t,2sin⁡t+1] \vec{r}_2(t) = [\sin t, t, 2\sin t + 1]

Oppgave 5d)

Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av t. t\text{.} Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.
Vis løsning på oppgave 5d
Svar
For alle t t med sin⁡t≠0 \sin t \ne 0 er smygplanet
z=2x+1‾‾ \underline{\underline{z = 2x + 1}}
Kurven ligger i dette planet, siden z=2sin⁡t+1=2x+1, {z = 2\sin t + 1 = 2x + 1}\text{,} så den er en plan kurve, og smygplanet er planet den ligger i.
Vi finner en normalvektor som i c), og ser hva som skjer med smygplanet når \( t \) endrer seg.
Metode: For hånd
1. Finn en normalvektor \[ \begin{aligned} \vec{r}_2\,'(t) &= [\cos t, 1, 2\cos t] \\ \vec{r}_2\,''(t) &= [-\sin t, 0, -2\sin t] \end{aligned} \]
Vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -2\sin t - 2\cos t \cdot 0 = -2\sin t \\ y&\text{:} \quad -2\cos t\sin t + 2\cos t\sin t = 0 \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]
Så \( {\vec{r}_2\,' \times \vec{r}_2\,'' = \sin t \cdot \textcolor{red}{[-2, 0, 1]}}\text{.} \)Når \( \sin t \ne 0\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{[-2, 0, 1]}} \) en normalvektor, for alle \( t\text{.} \)
2. Finn likningen for smygplanet Planet går gjennom punktet \( {(\sin t, t, 2\sin t + 1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2(x - \sin t) & \\ + (z - 2\sin t - 1) &= 0 \\ z &= 2x + 1 \end{aligned} \]Leddene med \( t \) forsvinner, så det er det samme planet for alle \( t\text{.} \) For eksempel gir \( {t = \dfrac{\pi}{2}} \) punktet \( (1, \dfrac{\pi}{2}, 3)\text{,} \) og \( {3 = 2 \cdot 1 + 1}\text{.} \)
3. Tolk det Kurven har \( {x = \sin t} \) og \( {z = 2\sin t + 1 = 2x + 1}\text{,} \) så hele kurven ligger i planet \( {z = 2x + 1}\text{.} \) Den er en plan kurve, og da er smygplanet det planet kurven ligger i. Når \( {\sin t = 0}\text{,} \) er \( {\vec{r}_2\,''(t) = \vec{0}}\text{,} \) og definisjonen gir ikke noe plan der.

Oppgavene i R2 høst 2023

Temaet og poengene i hver oppgave.

Oppgavene i R2 høst 2023, med del, tema og poeng
OppgaveTemaPoeng
Del 1
Del 1, Oppgave 1areal under graf, integrasjon–
Del 1, Oppgave 2areal under graf, integrasjon, trigonometriske funksjoner–
Del 1, Oppgave 3aritmetiske rekker, geometriske rekker, rekker–
Del 1, Oppgave 4parameterframstilling, plan, vektorer–
Del 1, Oppgave 5areal under graf, integrasjon, programmering–
Del 1, Oppgave 6vektorer, vektorprodukt–
Del 2
Del 2, Oppgave 1derivasjon, modellering, regresjon, trigonometriske funksjoner–
Del 2, Oppgave 2induksjon, programmering, tallfølger–
Del 2, Oppgave 3integrasjon, omdreiningslegeme, volum–
Del 2, Oppgave 4modellering, trigonometriske funksjoner, trigonometriske likninger–
Del 2, Oppgave 5derivasjon, parameterframstilling, plan, vektorer, vektorprodukt–

Ferdig med settet? Se de andre R2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.