R2 eksamen høsten 2025 – løsningsforslag

Et integral regner arealet under \( x \)-aksen som negativt. Vi ser derfor på figuren hvor grafen ligger over og under \( x \)-aksen.

1. Se hvor grafen ligger Fra figuren ser vi at grafen ligger over \( x \)-aksen fra \( {x = -2} \) til \( {x = 0}\text{,} \) og under \( x \)-aksen fra \( {x = 0} \) til \( {x = 1}\text{.} \) Vi kaller arealet over \( x \)-aksen \( \textcolor{blue}{A_1} \) og arealet under \( \textcolor{red}{A_2}\text{.} \)

Der grafen ligger over \( x \)-aksen, er integralet lik arealet, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Der den ligger under, er integralet negativt, så arealet er minus integralet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A_1} &= \int_{-2}^0 f(x)\,dx \\ \textcolor{red}{A_2} &= -\int_0^1 f(x)\,dx \end{aligned} \]

2. Sett sammen arealet Arealet av det markerte området er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{A_1} + \textcolor{red}{A_2} \\ &= \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \end{aligned} \]Det er uttrykk 4.

Uttrykk 1 og 3 er like, og trekker arealet under \( x \)-aksen fra i stedet for å legge det til. Uttrykk 2 blir \( {\int_{-2}^{0} f(x)\,dx}\text{,} \) bare den delen som ligger over.

Vi bruker uttrykket for arealet fra a).

Vi finner en antiderivert til \( f \) og regner ut de to integralene i uttrykket fra a) hver for seg.

1. Finn en antiderivert Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen for integraler: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( \textcolor{green}{n} \) lik \( 3\text{,} \) \( 2 \) og \( 1 \) i de tre leddene. Det gir oss: \[ F(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 \]

2. Regn ut de to integralene I a) fant vi at arealet er: \[ A = \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} - \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} \]

Vi setter inn grensene. Her er \( {F(0) = 0}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} F(-2) &= 4 - \dfrac{8}{3} - 4 = -\dfrac{8}{3} \\ F(1) &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_{-2}^{0} f(x)\,dx} &= F(0) - F(-2) = \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_{0}^{1} f(x)\,dx} &= F(1) - F(0) = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen arealet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{5}{12}}\right) \\ &= \dfrac{32}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{37}{12} \end{aligned} \]

Vi bruker de to integralene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Integralet er null når arealet over \( x \)-aksen er like stort som arealet under. Vi ser på figuren hvor det kan skje.

1. Forklar hvorfor det finnes to løsninger Vi deler integralet i to ved \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_a^1 f(x)\,dx &= \int_a^0 f(x)\,dx \\ &\quad + \textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx} \end{aligned} \]I b) fant vi at \( {\textcolor{red}{\int_0^1 f(x)\,dx = -\dfrac{5}{12}}}\text{,} \) så integralet er null når \( {\int_a^0 f(x)\,dx = \dfrac{5}{12}}\text{.} \)

Når \( a \) går fra \( 0 \) mot \( {-2}\text{,} \) ligger grafen over \( x \)-aksen, så \( \int_a^0 f(x)\,dx \) vokser fra \( 0 \) til \( \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}}\text{,} \) som vi fant i b). Den passerer \( \dfrac{5}{12} \) én gang, ved \( {a \approx -0{,}6}\text{,} \) som Kristian fant.

Til venstre for \( {x = -2} \) ligger grafen under \( x \)-aksen og går stadig lenger ned, så arealet mellom grafen og \( x \)-aksen fra \( a \) til \( {-2} \) blir så stort vi vil når \( a \) går mot venstre. Integralet blir da mindre igjen, og det er \( \dfrac{5}{12} \) igjen når dette arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{8}{3}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{4} \]Da er integralet null en gang til, så Unni har rett.

2. Anslå den andre løsningen Fra figuren er grafen omtrent \( {-4{,}4} \) ved \( {x = -2{,}5}\text{,} \) og omtrent \( {-7} \) ved \( {x = -2{,}7}\text{.} \) Vi regner området mellom grafen og \( x \)-aksen som en trekant fra \( a \) til \( {-2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} a = -2{,}5\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}4 = 1{,}1 \\ a = -2{,}7\text{:} \quad & \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}7 \cdot 7 = 2{,}45 \end{aligned} \]Grafen bøyer seg inn mot \( x \)-aksen, så det virkelige arealet er litt mindre enn trekanten. Trekanten ved \( {a = -2{,}7} \) er litt større enn \( {\dfrac{9}{4} = 2{,}25}\text{,} \) så arealet blir \( \dfrac{9}{4} \) nær \( {a = -2{,}7}\text{.} \)

Vi ser at likningen har både \( \sin x \) og \( \cos x\text{.} \) Vi deler derfor på \( \cos x \) og får en likning med \( \tan x\text{.} \)

1. Gjør om til en tangenslikning Vi flytter \( \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \) over og deler på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\sin x} &= \sqrt{3}\,\textcolor{red}{\cos x} \\ \dfrac{\textcolor{blue}{\sin x}}{\textcolor{red}{\cos x}} &= \sqrt{3} \\ \tan x &= \sqrt{3} \end{aligned} \]Vi kan dele på \( \textcolor{red}{\cos x}\text{,} \) fordi \( {\cos x = 0} \) gir \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da er venstresiden i likningen ikke \( 0\text{.} \)

2. Finn løsningene Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}}\text{.} \) Tangens har periode \( \pi\text{,} \) så: \[ x = \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \textcolor{green}{\pi} \]der \( n \) er et helt tall. Hvis du er usikker på perioden, kan du se videoen Oppgave 1B - Løs likningen.

I \( [0, 2\pi\rangle \) gir \( {n = 0} \) og \( {n = 1} \) løsningene: \[ x = \dfrac{\pi}{3} \qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \textcolor{green}{\pi} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Et produkt er null når en av faktorene er null. Vi løser \( {\sin x = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og ser hvor mange nye løsninger \( {\sin x = a} \) gir for ulike \( a\text{.} \)

1. Sett den første faktoren lik null Produktet er null når \( {\textcolor{blue}{\sin x = \dfrac{1}{2}}} \) eller \( {\textcolor{red}{\sin x = a}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026.

Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6}}\text{,} \) så den første faktoren gir alltid de to løsningene: \[ \textcolor{blue}{x = \dfrac{\pi}{6}} \qquad \textcolor{blue}{x = \dfrac{5\pi}{6}} \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

2. Tell løsningene av den andre faktoren Antallet løsninger av \( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) i \( [0, 2\pi\rangle \) er: \[ \begin{aligned} |a| > 1&\text{:} \quad 0 \\ a = \pm 1&\text{:} \quad 1 \\ -1 < a < 1&\text{:} \quad 2 \end{aligned} \]

\( {\textcolor{red}{\sin x = a}} \) har ingen løsninger når \( {a > 1} \) eller \( {a < -1}\text{,} \) fordi sinus alltid ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) For \( {a = \dfrac{1}{2}} \) gir den de samme to løsningene som den første faktoren. Da har likningen to løsninger.

For \( {a = 1} \) og \( {a = -1} \) har den én løsning hver, \( {x = \dfrac{\pi}{2}} \) og \( {x = \dfrac{3\pi}{2}}\text{,} \) fordi det er bare ett punkt på enhetssirkelen med \( {y = 1}\text{,} \) og ett med \( {y = -1}\text{.} \) Da har likningen tre løsninger.

For \( {-1 < a < 1} \) med \( {a \neq \dfrac{1}{2}} \) gir den to nye løsninger, fordi linja \( {y = a} \) skjærer enhetssirkelen i to punkter. For \( {a = 0} \) er de \( {x = 0} \) og \( {x = \pi}\text{,} \) siden \( 2\pi \) ikke er med. Da har likningen fire løsninger.

Vi ser at rekken øker med \( 3 \) for hvert ledd. Vi finner derfor antall ledd med formelen for det \( n \)-te leddet, og bruker summeformelen for aritmetiske rekker.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) og det siste leddet er \( 69\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{3} &= 69 \\ (n - 1) \cdot 3 &= 72 \\ n &= 25 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = n \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{a_1} + a_n}{2} \]Hvis du er usikker på summeformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 25}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{-3}} \) og \( {a_{25} = 69}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_{25} &= 25 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{-3} + 69}{2} \\ &= 25 \cdot 33 = 825 \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten for \( x\text{.} \)

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med det samme tallet, så kvotienten er: \[ \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} \]

2. Løs ulikheten En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2} - x} &< 1 \\ -\dfrac{3}{2} < -x &< \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2} < x &< \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Vi trakk fra \( \dfrac{1}{2} \) og ganget med \( {-1}\text{.} \) Da snur ulikhetstegnene.

Etter det første fallet går ballen like langt opp som ned hver gang. Høydene den spretter, er en uendelig geometrisk rekke med \( {k = 0{,}75}\text{.} \)

1. Sett opp strekningene Ballen faller først \( 2\,\text{m}\text{.} \) Så spretter den \( {2 \cdot 0{,}75 = 1{,}5\,\text{m}} \) opp og faller like langt ned, så \( {1{,}5 \cdot 0{,}75\,\text{m}} \) opp og ned, og så videre: \[ \begin{aligned} s = 2 + 2 \cdot (&\textcolor{blue}{1{,}5} + 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \\ &+ 1{,}5 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^2 + \dots) \end{aligned} \]

2. Summer rekken Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {-1 < k < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på summen av en uendelig geometrisk rekke, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}5}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s &= 2 + 2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}5}}{1 - \textcolor{red}{0{,}75}} \\ &= 2 + 2 \cdot 6 = 14 \end{aligned} \]

Vi fullfører kvadratene for \( x \) og \( z\text{,} \) slik at likningen får formen til likningen for en kuleflate.

1. Fullfør kvadratene En kuleflate med sentrum \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) og radius \( r \) har likningen: \[ \begin{aligned} (x - \textcolor{blue}{x_0})^2 &+ (y - \textcolor{red}{y_0})^2 \\ &+ (z - \textcolor{green}{z_0})^2 = r^2 \end{aligned} \]

Vi bruker kvadratsetningene baklengs og trekker fra det som blir til overs, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?: \[ \begin{aligned} x^2 - 4x &= (x - 2)^2 - 4 \\ z^2 + 2z &= (z + 1)^2 - 1 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i likningen og legger \( 4 \) og \( 1 \) til på begge sider, får vi: \[ (x - \textcolor{blue}{2})^2 + y^2 + (z + \textcolor{green}{1})^2 = 9 \]

2. Les av sentrum og radius Vi skriver \( {y^2 = (y - \textcolor{red}{0})^2} \) og \( {z + \textcolor{green}{1} = z - (\textcolor{green}{-1})}\text{.} \) Sammenligner vi med likningen for en kuleflate, er \( {\textcolor{blue}{x_0} = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{y_0} = \textcolor{red}{0}} \) og \( {\textcolor{green}{z_0} = \textcolor{green}{-1}}\text{,} \) og \( {r^2 = 9}\text{,} \) så \( {r = 3}\text{.} \)

Et plan som tangerer en kuleflate, står vinkelrett på radien i tangeringspunktet. Vektoren fra sentrum til \( P \) er derfor en normalvektor til planet.

1. Finn en normalvektor Vi kaller sentrum i \( K \) for \( {C(1, -1, 3)}\text{.} \) Vektoren fra \( C \) til \( P \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} &= [3 - 1,\ -1 + 1,\ 3 - 3] \\ &= [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}] \end{aligned} \]Vi bruker \( {\vec{n} = \overrightarrow{CP}} \) som normalvektor.

2. Sett opp likningen for planet Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Plugger vi inn \( {P(3, -1, 3)} \) og \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}]}\text{,} \) blir leddene med \( y \) og \( z \) lik \( 0\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}(x - 3) &= 0 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Et plan skjærer gjennom en kuleflate hvis avstanden fra sentrum til planet er mindre enn radien. Vi regner ut avstanden fra sentrum i \( K \) til \( \beta\text{.} \)

1. Regn ut avstanden til planet Avstanden fra et punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b}y + \textcolor{green}{c}z + d = 0} \) er: \[ D = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}x_0 + \textcolor{red}{b}y_0 + \textcolor{green}{c}z_0 + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2}} \) og \( {d = 1}\text{,} \) og sentrum er \( {(1, -1, 3)}\text{.} \) Vi regner ut telleren og det som står under rottegnet, hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot 1 + \textcolor{red}{1} \cdot (-1) + (\textcolor{green}{-2}) \cdot 3 + 1 &= -3 \\ \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{red}{1}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 &= 14 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ D = \dfrac{|-3|}{\sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} \]

2. Sammenlign med radien Radien i \( K \) er \( 2\text{,} \) og \( {\dfrac{3}{\sqrt{14}} < 2}\text{,} \) fordi \( {3 < 2\sqrt{14} = \sqrt{56}}\text{.} \) Planet er altså nærmere sentrum enn radien, så det skjærer gjennom kuleflaten.