Hopp til hovedinnholdet

R2 eksamen våren 2023

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Prøveeksamen

Ta R2 vår 2023 som prøveeksamen

Løs settet på papir med klokka gående, som på eksamen: Del 1 på 2 timer uten hjelpemidler og Del 2 på 3 timer med hjelpemidler. Ta bilde av arkene med mobilen, og få poeng på hver oppgave, karakter 1–6 og tilbakemelding på hver deloppgave.

Start prøveeksamen

Del 1

Uten hjelpemidler · 5 oppgaver

Oppgave 1

Regn ut integralene

Oppgave 1a)

∫−11(4x3−x) dx \int_{-1}^{1} (4x^3 - x)\,dx
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
∫−11(4x3−x) dx=0‾‾ \underline{\underline{\int_{-1}^{1} (4x^3 - x)\,dx = 0}}
Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.
1. Finn den antideriverte Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Ledd for ledd får vi: \[ \int (4x^{\textcolor{green}{3}} - x^{\textcolor{green}{1}})\,dx = x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\left[x^4 - \dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{1} \\ &= \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \\ &= 0 \end{aligned} \]
Det kunne vi også sett på forhånd: \( {4x^3 - x} \) er en odde funksjon, så arealet over og under \( x \)-aksen er like store.

Oppgave 1b)

∫0ln⁡2e2x dx \int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
∫0ln⁡2e2x dx=32‾‾ \underline{\underline{\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,dx = \dfrac{3}{2}}}
Vi bruker regelen for integralet av \( e^{kx}\text{,} \) og husker at \( {e^{2\ln 2} = 4}\text{.} \)
1. Finn den antideriverte Regelen for eksponentialfunksjoner forteller oss at: \[ \int e^{\textcolor{red}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{red}{k}}e^{\textcolor{red}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Her er \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \)
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} \left[\dfrac{1}{\textcolor{red}{2}}e^{\textcolor{red}{2}x}\right]_{0}^{\ln 2} &= \dfrac{1}{2}e^{2\ln 2} - \dfrac{1}{2}e^{0} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 2^2 = 4}\text{.} \)

Oppgave 2

Oppgave 2a)

Vis at dersom f(x)=tan⁡x, {f(x) = \tan x}\text{,} så er f′(x)=1+tan⁡2x. {f'(x) = 1 + \tan^2 x}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Med kvotientregelen på sin⁡xcos⁡x \dfrac{\sin x}{\cos x} er
f′(x)=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1+tan⁡2x‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned}}}
Vi skriver \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}} \) og deriverer brøken med kvotientregelen.
1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{blue}{u}}{\textcolor{red}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{blue}{u}' \cdot \textcolor{red}{v} - \textcolor{blue}{u} \cdot \textcolor{red}{v}'}{\textcolor{red}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{\sin x}, & \textcolor{blue}{u}' &= \cos x \\ \textcolor{red}{v} &= \textcolor{red}{\cos x}, & \textcolor{red}{v}' &= -\sin x \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, blir telleren: \[ \begin{aligned} &\cos x \cdot \textcolor{red}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot (-\sin x) \\ &= \cos^2 x + \sin^2 x \end{aligned} \]
Nevneren er \( {\textcolor{red}{v}^2 = \textcolor{red}{\cos^2 x}}\text{,} \) så: \[ f'(x) = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\textcolor{red}{\cos^2 x}} \]
Vi deler brøken i to: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

Regn ut
∫1+tan⁡2xtan⁡x dx \int \dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,dx
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
∫1+tan⁡2xtan⁡x dx=ln⁡∣tan⁡x∣+C‾‾ \underline{\underline{\int \dfrac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,dx = \ln|\tan x| + C}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den deriverte av \( \tan x \) står i oppgaveteksten i a), \( {(\tan x)' = 1 + \tan^2 x}\text{.} \)
Telleren er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon med \( {u = \tan x}\text{.} \)
1. Velg u Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \tan x}}\text{.} \) Fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &= 1 + \tan^2 x \\ \textcolor{red}{du} &= \textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.
2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx}}{\textcolor{blue}{\tan x}} &= \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,\textcolor{red}{du} \\ &= \ln|\textcolor{blue}{u}| + C \end{aligned} \]Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Til slutt bytter vi tilbake til \( x\text{.} \)

Oppgave 3

Punktene A(0,0,0), A(0, 0, 0)\text{,} B(5,0,0), B(5, 0, 0)\text{,} C(4,2,0) C(4, 2, 0) og T(0,0,5) T(0, 0, 5) danner en pyramide, slik figuren viser.

Oppgave 3a)

Regn ut volumet av pyramiden.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Grunnflaten ABC ABC har arealet 5 5 og høyden er 5, 5\text{,} så
V=13⋅5⋅5=253‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{3}}}
Grunnflaten \( ABC \) ligger i \( xy \)-planet, og \( T \) ligger rett over \( A\text{.} \) Høyden er derfor \( 5\text{,} \) og vi trenger bare arealet av grunnflaten.
1. Finn arealet av grunnflaten Arealet av en trekant utspent av \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er: \[ A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.
Her er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[5, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[4, 2, 0]}}\text{.} \) Begge ligger i \( xy \)-planet, så bare \( z \)-koordinaten er ulik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0, 0, \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - 0 \cdot \textcolor{red}{4}] \\ &= [0, 0, 10] \end{aligned} \]
Grunnflaten er \( {G = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5}\text{.} \)
2. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]
Høyden er avstanden fra \( T \) ned til \( xy \)-planet, \( {h = 5}\text{:} \) \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{3} \]

Oppgave 3b)

Regn ut arealet av △BCT. \triangle BCT\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
BC→×BT→=[10,5,10] {\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BT} = [10, 5, 10]} har lengde 15, 15\text{,} så
ABCT=152‾‾ \underline{\underline{A_{BCT} = \dfrac{15}{2}}}
Vi bruker vektorproduktet igjen, nå med to av sidene som går ut fra \( B\text{.} \)
1. Sett opp vektorene Fra \( B(5, 0, 0) \) til \( C \) og \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} &= \textcolor{red}{[-5, 0, 5]} \end{aligned} \]
2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til \( \vec{u} \times \vec{v} \) er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad u_2v_3 - u_3v_2 \\ y&\text{:} \quad u_3v_1 - u_1v_3 \\ z&\text{:} \quad u_1v_2 - u_2v_1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.
For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 2 \cdot 5 - 0 \cdot 0 = 10 \\ y&\text{:} \quad 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5 = 5 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5) = 10 \end{aligned} \]
3. Finn arealet Lengden er: \[ \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{225} = 15 \]
Arealet er halve lengden: \[ A_{BCT} = \dfrac{1}{2} \cdot 15 = \dfrac{15}{2} \]

Oppgave 3c)

Bestem avstanden fra A A til planet som går gjennom B, B\text{,} C C og T. T\text{.}
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Med △BCT \triangle BCT som grunnflate er 13⋅152⋅d=253, {\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15}{2} \cdot d = \dfrac{25}{3}}\text{,} så
d=103‾‾ \underline{\underline{d = \dfrac{10}{3}}}
Fra a) er volumet av pyramiden \( \dfrac{25}{3}\text{,} \) og fra b) er arealet av \( \triangle BCT \) lik \( \dfrac{15}{2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi kan se på pyramiden med \( \triangle BCT \) som grunnflate. Da er høyden nettopp avstanden fra \( A \) til planet gjennom \( B\text{,} \) \( C \) og \( T\text{.} \)
1. Bruk volumet med en ny grunnflate Volumet er det samme uansett hvilken side vi kaller grunnflaten. Med \( {\textcolor{blue}{G = \dfrac{15}{2}}} \) og høyden \( \textcolor{red}{d} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{15}{2}} \cdot \textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \dfrac{5}{2}\textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]
2. Kontroller med planet Normalvektoren \( [10, 5, 10] \) fra b) kan vi korte til \( [2, 1, 2]\text{.} \) Planet gjennom \( B(5, 0, 0) \) er da \( {2x + y + 2z - 10 = 0}\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Avstanden fra \( A(0, 0, 0) \) er: \[ d = \dfrac{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{10}{3} \]

Oppgave 4

En elev har skrevet følgende kode:

Oppgave 4a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Eleven ønsker å regne ut summen av de 10 10 første leddene i den aritmetiske rekken med a1=3 {a_1 = 3} og d=4: {d = 4}\text{:}
3+7+11+⋯+39=210‾‾ \underline{\underline{3 + 7 + 11 + \dots + 39 = 210}}
Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.
1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]
2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene. Det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{,} \) så summen er: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Oppgave 4b)

Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Programmet skriver ut summen av de 100 100 første leddene:
S100=20 100‾‾ \underline{\underline{S_{100} = 20\,100}}
Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \)
Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.
1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]
2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Oppgave 5

I denne oppgaven skal du vise at lim⁡v→0+sin⁡vv=1. {\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1}\text{.}
I figuren nedenfor er AB=AD=1, {AB = AD = 1}\text{,} og buen BD BD er del av en sirkel med sentrum i A. A\text{.} Vi lar ∠BAC=v {\angle BAC = v} (målt i radianer).

Oppgave 5a)

Bruk arealbetraktninger til å begrunne at
12sin⁡v<12v<12tan⁡v \dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Trekanten ABD ABD ligger inni sektoren ABD, ABD\text{,} som ligger inni trekanten ABC. ABC\text{.} Arealene er 12sin⁡v, \dfrac{1}{2}\sin v\text{,} 12v \dfrac{1}{2}v og 12tan⁡v, \dfrac{1}{2}\tan v\text{,} så
12sin⁡v<12v<12tan⁡v‾‾ \underline{\underline{\dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v}}
På figuren ligger trekanten \( ABD \) inni sirkelsektoren \( ABD\text{,} \) og sektoren ligger inni trekanten \( ABC\text{.} \) Vi finner de tre arealene.
1. Arealet av trekanten ABD Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin v \]der \( v \) er vinkelen mellom sidene \( a \) og \( b\text{.} \) Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Med \( {AB = AD = 1} \) får vi \( {\textcolor{blue}{A_{ABD} = \dfrac{1}{2}\sin v}}\text{.} \)
2. Arealet av sektoren En hel sirkel med radius \( 1 \) har arealet \( \pi \) og vinkelen \( 2\pi\text{.} \) Sektoren har vinkelen \( v\text{,} \) så den er \( \dfrac{v}{2\pi} \) av sirkelen: \[ \textcolor{green}{A_{\text{sektor}}} = \dfrac{v}{2\pi} \cdot \pi = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}v} \]
3. Arealet av trekanten ABC Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( {\tan v = \dfrac{BC}{AB} = BC}\text{.} \) Arealet er: \[ \textcolor{red}{A_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\tan v} \]
Trekanten \( ABD \) ligger inni sektoren, og sektoren ligger inni trekanten \( ABC\text{,} \) så arealene blir større og større.

Oppgave 5b)

Forklar at dette gir oss
1<vsin⁡v<1cos⁡v 1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Vi deler ulikheten fra a) på 12sin⁡v>0, {\dfrac{1}{2}\sin v > 0}\text{,} og bruker at tan⁡vsin⁡v=1cos⁡v: {\dfrac{\tan v}{\sin v} = \dfrac{1}{\cos v}}\text{:}
1<vsin⁡v<1cos⁡v‾‾ \underline{\underline{1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: ulikheten står i oppgaveteksten i a). \[ \dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v \]
Vi deler alle tre leddene på \( \dfrac{1}{2}\sin v\text{,} \) og bruker at \( {\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}}\text{.} \)
1. Del på det samme positive tallet På figuren er \( {0 < v < \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}\sin v} > 0}\text{.} \) Når vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnene, som i videoen Introduksjon til Ulikheter. Halvdelene forkortes mot hverandre: \[ \dfrac{\sin v}{\textcolor{blue}{\sin v}} < \dfrac{v}{\textcolor{blue}{\sin v}} < \dfrac{\tan v}{\textcolor{blue}{\sin v}} \]
2. Forenkle Det første leddet er \( 1\text{,} \) og det midterste er \( \dfrac{v}{\sin v}\text{.} \) I det siste skriver vi \( {\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}}\text{:} \) \[ \dfrac{\tan v}{\textcolor{blue}{\sin v}} = \dfrac{\sin v}{\cos v} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{blue}{\sin v}} = \dfrac{1}{\cos v} \]

Oppgave 5c)

Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at lim⁡v→0+sin⁡vv=1. {\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Når v→0+, {v \to 0^+}\text{,} går både 1 1 og 1cos⁡v \dfrac{1}{\cos v} mot 1, 1\text{,} så vsin⁡v \dfrac{v}{\sin v} blir klemt mot 1. 1\text{.} Den omvendte brøken går også mot 1: 1\text{:}
lim⁡v→0+sin⁡vv=1‾‾ \underline{\underline{\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1}}
Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: ulikhetene står i oppgaveteksten i b). \[ 1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v} \]
Vi ser hva som skjer med de to ytterste leddene når \( v \) går mot \( 0\text{.} \) Hvis begge går mot \( 1\text{,} \) blir det midterste klemt mellom dem.
1. Se på de ytterste leddene Når \( {v \to 0^+}\text{,} \) går \( \cos v \to 1\text{.} \) Hvis du er usikker på grenseverdier, kan du se videoen Grenseverdier. Da får vi: \[ \textcolor{blue}{1} \to \textcolor{blue}{1} \qquad \text{og} \qquad \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cos v}} \to \textcolor{red}{1} \]
2. Klem det midterste leddet \( \dfrac{v}{\sin v} \) ligger hele tiden mellom \( \textcolor{blue}{1} \) og \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cos v}}\text{,} \) som begge går mot \( 1\text{.} \) Da må også \( \dfrac{v}{\sin v} \) gå mot \( 1\text{.} \)
\( \dfrac{\sin v}{v} \) er den omvendte brøken, så: \[ \lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = \dfrac{1}{\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{v}{\sin v}} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

Del 2

Med hjelpemidler · 6 oppgaver

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.
A˚rStrømming200822010702012246201445620165822018655 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Strømming} \\ \hline 2008 & 2 \\ 2010 & 70 \\ 2012 & 246 \\ 2014 & 456 \\ 2016 & 582 \\ 2018 & 655 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell F F som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg x x -verdier slik at F(0) F(0) gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med x x år etter 2008 og F(x) F(x) i millioner kroner per år:
F(x)≈660,361+30,72e−0,7066x‾‾ \underline{\underline{F(x) \approx \dfrac{660{,}36}{1 + 30{,}72e^{-0{,}7066x}}}}
Veksten bremser opp i tabellen, og en logistisk modell flater ut mot en øvre grense, også i årene etterpå.
Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.
2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)
Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.
Nedenfor ser du fire formler.
I=∫−0,510,5F(x) dxG=15∫2,57,5F(x) dxS=∑i=010F(i)D=F(5,001)−F(5)0,001 \begin{aligned} I &= \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,dx \\ G &= \dfrac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,dx \\ S &= \sum_{i = 0}^{10} F(i) \\ D &= \dfrac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001} \end{aligned}

Oppgave 1b)

Bestem I, I\text{,} G, G\text{,} S S og D. D\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
I≈3729G≈344S≈3729D≈116‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} I &\approx 3729 & G &\approx 344 \\ S &\approx 3729 & D &\approx 116 \end{aligned}}}
Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]
Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:
Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001
\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Oppgave 1c)

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
- I≈3729: {I \approx 3729}\text{:} Til sammen ble det brukt omtrent 3,7 3{,}7 milliarder kroner på strømming fra 2008 til 2018. - G≈344: {G \approx 344}\text{:} I årene 2011 til 2015 ble det i gjennomsnitt brukt omtrent 344 344 millioner kroner per år. - S≈3729: {S \approx 3729}\text{:} Summen av beløpene for hvert av årene 2008 til 2018, også omtrent 3,7 3{,}7 milliarder kroner. - D≈116: {D \approx 116}\text{:} I 2013 økte beløpet med omtrent 116 116 millioner kroner per år.
Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.
Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]
\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.
2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.
\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.

Oppgave 2

Planet α \alpha er bestemt av punktene A(1,0,3), A(1, 0, 3)\text{,} B(0,1,2) B(0, 1, 2) og C(2,3,2). C(2, 3, 2)\text{.}

Oppgave 2a)

Bestem en likning for planet β \beta som er parallelt med α \alpha og går gjennom punktet P(2,−5,5). {P(2, -5, 5)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
β \beta har normalvektoren [1,−1,−2] {[1, -1, -2]} fra α \alpha og går gjennom P: P\text{:}
β:x−y−2z+3=0‾‾ \underline{\underline{\beta\text{:} \quad x - y - 2z + 3 = 0}}
Parallelle plan har den samme normalvektoren. Vi finner normalvektoren til \( \alpha \) med vektorproduktet, og setter inn punktet \( P\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn normalvektoren Fra \( A(1, 0, 3) \) til \( B \) og \( C\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -1]} \end{aligned} \]
Vektorproduktet står vinkelrett på begge. Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 = 2 \\ y&\text{:} \quad (-1) \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = -2 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -4 \end{aligned} \]
Vi deler \( {[2, -2, -4]} \) på \( 2 \) og bruker \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)
2. Sett inn punktet P Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.
Med \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og \( {P(2, -5, 5)} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}(x - 2) \textcolor{green}{- 1}(y + 5) \textcolor{green}{- 2}(z - 5) &= 0 \\ x - y - 2z + 3 &= 0 \end{aligned} \]
Til sammenligning er \( \alpha\text{:} \) \( {x - y - 2z + 5 = 0}\text{,} \) med det samme venstre leddet og et annet tall. Planene er altså parallelle og ikke like.
En kule tangerer α \alpha i punktet A A og β \beta i et punkt Q. Q\text{.}

Oppgave 2b)

Bestem eksakte verdier for koordinatene til Q. Q\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Q Q er der linja gjennom A A langs [1,−1,−2] {[1, -1, -2]} treffer β, \beta\text{,} ved t=13: {t = \dfrac{1}{3}}\text{:}
Q(43,−13,73)‾‾ \underline{\underline{Q\left(\dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{3}, \dfrac{7}{3}\right)}}
Fra a) er \( \beta\text{:} \) \( {x - y - 2z + 3 = 0}\text{,} \) og begge planene har normalvektoren \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)
Radien til en kule står vinkelrett på et plan den tangerer. Kula ligger mellom de to parallelle planene, så \( A\text{,} \) sentrum og \( Q \) ligger på én linje langs normalvektoren. \( Q \) er der den linja treffer \( \beta\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Linja gjennom A langs normalvektoren Linja gjennom \( A(1, 0, 3) \) med retning \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) er: \[ \ell\text{:} \quad \begin{cases} x = 1 + \textcolor{green}{1}t \\ y = 0 \textcolor{green}{- 1}t \\ z = 3 \textcolor{green}{- 2}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
2. Finn hvor linja treffer β Vi setter koordinatene inn i likningen for \( \beta\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + t) - (-t) - 2(3 - 2t) + 3 &= 0 \\ 6t - 2 &= 0 \\ t &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]
3. Regn ut Q Med \( {t = \dfrac{1}{3}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\ y &= -\dfrac{1}{3} \\ z &= 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} \end{aligned} \]
Kontroll: \( {\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{14}{3} + 3 = 0}\text{,} \) så \( Q \) ligger i \( \beta\text{.} \)

Oppgave 3

En fabrikk lager kroker ved hjelp av en 3D-printer. Posisjonen til dysen i 3D-printeren etter t t sekunder er gitt ved posisjonsvektoren
r⃗(t)=[1+et/20, 1−sin⁡t,110e−2t+2+cos⁡t] \begin{aligned} \vec{r}(t) = \Big[&1 + e^{t/20},\ 1 - \sin t, \\ &\dfrac{1}{10}e^{-2t + 2} + \cos t\Big] \end{aligned}
der t∈[0,5]. t \in [0, 5]\text{.}
Her er cm enheten langs aksene.

Oppgave 3a)

Bestem banefarten til 3D-printeren etter 1 1 sekund.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Fartsvektoren er v⃗(1)≈[0,05,−0,54,−1,04], {\vec{v}(1) \approx [0{,}05, -0{,}54, -1{,}04]}\text{,} så banefarten etter 1 1 sekund er
∣v⃗(1)∣≈1,17 cm/s‾‾ \underline{\underline{|\vec{v}(1)| \approx 1{,}17 \text{ cm/s}}}
Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver posisjonsvektoren Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Med kjerneregelen er \( {\left(e^{t/20}\right)' = \dfrac{1}{20}e^{t/20}} \) og \( {\left(e^{-2t + 2}\right)' = -2e^{-2t + 2}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Fartsvektoren er \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]
2. Sett inn t = 1 Kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \dfrac{1}{20}e^{0{,}05} \approx \textcolor{blue}{0{,}0526} \\ \textcolor{red}{v_y} &= -\cos 1 \approx \textcolor{red}{-0{,}5403} \\ \textcolor{green}{v_z} &= -\dfrac{1}{5}e^{0} - \sin 1 \approx \textcolor{green}{-1{,}0415} \end{aligned} \]
3. Finn lengden Lengden av en vektor er: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Lengden til en Vektor.
Vi regner ut kvadratene først: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &\approx \textcolor{blue}{0{,}0028} + \textcolor{red}{0{,}2919} + \textcolor{green}{1{,}0847} \\ &\approx 1{,}3794 \\ |\vec{v}(1)| &\approx \sqrt{1{,}3794} \approx 1{,}17 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut banefarten i CAS Vi skriver \( \vec{r}(t) \) som et punkt, deriverer og tar lengden:
Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + ℯ^(t/20), 1 - sin(t), 1/10 ℯ^(-2t+2) + cos(t)) v(t) := Derivert(r(t), t) ≈ Lengde(v(1))
Rad 3 gir det samme som med kalkulatoren.

Oppgave 3b)

Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Banefarten er lavest, omtrent 1,00 1{,}00 cm/s, ved
t≈3,54 s‾‾ \underline{\underline{t \approx 3{,}54 \text{ s}}}
Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]
Banefarten \( |\vec{v}(t)| \) er en funksjon av \( t\text{.} \) Vi tegner grafen for \( t \in [0, 5] \) i GeoGebra og finner bunnpunktet.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til en så sammensatt funksjon. Øv heller på å sette opp banefarten som lengden av fartsvektoren, og på å regne den ut for gitte \( t \) med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Tegn banefarten Banefarten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ s(t) = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]
Vi skriver den inn i algebrafeltet med \( x \) for \( t\text{,} \) bare for \( {0 \le x \le 5}\text{,} \) og finner bunnpunktet med Min:
Skriv inn i GeoGebra: s(x) = Hvis(0 <= x <= 5, sqrt((ℯ^(x/20)/20)^2 + cos(x)^2 + (-0.2ℯ^(2-2x) - sin(x))^2)) M = Min(s, 0, 5)
2. Les av bunnpunktet Grafen faller fra \( {s(0) \approx 1{,}79} \) og er nesten flat fra \( {t \approx 2}\text{.} \) Bunnpunktet er \( {M \approx (3{,}54;\ 1{,}0013)}\text{,} \) det laveste punktet på hele \( [0, 5]\text{.} \)

Oppgave 3c)

Avgjør om fartsretningen noen gang er parallell med xy xy -planet eller parallell med yz yz -planet. Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
vx=120et/20>0, {v_x = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0}\text{,} og vz v_z skifter fortegn mellom t=3 {t = 3} og t=3,5: {t = 3{,}5}\text{:}
xy-planet: ja, ved t≈3,14yz-planet: aldri‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} &xy\text{-planet: ja, ved } t \approx 3{,}14 \\ &yz\text{-planet: aldri} \end{aligned}}}
Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]
Fartsvektoren er parallell med \( xy \)-planet når \( {\textcolor{green}{v_z = 0}}\text{,} \) og parallell med \( yz \)-planet når \( {\textcolor{blue}{v_x = 0}}\text{.} \) Vi ser om hver av dem kan bli \( 0\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Parallell med yz-planet? \( e^{t/20} \) er alltid positiv, så: \[ \textcolor{blue}{v_x} = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0 \]\( \textcolor{blue}{v_x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så fartsretningen er aldri parallell med \( yz \)-planet.
2. Parallell med xy-planet? Vi regner ut \( \textcolor{green}{v_z} \) i to tidspunkter med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-4} - \sin 3 \approx -0{,}145 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}5)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-5} - \sin 3{,}5 \approx 0{,}349 \end{aligned} \]
\( \textcolor{green}{v_z} \) er kontinuerlig og skifter fortegn mellom \( {t = 3} \) og \( {t = 3{,}5}\text{,} \) så den er \( 0 \) for en \( t \) der imellom. Da er fartsvektoren parallell med \( xy \)-planet. Prøver vi oss fram, finner vi fortegnsskiftet mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3{,}14)} &\approx -0{,}004 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}15)} &\approx 0{,}006 \end{aligned} \]Det er altså ved \( {t \approx 3{,}14}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Løs v_z = 0 i CAS Vi bruker \( \vec{v}(t) \) fra a), og løser \( {\textcolor{green}{v_z = 0}} \) med en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(-1/5 ℯ^(-2t+2) - sin(t) = 0, t = 3)
Ved \( {t \approx 3{,}14} \) er \( {\textcolor{green}{v_z} = 0}\text{.} \) \( \textcolor{blue}{v_x} \) er alltid positiv.

Oppgave 4

Foreldrene til David vil gi ham ukepenger. Han får to ulike tilbud. I tilbud 1 får han 100 100 kroner den første uken. Beløpet an a_n som han får i uke n, n\text{,} er gitt ved den rekursive formelen
an=an−1+10 a_n = a_{n-1} + 10
I tilbud 2 får han 100 100 kroner den første uken. Beløpet bn b_n som han får i uke n, n\text{,} er gitt ved den rekursive formelen
bn=bn−1⋅1,05 b_n = b_{n-1} \cdot 1{,}05

Oppgave 4a)

Bestem det ukentlige beløpet han får de fire første ukene med hvert av de to tilbudene.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
De fire første ukene får han, i kroner, an a_n med tilbud 1 og bn b_n med tilbud 2:
an:  100, 110, 120, 130bn:  100, 105, 110,25, 115,76‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} a_n&\text{:} \ \ 100,\ 110,\ 120,\ 130 \\ b_n&\text{:} \ \ 100,\ 105,\ 110{,}25,\ 115{,}76 \end{aligned}}}
Vi starter med \( 100 \) kroner og bruker den rekursive formelen tre ganger: legg til \( 10 \) i tilbud 1, og gang med \( 1{,}05 \) i tilbud 2.
Metode: For hånd
1. Tilbud 1 Hver uke får han \( \textcolor{red}{10} \) kroner mer enn uka før: \[ \begin{aligned} a_1 &= 100 \\ a_2 &= 100 + \textcolor{red}{10} = 110 \\ a_3 &= 110 + \textcolor{red}{10} = 120 \\ a_4 &= 120 + \textcolor{red}{10} = 130 \end{aligned} \]
2. Tilbud 2 Hver uke får han \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) ganger det han fikk uka før: \[ \begin{aligned} b_1 &= 100 \\ b_2 &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 105 \\ b_3 &= 105 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} = 110{,}25 \\ b_4 &= 110{,}25 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05} \approx 115{,}76 \end{aligned} \]

Oppgave 4b)

Hvor mange uker tar det før tilbud 2 vil gi mer ukelønn enn tilbud 1?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
b27≈355,57<360=a27 {b_{27} \approx 355{,}57 < 360 = a_{27}} og b28≈373,35>370=a28, {b_{28} \approx 373{,}35 > 370 = a_{28}}\text{,} så tilbud 2 gir mer ukelønn fra
uke 28‾‾ \underline{\underline{\text{uke } 28}}
Fra a) øker tilbud 1 med \( \textcolor{red}{10} \) kroner hver uke, og tilbud 2 ganges med \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) hver uke. Begge starter på \( 100 \) kroner.
Vi skriver begge beløpene som eksplisitte formler for uke \( n\text{,} \) og finner den første uka der \( {b_n > a_n}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Skriv formlene eksplisitt Tilbud 1 er en aritmetisk følge med \( {d = \textcolor{red}{10}}\text{,} \) og tilbud 2 er en geometrisk følge med \( {k = \textcolor{blue}{1{,}05}}\text{.} \) Hvis du er usikker på \( a_n\text{,} \) kan du se videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10} \\ b_n &= 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1} \end{aligned} \]
2. Prøv oss fram Likningen \( {b_n = a_n} \) kan vi ikke løse for hånd, så vi prøver oss fram med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} n = 27&\text{:} \quad a_{27} = 360, \quad b_{27} \approx 355{,}57 \\ n = 28&\text{:} \quad a_{28} = 370, \quad b_{28} \approx 373{,}35 \end{aligned} \]
I uke \( 27 \) er tilbud 1 fortsatt best, men i uke \( 28 \) gir tilbud 2 mest. Siden tilbud 2 vokser med \( 5\,\% \) av et stadig større beløp, holder det seg foran etter det.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs b(n) = a(n) i CAS Vi skriver de eksplisitte formlene, og løser \( {b(n) = a(n)} \) med en startverdi:
Skriv inn i GeoGebra: a(n) := 100 + 10(n - 1) b(n) := 100*1.05^(n - 1) NLøs(b(n) = a(n), n = 30)
Beløpene er like ved \( {n \approx 27{,}58}\text{,} \) så den første hele uka der tilbud 2 gir mest, er uke \( 28\text{.} \)

Oppgave 4c)

Hvor mange uker tar det før tilbud 2 til sammen vil gi mer lønn enn tilbud 1?
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Etter 38 38 uker har tilbud 1 gitt 10 830 10\,830 kr og tilbud 2 omtrent 10 771 10\,771 kr. Etter 39 39 uker er det 11 310 11\,310 kr mot omtrent 11 410 11\,410 kr, så tilbud 2 gir mer til sammen etter
39 uker‾‾ \underline{\underline{39 \text{ uker}}}
Fra b) er \( {a_n = 100 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{10}} \) og \( {b_n = 100 \cdot \textcolor{blue}{1{,}05}^{n - 1}}\text{.} \)
Det han har fått til sammen etter \( n \) uker, er summen av de \( n \) første leddene. Vi bruker sumformlene for aritmetiske og geometriske rekker, og prøver oss fram.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp summene Summen av en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} \]som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel. For tilbud 1 får vi: \[ \begin{aligned} S_n^{(1)} &= \dfrac{n(100 + 100 + 10(n - 1))}{2} \\ &= 5n^2 + 95n \end{aligned} \]
Summen av en geometrisk rekke er: \[ S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{k}^n}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel. For tilbud 2 får vi: \[ \begin{aligned} S_n^{(2)} &= 100 \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}^n}{1 - \textcolor{blue}{1{,}05}} \\ &= 2000(\textcolor{blue}{1{,}05}^n - 1) \end{aligned} \]
2. Prøv oss fram Med kalkulatoren regner vi ut summene etter \( 38 \) og \( 39 \) uker: \[ \begin{aligned} S_{38}^{(1)} &= 10\,830, & S_{38}^{(2)} &\approx 10\,771 \\ S_{39}^{(1)} &= 11\,310, & S_{39}^{(2)} &\approx 11\,410 \end{aligned} \]
Etter \( 38 \) uker har tilbud 1 gitt mest, men etter \( 39 \) uker har tilbud 2 gitt mest til sammen.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen for summene i CAS Vi bruker \( a(n) \) og \( b(n) \) fra b), og lar CAS summere:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(b(k), k, 1, n) = Sum(a(k), k, 1, n), n = 40)
Summene er like ved \( {n \approx 38{,}39}\text{,} \) så tilbud 2 har gitt mest til sammen fra uke \( 39\text{.} \)

Oppgave 5

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=2−cos⁡xsin⁡x,Df=[π4,3π4] f(x) = \dfrac{2 - \cos x}{\sin x}, \quad D_f = \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\right]
Vi roterer grafen til f f om x x -aksen.

Oppgave 5a)

Bestem volumet av omdreiningslegemet vi da får.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
V=10π−π22≈26,48‾‾ \underline{\underline{V = 10\pi - \dfrac{\pi^2}{2} \approx 26{,}48}}
Volumet er \( \pi \) ganger integralet av \( f(x)^2\text{.} \) Vi skriver om \( f(x)^2 \) med \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x} \) til ledd vi kan integrere.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
2. Skriv om f(x)² Vi kvadrerer telleren og bytter \( \cos^2 x \) med \( {1 - \sin^2 x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x)^2 &= \dfrac{4 - 4\cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{5 - 4\cos x - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x} - \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x} - 1 \end{aligned} \]
3. Integrer ledd for ledd Siden \( {\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}} \) med kvotientregelen, er \( {\displaystyle\int \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x}\,dx = -\textcolor{blue}{5}\dfrac{\cos x}{\sin x}}\text{.} \)
I det midterste leddet setter vi \( {u = \sin x}\text{,} \) så \( {du = \cos x\,dx}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x}\,dx = \int \dfrac{4}{u^2}\,du = -\dfrac{4}{\sin x} \]
Til sammen: \[ V = \pi\left[-\dfrac{\textcolor{blue}{5}\cos x}{\sin x} + \dfrac{\textcolor{red}{4}}{\sin x} - x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} \]
4. Sett inn grensene Med \( {\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) \( {\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\dfrac{4}{\sqrt{2}/2} = 4\sqrt{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{øvre: } & 5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{3\pi}{4} \\ \text{nedre: } & -5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V &= \pi\left(10 - \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 10\pi - \dfrac{\pi^2}{2} \approx 26{,}48 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut volumet i CAS Vi skriver \( f \) og integralet, først eksakt og så med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := (2 - cos(x))/sin(x) π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4) ≈ π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4)
Rad 2 gir det samme eksakte svaret som for hånd.
Omdreiningslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 4 og volum 45. 45\text{.}

Oppgave 5b)

Avgjør om omdreiningslegemet får plass i kjeglen.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Kjeglen har høyden 13516π≈2,69. {\dfrac{135}{16\pi} \approx 2{,}69}\text{.} Med den brede enden nederst har kjeglen bare radius omtrent 1,66 1{,}66 der den smale enden, med radius 22−1≈1,83, {2\sqrt{2} - 1 \approx 1{,}83}\text{,} står:
Nei, det fa˚r ikke plass‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, det får ikke plass}}}
Fra a) er volumet av legemet omtrent \( 26{,}48\text{,} \) og legemet er \( {\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}571} \) langt.
Volumet \( {26{,}48 < 45} \) er ikke nok: legemet må også passe i formen. Kjeglen blir smalere oppover, så vi ser om kjeglen er bred nok også der legemet slutter.
Metode: For hånd
1. Finn høyden i kjeglen Volumet av en kjegle er \( \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\text{,} \) som i videoen Koblede hastigheter. Med \( {r = 4} \) og volum \( 45\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot h &= 45 \\ h &= \dfrac{135}{16\pi} \approx 2{,}686 \end{aligned} \]
2. Plasser den brede enden nederst Radiene i endene er \( {f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} \) og \( {f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{red}{2\sqrt{2} + 1} \approx \textcolor{red}{3{,}83} \\ \textcolor{blue}{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2} - 1} \approx \textcolor{blue}{1{,}83} \end{aligned} \]
Det er best å la den brede enden stå på grunnflaten, der kjeglen er bredest. Da står den smale enden \( 1{,}571 \) over grunnflaten.
3. Sjekk den smale enden Radien i kjeglen avtar jevnt fra \( 4 \) ved grunnflaten til \( 0 \) i toppen. I høyden \( 1{,}571 \) er den: \[ 4\left(1 - \dfrac{1{,}571}{2{,}686}\right) \approx 1{,}66 \]
Den smale enden har radius \( \textcolor{blue}{1{,}83}\text{,} \) som er større enn \( 1{,}66\text{.} \) Legemet går altså ut gjennom kjegleveggen øverst. Snur vi legemet, står den brede enden der, og det blir enda verre.

Oppgave 6

For en deriverbar funksjon f f kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to x x -verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.
Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall [a,b], [a, b]\text{,} kan vi dele dette intervallet i N N like store delintervall [xi,xi+1] {[x_i, x_{i+1}]} med bredde h=b−aN {h = \dfrac{b - a}{N}} og xi=a+i⋅h. {x_i = a + i \cdot h}\text{.}
Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene (xi,f(xi)) (x_i, f(x_i)) og (xi+1,f(xi+1)). {(x_{i+1}, f(x_{i+1}))}\text{.} Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra x=a {x = a} til x=b. {x = b}\text{.}

Oppgave 6a)

Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet (xi,f(xi)) (x_i, f(x_i)) til punktet (xi+1,f(xi+1)), {(x_{i+1}, f(x_{i+1}))}\text{,} er gitt ved
Si=h2+ki2, der S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}\text{, der}
ki=f(xi+1)−f(xi) k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Linjestykket er hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene h=xi+1−xi {h = x_{i+1} - x_i} og ∣ki∣, |k_i|\text{,} der ki=f(xi+1)−f(xi). {k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)}\text{.} Pytagoras gir
Si=h2+ki2‾‾ \underline{\underline{S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}}}
Linjestykket er hypotenusen i en rettvinklet trekant med en vannrett og en loddrett katet. Vi finner katetene og bruker Pytagoras.
Metode: For hånd
1. Finn katetene Den vannrette kateten går fra \( x_i \) til \( {x_{i+1}}\text{,} \) så den er: \[ \textcolor{blue}{x_{i+1} - x_i = h} \]
Den loddrette kateten er forskjellen i høyde mellom de to punktene: \[ \textcolor{red}{k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)} \]Hvis grafen synker, er \( \textcolor{red}{k_i} \) negativ, men lengden av kateten er \( |\textcolor{red}{k_i}|\text{,} \) og \( {|\textcolor{red}{k_i}|^2 = \textcolor{red}{k_i}^2}\text{.} \)
2. Bruk Pytagoras Pytagoras forteller oss at: \[ S_i^2 = \textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Buelengde formel, som gjør det samme med små trekanter.
Vi tar kvadratroten, og \( S_i \) er positiv: \[ S_i = \sqrt{\textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2} \]
Funksjonen g g er gitt ved
g(x)=1−x2,Dg=[−1,1] g(x) = \sqrt{1 - x^2}, \quad D_g = [-1, 1]

Oppgave 6b)

Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til g g ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Fra a) er lengden av linjestykke nummer \( i \) lik \( {S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}}\text{,} \) der \( {k_i = g(x_{i+1}) - g(x_i)}\text{.} \)
Vi lar et program legge sammen \( S_i \) for mange små delintervall, her \( {N = 1000}\text{.} \) Grafen til \( g \) er en halvsirkel, så vi kan sammenligne med halve omkretsen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut summen med få delintervall for hånd, for eksempel \( {N = 2}\text{,} \) og på å lese og skrive slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 definerer \( g\text{,} \) og linje 6 til 9 deler \( {[-1, 1]} \) i \( {N = 1000} \) delintervall med bredde \( {\textcolor{blue}{h} = \dfrac{1 - (-1)}{1000} = \textcolor{blue}{0{,}002}}\text{.} \)
Løkka i linje 12 til 16 regner ut \( x_i \) og \( {x_{i+1}}\text{,} \) høydeforskjellen \( \textcolor{red}{k_i}\text{,} \) og legger \( {\sqrt{\textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2}} \) til summen \( L\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
Programmet skriver ut \( {L \approx 3{,}14157}\text{.} \)
2. Vurder svaret \( {x^2 + g(x)^2 = 1}\text{,} \) så grafen til \( g \) er den øvre halvdelen av sirkelen med sentrum i origo og radius \( 1\text{.} \) Lengden er halve omkretsen: \[ \dfrac{2\pi \cdot 1}{2} = \pi \approx 3{,}14159 \]
Svaret er rimelig: det er litt mindre enn \( \pi\text{,} \) fordi et rett linjestykke er kortere enn buen det erstatter. Med større \( N \) kommer vi enda nærmere \( \pi\text{.} \)

Oppgavene i R2 vår 2023

Temaet og poengene i hver oppgave.

Oppgavene i R2 vår 2023, med del, tema og poeng
OppgaveTemaPoeng
Del 1
Del 1, Oppgave 1integrasjon–
Del 1, Oppgave 2derivasjon, integrasjon, kvotientregelen, substitusjon, trigonometriske funksjoner–
Del 1, Oppgave 3areal, plan, vektorer, vektorprodukt, volum–
Del 1, Oppgave 4aritmetiske rekker, programmering, rekker–
Del 1, Oppgave 5arealsetningen, grenseverdier, trigonometriske funksjoner, ulikheter–
Del 2
Del 2, Oppgave 1gjennomsnitt, integrasjon, logistisk regresjon, modellering, numerisk derivasjon, regresjon–
Del 2, Oppgave 2parameterframstilling, plan, vektorer, vektorprodukt–
Del 2, Oppgave 3banefart, derivasjon, kjerneregelen, parameterframstilling, vektorer–
Del 2, Oppgave 4aritmetiske rekker, geometriske rekker, rekker, tallfølger–
Del 2, Oppgave 5integrasjon, omdreiningslegeme, substitusjon, trigonometriske funksjoner, volum–
Del 2, Oppgave 6buelengde, programmering, pytagorassetningen–

Ferdig med settet? Se de andre R2-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.