R2 eksamen våren 2025 – løsningsforslag

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( e^x \) er sin egen deriverte, så \( \textcolor{blue}{2e^x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{2e^x}}\text{.} \) Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Regelen står også i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{red}{2x^2} \) har \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{2e^x} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{2e} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}\right) - \left(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= 2e - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at telleren \( {2x - 1} \) er den deriverte av nevneren \( {x^2 - x - 6}\text{.} \) Vi bruker derfor variabelskifte med \( u \) lik nevneren.

1. Bytt variabel Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = 2x - 1 \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{x^2 - x - 6}}\,dx \\ &= \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \ln|\textcolor{green}{u}| + C \end{aligned} \]\( {2x - 1} \) forkortes bort, og \( \ln|u| \) er en antiderivert til \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6}} \) tilbake: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx \\ &= \ln|\textcolor{green}{x^2 - x - 6}| + C \end{aligned} \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \cdot (2x - 1)}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Fra koden i a) ser vi hvordan et ledd lages av det forrige. Med den sammenhengen viser vi at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den stemmer for \( {n = k + 1} \) hvis den stemmer for \( {n = k}\text{.} \)

1. Finn sammenhengen mellom leddene I runde nummer \( n \) gjør linje 5 i den første koden ledd nummer \( n \) om til ledd nummer \( {n + 1}\text{:} \) \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n + 2} \]For eksempel er \( {a_2 = 2 + \textcolor{red}{3} = 5}\text{.} \)

2. Sjekk det første tilfellet For \( {n = 1} \) gir formelen: \[ a_1 = \dfrac{1 \cdot (1 + 3)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]Det er det første leddet, så formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

3. Vis neste tilfelle Vi antar at formelen stemmer for \( {n = k}\text{,} \) der \( {k \ge 1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{a_k} = \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} \]

Bytter vi ut \( \textcolor{blue}{a_k} \) med antakelsen i sammenhengen mellom leddene, får vi: \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= \textcolor{blue}{a_k} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \dfrac{k^2 + 3k + 2k + 4}{2} \\ &= \dfrac{k^2 + 5k + 4}{2} \\ &= \dfrac{(k + 1)(k + 4)}{2} \end{aligned} \]Dette er formelen med \( {n = k + 1}\text{,} \) fordi \( {(k + 1) + 3 = k + 4}\text{.} \)

Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og hver gang den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Den stemmer derfor for alle \( {n \ge 1}\text{.} \)

Vi sammenligner \( f \) med den generelle sinusfunksjonen og leser av konstantene.

1. Sammenlign med den generelle formen Den generelle sinusfunksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \)

2. Les av egenskapene Amplituden er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) og likevektslinja er \( {y = \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) altså \( {y = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{2}} = \pi \]

Faseforskyvningen er \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Den flytter grafen \( \dfrac{\pi}{12} \) mot venstre, fordi \( {2x + \dfrac{\pi}{6} = 2\left(x + \dfrac{\pi}{12}\right)}\text{.} \)

Vi deler på \( 2\sqrt{3} \) og får en likning med sinus. Så finner vi vinklene der sinus er \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og ser hvilke som gir en \( x \) i definisjonsmengden.

1. Isoler sinus Vi deler begge sider på \( 2\sqrt{3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \sqrt{3} \\ \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) ligger i \( {\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle}\text{,} \) ligger \( {\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}} \) i \( {\left\langle \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6} \right\rangle}\text{.} \)

Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( \dfrac{\pi}{6} \) er ikke med i intervallet, fordi \( {x = 0} \) ikke er med, og vinklene en hel runde senere er større enn \( \dfrac{7\pi}{6}\text{.} \) Den eneste løsningen er altså: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} \\ 2x &= \dfrac{4\pi}{6} \\ x &= \dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver \( g \) om til én sinusfunksjon. Da ser vi at \( g \) har samme uttrykk som \( f\text{,} \) og vi kan bruke vinklene fra b) på et større intervall.

1. Skriv g som én sinusfunksjon En sum av sinus og cosinus med samme \( c \) kan skrives som én sinusfunksjon: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}\sin(cx) + \textcolor{blue}{b}\cos(cx) \\ &= A\sin(cx + \textcolor{darkorange}{\varphi}) \end{aligned} \]der \( {A = \sqrt{\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2}} \) og \( {\tan \textcolor{darkorange}{\varphi} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}}}\text{,} \) med \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) i samme kvadrant som punktet \( (\textcolor{red}{a}, \textcolor{blue}{b})\text{.} \)

Her er \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + (\textcolor{blue}{\sqrt{3}})^2} \\ &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \\ \tan \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{3}}}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \]

Punktet \( (\textcolor{red}{3}, \textcolor{blue}{\sqrt{3}}) \) ligger i første kvadrant, så \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Det gir: \[ g(x) = 2\sqrt{3}\sin\left(2x + \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}\right) \]Dette er det samme uttrykket som \( f(x)\text{,} \) men på intervallet \( \langle 0, 2\pi \rangle\text{.} \)

2. Løs likningen Som i b) blir likningen \( {\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus er \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{6} \) og \( \dfrac{5\pi}{6}\text{,} \) og igjen hver gang vi legger til en hel runde, \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= n \cdot \pi \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \pi \end{aligned} \]der \( n \) er et helt tall.

I \( \langle 0, 2\pi \rangle \) gir den første bare \( {x = \pi}\text{,} \) fordi \( 0 \) og \( 2\pi \) ikke er med. Den andre gir \( {x = \dfrac{\pi}{3}} \) og \( {x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}}\text{.} \)

En vinkel er større enn \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene ut fra hjørnet er negativt. Vi regner ut skalarproduktet i hvert hjørne.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \textcolor{red}{\theta} \]der \( \textcolor{red}{\theta} \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengdene er positive, så skalarproduktet har samme fortegn som \( \cos \textcolor{red}{\theta}\text{.} \) Er det negativt, er \( \textcolor{red}{\theta} \) større enn \( 90^\circ\text{.} \)

2. Regn ut i hvert hjørne Ut fra \( A \) går \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]}\text{,} \) ut fra \( B \) går \( {\overrightarrow{BA} = [-2, -3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{BC} = [-1, 1, 1]}\text{,} \) og ut fra \( C \) går \( {\overrightarrow{CA} = [-1, -4, -1]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [1, -1, -1]}\text{.} \)

Vi ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} A\text{:} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= 2 + 12 + 0 = 14 \\ B\text{:} \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 - 3 + 0 = \textcolor{red}{-1} \\ C\text{:} \quad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= -1 + 4 + 1 = 4 \end{aligned} \]Skalarproduktet er negativt bare i \( B\text{,} \) så vinkelen i \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden av vektorproduktet av to av sidene. Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

1. Regn ut vektorproduktet Arealet av trekanten er: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [a_1, a_2, a_3] \) og \( [b_1, b_2, b_3] \) er: \[ \begin{aligned} [&\textcolor{blue}{a_2b_3 - a_3b_2},\ \textcolor{red}{a_3b_1 - a_1b_3}, \\ &\textcolor{green}{a_1b_2 - a_2b_1}] \end{aligned} \]

Med \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]} \) får vi: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3 \cdot 1 - 0 \cdot 4},\ \textcolor{red}{0 \cdot 1 - 2 \cdot 1}, \\ &\qquad \textcolor{green}{2 \cdot 4 - 3 \cdot 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{38} \end{aligned} \]Enheten er desimeter, så arealet er i kvadratdesimeter.

Vi finner planet som bordplaten ligger i. Linja gjennom \( D \) og \( E \) treffer aldri planet hvis den er parallell med planet og ikke ligger i det.

1. Finn planet til bordplaten Vektorproduktet fra b) står vinkelrett på bordplaten, så \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}]} \) er en normalvektor. Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Planet går gjennom \( A(0, 0, 0)\text{,} \) så likningen blir: \[ \textcolor{blue}{3}x \textcolor{red}{- 2}y + \textcolor{green}{5}z = 0 \]

2. Undersøk linja Retningsvektoren til linja er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= [2 - 3,\ 3 - 7,\ 2 - 3] \\ &= [-1, -4, -1] \end{aligned} \]

Skalarproduktet med normalvektoren er: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{DE} \cdot \vec{n} \\ &= (-1) \cdot \textcolor{blue}{3} + (-4) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (-1) \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= -3 + 8 - 5 = 0 \end{aligned} \]Retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren, så linja er parallell med planet.

Setter vi \( D(3, 7, 3) \) inn i likningen for planet, får vi: \[ \textcolor{blue}{3} \cdot 3 \textcolor{red}{- 2} \cdot 7 + \textcolor{green}{5} \cdot 3 = 10 \neq 0 \]\( D \) ligger altså ikke i planet. En linje som er parallell med et plan og ikke ligger i det, treffer aldri planet, og derfor heller aldri bordplaten.

En vinkel i radianer er buelengden delt på radien. Så gjør vi om til grader med at \( \pi \) radianer er \( 180^\circ\text{.} \)

1. Regn ut vinkelen i radianer En vinkel i radianer er: \[ v = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{buelengde}}}{\textcolor{red}{\text{radius}}} \]

Her er buelengden \( \textcolor{blue}{4} \) og radien \( \textcolor{red}{3}\text{:} \) \[ v = \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{3}} \]

2. Gjør om til grader En halv sirkel er \( \pi \) radianer og \( 180^\circ\text{,} \) så vi ganger med \( \dfrac{180^\circ}{\pi}\text{:} \) \[ v = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{240^\circ}{\pi} \]Med \( {\pi \approx 3{,}14} \) er dette omtrent \( 76^\circ\text{,} \) siden \( {3{,}14 \cdot 76 \approx 239}\text{.} \)

Vi ser at \( u \) er en spiss vinkel. Vi tegner derfor en rettvinklet trekant der \( {\tan u = 2}\text{,} \) finner hypotenusen med Pythagoras og leser av \( \sin u \) og \( \cos u\text{.} \)

1. Lag en trekant I en rettvinklet trekant er \( \tan u \) den motstående kateten delt på den hosliggende, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. \( {\tan u = \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{1}}}\text{,} \) så vi kan velge den motstående kateten \( \textcolor{red}{2} \) og den hosliggende \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \)

Hypotenusen finner vi med Pythagoras: \[ h = \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{1}^2} = \sqrt{5} \]

2. Les av sinus og cosinus Sinus er den motstående kateten delt på hypotenusen, og cosinus er den hosliggende delt på hypotenusen: \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{aligned} \]Begge er positive, fordi \( u \) ligger i første kvadrant.

Kontroll: \( {\sin^2 u + \cos^2 u = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1}\text{,} \) og \( {\dfrac{\sin u}{\cos u} = 2}\text{.} \)