Forkurseksamen etter tema

Vi finner vektorene ved å trekke fra koordinatene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet.

1. Finn vektorene Vektoren fra \( C \) til et punkt er koordinatene til punktet minus koordinatene til \( C\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -4, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} = |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| \cdot |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Her er \( \textcolor{green}{v} \) vinkelen mellom vektorene. Regelen står i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi ganger koordinat for koordinat og legger sammen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} \\ &= -2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\ &= -2 + 12 = 10 \end{aligned} \]

3. Regn ut lengdene Lengden finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{20} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| &= \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{10} \end{aligned} \]

4. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker lengdene og vinkelen fra a).

Volumet er en tredel av grunnflaten ganger høyden. Grunnflaten finner vi med arealsetningen, og høyden kan vi lese av \( {z\text{-koordinatene.}} \)

1. Regn ut grunnflaten Arealsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{G} = \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C \]Her er \( CA \) og \( CB \) to sider, og \( C \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{20} \\ CB &= \sqrt{10} \\ \angle C &= 45^\circ \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{G} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

2. Finn høyden \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) har alle \( {z = 0}\text{,} \) så grunnflaten ligger i \( {xy\text{-planet.}} \) Høyden er derfor \( {z\text{-koordinaten}} \) til \( T\text{:} \) \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{5} \]

3. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser hvorfor \( {V = G \cdot h} \) ikke gjelder for en pyramide.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{25}{3} \]

Vi setter opp kryssproduktet som en determinant. Lengden av kryssproduktet er arealet av et parallellogram, og trekanten er halvparten.

1. Finn vektorene Siden \( A \) er origo, er vektorene de samme tallene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{blue}{[1, 2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten med enhetsvektorene i første rad. Det vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, et eksempel om curl, der kryssproduktet regnes slik: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \end{vmatrix} \]

Vi regner ut hver komponent: \[ \begin{aligned} \vec{i}: \quad & 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \\ \vec{j}: \quad & -(1 \cdot 0 - 5 \cdot 3) = 15 \\ \vec{k}: \quad & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{green}{[-5, 15, -5]} \]

3. Regn ut arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot |\textcolor{green}{[-5, 15, -5]}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{25 + 225 + 25} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{275} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker kryssproduktet fra c) som normalvektor.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet. Det er derfor en normalvektor, og \( A \) er et punkt i planet.

1. Finn normalvektoren I c) fant vi \( {\overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} = [-5, 15, -5]}\text{.} \) Vi kan dele på \( {-5} \) og få en enklere vektor med samme retning: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \]

2. Sett opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \\ (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{1}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x - 3y + z &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B(3, 1, 0) \) gir \( {3 - 3 + 0 = 0}\text{,} \) og \( T(1, 2, 5) \) gir \( {1 - 6 + 5 = 0}\text{.} \)

Vi finner vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner videre koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 3 - 1,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ 2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?, og vektorer trekkes fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &3\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} \\ &= 3\textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{[0, -3, 1]} \\ &= [-3, 6, 3] - \left[0, -\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \\ &= \left[-3,\ \dfrac{15}{2},\ \dfrac{5}{2}\right] \end{aligned} \]

Vinkelen i \( B \) er vinkelen mellom de to vektorene som går ut fra \( B\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Her er \( v \) vinkelen mellom vektorene. Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Begge vektorene må starte i \( B\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[1, -2, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0 + 6 - 1 = 5 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \\ |\textcolor{red}{\vec{w}}| &= \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \cos \angle B = \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{60}} \]

Vi tar \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren og runder av til én desimal: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{60}}\right) \approx 49{,}8^\circ \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor Vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [n_1, n_2, n_3]} \) står vinkelrett på begge vektorene. Koordinatene er: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ n_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ n_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]Videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet regner kryssproduktet som en determinant, i et eksempel om curl.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-1, -1, 2]} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 5 \\ n_2 &= \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 1 \\ n_3 &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 3 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{green}{[5, 1, 3]} \]

2. Skriv opp likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{green}{a}, \textcolor{green}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Vi bruker punktet \( A(1, 1, 0)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{5}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 1) + \textcolor{green}{3}(z - 0) &= 0 \\ 5x - 5 + y - 1 + 3z &= 0 \\ 5x + y + 3z &= 6 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) og \( C \) skal også passe: \( {0 + 3 + 3 = 6} \) og \( {0 + 0 + 6 = 6}\text{.} \)

Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) Vi krever at skalarproduktet er \( 0 \) og løser for \( z\text{.} \)

1. Skriv opp vektorene Vi skriver \( D(0, 0, z)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ z - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, z - 1]} \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= 0 \\ (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{z - 1}) &= 0 \\ -6 + z - 1 &= 0 \\ z &= 7 \end{aligned} \]

Tre vektorer fra origo utspenner pyramiden. Volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp formelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left| (\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{t}} \right| \]Videoen Determinanter 3x3 matrise viser volumet tre vektorer utspenner. Pyramiden er en sjettedel av det.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{[1, 1, 0]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{OB} = \textcolor{red}{[0, 3, 1]} \\ \textcolor{green}{\vec{t}} &= \overrightarrow{OC} = \textcolor{green}{[0, 0, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [p_1, p_2, p_3]} \) er: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ p_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ p_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 1 \\ p_2 &= \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = -1 \\ p_3 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} = 3 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [1, -1, 3] \]

3. Regn ut volumet Vi ganger med den tredje vektoren: \[ \begin{aligned} [1, -1, 3] \cdot \textcolor{green}{[0, 0, 2]} &= 0 + 0 + 6 = 6 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |6| = 1 \]

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vektoren fra \( A \) til \( D \) må derfor være lik vektoren fra \( B \) til \( C\text{.} \)

1. Finn vektoren fra B til C En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [-2 - 2,\ 2 - 3,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Finn punktet D Vi starter i \( A \) og legger til vektoren. Vektorer legger vi sammen koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= A + \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \\ &= (4 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 1 + (\textcolor{blue}{-1}),\ -1 + \textcolor{blue}{1}) \\ &= (0, 0, 0) \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Arealet av et parallellogram er lengden av kryssproduktet til to vektorer langs sidene.

1. Sett opp vektorene Vi tar de to sidene som går ut fra \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 4,\ 3 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{blue}{[-2,\ 2,\ 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 4,\ 0 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{red}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Arealet er gitt ved: \[ T = \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\ &\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3}, \\ &\textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}\ ] \end{aligned} \]Kryssproduktet som determinant vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) &= 3 \\ \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= -2 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) &= 10 \end{aligned} \]

Det gir oss kryssproduktet, i grønt: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \]

3. Finn lengden Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av koordinatene opphøyd i andre, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \sqrt{\textcolor{green}{3}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 + \textcolor{green}{10}^2} \\ &= \sqrt{113} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a), og kryssproduktet \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Kryssproduktet står vinkelrett på grunnflata. Høyden er derfor hvor langt vektoren fra \( D \) til \( T \) rekker i retningen til denne vektoren.

1. Sett opp formelen Med en normalvektor \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og et punkt \( D \) i planet forteller avstandsformelen oss at: \[ h = \dfrac{\left|\textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}\right|}{\left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right|} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\vec{n}} &= \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \\ \left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right| &= \sqrt{113} \end{aligned} \]

2. Plugg inn Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram? Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{green}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{green}{10} \cdot \textcolor{red}{4}|}{\sqrt{113}} \\ &= \dfrac{41}{\sqrt{113}} \approx 3{,}86 \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Et plan er bestemt av en normalvektor og ett punkt. Normalvektoren har vi, og punktet kan vi velge.

1. Skriv opp likningen Likningen til et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{blue}{b},\ \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[3,\ -2,\ 10]} \\ (\textcolor{red}{x_0},\ \textcolor{red}{y_0},\ \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(4,\ 1,\ -1)} \end{aligned} \]

2. Plugg inn punktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{3}(x - \textcolor{red}{4}) \textcolor{blue}{{}- 2}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{10}(z + \textcolor{red}{1}) = 0 \\ &3x - 12 - 2y + 2 + 10z + 10 = 0 \\ &3x - 2y + 10z = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Vinkelen ligger i \( D\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet til de to vektorene som går ut fra \( D\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Siden \( D \) er origo, er vektorene de samme som koordinatene til punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} &= \textcolor{blue}{[2,\ 3,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \end{aligned} \]

2. Bruk skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Regelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 5 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}}| &= \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}| &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \theta\text{,} \) får vi, avrundet til én desimal: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}}\right) \\ \theta &\approx 70{,}9^\circ \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner så koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [3 - (-2),\ 1 - 1,\ 1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [1 - 3,\ 3 - 1,\ -2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektoren Vi regner koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer, og et tall ganger hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} \vec{a} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} - 2\textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \\ &= [5 + 4,\ 0 - 4,\ -1 + 6] \\ &= [9, -4, 5] \end{aligned} \]

Vinkelen mellom to vektorer finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp vektorene Siden \( O \) er origo, har vektorene de samme koordinatene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarprodukt og lengder Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Du ser regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( \theta \) vinkelen mellom vektorene. Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor, med en tredje koordinat: \[ |\textcolor{blue}{\vec{u}}| = \sqrt{\textcolor{blue}{u_1}^2 + \textcolor{blue}{u_2}^2 + \textcolor{blue}{u_3}^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= -6 + 1 + 2 = -3 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}}| &= \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{OB}}| &= \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{-3}{3\sqrt{11}} = -\dfrac{1}{\sqrt{11}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right) \\ \theta &\approx 107{,}5^\circ \end{aligned} \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi sette opp likningen for planet.

1. Finn to vektorer i planet Vi tar sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - (-2),\ 3 - 1,\ -2 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[3, 2, -4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \) er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Det er det samme som å ta en determinant, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 2 \\ y &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 17 \\ z &= \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 10 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{green}{[2, 17, 10]} \]

3. Sett opp likningen Et plan med normalvektor \( \textcolor{green}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn punktet \( {A(-2, 1, 2)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x + 2) + \textcolor{green}{17}(y - 1) \\ &+ \textcolor{green}{10}(z - 2) = 0 \\ &2x + 4 + 17y - 17 + 10z - 20 = 0 \\ &2x + 17y + 10z - 33 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tetraederet er utspent av tre vektorer fra \( A\text{,} \) så vi bruker volumformelen med vektorproduktet og skalarproduktet.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer er gitt ved: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{w}}\right| \]Volum som grunnflate ganger høyde ser du i videoen Volum og Overflate.

Her er, med vektorproduktet fra c): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [2, 17, 10] \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{AO}} &= \textcolor{green}{[2, -1, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6} \left|2 \cdot \textcolor{green}{2} + 17(\textcolor{green}{-1}) + 10(\textcolor{green}{-2})\right| \\ &= \dfrac{1}{6} \left|4 - 17 - 20\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren til \( \alpha \) fra c).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Planet inneholder \( \overrightarrow{OB}\text{,} \) og siden det står normalt på \( \alpha\text{,} \) inneholder det også normalvektoren til \( \alpha\text{.} \)

1. Finn punktet og retningene \( \overrightarrow{OB} \) ligger i \( \beta\text{,} \) så origo ligger i planet, og én retning er: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} = \overrightarrow{OB} = \textcolor{blue}{[3, 1, 1]} \]

\( \beta \) står normalt på \( \alpha\text{,} \) så normalvektoren til \( \alpha \) er parallell med \( \beta\text{.} \) Normalvektoren kan vi lese av likningen fra c), og den er den andre retningen: \[ \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{[2, 17, 10]} \]

Koordinatene er ikke proporsjonale, så vektorene er ikke parallelle, og de utspenner et plan: \[ \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{17}{1} \]

2. Skriv parameterframstillingen Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningene \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{v}} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} x &= x_0 + s\textcolor{blue}{u_1} + t\textcolor{red}{v_1} \\ y &= y_0 + s\textcolor{blue}{u_2} + t\textcolor{red}{v_2} \\ z &= z_0 + s\textcolor{blue}{u_3} + t\textcolor{red}{v_3} \end{aligned} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn origo og de to retningene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{2}t \\ y &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{17}t \\ z &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{10}t \end{aligned} \]

Andre framstillinger av samme plan er også riktige, for eksempel med punktet \( B \) i stedet for origo.

Vi finner vektorene og lengdene først. Vinkelen får vi så fra skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [6 - 3, 1 - 2, -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 3, 4 - 2, 0 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn lengdene Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-3})^2} \\ &= \sqrt{19} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}| &= \sqrt{\textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\ &= 0 - 2 + 6 = 4 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{4}{\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{38}} \\ v &= \arccos \dfrac{2}{\sqrt{38}} \approx 71{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) fra a).

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vi setter derfor \( {\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}} \) og løser for \( C\text{.} \)

1. Sett opp vektorene I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \]

Vi kaller \( {C = (x, y, z)}\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?, gir: \[ \overrightarrow{DC} = [x - 3, y - 4, z - 0] \]

2. Løs for koordinatene \( ABCD \) er et parallellogram når \( {\overrightarrow{DC} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vi setter koordinatene like hver for seg: \[ \begin{aligned} x - 3 &= \textcolor{blue}{3} & &\Rightarrow & x &= 6 \\ y - 4 &= \textcolor{blue}{-1} & &\Rightarrow & y &= 3 \\ z &= \textcolor{blue}{-3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AD} \) fra a).

Arealet av et parallellogram utspent av to vektorer er lengden av kryssproduktet. Vi regner ut kryssproduktet og tar lengden.

1. Regn ut kryssproduktet Arealet av parallellogrammet utspent av \( \textcolor{blue}{\vec{a}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{b}} \) er: \[ G = |\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}| \]

Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Hvis du vil se kryssproduktet regnet som determinant, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2} = 8 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) = 6 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} = 6 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] \]

2. Finn lengden Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} G &= \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} \\ &= 2\sqrt{34} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går \( t \) ganger retningsvektoren \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Finn retningsvektoren Med \( A(3, 2, 2) \) og \( {C(6, 3, -3)} \) fra b) gir sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [6 - 3, 3 - 2, -3 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, 1, -5]} \end{aligned} \]

2. Sett opp parameterframstillingen Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi starter i \( \textcolor{red}{A} \) og går \( t \) ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{3}t \\ y &= \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1}t \\ z &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{{}- 5}t \end{aligned} \]

Vi regner ut midtpunktet til hvert av de to punktparene og ser at de er like.

1. Finn begge midtpunktene Midtpunktet mellom to punkter er gjennomsnittet av koordinatene: \[ M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}, \dfrac{z_1 + z_2}{2}\right) \]Vi legger sammen koordinatene hver for seg og deler på \( 2\text{,} \) slik vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

Med \( \textcolor{blue}{A(3, 2, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{C(6, 3, -3)}} \) får vi: \[ \begin{aligned} M &= \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3 + 6}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 - 3}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{B(6, 1, -1)}} \) og \( \textcolor{red}{D(3, 4, 0)} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{\textcolor{red}{6 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{1 + 4}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{-1 + 0}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Punktene er like, så \( M \) er også midtpunktet mellom \( B \) og \( D\text{.} \)

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \) fra c).

Høyden er avstanden fra \( T \) til planet grunnflaten ligger i. Vi finner likningen til planet, og bruker avstandsformelen.

1. Finn likningen til planet Kryssproduktet står vinkelrett på begge vektorene i grunnflaten, så det er en normalvektor. I c) fant vi: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] = 2 \cdot \textcolor{blue}{[4, 3, 3]} \]

Planet gjennom et punkt med en normalvektor har likningen, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her er normalvektoren den enkleste, og punktet er \( A\text{:} \) \[ [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] = \textcolor{blue}{[4, 3, 3]}, \quad A = (\textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}) \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4}(x - \textcolor{red}{3}) + \textcolor{blue}{3}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{blue}{3}y + \textcolor{blue}{3}z - 24 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk avstandsformelen Avstanden fra et punkt \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{blue}{b}y + \textcolor{blue}{c}z + d = 0} \) er: \[ h = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{c}\textcolor{red}{z_0} + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{blue}{c}^2}} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{4}, \ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{3}, \ \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{3}, \ d = -24 \\ T &= (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{5}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} - 24|}{\sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{3}^2}} \\ &= \dfrac{|16 + 6 + 15 - 24|}{\sqrt{34}} \\ &= \dfrac{13}{\sqrt{34}} \end{aligned} \]

Begge regnes ut fra koordinatene. Skalarproduktet gir et tall, og vektorproduktet gir en ny vektor.

1. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet (prikkproduktet) får vi ved å gange koordinatene parvis og legge sammen: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_1} + \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_2} + \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_3} \]Videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram bruker at det er \( 0 \) for vinkelrette vektorer.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{(-2)} \\ &\quad + \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= -2 - 2 - 3 = -7 \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{(-2)} = 1 \\ y &= \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{3} = 5 \\ z &= \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{(-2)} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = 3 \end{aligned} \]

Vi bruker skalarproduktet fra a).

Skalarproduktet henger sammen med vinkelen, så vi finner lengdene og løser for \( \cos\theta\text{.} \)

1. Skriv opp regelen og finn lengdene Skalarproduktet med vinkel forteller oss at: \[ \textcolor{green}{\vec{u} \cdot \vec{v}} = \textcolor{blue}{|\vec{u}|} \cdot \textcolor{red}{|\vec{v}|} \cdot \cos\theta \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengden til en vektor finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{|\vec{u}|} &= \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{6}} \\ \textcolor{red}{|\vec{v}|} &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \textcolor{red}{\sqrt{14}} \end{aligned} \]

I a) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{u} \cdot \vec{v} = -7}}\text{.} \)

2. Løs for vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-7} &= \textcolor{blue}{\sqrt{6}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{14}} \cdot \cos\theta \\ \cos\theta &= \dfrac{-7}{\sqrt{84}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{-7}{\sqrt{84}}\right) \\ \theta &\approx 139{,}8^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a).

Vektorproduktet står vinkelrett på både \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{,} \) så det er en normalvektor til planet.

1. Finn normalvektoren I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \vec{u} \times \vec{v} = \textcolor{blue}{[1, 5, 3]} \]

2. Sett opp likningen Likningen til et plan med normalvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[1, 5, 3]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{5}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x + 5y + 3z &= 0 \end{aligned} \]

Et parallelt plan spennes ut av de samme vektorene. Vi starter derfor i \( P \) og går langs \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{.} \)

1. Sett opp framstillingen Vi kommer til alle punktene i \( \beta \) ved å starte i \( \textcolor{green}{P} \) og legge til en del av \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og en del av \( \textcolor{red}{\vec{v}}\text{:} \) \[ (x, y, z) = \textcolor{green}{P} + \textcolor{blue}{s \cdot \vec{u}} + \textcolor{red}{t \cdot \vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en framstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{(2, 3, -2)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{red}{[1, -2, 3]} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi én likning per koordinat: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 2s} \textcolor{red}{{}+ t} \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}+ s} \textcolor{red}{{}- 2t} \\ z &= \textcolor{green}{-2} \textcolor{blue}{{}- s} \textcolor{red}{{}+ 3t} \end{aligned} \]

Andre svar er også riktige. Vi kan for eksempel bruke et annet punkt i planet enn \( P\text{.} \)

Vi bruker punktet \( P \) fra d).

Linja går gjennom både \( P \) og \( Q\text{,} \) så \( \overrightarrow{PQ} \) er en retningsvektor for den.

1. Finn retningsvektoren En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{PQ}} &= [4 - 2,\ 1 - 3,\ -3 - (-2)] \\ &= \textcolor{blue}{[2, -2, -1]} \end{aligned} \]

2. Sett opp framstillingen Vi starter i \( \textcolor{green}{P} \) og går en del \( t \) av retningsvektoren, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ (x, y, z) = \textcolor{green}{P} + t \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{PQ}} \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{green}{P(2, 3, -2)}} \) og \( {\textcolor{blue}{[2, -2, -1]}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} + \textcolor{blue}{2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 2}t \\ z &= \textcolor{green}{-2} \textcolor{blue}{{}- 1}t \end{aligned} \]

Andre svar er også riktige. Vi kan for eksempel starte i \( Q\text{.} \)

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Vinkelen finner vi med skalarproduktet og lengdene.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 2,\ -1 - 1,\ 0 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 2,\ 10 - 1,\ 3 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[-3, 9, 1]} \end{aligned} \]

2. Skriv opp vinkelformelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Sammenhengen mellom skalarproduktet og vinkelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{w}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \cdot [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{x_2} + \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{y_2} + \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{z_2} \end{aligned} \]

Plugger vi inn vektorene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 6 - 18 - 2 \\ &= -14 \end{aligned} \]

Lengden til en vektor er, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{9 + 81 + 1} = \sqrt{91} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle BAC &= \dfrac{-14}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{91}} = \dfrac{-14}{\sqrt{1092}} \\ \angle BAC &= \cos^{-1}\left( \dfrac{-14}{\sqrt{1092}} \right) \\ &\approx 115{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet vektorene utspenner. Trekanten er halvparten av det.

1. Skriv opp arealformelen Arealet av en trekant utspent av to vektorer er: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| \]

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3, 9, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \times [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= [\textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{y_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{z_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{x_2}] \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kryssproduktet, forklares det underveis i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{y_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{z_1} &= \textcolor{blue}{-2} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{-3} & \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{red}{9} & \textcolor{red}{z_2} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} &= 16 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= 8 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{9} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) &= -24 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [16, 8, -24] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektoren er: \[ \begin{aligned} \left| [16, 8, -24] \right| &= \sqrt{256 + 64 + 576} \\ &= \sqrt{896} = 8\sqrt{14} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i arealformelen, får vi: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{14} = 4\sqrt{14} \approx 15{,}0 \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

En normalvektor står vinkelrett på to ikke-parallelle vektorer i planet. Vi viser derfor at skalarproduktet med begge er \( 0\text{.} \)

1. Regn ut skalarproduktene Skalarproduktet er \( 0 \) for vinkelrette vektorer, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?: \[ \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \]

Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [2, 1, -3]}\text{.} \) Fra a) har vi \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[-2, -2, -2]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-3, 9, 1]}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \\ &= 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) + 1 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) - 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -4 - 2 + 6 = 0 \\ &\vec{n} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= 2 \cdot (\textcolor{red}{-3}) + 1 \cdot \textcolor{red}{9} - 3 \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= -6 + 9 - 3 = 0 \end{aligned} \]

2. Trekk konklusjonen \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) ligger i planet og er ikke parallelle, siden vinkelen mellom dem er \( 115{,}1^\circ\text{.} \) Dermed står \( {[2, 1, -3]} \) vinkelrett på planet.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: normalvektoren står i oppgaveteksten til c).

Med en normalvektor og et punkt i planet kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Oppgaven i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ? gjør det samme.

Her er \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] \) normalvektoren fra c), og \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{c} &= \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{red}{x_0} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{y_0} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{z_0} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}(x - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \textcolor{blue}{{}- 3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ 2x - 4 + y - 1 - 3z + 6 &= 0 \\ 2x + y - 3z + 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sjekk de andre punktene \( B \) og \( C \) skal også passe i likningen: \[ \begin{aligned} B&: \quad 2 \cdot 0 + (-1) - 3 \cdot 0 + 1 = 0 \\ C&: \quad 2 \cdot (-1) + 10 - 3 \cdot 3 + 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker planet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Punktet må ligge på linja. Vi finner derfor \( t \) fra \( {x\text{-koordinaten}} \) og \( k \) fra \( {z\text{-koordinaten.}} \)

1. Finn parameteren En parameterframstilling skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. I punktet er \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + t &= 2 \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{1}} \) stemmer også \( {y\text{-koordinaten:}} \) \[ y = 3 - 8 \cdot \textcolor{blue}{1} = -5 \]

2. Finn k I punktet er \( {z = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + k \cdot \textcolor{blue}{1} &= 0 \\ k &= -1 \end{aligned} \]

3. Sjekk at punktet er i planet Planet fra d) har likningen \( {2x + y - 3z + 1 = 0}\text{.} \) Vi setter inn punktet: \[ 2 \cdot 2 + (-5) - 3 \cdot 0 + 1 = 0 \]

Punktet ligger i planet.