Hopp til hovedinnholdet

Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

abc-formelen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

14 oppgaver om abc-formelen · viser 11–14

Oppgavene

Ordinær eksamen 2023

Oppgave 1

3 poeng

Løs likningene.

Oppgave 1a)

(x−2)(x+3)=6 (x - 2)(x + 3) = 6
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
x=3∨x=−4‾‾ \underline{\underline{x = 3 \quad \vee \quad x = -4}}
Oppgave 1A - Løs likningen, video, 04:36
Vi ser at vi får et andregradsuttrykk når vi ganger ut parentesene. Da bruker vi abc-formelen.
1. Gang ut parentesene 0:39 Vi ganger hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} (x - 2)(x + 3) &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned} \]
2. Samle alt på én side 1:04 Vi setter dette inn i likningen og flytter alle leddene over på venstre side: \[ \begin{aligned} x^2 + x - 6 &= 6 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \end{aligned} \]
3. Bruk abc-formelen 2:12 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} \end{aligned} \]
Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \\ x_2 &= \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \end{aligned} \]

Oppgave 1b)

5tan⁡x=−3,x∈[−π,π] 5\tan x = -3, \quad x \in [-\pi, \pi]
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til to desimaler:
x=−arctan⁡(35)≈−0,54‾‾ \underline{\underline{x = -\arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) \approx -0{,}54}}
x=π−arctan⁡(35)≈2,60‾‾ \underline{\underline{x = \pi - \arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) \approx 2{,}60}}
Oppgave 1B - Løs likningen, video, 05:20
Vi isolerer tangens og bruker tangens invers. Siden tangens gjentar seg, må vi til slutt sjekke hvilke løsninger som ligger i intervallet.
1. Isoler tangens 0:18 Vi deler begge sider på \( 5\text{:} \) \[ \tan x = -\dfrac{3}{5} \]
2. Bruk tangens invers 0:36 Tangens gjentar seg for hver halve runde på enhetssirkelen. Med et helt tall \( k \) er derfor løsningene av en slik likning: \[ \begin{aligned} \tan x &= \textcolor{blue}{a} \\ x &= \arctan \textcolor{blue}{a} + \pi k \end{aligned} \]Knappen for tangens invers på kalkulatoren finner du i videoen Introduksjon til Trigonometri.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \arctan\left(\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}}\right) + \pi k \\ &= -\arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) + \pi k \\ &\approx -0{,}54 + \pi k \end{aligned} \]
3. Test verdier av k 2:56 Svarene skal ligge mellom \( {-\pi \approx -3{,}14} \) og \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Vi tester verdier av \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = -1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 - 3{,}14 = -3{,}68 \\ k = 0\text{:}\ x &\approx -0{,}54 \\ k = 1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 3{,}14 = 2{,}60 \\ k = 2\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 6{,}28 = 5{,}74 \end{aligned} \]
Bare \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) gir verdier i intervallet, så likningen har to løsninger.

Oppgave 1c)

2+3e−x=ex 2 + 3e^{-x} = e^x
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
x=ln⁡3‾‾ \underline{\underline{x = \ln 3}}
Oppgave 1C - Løs likningen, video, 06:32
Vi ser at \( {e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\text{.} \) Fjerner vi brøken, får vi en andregradslikning i \( e^x\text{.} \)
1. Fjern brøken 0:18 Vi skriver om \( {e^{-x}} \) og flytter \( 2 \) over på høyre side: \[ \begin{aligned} 2 + \dfrac{3}{e^x} &= e^x \\ \dfrac{3}{e^x} &= e^x - 2 \end{aligned} \]
Så ganger vi begge sider med \( e^x\text{,} \) og flytter \( 3 \) over: \[ \begin{aligned} 3 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x \\ 0 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x - 3 \end{aligned} \]
2. Skift variabel 2:36 Skifter vi ut \( e^x \) med \( u\text{,} \) får vi en vanlig andregradslikning: \[ u^2 - 2u - 3 = 0 \]
3. Bruk abc-formelen 3:06 abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ u_1 = 3 \quad \vee \quad u_2 = -1 \]
4. Gå tilbake til x 5:00 Vi satte \( {u = e^x}\text{,} \) så vi må løse: \[ e^x = 3 \quad \vee \quad e^x = -1 \]
\( e^x \) er alltid positiv, så \( {e^x = -1} \) har ingen løsning: \[ e^x > 0 \quad \text{for alle } x \]
På \( {e^x = 3} \) tar vi \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{magenta}{b}}\right) = \textcolor{magenta}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.
Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^{\textcolor{magenta}{x}}\right) &= \ln 3 \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot \ln e &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2023

Oppgave 2

2 poeng

Løs ulikhetene.

Oppgave 2a)

x2−9x−10≥0 x^2 - 9x - 10 \geq 0
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
x≤−1∨x≥10‾‾ \underline{\underline{x \leq -1 \quad \vee \quad x \geq 10}}
Oppgave 2A - Løs ulikheten, video, 06:55
Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer uttrykket. Så leser vi av et fortegnsskjema hvor det er større enn eller lik \( 0\text{.} \)
1. Finn nullpunktene 0:19 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-9}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\textcolor{red}{9} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \dfrac{9 \pm 11}{2} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ x_1 = 10 \quad \vee \quad x_2 = -1 \]
2. Faktoriser uttrykket 2:04 Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 10} \) og \( {x_2 = -1}\text{,} \) blir ulikheten: \[ (\textcolor{darkorange}{x - 10})(\textcolor{magenta}{x + 1}) \geq 0 \]
3. Tegn fortegnsskjema 2:33 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 10], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 10}", "expr": "x - 10"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "(x - 10)(x + 1)", "expr": "(x - 10)(x + 1)"}]}
En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)
4. Les av svaret 6:07 Produktet skal være positivt eller \( 0\text{.} \) Det er det fra og med \( {x = 10} \) og oppover, og fra og med \( {x = -1} \) og nedover: \[ x \leq -1 \quad \vee \quad x \geq 10 \]

Oppgave 2b)

2cos⁡2t+cos⁡t<0,t∈[0,2π⟩ 2\cos^2 t + \cos t < 0, \quad t \in [0, 2\pi\rangle
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
t∈⟨π2,2π3⟩∪⟨4π3,3π2⟩‾‾ \underline{\underline{t \in \left\langle \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{2\pi}{3} \right\rangle \cup \left\langle \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{3\pi}{2} \right\rangle}}
Oppgave 2B - Løs ulikheten, video, 13:47
Vi setter \( {u = \cos t} \) og løser ulikheten for \( u \) med et fortegnsskjema. Så går vi tilbake til \( t \) med enhetssirkelen.
1. Skift variabel 0:50 Vi setter \( {u = \cos t}\text{,} \) og siden \( {\cos^2 t = (\cos t)^2} \) får vi: \[ 2u^2 + u < 0 \]
2. Finn nullpunktene 1:30 Vi faktoriserer ut \( u\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u}(\textcolor{magenta}{2u + 1}) < 0 \]
Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \vee \quad \textcolor{magenta}{2u + 1} = 0 \]
Løser vi den andre for \( u\text{,} \) får vi: \[ u = 0 \quad \vee \quad u = -\dfrac{1}{2} \]
3. Tegn fortegnsskjema 3:02 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{u}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2u + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "u(2u + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]}
En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom de to strekene: \[ -\dfrac{1}{2} < u < 0 \]
4. Gå tilbake til cosinus 5:55 Vi satte \( {u = \cos t}\text{,} \) så vi må finne vinklene der: \[ -\dfrac{1}{2} < \cos t < 0 \]
På enhetssirkelen er \( \cos t \) førstekoordinaten til punktet på sirkelen. Vi trenger altså punktene i det skraverte feltet:
5. Finn det første intervallet 9:11 Feltet treffer sirkelen i én bue øverst og én nederst. Den øverste buen starter der \( {\cos t = 0}\text{:} \) \[ t = \dfrac{\pi}{2} \]
Den slutter der \( {\cos t = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) som vi finner med cosinus invers: \[ t = \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3} \]
Det gir oss: \[ \dfrac{\pi}{2} < t < \dfrac{2\pi}{3} \]
6. Finn det andre intervallet 10:47 Den nederste buen er speilbildet av den øverste om førsteaksen. Vinkelen med samme cosinusverdi finner vi ved å trekke fra en hel runde: \[ t = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]
Buen slutter der \( {\cos t = 0} \) igjen, etter tre kvarte runder: \[ t = \dfrac{3\pi}{2} \]
Det gir oss: \[ \dfrac{4\pi}{3} < t < \dfrac{3\pi}{2} \]

Ordinær eksamen 2019

Oppgave 1

3 poeng

Løs likningene ved regning. Løsningene skal gis ved eksakte svar.

Oppgave 1a)

1x−2−1x=12 \dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
x=1−5  eller  x=1+5‾‾ \underline{\underline{x = 1 - \sqrt{5} \ \text{ eller } \ x = 1 + \sqrt{5}}}
Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor med fellesnevneren, så brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.
1. Gang med fellesnevneren Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{2x(x - 2)}}\text{.} \) Hvert ledd ganget med den blir: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 2} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= 2x \\ \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= 2(x - 2) \\ \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{darkorange}{2x(x - 2)} &= x(x - 2) \end{aligned} \]
Likningen blir da: \[ \begin{aligned} 2x - 2(x - 2) &= x(x - 2) \\ 2x - 2x + 4 &= x^2 - 2x \\ 0 &= x^2 - 2x - 4 \end{aligned} \]
2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{5} \end{aligned} \]
Ingen av disse er \( 0 \) eller \( 2\text{,} \) så begge er løsninger.

Oppgave 1b)

(ln⁡x)2+2ln⁡x=8 (\ln x)^2 + 2\ln x = 8
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
x=e2  eller  x=e−4‾‾ \underline{\underline{x = e^2 \ \text{ eller } \ x = e^{-4}}}
Vi ser at \( \ln x \) går igjen, akkurat som \( x \) i en andregradslikning. Vi bytter den derfor ut med en ny bokstav.
1. Bytt ut logaritmen Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) der \( {x > 0}\text{.} \) Det samme grepet, med \( e^x \) i stedet, ser du i videoen Oppgave 1C - Løs likningen. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u}^2 + 2\textcolor{darkorange}{u} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{u}^2 + 2\textcolor{darkorange}{u} - 8 &= 0 \end{aligned} \]
2. Løs for den nye bokstaven abc-formelen forteller oss at: \[ \textcolor{darkorange}{u} = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 6}{2} \\ \textcolor{darkorange}{u} &= 2 \ \text{ eller } \ \textcolor{darkorange}{u} = -4 \end{aligned} \]
3. Finn x Fra definisjonen av den naturlige logaritmen, som i videoen Naturlige Logaritmer, vet vi at: \[ \ln x = k \ \Leftrightarrow \ x = e^k \]
Setter vi tilbake \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \ &\Rightarrow \ x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -4 \ &\Rightarrow \ x = e^{-4} \end{aligned} \]
Begge er positive, så begge er løsninger.

Oppgave 1c)

sin⁡x+3cos⁡x=0x∈[π,2π⟩ \sin x + \sqrt{3}\cos x = 0 \quad x \in [\pi, 2\pi\rangle
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
x=5π3‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{5\pi}{3}}}
Vi ser at vi har både sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler derfor på \( \cos x\text{,} \) så får vi en likning med bare tangens.
1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da blir venstre side: \[ \pm 1 + \sqrt{3} \cdot 0 = \pm 1 \neq 0 \]
Altså er \( {\cos x \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på den. Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \]
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3}\cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]
2. Finn vinklene Vi kjenner eksaktverdiene for vinkelen \( \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \\ \tan\left(-\textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right) &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]
Hvordan vi leser av en vinkel på enhetssirkelen, ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der gjelder \( {\tan(-x) = -\tan x}\text{,} \) som gir raden over, og tangens har periode \( \pi\text{.} \) Alle løsningene er derfor: \[ x = -\textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{3}} + \textcolor{red}{k} \cdot \pi \]
3. Velg vinkelen i intervallet Vi prøver heltall for \( \textcolor{red}{k}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = 1 &: \ x = \dfrac{2\pi}{3} < \pi \\ \textcolor{red}{k} = 2 &: \ x = \dfrac{5\pi}{3} \in [\pi, 2\pi\rangle \\ \textcolor{red}{k} = 3 &: \ x = \dfrac{8\pi}{3} > 2\pi \end{aligned} \]
Bare \( {\textcolor{red}{k} = 2} \) gir en vinkel i intervallet.

Ordinær eksamen 2018

Oppgave 5

1 poeng

Finn arealet av figuren:
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Avrundet til én desimal, som sidene i figuren, er:
Arealet≈24,0‾‾ \underline{\underline{\text{Arealet} \approx 24{,}0}}
Vi deler firkanten i to trekanter med diagonalen \( BD\text{.} \) I trekant \( ABD \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, og i trekant \( BCD \) finner vi siden \( CD \) med cosinussetningen.
1. Finn arealet av trekant ABD Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{C} \]der \( \textcolor{green}{C} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3{,}4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6{,}0}} \) og \( {\textcolor{green}{C} = \textcolor{green}{65^\circ}}\text{,} \) så: \[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3{,}4} \cdot \textcolor{red}{6{,}0} \cdot \sin \textcolor{green}{65^\circ} \approx \underline{9{,}244} \]
2. Finn diagonalen BD Cosinussetningen forteller oss at: \[ c^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} \cos \textcolor{green}{C} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Plugger vi inn de samme tallene, med \( {c = BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{3{,}4}^2 + \textcolor{red}{6{,}0}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{3{,}4} \cdot \textcolor{red}{6{,}0} \cdot \cos \textcolor{green}{65^\circ} \\ &\approx 30{,}31717 \end{aligned} \]
Merk – Ikke rund av for tidlig: Vi regner videre med alle desimalene på kalkulatoren, og viser nok av dem til at du får de samme tallene. Vi runder av først i svaret.
3. Sett opp likningen for CD Vi bruker cosinussetningen i trekant \( BCD\text{,} \) med vinkelen \( 50^\circ \) i \( C\text{.} \) Der er \( BD \) siden rett overfor vinkelen. Vi kaller \( {CD = \textcolor{magenta}{y}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} BD^2 &= 7{,}1^2 + \textcolor{magenta}{y}^2 \\ &\quad - 2 \cdot 7{,}1 \cdot \textcolor{magenta}{y} \cdot \cos 50^\circ \end{aligned} \]
Plugger vi inn \( BD^2 \) og samler alt på én side, får vi en andregradslikning: \[ \textcolor{magenta}{y}^2 - 9{,}12758\textcolor{magenta}{y} + 20{,}09283 = 0 \]
4. Løs likningen med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ \textcolor{magenta}{y} = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-9{,}12758} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{20{,}09283} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r} &= \textcolor{red}{9{,}12758}^2 \\ &\quad - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{20{,}09283} \\ &\approx 2{,}9414 \\ \textcolor{magenta}{y} &= \dfrac{\textcolor{red}{9{,}12758} \pm \sqrt{2{,}9414}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ \textcolor{magenta}{y} &\approx 5{,}4213 \ \text{ eller } \ \textcolor{magenta}{y} \approx 3{,}7063 \end{aligned} \]
5. Velg roten som passer med figuren Begge tallene er positive, og hver av dem gir en firkant. Regner vi ut vinklene i \( B \) og \( D\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} CD \approx 5{,}4213\text{:} \ & B \approx 130^\circ, \ D \approx 115^\circ \\ CD \approx 3{,}7063\text{:} \ & B \approx 112^\circ, \ D \approx 133^\circ \end{aligned} \]
Måler vi i figuren, er vinkelen i \( B \) omtrent \( 130^\circ \) og vinkelen i \( D \) omtrent \( 115^\circ\text{.} \) Figuren avgjør altså, og: \[ CD = \textcolor{magenta}{y} \approx 5{,}4213 \]
Merk – To firkanter: Den andre roten gir en annen firkant, med arealet \( {T \approx 19{,}32}\text{.} \) Det er ikke firkanten i figuren.
6. Finn arealet av trekant BCD Vi bruker arealsetningen igjen, med vinkelen \( 50^\circ \) mellom sidene \( 7{,}1 \) og \( CD\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_2 &= \dfrac{1}{2} \cdot 7{,}1 \cdot \textcolor{magenta}{5{,}4213} \cdot \sin 50^\circ \\ &\approx \underline{14{,}743} \end{aligned} \]
7. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T &= T_1 + T_2 \\ &\approx 9{,}244 + 14{,}743 = 23{,}987 \end{aligned} \]