2P eksamen høsten 2023 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDFVideogjennomgang19 videoer

Del 1

Uten hjelpemidler · 4 oppgaver

Oppgave 1

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

• Hver enkeltbillett koster 25 kroner. • Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Oppgave 1a)

Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?

Vis løsning

Svar

Siden

{16 \cdot 25 = 400}

er mindre enn 415 og

{17 \cdot 25 = 425}

er mer:

\underline{\underline{\text{Minst } 17 \text{ reiser}}}

Oppgave 1A - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023

Fleksikortet koster 415 kroner uansett hvor mange av reisene hun bruker. Det lønner seg når enkeltbillettene til sammen ville kostet mer, så vi setter opp en ulikhet.

1. Sett opp ulikheten 1:49 Med $ \textcolor{blue}{x} $ reiser koster enkeltbillettene $ {\textcolor{blue}{x} \cdot 25} $ kroner. Fleksikortet lønner seg når enkeltbillettene koster mer enn $ \textcolor{red}{415} $ kroner: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot 25 > \textcolor{red}{415} \]

Vi deler med 25 på begge sider: \[ \textcolor{blue}{x} > \dfrac{\textcolor{red}{415}}{25} \]

2. Del 415 på 25 i hodet 3:13 Vi trenger bare å vite hvor mange ganger 25 går opp i $ \textcolor{red}{415}\text{,} $ ikke et kommatall. Vi bygger oss opp: \[ \begin{aligned} 10 \cdot 25 + 6 \cdot 25 &= 250 + 150 = 400 \\ 17 \cdot 25 &= 400 + 25 = 425 \end{aligned} \]

Med 16 reiser koster enkeltbillettene 400 kroner, mindre enn $ \textcolor{red}{415}\text{.} $ Med 17 reiser koster de 425 kroner, mer enn $ \textcolor{red}{415}\text{.} $ Fra 17 reiser lønner det seg altså å kjøpe fleksikortet.

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Oppgave 1b)

Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?

Vis løsning

Svar

Hun sparer 85 av 500 kroner:

\underline{\underline{17\,\%}}

Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi finner hvor mye 20 enkeltbilletter koster, og hvor mye hun sparer med fleksikortet. Så deler vi det hun sparer, på prisen for enkeltbillettene.

1. Finn prisen for enkeltbillettene 0:34 Vi skriver 20 som $ {2 \cdot 10} $ for å regne det i hodet: \[ 20 \cdot 25 = 2 \cdot 10 \cdot 25 = 2 \cdot 250 = \textcolor{blue}{500} \]

Fleksikortet koster 415 kroner, så hun sparer: \[ \textcolor{blue}{500} - 415 = \textcolor{red}{85} \text{ kroner} \]

2. Del på prisen for enkeltbillettene 2:07 Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{del}}}{\textcolor{blue}{\text{hel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Delen er de $ \textcolor{red}{85} $ kronene hun sparer, og det hele er prisen for 20 enkeltbilletter, $ \textcolor{blue}{500} $ kroner. Vi utvider brøken med 2, så nevneren blir 1000: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{85}}{\textcolor{blue}{500}} \cdot 100\,\% &= \dfrac{170}{1000} \cdot 100\,\% \\ &= 0{,}17 \cdot 100\,\% = 17\,\% \end{aligned} \]

Oppgave 2

På et kart er avstanden mellom to byer

40\,\text{cm}\text{.}

I virkeligheten er avstanden

20\,\text{km}\text{.}

Bestem målestokken til kartet.

Vis løsning

Svar

1 cm på kartet er 50 000 cm, altså 500 m, i virkeligheten:

\underline{\underline{1 : 50\,000}}

Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023

Målestokken sier hvor langt 1 cm på kartet er i virkeligheten. Vi finner det, og gjør det om til centimeter, så begge sidene får samme enhet.

1. Finn hvor langt 1 cm er 0:44 $ \textcolor{blue}{40\,\text{cm}} $ på kartet er $ \textcolor{red}{20\,\text{km}} $ i virkeligheten. Deler vi på 40, finner vi hva 1 cm er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{20\,\text{km}}}{\textcolor{blue}{40\,\text{cm}}} = \dfrac{2\,\text{km}}{4\,\text{cm}} = \dfrac{0{,}5\,\text{km}}{1\,\text{cm}} \]1 cm på kartet er altså $ 0{,}5\,\text{km} $ i virkeligheten.

2. Gjør om til centimeter 1:30 Fra kilometer til meter ganger vi med 1000, og fra meter til centimeter med 100, som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter: \[ \begin{aligned} 0{,}5\,\text{km} &= 0{,}5 \cdot 1000\,\text{m} = 500\,\text{m} \\ 500\,\text{m} &= 500 \cdot 100\,\text{cm} = \textcolor{red}{50\,000\,\text{cm}} \end{aligned} \]

3. Skriv målestokken 3:51 Målestokken er lengden på kartet til lengden i virkeligheten, i samme enhet og med kolon mellom: \[ \textcolor{blue}{\text{kart}} : \textcolor{red}{\text{virkelighet}} = \textcolor{blue}{1} : \textcolor{red}{50\,000} \]

Kontroll: $ {40 \cdot 50\,000 = 2\,000\,000}\text{,} $ og $ {2\,000\,000\,\text{cm} = 20\,\text{km}}\text{.} $

Oppgave 3

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er

5\,\text{km}\text{,}

medianen er

8\,\text{km}

og gjennomsnittet er

9\,\text{km}\text{.}

Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.

• I det første alternativet skal du bruke

8\,\text{km}

minst én dag. • I det andre alternativet skal du ikke bruke

8\,\text{km}

noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.

Vis løsning

Svar

To av mange mulige alternativer, i kilometer:

\begin{aligned} &\underline{\underline{5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 8,\ 8,\ 10,\ 10,\ 10,\ 24}} \\ &\underline{\underline{5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 11,\ 11,\ 21}} \end{aligned}

Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi skriver de ti dagene i stigende rekkefølge og fyller inn ett krav om gangen: typetallet, medianen og så gjennomsnittet. Mange svar er riktige.

1. Skriv opp hva kravene betyr 1:04 Typetallet er tallet som kommer flest ganger. Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, og med ti tall er det gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{green}{\text{sum}}}{\text{antall}} \]

Gjennomsnittet 9 km over ti dager gir derfor summen: \[ \textcolor{green}{\text{sum}} = 9 \cdot 10 = \textcolor{green}{90} \]

2. Sett opp alternativ 1 1:20 Vi lar 5 komme fire ganger, så det blir typetallet, og setter $ \textcolor{blue}{8} $ som tall nummer 5 og 6: \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{8} + \textcolor{blue}{8}}{2} = 8 \]

Så langt er summen $ {20 + 16 = 36}\text{,} $ så de fire siste dagene må gi: \[ \textcolor{green}{90} - 36 = \textcolor{red}{54} \]

De fire siste må være minst 8, og ingen av dem kan komme fire ganger. Vi velger $ {10 + 10 + 10 + 24 = \textcolor{red}{54}}\text{:} $ \[ 5 \;\; 5 \;\; 5 \;\; 5 \;\; \textcolor{blue}{8} \;\; \textcolor{blue}{8} \;\; \textcolor{red}{10} \;\; \textcolor{red}{10} \;\; \textcolor{red}{10} \;\; \textcolor{red}{24} \]

3. Sett opp alternativ 2 6:16 Nå kan vi ikke bruke 8. Tall nummer 5 og 6 må likevel ha summen 16, så vi velger $ \textcolor{blue}{7} $ og $ \textcolor{blue}{9}\text{:} $ \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{9}}{2} = 8 \]

Med 5 fire ganger igjen er summen så langt 36, og de fire siste må gi $ \textcolor{red}{54}\text{.} $ Vi bytter ut tallene fra alternativ 1 og velger $ {11 + 11 + 11 + 21 = \textcolor{red}{54}}\text{:} $ \[ 5 \;\; 5 \;\; 5 \;\; 5 \;\; \textcolor{blue}{7} \;\; \textcolor{blue}{9} \;\; \textcolor{red}{11} \;\; \textcolor{red}{11} \;\; \textcolor{red}{11} \;\; \textcolor{red}{21} \]

Bare 5 er brukt før, så 6 av de 10 tallene er nye. Andre valg er også riktige, for eksempel 12, 13, 14 og 15 som de fire siste i alternativ 1.

Kontroll: Alternativ 2: summen er $ {20 + 16 + 33 + 21 = 90}\text{,} $ så gjennomsnittet er $ {\dfrac{90}{10} = 9}\text{.} $

Oppgave 4

Flere oppgaver om andregradslikninger

\begin{aligned} (x + 4)(x - 1) &= 0 \\ (x + 2)(x - 3) &= -6 \end{aligned}

Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.

Selma: «Høyresiden i den første likningen er lik null. Jeg er usikker, men kan vi da bare finne ut hva

x

må være for at det som står inne i en av parentesene skal bli lik null? Setter vi

{x = -4}\text{,}

får vi

{(-4 + 4) \cdot (-4 - 1)}

{{}= 0 \cdot (-5) = 0}

Setter vi

{x = 1}\text{,}

blir

{(x + 4)(x - 1)}

også lik null. Løsningene er derfor

{x_1 = -4}

{x_2 = 1}

Dette stemmer, men jeg vet ikke hvorfor.»

Tobine: «Vil det alltid være slik? I den andre likningen er høyresiden lik minus seks. Da må det som står inne i en av parentesene, bli minus seks? Er da løsningene

{x_1 = -8}

{x_2 = -3}\text{?}

Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen

{(x + 2)(x - 3) = -6}

Vis løsning

Svar

Et produkt er 0 bare når en faktor er 0, men

{-6}

kan være et produkt på mange måter:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Selma har rett}}} \\ &\underline{\underline{\text{Tobine tar feil}}} \\ &\underline{\underline{x = 0 \text{ eller } x = 1}} \end{aligned}

Oppgave 4 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023

Når vi skal kommentere det noen sier, sjekker vi først om det stemmer, og så finner vi ut hvorfor de har rett eller feil. Til slutt løser vi likningen ved å få 0 på høyre side.

1. Sjekk det Selma og Tobine sier 0:43 Selma setter inn $ {x = -4} $ og $ {x = 1} $ i den første likningen, og begge gir 0: \[ \begin{aligned} (-4 + 4)(-4 - 1) &= 0 \cdot (-5) = 0 \\ (1 + 4)(1 - 1) &= 5 \cdot 0 = 0 \end{aligned} \]Det Selma sier, stemmer.

Tobine setter hver parentes lik $ {-6} $ og får $ {x = -8} $ og $ {x = -3}\text{.} $ I den andre likningen gir de: \[ \begin{aligned} (-8 + 2)(-8 - 3) &= (-6) \cdot (-11) \\ &= 66 \\ (-3 + 2)(-3 - 3) &= (-1) \cdot (-6) \\ &= 6 \end{aligned} \]Ingen av dem gir $ {-6}\text{,} $ så det Tobine sier, stemmer ikke.

2. Forklar hvorfor 3:00 Et produkt er 0 bare når en av faktorene er 0: \[ \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = 0 \quad \text{gir} \quad \textcolor{blue}{a} = 0 \ \text{ eller } \ \textcolor{red}{b} = 0 \]Derfor virker metoden til Selma. Men $ {-6} $ kan vi få på mange måter, for eksempel $ {(-1) \cdot 6}\text{,} $ $ {(-2) \cdot 3} $ og $ {(-3) \cdot 2}\text{.} $ Ingen av faktorene trenger å være $ {-6}\text{,} $ så metoden virker bare når høyresiden er 0.

3. Løs likningen 6:14 Vi ganger ut parentesene og trekker sammen: \[ \begin{aligned} (x + 2)(x - 3) &= -6 \\ x^2 - 3x + 2x - 6 &= -6 \\ x^2 - x - 6 &= -6 \end{aligned} \]

Vi legger til 6 på begge sider, så høyresiden blir 0, og setter $ x $ utenfor en parentes, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} x^2 - x &= 0 \\ \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{(x - 1)} &= 0 \end{aligned} \]

Nå er produktet 0, så en av faktorene er 0: \[ \textcolor{blue}{x} = 0 \quad \text{eller} \quad \textcolor{red}{x - 1} = 0 \]Det gir $ {x = 0} $ eller $ {x = 1}\text{.} $

Kontroll: $ {x = 0} $ gir $ {2 \cdot (-3) = -6}\text{,} $ og $ {x = 1} $ gir $ {3 \cdot (-2) = -6}\text{.} $

Del 2

Med hjelpemidler · 8 oppgaver

Oppgave 1

Flere oppgaver om likningssett

Hvor mye koster en vase? Hvor mye koster en rose?

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{En vase koster } 225 \text{ kroner}}} \\ &\underline{\underline{\text{En rose koster } 12 \text{ kroner}}} \end{aligned}

Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Hvert bilde gir en likning: prisen for vasene pluss prisen for rosene er prisen under bildet. Vi setter opp likningssettet og løser det.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningene 0:21 Vi kaller prisen for en vase $ \textcolor{blue}{v} $ og prisen for en rose $ \textcolor{red}{r}\text{,} $ i kroner. De tre bildene gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} + 3\textcolor{red}{r} &= 261 \\ 2\textcolor{blue}{v} + 2\textcolor{red}{r} &= 474 \\ 3\textcolor{blue}{v} + 6\textcolor{red}{r} &= 747 \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Vi deler den andre likningen på 2 og får $ {\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{r} = 237}\text{.} $ Trekker vi den fra den første likningen, faller $ \textcolor{blue}{v} $ bort, som med addisjonsmetoden i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{v} + 3\textcolor{red}{r}) - (\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{r}) &= 261 - 237 \\ 2\textcolor{red}{r} &= 24 \\ \textcolor{red}{r} &= 12 \end{aligned} \]

Vi setter $ {\textcolor{red}{r} = 12} $ inn i $ {\textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{r} = 237}\text{:} $ \[ \textcolor{blue}{v} = 237 - 12 = 225 \]

Kontroll: Det tredje bildet gir $ {3 \cdot 225 = 675} $ og $ {6 \cdot 12 = 72}\text{,} $ og $ {675 + 72 = 747}\text{.} $

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningssettet i CAS 1:10 Vi skriver hver likning i sin rad i CAS. Så markerer vi de tre radene og trykker på Løs, som gir rad 4:

Skriv inn i GeoGebra: v + 3r = 261 2v + 2r = 474 3v + 6r = 747 Løs({$1, $2, $3}, {v, r})

CAS gir $ {\textcolor{blue}{v} = 225} $ og $ {\textcolor{red}{r} = 12}\text{,} $ det samme som med kalkulator.

Oppgave 2

Tabellen viser prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2015–2022.

\begin{array}{r|r} \text{År} & \begin{array}{c} \text{Prisindeks for} \\ \text{sjokoladepålegg} \end{array} \\ \hline 2015 & 100 \\ 2016 & 97{,}0 \\ 2017 & 98{,}1 \\ 2018 & 98{,}7 \\ 2019 & 99{,}9 \\ 2020 & 112{,}3 \\ 2021 & 110{,}2 \\ 2022 & 119{,}8 \end{array}

Prisen for ett bestemt merke sjokoladepålegg steg fra

35{,}90

kroner i 2019 til

39{,}90

kroner i 2022.

Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette sjokoladepålegget steg mer enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.

Vis løsning

Svar

Prisen steg med omtrent 11,1 % og indeksen med omtrent 19,9 %, avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Nei, prisen steg mindre}}}

Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Indeksen og prisen har ulike enheter, så vi sammenligner hvor mange prosent hver av dem steg fra 2019 til 2022.

Metode: For hånd

1. Tenk på indeksen som en pris 0:43 Vi kan tenke på indekstallene som prisen i kroner for en vare som kostet 100 kroner i 2015. Her starter vi i 2019, ikke i 2015.

Hvor mange prosent noe har steget, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

2. Regn ut økningen i indeksen 1:33 Indeksen gikk fra $ \textcolor{blue}{99{,}9} $ i 2019 til $ 119{,}8 $ i 2022, så endringen er $ {119{,}8 - \textcolor{blue}{99{,}9} = \textcolor{red}{19{,}9}}\text{.} $ Med kalkulatoren: \[ \dfrac{\textcolor{red}{19{,}9}}{\textcolor{blue}{99{,}9}} \cdot 100\,\% \approx 19{,}9\,\% \]

3. Regn ut økningen i prisen 3:37 Prisen gikk fra $ \textcolor{blue}{35{,}90} $ kroner til $ 39{,}90 $ kroner, altså $ \textcolor{red}{4{,}00} $ kroner opp: \[ \dfrac{\textcolor{red}{4{,}00}}{\textcolor{blue}{35{,}90}} \cdot 100\,\% \approx 11{,}1\,\% \]

4. Sammenlign 5:04 Prisen steg med omtrent $ 11{,}1\,\%\text{,} $ mens indeksen steg med omtrent $ 19{,}9\,\%\text{.} $ Prisen for dette sjokoladepålegget steg altså mindre enn prisindeksen.

Kontroll: Hadde prisen fulgt indeksen, hadde den vært $ {35{,}90 \cdot \dfrac{119{,}8}{99{,}9} \approx 43{,}05} $ kroner i 2022, mer enn $ 39{,}90\text{.} $

Oppgave 3

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022.

\small \begin{array}{c|l|c} \text{Rank} & \begin{array}{l} \text{Spiller} \\ \text{Klubb} \end{array} & \text{Mål} \\ \hline 1 & \begin{array}{l} \text{Amahl Pellegrino} \\ \text{Bodø/Glimt} \end{array} & 25 \\ \hline 2 & \begin{array}{l} \text{Hugo Vetlesen} \\ \text{Bodø/Glimt} \end{array} & 16 \\ \hline 3 & \begin{array}{l} \text{David Datro Fofana} \\ \text{Molde} \end{array} & 15 \\ \hline 3 & \begin{array}{l} \text{Casper Tengstedt} \\ \text{Rosenborg} \end{array} & 15 \\ \hline 3 & \begin{array}{l} \text{Tobias Heintz} \\ \text{Sarpsborg 08} \end{array} & 15 \\ \hline 6 & \begin{array}{l} \text{Ole Hammerfjell Sæter} \\ \text{Rosenborg} \end{array} & 14 \\ \hline 7 & \begin{array}{l} \text{Eric Bugale Kitolano} \\ \text{Tromsø} \end{array} & 13 \\ \hline 8 & \begin{array}{l} \text{Runar Espejord} \\ \text{Bodø/Glimt} \end{array} & 12 \\ \hline 8 & \begin{array}{l} \text{Mohamed Ofkir} \\ \text{Sandefjord} \end{array} & 12 \\ \hline 10 & \begin{array}{l} \text{Ola Brynhildsen} \\ \text{Molde} \end{array} & 11 \\ \hline 10 & \begin{array}{l} \text{Johan Hove} \\ \text{Strømsgodset} \end{array} & 11 \end{array}

Oppgave 3a)

Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.

Vis løsning

Svar

For antall mål:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Typetall} = 15}} \\ &\underline{\underline{\text{Variasjonsbredde} = 14}} \\ &\underline{\underline{\text{Median} = 14}} \end{aligned}

Oppgave 3A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi sorterer de 11 tallene i Mål-kolonnen. Da ser vi hvilket tall som kommer flest ganger, hvilket som er størst og minst, og hvilket som står i midten.

Metode: For hånd

1. Sorter tallene I stigende rekkefølge er antall mål: \[ 11 \; 11 \; 12 \; 12 \; 13 \; \textcolor{blue}{14} \; \textcolor{red}{15} \; \textcolor{red}{15} \; \textcolor{red}{15} \; 16 \; 25 \]

2. Finn de tre målene Typetallet er tallet som kommer flest ganger. $ \textcolor{red}{15} $ kommer tre ganger, og ingen andre mer enn to ganger, så typetallet er $ \textcolor{red}{15}\text{.} $

Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste: \[ \text{Variasjonsbredde} = 25 - 11 = 14 \]

Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med 11 tall står tall nummer 6 i midten, så medianen er $ \textcolor{blue}{14}\text{.} $

Metode: Med regneark

1. Skriv inn målene 0:23 Vi skriver etternavnene i A2 til A12 og målene i B2 til B12, med overskriftene Spiller og Mål i rad 1.

2. Bruk funksjonene 1:30 Vi skriver Typetall, Variasjonsbredde og Median i D1 til D3. Typetallet finner vi med MODUS og medianen med MEDIAN: \[ \begin{aligned} \text{E1:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=MODUS(B2:B12)}} \\ \text{E3:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=MEDIAN(B2:B12)}} \end{aligned} \]Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, så i E2 skriver vi: \[ \texttt{=STØRST(B2:B12)-MIN(B2:B12)} \]Videoen bruker MAKSA og MINA, som gir det samme her.

Regnearket gir typetallet $ \textcolor{red}{15}\text{,} $ variasjonsbredden $ 14 $ og medianen $ \textcolor{blue}{14}\text{,} $ det samme som for hånd.

Oppgave 3b)

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.

Vis løsning

Svar

Med standardavviket for alle de 11 spillerne, der vi deler på

n\text{,}

avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} \approx 14{,}5 \text{ mål}}} \\ &\underline{\underline{\text{Standardavvik} \approx 3{,}7 \text{ mål}}} \end{aligned}

Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Gjennomsnittet er summen av målene delt på antall spillere. Standardavviket måler hvor langt antall mål typisk ligger fra gjennomsnittet.

Metode: Med kalkulator

1. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Vi samler like tall i summen: \[ \begin{aligned} &25 + 16 + 3 \cdot 15 + 14 \\ &{} + 13 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 11 = \textcolor{blue}{159} \end{aligned} \]

Det gir: \[ \textcolor{red}{\bar{x}} = \dfrac{\text{sum}}{\text{antall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{159}}{11} \approx \textcolor{red}{14{,}45} \]

2. Finn standardavviket 0:10 Standardavviket er: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{red}{\bar{x}})^2}{n}} \]Vi deler på $ n\text{,} $ fordi vi bruker alle de 11 spillerne. I regnearket er det STDAV.P.

Med $ {\textcolor{red}{\bar{x}} = \dfrac{159}{11}} $ i kalkulatoren får vi kvadratene, avrundet til to desimaler: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{antall} & (x - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 \\ \hline 25 & 1 & 111{,}21 \\ 16 & 1 & 2{,}39 \\ 15 & 3 & 0{,}30 \\ 14 & 1 & 0{,}21 \\ 13 & 1 & 2{,}12 \\ 12 & 2 & 6{,}02 \\ 11 & 2 & 11{,}93 \end{array} \]

Summen over brøkstreken er: \[ \begin{aligned} &111{,}21 + 2{,}39 + 3 \cdot 0{,}30 + 0{,}21 \\ &{} + 2{,}12 + 2 \cdot 6{,}02 + 2 \cdot 11{,}93 \\ &\approx 152{,}73 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \sigma \approx \sqrt{\dfrac{152{,}73}{11}} \approx \sqrt{13{,}88} \approx 3{,}73 \]Ser vi de 11 som et utvalg av alle spillerne, deler vi på $ {n - 1} $ og får omtrent $ 3{,}91\text{.} $ Videoen sier at begge kan forsvares.

Metode: Med regneark

1. Bruk GJENNOMSNITT og STDAV.P 1:00 Med målene i B2 til B12, som i a), skriver vi: \[ \begin{aligned} \text{E5:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=GJENNOMSNITT(B2:B12)}} \\ \text{E6:}\quad & \texttt{=STDAV.P(B2:B12)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på $ n\text{,} $ som vi gjorde med kalkulator, fordi vi har alle de 11 spillerne. STDAV.S deler på $ {n - 1}\text{.} $ Med knappen Reduser desimaler viser vi én desimal, som i videoen:

Gjennomsnittet er $ \textcolor{red}{14{,}5} $ mål og standardavviket $ 3{,}7 $ mål, det samme som med kalkulator.

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet

14{,}5

og standardavviket

6{,}7\text{.}

Oppgave 3c)

Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?

Vis løsning

Svar

Gjennomsnittet var omtrent likt, men i 2021 skåret minst seks av spillerne 11 mål eller færre:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Topp 5 i 2021: flere mål}}} \\ &\underline{\underline{\text{Større spredning i 2021}}} \end{aligned}

Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi bruker medianen fra a) og gjennomsnittet og standardavviket fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter målene for de to årene ved siden av hverandre og ser hva hvert av dem sier om antall mål.

Metode: For hånd

1. Sammenlign medianene 0:33 Fra a), b) og opplysningene om 2021: \[ \begin{array}{l|r|r} & 2021 & 2022 \\ \hline \text{Median} & \textcolor{blue}{11} & \textcolor{blue}{14} \\ \text{Gjennomsnitt} & \textcolor{red}{14{,}5} & \textcolor{red}{14{,}5} \\ \text{Standardavvik} & \textcolor{green}{6{,}7} & \textcolor{green}{3{,}7} \end{array} \]

Medianen er tall nummer 6 av de 11. I 2021 var den $ \textcolor{blue}{11}\text{,} $ så minst seks av spillerne skåret 11 mål eller færre. I 2022 skåret alle minst 11 mål, og den midterste skåret 14.

2. Sammenlign gjennomsnittene 1:00 Gjennomsnittet er omtrent det samme, så spillerne skåret omtrent like mange mål til sammen begge årene: 159 i 2022, og $ {11 \cdot \textcolor{red}{14{,}5} = 159{,}5}\text{,} $ altså 159 eller 160, i 2021.

De seks nederste i 2021 skåret høyst $ {6 \cdot 11 = 66} $ mål, så de fem beste skåret minst $ {159 - 66 = 93} $ mål til sammen. I 2022 skåret de fem beste $ {25 + 16 + 3 \cdot 15 = 86}\text{.} $ Når de fleste skåret færre mål i 2021, må altså de beste ha skåret flere.

3. Sammenlign standardavvikene 2:03 Standardavviket var $ \textcolor{green}{6{,}7} $ i 2021 og $ \textcolor{green}{3{,}7} $ i 2022, så antall mål varierte mer fra spiller til spiller i 2021.

Oppgave 4

Adam har tatt opp et lån på

2\,500\,000

kroner for å kjøpe bolig.

Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er

0{,}33\,\%

per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være

13\,385

kroner.

Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.

Vis løsning

Svar

Lånet etter hver måned, i kroner, avrundet til hele øre:

\begin{array}{r|r} \text{Måned} & \text{Lånet (kr)} \\ \hline 1 & \underline{\underline{2\,494\,915{,}00}} \\ 2 & \underline{\underline{2\,489\,813{,}22}} \\ 3 & \underline{\underline{2\,484\,694{,}60}} \\ 4 & \underline{\underline{2\,479\,559{,}10}} \\ 5 & \underline{\underline{2\,474\,406{,}64}} \\ 6 & \underline{\underline{2\,469\,237{,}18}} \\ 7 & \underline{\underline{2\,464\,050{,}66}} \\ 8 & \underline{\underline{2\,458\,847{,}03}} \\ 9 & \underline{\underline{2\,453\,626{,}23}} \\ 10 & \underline{\underline{2\,448\,388{,}19}} \\ 11 & \underline{\underline{2\,443\,132{,}87}} \\ 12 & \underline{\underline{2\,437\,860{,}21}} \\ 13 & \underline{\underline{2\,432\,570{,}15}} \\ 14 & \underline{\underline{2\,427\,262{,}63}} \\ 15 & \underline{\underline{2\,421\,937{,}60}} \\ 16 & \underline{\underline{2\,416\,594{,}99}} \\ 17 & \underline{\underline{2\,411\,234{,}76}} \\ 18 & \underline{\underline{2\,405\,856{,}83}} \\ 19 & \underline{\underline{2\,400\,461{,}16}} \\ 20 & \underline{\underline{2\,395\,047{,}68}} \\ 21 & \underline{\underline{2\,389\,616{,}34}} \\ 22 & \underline{\underline{2\,384\,167{,}07}} \\ 23 & \underline{\underline{2\,378\,699{,}82}} \\ 24 & \underline{\underline{2\,373\,214{,}53}} \end{array}

Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Terminbeløpet er det samme hver måned, men rentene er $ 0{,}33\,\% $ av det Adam skylder. Resten av terminbeløpet, minus gebyret, betaler ned lånet. Det regner vi ut måned for måned i et regneark.

Metode: Med regneark

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC regner du ut de første månedene med kalkulator, som i steg 2, og forklarer at resten av oversikten regnes ut på samme måte.

1. Del opp terminbeløpet 0:25 Av terminbeløpet går rentene og gebyret til banken. Resten er avdraget, den delen som faktisk betaler ned lånet. Siden $ {0{,}33\,\% = 0{,}0033}\text{,} $ er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{renter}} &= \textcolor{blue}{\text{restbeløp}} \cdot 0{,}0033 \\ \textcolor{green}{\text{avdrag}} &= 13\,385 - \textcolor{red}{\text{renter}} - 50 \end{aligned} \]Neste måned er restbeløpet det gamle restbeløpet minus avdraget.

2. Regn ut første måned 5:33 Første måned er restbeløpet hele lånet, $ \textcolor{blue}{2\,500\,000} $ kroner: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{renter}} &= \textcolor{blue}{2\,500\,000} \cdot 0{,}0033 = \textcolor{red}{8250} \\ \textcolor{green}{\text{avdrag}} &= 13\,385 - \textcolor{red}{8250} - 50 \\ &= \textcolor{green}{5085} \end{aligned} \]Etter første måned skylder Adam $ {2\,500\,000 - \textcolor{green}{5085} = 2\,494\,915} $ kroner, og neste måned regnes rentene av det.

3. Lag oversikten i regnearket 7:27 Vi skriver lånet, rentesatsen, gebyret og terminbeløpet i B1 til B4, og overskriftene Termin, Renter, Avdrag og Restbeløp i rad 5. Rad 6 er termin 0, der restbeløpet er hele lånet, så i D6 skriver vi $ {\texttt{=B1}}\text{.} $ Rad 7 er første måned: \[ \begin{aligned} \text{A7:}\quad & \texttt{=A6+1} \\ \text{B7:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=D6*\$B\$2}} \\ \text{C7:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=\$B\$4-B7-\$B\$3}} \\ \text{D7:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=D6-C7}} \end{aligned} \]Dollartegnene holder rentesatsen, gebyret og terminbeløpet fast når vi drar rad 7 ned til rad 30, som i videoen. B6 til D30 får tallformat med to desimaler og tusenskille:

Kolonne D er lånet etter hver måned: $ 2\,494\,915{,}00 $ kroner etter første måned, som vi regnet ut over, og $ \textcolor{blue}{2\,373\,214{,}53} $ kroner etter 24 måneder, i rad 30.

Oppgave 5

Læreren har bedt elevene tegne en trekant

ABC

slik at

{\angle B = 60^\circ}\text{,}

{BC = 8\,\text{cm}}

{AC = 6\,\text{cm}}\text{.}

Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.

Kan begge ha tegnet riktig? Lag skisser og forklar.

Vis løsning

Svar

Avstanden fra

C

til vinkelbeinet er

{\sqrt{48} \approx 6{,}93\,\text{cm}}\text{,}

mer enn

6\,\text{cm}\text{,}

så trekanten finnes ikke:

\underline{\underline{\text{Nei, ingen tegnet riktig}}}

Oppgave 5 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi tegner det vi vet: $ {BC = 8\,\text{cm}} $ og vinkelen på $ 60^\circ $ i $ B\text{.} $ Hjørnet $ A $ må ligge på det andre vinkelbeinet, $ 6\,\text{cm} $ fra $ C\text{,} $ så vi undersøker om det finnes et slikt punkt.

Merk – Feil i oppgaven: Med disse målene finnes det ingen trekant, så oppgaven har en feil, som vi også sier i starten av videoen. Var $ AC $ mellom $ 6{,}93\,\text{cm} $ og $ 8\,\text{cm}\text{,} $ for eksempel $ 7\,\text{cm}\text{,} $ kunne de ha tegnet to ulike trekanter, med $ {AB = 3\,\text{cm}} $ og $ {AB = 5\,\text{cm}}\text{.} $

Metode: For hånd

1. Tegn det vi vet 1:30 Vi tegner $ {BC = 8\,\text{cm}} $ og et vinkelbein fra $ B $ med $ 60^\circ $ til $ BC\text{.} $ $ A $ må ligge på det andre $ \textcolor{blue}{\text{vinkelbeinet}}\text{,} $ ellers blir ikke vinkelen i $ B $ lik $ 60^\circ\text{.} $ $ A $ skal også ligge $ \textcolor{red}{6\,\text{cm}} $ fra $ C\text{,} $ så vi slår en sirkelbue med radius $ \textcolor{red}{6\,\text{cm}} $ om $ C $ med passeren:

Sirkelbuen når ikke fram til vinkelbeinet.

2. Finn avstanden fra C Den korteste veien fra $ C $ til vinkelbeinet er linjestykket $ \textcolor{green}{CD}\text{,} $ som står vinkelrett på det. Trekanten $ BCD $ har vinklene $ 60^\circ\text{,} $ $ 90^\circ $ og $ 30^\circ\text{.} $ Den er en halv likesidet trekant med side $ 8\,\text{cm}\text{,} $ så $ {BD = 4\,\text{cm}}\text{.} $

Pytagoras' setning forteller oss at: \[ BD^2 + \textcolor{green}{CD}^2 = BC^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Pytagoras setning.

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{CD}^2 &= 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48 \\ \textcolor{green}{CD} &= \sqrt{48} \approx \textcolor{green}{6{,}93} \end{aligned} \]Alle punktene på vinkelbeinet ligger altså minst $ {\textcolor{green}{\sqrt{48}} \approx \textcolor{green}{6{,}93}\,\text{cm}} $ fra $ C\text{,} $ så ingen av dem ligger $ \textcolor{red}{6\,\text{cm}} $ fra $ C\text{.} $ Det finnes ingen trekant med disse målene, og da kan ingen av dem ha tegnet riktig.

Metode: Med GeoGebra

1. Tegn trekanten i GeoGebra 0:25 Vi setter $ B $ i origo og $ {C = (8, 0)}\text{,} $ så $ {BC = 8}\text{.} $ Med verktøyet Vinkel med fast størrelse lager vi vinkelen $ 60^\circ $ i $ B\text{,} $ og vi tegner linja gjennom $ B $ og punktet $ C' $ som verktøyet lager. Så tegner vi sirkelen med sentrum i $ C $ og radius 6, og måler avstanden fra $ C $ til linja:

Skriv inn i GeoGebra: B = (0, 0) C = (8, 0) α = Vinkel(C, B, 60°) f = Linje(B, C') c = Sirkel(C, 6) d = Avstand(C, f)

2. Les av 2:09 Sirkelen krysser aldri linja, og avstanden fra $ C $ til linja er $ {d \approx 6{,}93}\text{,} $ mer enn 6. Trekanten finnes ikke, så ingen av dem kan ha tegnet riktig.

Oppgave 6

Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.

Helsefagarbeidere

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \text{Menn} & \text{Kvinner} \\ \hline 2015 & 2\,232 & 17\,493 \\ 2016 & 2\,911 & 21\,439 \\ 2017 & 3\,558 & 24\,785 \\ 2018 & 3\,957 & 27\,327 \\ 2019 & 4\,698 & 30\,733 \\ 2020 & 5\,511 & 33\,958 \\ 2021 & 6\,447 & 37\,357 \\ 2022 & 7\,317 & 40\,472 \end{array}

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Vis løsning

Svar

Fra 2015 til 2022, med et søylediagram for antallet og et linjediagram for andelen menn:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Menn: omtrent } {+228}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Kvinner: omtrent } {+131}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Andel menn: } 11{,}3\,\% \to 15{,}3\,\%}} \end{aligned}

Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Oppgaven er åpen, så mange presentasjoner er riktige, for eksempel også med andelen kvinner, som i videoen. Vi regner ut totalen, andelen menn og økningen, og lager et søylediagram og et linjediagram.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut totalen og andelen menn 3:36 Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{del}}}{\text{hel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

I 2015 var det $ {\textcolor{blue}{2232} + \textcolor{red}{17\,493} = 19\,725} $ helsefagarbeidere, og i 2022 var det $ {\textcolor{blue}{7317} + \textcolor{red}{40\,472} = 47\,789}\text{.} $ Andelen menn var: \[ \begin{aligned} 2015\text{:}\quad & \dfrac{\textcolor{blue}{2232}}{19\,725} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{blue}{11{,}3\,\%} \\ 2022\text{:}\quad & \dfrac{\textcolor{blue}{7317}}{47\,789} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{blue}{15{,}3\,\%} \end{aligned} \]Andelen menn økte med 4 prosentpoeng, og andelen kvinner gikk ned fra $ \textcolor{red}{88{,}7\,\%} $ til $ \textcolor{red}{84{,}7\,\%}\text{.} $

2. Regn ut økningen Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]

Fra 2015 til 2022 økte mennene med $ {7317 - 2232 = 5085} $ og kvinnene med $ {40\,472 - 17\,493 = 22\,979}\text{:} $ \[ \begin{aligned} \text{Menn:}\quad & \dfrac{5085}{2232} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{blue}{228\,\%} \\ \text{Kvinner:}\quad & \dfrac{22\,979}{17\,493} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{red}{131\,\%} \end{aligned} \]Antallet menn er mer enn tredoblet, og antallet kvinner er mer enn doblet. Kvinnene økte likevel mest i antall.

3. Tegn et søylediagram 1:00 Et søylediagram viser menn og kvinner for hvert år, med en tittel, som i videoen:

Kvinnene er mange flere hvert år, men begge gruppene vokser.

4. Tegn et linjediagram 5:30 Et linjediagram viser hvordan andelen menn endret seg fra år til år. Aksen starter på 10 %, så endringen synes:

Andelen menn har økt hvert år, fra $ \textcolor{blue}{11{,}3\,\%} $ til $ \textcolor{blue}{15{,}3\,\%}\text{.} $

Metode: Med regneark

1. Regn ut totalen og andelen menn 3:36 Vi skriver årene i kolonne A som tekst, med en apostrof foran, '2015 til '2022, så Excel bruker dem som navn langs aksen, ikke som egne søyler. Mennene og kvinnene står i B og C. Totalen og andelen menn er: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \texttt{=B2+C2} \\ \text{E2:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=B2/D2}} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 9, gir B2 til D9 tusenskille og kolonne E prosentformat med én desimal. Økningen fra 2015 til 2022 er endringen delt på tallet for 2015, med prosentformat uten desimaler: \[ \begin{aligned} \text{B11:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=(B9-B2)/B2}} \\ \text{C11:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=(C9-C2)/C2}} \end{aligned} \]

2. Lag diagrammene 1:00 Vi markerer A1 til C9 og velger Sett inn, Liggende stolpediagram. På aksen med årene velger vi «Kategorier i motsatt rekkefølge» og «Vannrett akse krysser ved: Maksimal akseverdi», så 2015 står øverst og tallaksen nederst. Videoen har stående søyler, men liggende gir plass til alle de 16 tallene. Så markerer vi A1 til A9 og, med Ctrl (cmd på Mac), E1 til E9, og velger Sett inn, Linjediagram. Vi slår på dataetiketter og gir hvert diagram en tittel, som i videoen:

Antallet menn økte med $ \textcolor{blue}{228\,\%} $ og antallet kvinner med $ \textcolor{red}{131\,\%}\text{,} $ og andelen menn fra $ \textcolor{blue}{11{,}3\,\%} $ til $ \textcolor{blue}{15{,}3\,\%}\text{,} $ som med kalkulator.

Oppgave 7

Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der • sidekantene i det største kvadratet er

10\,\text{cm}

• sidekantene i det neste kvadratet alltid er

10\,\%

kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet

Oppgave 7a)

Vis at den samlede omkretsen av de tre første kvadratene i serien vil bli

108{,}4\,\text{cm}\text{.}

Vis løsning

Svar

{40 + 36 + 32{,}4 = 108{,}4}\text{,}

så den samlede omkretsen er:

\underline{\underline{O = 108{,}4\,\text{cm}}}

Oppgave 7A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Hver sidekant er $ 90\,\% $ av den forrige. Vi finner de tre sidekantene og legger sammen omkretsene.

Metode: For hånd

1. Finn sidekantene 1:00 $ 10\,\% $ kortere betyr at sidekanten blir $ 90\,\% $ av den forrige, så vi ganger med vekstfaktoren $ {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} $ som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} s_1 &= 10 \\ s_2 &= 10 \cdot \textcolor{red}{0{,}9} = 9 \\ s_3 &= 9 \cdot \textcolor{red}{0{,}9} = 8{,}1 \end{aligned} \]Sidekantene er altså $ 10\,\text{cm}\text{,} $ $ 9\,\text{cm} $ og $ 8{,}1\,\text{cm}\text{.} $

2. Legg sammen omkretsene 2:09 Omkretsen er veien rundt figuren, som i videoen Areal og Omkrets. Et kvadrat har fire like lange sider, så omkretsen er $ {4 \cdot s}\text{:} $ \[ \begin{aligned} O &= 4 \cdot 10 + 4 \cdot 9 + 4 \cdot 8{,}1 \\ O &= 40 + 36 + 32{,}4 = 108{,}4 \end{aligned} \]Den samlede omkretsen av de tre første kvadratene er $ 108{,}4\,\text{cm}\text{.} $

Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.

Oppgave 7b)

Bruk programmering til å lage et program som finner samlet omkrets av alle kvadratene.

Vis løsning

Svar

Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi bruker mønsteret fra omkretsene i a).

Omkretsene følger et mønster: hvert kvadrat har $ \textcolor{red}{0{,}9} $ ganger omkretsen til det forrige. Et program kan legge sammen så mange omkretser vi vil.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.

Metode: Med Python

1. Finn mønsteret 0:09 I a) var omkretsene $ 4\textcolor{blue}{s}\text{,} $ $ {4\textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p}} $ og $ {4\textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot \textcolor{red}{p}}\text{,} $ med $ {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{10}} $ og $ {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} $ Omkretsen til kvadrat nummer $ {i + 1} $ er derfor: \[ 4 \cdot \textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p}^{\,i}, \quad i = 0, 1, 2, \ldots \]Her er $ {\textcolor{red}{p}^0 = 1}\text{,} $ så det første kvadratet får omkretsen $ 4\textcolor{blue}{s}\text{.} $

2. Skriv programmet 1:40 Programmet står i svaret. Linje 1 lager funksjonen med antall kvadrater, sidekanten $ \textcolor{blue}{\texttt{side}} $ og faktoren $ {\textcolor{red}{\texttt{prosent}} = 0{,}9}\text{.} $ Linje 3 til 5 er en løkke som går gjennom $ {i = 0, 1, 2, \ldots}\text{,} $ regner ut omkretsen $ {4 \cdot \textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p}^{\,i}} $ i linje 4 og legger den til summen i linje 5, som løkka i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

3. Kjør med mange kvadrater 7:23 Vi kjører programmet med 3, 30, 300 og 5000 kvadrater. Med 3 kvadrater får vi $ 108{,}4\text{,} $ som i a). Jo flere kvadrater, desto nærmere 400 kommer summen, men den blir aldri større enn 400. Den samlede omkretsen av veldig mange kvadrater er altså omtrent $ 400\,\text{cm}\text{.} $

Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være

10\,\%

kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.

Oppgave 7c)

Undersøk og beskriv sammenhengen mellom lengden av sidekantene i det største kvadratet og den samlede omkretsen av alle kvadratene i hver serie.

Vis løsning

Svar

Den samlede omkretsen

T

er proporsjonal med sidekanten

s

i det største kvadratet:

\underline{\underline{T = 40 \cdot s}}

Oppgave 7C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi bruker programmet og summen 400 cm fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva som skjer med den samlede omkretsen $ T $ når sidekanten $ \textcolor{blue}{s} $ i det største kvadratet endres, og ser etter et mønster.

Metode: For hånd

1. Se hva som skjer med T Alle sidekantene i serien er $ \textcolor{blue}{s} $ ganget med $ 0{,}9 $ noen ganger. Dobler vi $ \textcolor{blue}{s}\text{,} $ dobles derfor alle sidekantene, alle omkretsene og summen av dem. $ T $ er altså proporsjonal med $ \textcolor{blue}{s}\text{:} $ \[ T = k \cdot \textcolor{blue}{s} \]

2. Skriv sammenhengen 1:38 I b) fant vi at summen nærmer seg $ 400\,\text{cm} $ når $ {\textcolor{blue}{s} = 10\,\text{cm}}\text{,} $ så $ {k = \dfrac{400}{10} = 40}\text{:} $ \[ T = 40 \cdot \textcolor{blue}{s} \]Med $ {\textcolor{blue}{s} = 20\,\text{cm}} $ blir $ {T = 800\,\text{cm}}\text{,} $ og med $ {\textcolor{blue}{s} = 50\,\text{cm}} $ blir $ {T = 2000\,\text{cm}}\text{.} $

Metode: Med Python

1. Kjør programmet med flere sidekanter 0:37 Vi bruker programmet fra b) med 5000 kvadrater og sidekantene 10, 20 og 50 cm, og runder av summen:

Summen er hver gang 40 ganger sidekanten: $ {400 = 40 \cdot 10}\text{,} $ $ {800 = 40 \cdot 20} $ og $ {2000 = 40 \cdot 50}\text{.} $

Ole påstår at

T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100

er en formel for å regne ut den samlede omkretsen

T

av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er

s

og sidekantene i det neste kvadratet er

p\,\%

kortere enn sidekantene i det forrige.

Oppgave 7d)

Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.

Vis løsning

Svar

Med

{p = 10}

gir formelen

{T = 40s}

fra c), og programmet og formelen gir det samme for alle verdiene vi har prøvd:

\underline{\underline{\text{Sammenhengen kan gjelde}}}

Oppgave 7D - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi bruker sammenhengen $ {T = 40s} $ fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi undersøker om formelen gir det samme som c) når $ {p = 10}\text{,} $ og om den stemmer for andre verdier av $ p\text{.} $

Metode: For hånd

1. Sjekk formelen med c) Med $ {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{10}} $ gir Oles formel: \[ T = \dfrac{4 \cdot \textcolor{blue}{s}}{\textcolor{red}{10}} \cdot 100 = 40 \cdot \textcolor{blue}{s} \]Det er sammenhengen vi fant i c).

2. Prøv med en annen prosent Er hver sidekant $ \textcolor{red}{50}\,\% $ kortere enn den forrige, blir hver omkrets halvparten av den forrige: \[ T = 4\textcolor{blue}{s} + 2\textcolor{blue}{s} + \textcolor{blue}{s} + 0{,}5\textcolor{blue}{s} + \ldots \]Hver ny omkrets er halvparten av det som mangler opp til $ 8\textcolor{blue}{s}\text{,} $ så summen nærmer seg $ 8\textcolor{blue}{s}\text{.} $ Oles formel gir det samme: \[ T = \dfrac{4 \cdot \textcolor{blue}{s}}{\textcolor{red}{50}} \cdot 100 = 8 \cdot \textcolor{blue}{s} \]Formelen stemmer for begge verdiene vi har prøvd, så sammenhengen kan gjelde.

Metode: Med Python

1. Gjør om programmet 0:30 I programmet fra b) er $ \texttt{prosent} $ faktoren $ 0{,}9\text{,} $ men hos Ole er $ p $ hvor mange prosent sidekanten blir kortere. Linje 2 regner derfor ut faktoren $ {\texttt{pr} = \dfrac{100 - p}{100}}\text{.} $ Linje 9 til 14 regner ut både programmets sum og Oles formel for fire valg av $ s $ og $ p\text{:} $

2. Sammenlign 3:12 Programmet og Oles formel gir det samme hver gang, også med $ {p = 1} $ og $ {p = 99}\text{.} $ Formelen ser ut til å stemme.

Oppgave 8

• I 1990 var Norges klimagassutslipp på

51{,}3

millioner tonn CO₂-ekvivalenter. • I 2022 var Norges klimagassutslipp på

48{,}9

millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med

55\,\%

innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

Oppgave 8a)

x

være antall år etter 2022 og lag modellen.

Vis løsning

Svar

Utslippet må ned med omtrent 9 % per år, med vekstfaktoren avrundet til to desimaler:

\underline{\underline{f(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}91^x}}

Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Utslippet skal ganges med den samme vekstfaktoren hvert år fra 2022 og nå målet i 2030. Vi finner målet, setter opp en likning for vekstfaktoren og løser den.

Metode: Med kalkulator

1. Finn målet for 2030 1:00 Reduseres utslippet med $ 55\,\%\text{,} $ står det igjen $ {100\,\% - 55\,\% = 45\,\%} $ av utslippet i 1990: \[ 51{,}3 \cdot 0{,}45 = \textcolor{green}{23{,}085} \]Målet er altså $ \textcolor{green}{23{,}085} $ millioner tonn i 2030.

2. Sett opp likningen 3:16 En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren $ \textcolor{red}{p} $ én gang for hvert år, som i videoen Vekstfaktor. I 2022 er utslippet $ \textcolor{blue}{48{,}9}\text{:} $ \[ f(x) = \textcolor{blue}{48{,}9} \cdot \textcolor{red}{p}^x \]Fra 2022 til 2030 er det $ {2030 - 2022 = 8} $ år, så: \[ \textcolor{blue}{48{,}9} \cdot \textcolor{red}{p}^8 = \textcolor{green}{23{,}085} \]

3. Løs likningen Vi deler på $ \textcolor{blue}{48{,}9} $ og tar åttende rot med kalkulatoren, altså opphøyer i $ \dfrac{1}{8}\text{:} $ \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{p}^8 &= \dfrac{\textcolor{green}{23{,}085}}{\textcolor{blue}{48{,}9}} \approx 0{,}4721 \\ \textcolor{red}{p} &= \left(\dfrac{\textcolor{green}{23{,}085}}{\textcolor{blue}{48{,}9}}\right)^{1/8} \approx \textcolor{red}{0{,}9104} \end{aligned} \]Siden $ {\textcolor{red}{0{,}9104} \approx 1 - 0{,}09}\text{,} $ må utslippet ned med omtrent $ 9\,\% $ hvert år. Med vekstfaktoren avrundet til to desimaler blir modellen: \[ f(x) = \textcolor{blue}{48{,}9} \cdot \textcolor{red}{0{,}91}^x \]

Kontroll: $ {48{,}9 \cdot 0{,}91^8 \approx 23{,}00}\text{,} $ nær målet $ 23{,}085\text{.} $

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS 8:47 Vi skriver målet og likningen inn i CAS og trykker på ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 51.3*0.45 Løs(48.9 p^8 = 23.085, p)

En vekstfaktor kan ikke være negativ, så $ {\textcolor{red}{p} \approx \textcolor{red}{0{,}9104} \approx 0{,}91}\text{,} $ og modellen er $ {f(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}91^x}\text{.} $ Utslippet går ned med omtrent $ 9\,\% $ per år.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med

90\text{–}95\,\%

sammenliknet med utslippet i 1990.

Oppgave 8b)

Bruk modellen du fant i oppgave a), og vurder den opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.

Vis løsning

Svar

Modellen gir omtrent 3,5 millioner tonn i 2050, omtrent 93 % lavere enn i 1990:

\underline{\underline{\text{Modellen når målet}}}

Oppgave 8B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut hva modellen gir for 2050, og sammenligner med hvor lite utslippet er når det er $ 90\text{–}95\,\% $ lavere enn i 1990.

Metode: For hånd

1. Regn ut utslippet i 2050 0:45 I a) fant vi modellen: \[ f(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}91^x \]2050 er $ {2050 - 2022 = 28} $ år etter 2022. Kalkulatoren gir: \[ f(28) = 48{,}9 \cdot 0{,}91^{28} \approx \textcolor{blue}{3{,}49} \]

2. Finn målet for 2050 1:46 $ 90\text{–}95\,\% $ lavere enn i 1990 betyr at det står igjen $ 5\text{–}10\,\% $ av $ 51{,}3 $ millioner tonn: \[ \begin{aligned} 90\,\% \text{ lavere:}\quad & 0{,}10 \cdot 51{,}3 = \textcolor{red}{5{,}13} \\ 95\,\% \text{ lavere:}\quad & 0{,}05 \cdot 51{,}3 = 2{,}565 \end{aligned} \]Utslippet i 2050 må altså være høyst $ \textcolor{red}{5{,}13} $ millioner tonn, og helst ned mot $ 2{,}565\text{.} $

3. Vurder modellen 2:49 Modellen gir $ \textcolor{blue}{3{,}49} $ millioner tonn, mindre enn $ \textcolor{red}{5{,}13}\text{.} $ Det er omtrent $ {1 - \dfrac{3{,}49}{51{,}3} \approx 93\,\%} $ lavere enn i 1990, innenfor målet. Ifølge modellen når Norge altså målet for 2050.

Modellen forutsetter at utslippet går ned med $ 9\,\% $ hvert år i 28 år. Fra 1990 til 2022 gikk det bare ned fra $ 51{,}3 $ til $ 48{,}9 $ millioner tonn, så det er usikkert om en så rask nedgang holder så lenge.

Ferdig med settet? Se de andre 2P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.