Eksamensoppgaver etter tema

Vi skal finne \( 20\,\% \) av \( 5200\text{.} \) «Av» betyr ganget med, så vi skriver prosenten som en brøk og ganger den med antall egg.

1. Skriv prosenten som en brøk Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{20}} \) og \( {\textcolor{red}{\text{tall}} = \textcolor{red}{5200}}\text{.} \) Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \textcolor{blue}{20}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{5200} = \dfrac{\textcolor{blue}{20}}{100} \cdot \textcolor{red}{5200} \]

Vi forkorter brøken med \( 20\text{:} \) \[ \dfrac{20}{100} = \dfrac{20 : 20}{100 : 20} = \dfrac{1}{5} \]

2. Gang brøken med antall egg Å gange med \( \dfrac{1}{5} \) er det samme som å dele på \( 5\text{:} \) \[ \dfrac{1}{5} \cdot \textcolor{red}{5200} = \dfrac{\textcolor{red}{5200}}{5} = 1040 \]

Vekstfaktoren er det en verdi ganges med når den endres med en prosent. Vi bruker sammenhengen mellom vekstfaktoren og prosenten begge veier.

1. Skriv opp sammenhengen Når noe endres med \( \textcolor{blue}{p}\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{blue}{p}}{100} \]Ved en nedgang er \( \textcolor{blue}{p} \) negativ. Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Går vi den andre veien, er den prosentvise endringen: \[ \textcolor{blue}{p} = (V - 1) \cdot 100 \]

2. Fyll inn tabellen Rad for rad, ovenfra: \[ \begin{aligned} 1{,}4 - 1 &= 0{,}4 = \textcolor{blue}{+40\,\%} \\ 1 + \textcolor{blue}{0{,}175} &= 1{,}175 \\ 1 - \textcolor{blue}{0{,}28} &= 0{,}72 \\ 0{,}67 - 1 &= -0{,}33 = \textcolor{blue}{-33\,\%} \\ 2 - 1 &= 1 = \textcolor{blue}{+100\,\%} \end{aligned} \]Vekstfaktoren \( 2 \) betyr at verdien dobles, altså øker med \( 100\,\%\text{.} \)

Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.

1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \\ \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor, der prisen synker med akkurat \( 20\,\%\text{.} \)

Her er \( {p = 20} \) begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{red}{0{,}80} \\ \textcolor{blue}{V_2} &= 1 + 0{,}20 = \textcolor{blue}{1{,}20} \end{aligned} \]

2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen \( P\text{.} \) Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{red}{0{,}80} \cdot \textcolor{blue}{1{,}20} = P \cdot 0{,}96 \]Varen koster nå \( 96\,\% \) av den opprinnelige prisen, altså \( 4\,\% \) mindre.

Grunnen er at økningen er \( 20\,\% \) av en lavere pris enn nedgangen var: \( 100 \) kroner blir \( 80 \) kroner, og \( 20\,\% \) av \( 80 \) er \( 16\text{,} \) så prisen ender på \( 96 \) kroner.

Prisen etter endringene er prisen før ganget med en vekstfaktor for hver endring. Vi snur det og leser av hva tallene i uttrykket betyr.

1. Sammenlign med vekstfaktorene Når prisen endres tre ganger, ganger vi prisen før med vekstfaktoren for hver endring, som i videoen Vekstfaktor: \[ \text{pris før} \cdot V_1 \cdot V_2 \cdot V_3 = \text{pris etter} \]

Deler vi med vekstfaktorene på begge sider, får vi prisen før: \[ \text{pris før} = \dfrac{\text{pris etter}}{V_1 \cdot V_2 \cdot V_3} \]

Uttrykket har samme form. Prisen etter de tre endringene er altså \( \textcolor{green}{40\,000} \) kroner, og vekstfaktorene er \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) én gang og \( \textcolor{red}{0{,}85} \) to ganger: \[ \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^2} = \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}} \]

2. Les av prisendringene Når prisen endres med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Ved en nedgang er \( p \) negativ.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}05} &= 1 + 0{,}05 && \text{opp } 5\,\% \\ \textcolor{red}{0{,}85} &= 1 - 0{,}15 && \text{ned } 15\,\% \end{aligned} \]Prisen er satt opp med \( 5\,\% \) én gang og ned med \( 15\,\% \) to ganger. Et produkt blir det samme uansett rekkefølge, så uttrykket sier ikke hvilken endring som kom først.

Indeksen er \( 100 \) i basisåret. Har prisen fulgt indeksen, har den økt like mye som indeksen, fra \( 100 \) til \( 125\text{.} \)

1. Tenk på indeksen som en pris Vi kan tenke på indeksen som prisen på en vare som kostet \( 100 \) kroner i basisåret, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Den koster \( 125 \) kroner i dag, så prisen er ganget med \( \dfrac{125}{100}\text{.} \) Det samme gjelder vår vare: \[ \text{pris} = \textcolor{blue}{\text{basispris}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\text{indeks}}}{100} \]

2. Regn ut prisen Her er basisprisen \( \textcolor{blue}{160} \) kroner og indeksen \( \textcolor{red}{125}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{pris} &= \textcolor{blue}{160} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{125}}{100} \\ &= \textcolor{blue}{160} \cdot 1{,}25 = 200 \end{aligned} \]

Kontroll: Indeksen har økt med \( 25\,\%\text{,} \) og \( 25\,\% \) av \( 160 \) er \( 40\text{,} \) så prisen er \( {160 + 40 = 200} \) kroner.

Målestokken er lengden på tegningen sammenlignet med lengden i virkeligheten. Vi gjør om til samme enhet først.

1. Gjør om til samme enhet Det går \( 10\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{cm}\text{,} \) ett trinn på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter. Vi ganger derfor med \( 10\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{5{,}0\,\text{cm}} = \textcolor{blue}{50\,\text{mm}} \]

2. Skriv målestokken Målestokken er lengden på tegningen til lengden i virkeligheten, i samme enhet og med kolon mellom, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{\text{tegning}} : \textcolor{red}{\text{virkelighet}} \]

Her er tegningen \( \textcolor{blue}{50\,\text{mm}} \) og virkeligheten \( \textcolor{red}{2\,\text{mm}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{50} : \textcolor{red}{2} = 25 : 1 \]Tegningen er en forstørrelse: \( \textcolor{red}{1\,\text{mm}} \) i virkeligheten er \( \textcolor{blue}{25\,\text{mm}} \) på tegningen.

Vi ser to trekanter, et trapes og tre fjerdedeler av en sirkel. Alle står mellom x-aksen og linja \( {y = 4}\text{,} \) så høyden er \( 4\text{,} \) og de andre målene leser vi av koordinatene.

1. Finn arealet av trekantene Arealet av en trekant er grunnlinja ganget med høyden delt på to: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Begge trekantene har grunnlinja på x-aksen og toppen på linja \( {y = 4}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Figur 2 er stump, så høyden faller utenfor trekanten, men avstanden fra toppen ned til grunnlinja er fortsatt \( \textcolor{red}{4}\text{.} \) Grunnlinja går fra \( 0 \) til \( 6 \) i figur 1 og fra \( 8 \) til \( 10 \) i figur 2: \[ \begin{aligned} A_1 &= \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \underline{12} \\ A_2 &= \dfrac{\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \underline{4} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trapeset Figur 3 har to parallelle sider, den øverste fra \( 10 \) til \( 19 \) og den nederste fra \( 14 \) til \( 20\text{.} \) Arealet av et trapes er: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{green}{b}) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = 19 - 10 = \textcolor{blue}{9}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{b} = 20 - 14 = \textcolor{green}{6}} \) og \( {\textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{4}}\text{:} \) \[ A_3 = \dfrac{(\textcolor{blue}{9} + \textcolor{green}{6}) \cdot \textcolor{red}{4}}{2} = \dfrac{60}{2} = \underline{30} \]

3. Finn arealet av sirkeldelen Arealet av en sirkel med radius \( r \) er: \[ A = \pi r^2 \]Det er arealet av toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate.

Sirkelen går fra x-aksen opp til linja \( {y = 4}\text{,} \) så diameteren er \( 4 \) og radien \( {r = 2}\text{.} \) Det mangler en firedel, så figur 4 er \( \dfrac{3}{4} \) av sirkelen: \[ A_4 = \dfrac{3}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = \dfrac{3}{4} \cdot 4\pi = \underline{3\pi} \]

Venstre side er et produkt av to parenteser, og høyre side er \( 0\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så vi setter hver parentes lik \( 0\text{.} \)

1. Sett hver faktor lik 0 Når to tall ganges sammen og svaret blir \( 0\text{,} \) må ett av dem være \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = 0 \quad \text{gir} \quad \textcolor{blue}{a} = 0 \ \text{ eller } \ \textcolor{red}{b} = 0 \]

Her er faktorene \( {\textcolor{blue}{x - 2}} \) og \( {\textcolor{red}{x + 3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x - 2} = 0 \quad &\text{gir} \quad x = 2 \\ \textcolor{red}{x + 3} = 0 \quad &\text{gir} \quad x = -3 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {x = 2} \) gir \( {(2 - 2)(2 + 3) = 0 \cdot 5 = 0}\text{,} \) og \( {x = -3} \) gir \( {(-5) \cdot 0 = 0}\text{.} \)